exercices de mathématiques - prépa et université

Soient $\vec u\app E$ et $\vec v\app E\,;$ selon le théorème de

Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ à tout $u\app E\sp{1.5},$ on associe la forme linéaire :

$\displaystyle{}\phi_u:\syst{\,E&\To\bb R\\[-1ex]v\sp{1.5}&\,\longmapsto\ps uv}$

L'application $\,u\mapsto\phi_u\,$  est  alors un isomorphisme entre $E$ et $\sc L(E,\bb R)\sp{1.5}.$

représentation des formes linéaires, on a :

La

Soit $\,f\app\op{SO}(E)\,$ dans un espace euclidien $E$ orienté de dimension $3\sp{1.5}.$

Il existe $\theta\app\bb R$ et $\sc B=(\veci,\vecj,\vec k)$ base orthonormale directe, tels que :

$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f)=\matc{\,\cos\theta\,&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\ \\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1}$

$\,f\,$ est la rotation de $\,E\,$ d'axe $\,D\,$ orienté par $\,\vecc k\sp{1.5},\,$ et d'angle $\,\theta\sp{1.5}.\,$

$\,f\restr{P}\,$ est la rotation du plan $P\sp{-1.5}=\sp{-1.5}D^{\perp}$ orienté par $(\veci,\vecj)\sp{1.5},$ et d'angle $\theta\sp{1.5}.$

rotation $\,r\,$ étant un

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$

$f$ est isométrie vectorielle de $E$  ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$

• Ces isométries conservent le produit scalaire ;
• ce sont des automorphismes de $E\,;$
• elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$

automorphisme, tout $\vec y\app E$ a par la rotation $\,r\,$ un antécédent $\vec x\app E\sp{1.5},$ si bien que $\,\fpv ruv=\fv ru\wedge \fv rv\,$ équivaut à :

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$

$f$ est isométrie vectorielle de $E$  ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$

• Ces isométries conservent le produit scalaire ;
• ce sont des automorphismes de $E\,;$
• elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$

L'isométrie $\,r\,$ conserve le produit scalaire ; par définition du

Soient ${\vec u}$ et ${\vec v}$ dans un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

Le produit vectoriel de $\vec u$ et $\vec v$ est l'unique vecteur $\,\vec u\wedge\vec v,\,$ tel que :

$\displaystyle{}\smh1{\ptt \vec w\app E,\ \big[\,\vec u,\vec v,\vec w\sp{1.5}\big]=\ps{\vec u\wedge\vec v}{\vec w}}$

où $\,\smh{.5}{\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v,\vec w\big]=\det_{\sc B}\big(\sp{1.5}\vec u,\vec v,\vec w\sp{1.5}\big)}\,$ pour toute base orthonormale directe $\sc B\sp{1.5}.$

produit vectoriel, on a donc pour tout $\vec x\app E:$ Le

Soient $\vec u\sp{1.5},$ $\vec v\sp{1.5},$ $\vec w$ dans un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

$\det_{\sc B}(\vec u,\vec v,\vec w)$ reste invariant dans toute base $\sc B$ orthonormale directe.

C'est le produit mixte de $({\vec u},{\vec v},,\vec w)\sp{1.5},$ noté : $\,\det(\sp{1.5}\vec u,\vec v,\vec w\sp{1.5})\,$ ou $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v,\vec w\sp{1.5}\big].\,$

produit mixte est un déterminant, et la rotation $\,r\,$ est une isométrie

Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ le déterminant de $\,f\app\op{O}(E)\,$ est :

• soit $\,\det(f)=+1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie directe,
• soit $\,\det(f)=-1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie indirecte.

Les isométries directes forment le groupe spécial orthogonal $(\op{SO}(E),\circ)\sp{1.5}.$

directe, d'où : $\det(r)=+1\sp{1.5}.$

Selon la définition du

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de dimension $n\sp{1.5}.$

Il existe un unique scalaire : $\,\det(f)\app\bb K\sp{1.5},\,$ appelé déterminant de $f\sp{1.5},$ et tel que :

$\displaystyle{}\det\nolimits_{\sc B}\big(f(u_1),\dots,f(u_n)\big)=\det(f)\det\nolimits_{\sc B}(u_1,\dots,u_n)$

pour toute base $\sc B$ de $E$ et pour tout $\,\sc U=(u_1,\dots,u_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$

déterminant d'un endomorphisme et celle du produit vectoriel, on a donc pour tout $\vec x\app E:$

D'après l'équivalence établie précédemment, on a finalement bien démontré que :

Les vecteurs $\vecc a$ et $\vecc b$ étant non nuls et orthogonaux, leur

Soient, dans un espace préhilbertien réel, deux vecteurs $u\neq0$ et $v\neq0\sp{1.5}.$

La mesure de l'angle non orienté de est l'unique réel $\,\smh0{\widehat{u,\sp{-1.5}v\sth0}}\sp{1.5}\app\,[0,\pi]\,$ tel que :

$\displaystyle{}\cos\sp{1.5}\widehat{u,\sp{-1.5}v\sth0}=\ps {u_1}{v_1}\sp{1.5},\txt{pour} u_1=u/\|u\|\txt{et}v_1=v/\|v\|$

• $u$ et $v$ sont colinéaires  ssi :  $\,\smh0{\widehat{u,v\sth0}}\app\big\{0,\pi\big\}\sp{1.5};\,$
• $u$ et $v$ sont orthogonaux  ssi :  $\,\smh0{\widehat{u,v\sth0}}={\pi}\sp{-1.5}/2\sp{1.5}.\,$

angle non orienté vaut : $\,\widehat{\smh{.6}{\vec a,\sp{-1.5}\vec b}} =\dfrac{\pi}2\!\cdot\,$

Selon les

Dans un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3:$

• $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\vec u\wedge\vec v\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
• $\,\vec u\wedge\vec v=\vecc0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
• $\,\vec u\wedge\vec v\,$ est orthogonal à $\,\vec u\,$ et à $\,\vec v\,;\,$
• si $\,\vec u\wedge\vec v\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ $\,(\,\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v\,)\,$ est une base directe ;
• $\,\big\|\,\vec u\wedge\vec v\,\big\|=\big\|\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}\big\|\big\|\sp{1.5}\vec v\sp{1.5}\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$  pour $\,\alpha=\smh{.75}{\widehat{\smh{.6}{\,\vec u,\sp{-1.5}\vec v\,}}}.\,$

propriétés du produit vectoriel, on a alors :  $\,\|\vecc a\wedge\vecc b\|=\|\vecc a\|\|\vecc b\|\neq0\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que $\,(\vecc a,\vecc b,\vecc a\wedge \vecc b\sp{1.5})\,$ est une base orthogonale

Soit $E$ un $\bb R\tiret$espace vectoriel de dimension finie.

On définit une orientation de $E$ en fixant une base de référence $\sc B_0:$

• une base $\sc B$ de $E$ est directe  ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)>0\,;\,$
• une base $\sc B$ de $E$ est indirecte  ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)<0\sp{1.5}.\,$

directe, et donc que $\,(\vecc a,\vecc a\wedge \vecc b,\vecc b\sp{1.5})\,$ est orthogonale indirecte.

Le vecteur $\,\vecc a\wedge(\sp{1.5}\vecc a\wedge \vecc b\sp{1.5})\,$ est ainsi colinéaire à $\vecc b$ et de sens opposé, avec : Ceci implique que : $\,\vecc a\wedge(\vecc a\wedge \vecc b)=-\big\|\vecc a\big\|^{\sp{-1.5}2}\ \vecc b,\,$ d'où un vecteur $\vec {x_{0}}$ colinéaire à $\,\vecc a\wedge\vecc b\,$ et tel que $\,\vec a\wedge \vec {x_0}=\vecc b:\,$ Par

Dans un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3:$

• $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\vec u\wedge\vec v\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
• $\,\vec u\wedge\vec v=\vecc0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
• $\,\vec u\wedge\vec v\,$ est orthogonal à $\,\vec u\,$ et à $\,\vec v\,;\,$
• si $\,\vec u\wedge\vec v\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ $\,(\,\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v\,)\,$ est une base directe ;
• $\,\big\|\,\vec u\wedge\vec v\,\big\|=\big\|\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}\big\|\big\|\sp{1.5}\vec v\sp{1.5}\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$  pour $\,\alpha=\smh{.75}{\widehat{\smh{.6}{\,\vec u,\sp{-1.5}\vec v\,}}}.\,$

bilinéarité du produit vectoriel, on a alors les équivalences : $\sc S$ est donc l'ensemble des vecteurs $\,\vecc x=\Vec x_{\!0}+\lambda\,\vecc a\,$ pour tout $\lambda\app\bb R\sp{1.5}.$

Dans l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

géométrique d'un espace vectoriel, $\sc S$ est une

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$

droite affine dirigée par $\vecc a:$

Lorsque $\vecc a$ et $\vecc b$ ne sont pas orthogonaux, on a : $\,\sc S=\vide\sp{1.5},\,$ car :  $\,\vecc a\wedge \vecc x=\vecc b\Imp \vecc a\perp\vecc b\sp{1.5}.\,$

Selon les

Dans un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3:$

• $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\vec u\wedge\vec v\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
• $\,\vec u\wedge\vec v=\vecc0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
• $\,\vec u\wedge\vec v\,$ est orthogonal à $\,\vec u\,$ et à $\,\vec v\,;\,$
• si $\,\vec u\wedge\vec v\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ $\,(\,\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v\,)\,$ est une base directe ;
• $\,\big\|\,\vec u\wedge\vec v\,\big\|=\big\|\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}\big\|\big\|\sp{1.5}\vec v\sp{1.5}\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$  pour $\,\alpha=\smh{.75}{\widehat{\smh{.6}{\,\vec u,\sp{-1.5}\vec v\,}}}.\,$

propriétés du produit vectoriel, $\vec u$ et $\vec v$ étant non colinéaires, $\,\vec u\wedge\vec v\,$ n'est pas nul et il est orthogonal à $\vec u$ et $\vec v:$ Pour tout $\vec x\app P,$ on a : $\,r(\vec x)=(\vec p\wedge \vec x)\perp\vec p\sp{1.5},\,$ si bien que : $\,r(\sp{1.5}\vec x\sp{1.5})\app P\sp{1.5}.\,$

De plus, par

Dans un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3:$

• $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\vec u\wedge\vec v\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
• $\,\vec u\wedge\vec v=\vecc0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
• $\,\vec u\wedge\vec v\,$ est orthogonal à $\,\vec u\,$ et à $\,\vec v\,;\,$
• si $\,\vec u\wedge\vec v\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ $\,(\,\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v\,)\,$ est une base directe ;
• $\,\big\|\,\vec u\wedge\vec v\,\big\|=\big\|\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}\big\|\big\|\sp{1.5}\vec v\sp{1.5}\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$  pour $\,\alpha=\smh{.75}{\widehat{\smh{.6}{\,\vec u,\sp{-1.5}\vec v\,}}}.\,$

bilinéarité du produit vectoriel, l'application $\,r\,$ est linéaire, et donc : $\,r\app\sc L(P)\sp{1.5}.\,$

D'autre part, $\,r\,$ conserve la norme et c'est donc une

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$

$f$ est isométrie vectorielle de $E$  ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$

• Ces isométries conservent le produit scalaire ;
• ce sont des automorphismes de $E\,;$
• elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$

isométrie vectorielle de $P\sp{1.5};$ en effet, pour tout $\,\vec x\perp\vec p:\,$

Cette

Dans un plan vectoriel euclidien $P:$

• les isométries vectorielles directes sont les rotations de $P\,;$
• les isométries vectorielles indirectes sont les réflexions de $P.$

isométrie du plan euclidien $P$ est alors, soit une réflexion de $P,$ soit une rotation de $P:$

• avec : $\,\ptt \vec x\app P,\ r(\sp{1.5}\vec x\sp{1.5})\perp\vec x\sp{1.5},\,$ $\,r\,$ n'admet pas de vecteur non nul invariant ; $\,r\,$ n'est donc pas une
  Soit dans un espace euclidien $E,$ un sous-espace vectoriel $F.$

  La symétrie orthogonale par rapport $F$ est l'application $\,\sigma_F\app \op{O}(E),\,$ définie par :

  $\displaystyle{}\sth{2}\sigma_F:\syst{\,E&=F\oplus{ F^{\perp}}\!\to F\oplus{ F^{\perp}}\\[-.5ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v-w}$

  On a alors : $\,\sigma_F\circ\sigma_F=\op{Id}_E,\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(\sigma_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,F^{\perp}=\op{Ker}(\sigma_F+\op{Id}_E).\,$

  Si $F$ est un hyperplan $H,$ $\,\sigma_H\,$ est la réflexion d'hyperplan $H.$
  réflexion ;
• il s'ensuit que $\,r\,$ est une
  Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$

  Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$

  $\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$

  l'isométrie $f$  est  la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$

  • Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
  • avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.
  rotation de $P,$ avec un angle de mesure : $\,(\vec u,r(\vec u))\equiv(\vec u,\vec p\wedge\vec u)\equiv\pm\sp{1.5}\dfrac\pi2\,[2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$

Le couple $\big(r(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}),r(\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})\sp{-1.5}\big)$ est une base de $P$ en tant qu'

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels, $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base de $E$ et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

Alors, $f$ est un isomorphisme  ssi  $\,f(\sc B)=\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\,$ est une base de $E'\sp{1.5},$ d'où :

$\displaystyle{}\dim(E)=\dim(E')$

image par l'automorphisme $\,r\,$ de la base $(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})$ de $P.$

On en déduit que $\,\sc B=\big(r(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}),r(\sp{1.5}\vec v\sp{1.5}),\vec u\wedge\vec v\,\big)\,$ est une

Soient deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace vectoriel $E,$ de bases $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ et $\,(e_{p+1},\dots,e_{p+q})\sp{1.5}.\,$

Si  la somme $\,F + G\,$ est directe,  alors $\,(e_1,\dots,e_p,e_{p+1},\dots,e_{p+q})\,$ est une base de $\,F\oplus G\sp{1.5}.\,$

base de $E$ adaptée à la décomposition : $\,E=P\oplus\op{Vect}(\sp{1.5}\vec u\wedge\vec v\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$

On considère alors les applications $f$ et $g$ de $E$ vers $E$ définies par :

Par bilinéarité des produits vectoriel et scalaire, $f$ et $g$ sont des endomorphismes de $E\sp{1.5}.$

On va alors comparer les images des vecteurs de la base $\,\sc B=\big(r(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}),r(\sp{1.5}\vec v\sp{1.5}),\vec u\wedge\vec v\,\big)\,$ par chacune des applications $f$ et $g:$

L'application $\,r^2=r\circ r\,$ étant une

Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$

Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$

l'isométrie $f$  est  la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$

• Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
• avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.

rotation d'angle $\,\pm\pi\,$ modulo $2\sp{1.5}\pi,$ on a : $\,r^2=-\op{Id}_P\,$ et $\,f\restr{P}=\big\|\sp{1.5}\vec u\wedge\vec v\sp{1.5}\big\|\,r\sp{1.5}.\,$

On peut donc en déduire les images des vecteurs de la base $\,\sc B\,$ par l'endomorphisme $f:$

Puisque

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$

$f$ est isométrie vectorielle de $E$  ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$

• Ces isométries conservent le produit scalaire ;
• ce sont des automorphismes de $E\,;$
• elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$

l'isométrie $\,r\,$ conserve le produit scalaire et que $\,r^2=-\op{Id}_P\sp{1.5},\,$ on a pour tous $\,\vec x,\vec y\app P:\,$ On en déduit : $\,\ps{r(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})}{\vec u\sp{1.5}}=\ps{r(\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})}{\vec v\sp{1.5}}=0\sp{1.5},\,$ puis par

Soit $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

L'application  $\,\det_{\sc B}:\sc U=(u_1,\dots,u_n)\mapsto\det_{\sc B}(\sc U)\,$ est antisymétrique.

Autrement dit, pour $\,i\neq j\sp{1.5},\,$ l'opération $\,u_i\tot u_j\,$ change le signe de $\det_{\sc B}(\sc U).$

antisymétrie du produit mixte et

Soient ${\vec u}$ et ${\vec v}$ dans un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

Le produit vectoriel de $\vec u$ et $\vec v$ est l'unique vecteur $\,\vec u\wedge\vec v,\,$ tel que :

$\displaystyle{}\smh1{\ptt \vec w\app E,\ \big[\,\vec u,\vec v,\vec w\sp{1.5}\big]=\ps{\vec u\wedge\vec v}{\vec w}}$

où $\,\smh{.5}{\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v,\vec w\big]=\det_{\sc B}\big(\sp{1.5}\vec u,\vec v,\vec w\sp{1.5}\big)}\,$ pour toute base orthonormale directe $\sc B\sp{1.5}.$

définition du produit vectoriel :

On en déduit cette fois les images des vecteurs de la base $\,\sc B\,$ par l'endomorphisme $g:$

Avec $\,f(\sc B)=g(\sc B)\sp{1.5},\,$ on peut donc conclure par combinaisons linéaires que $\,f(\vec w)=g(\vec w)\,$ pour tout $\vec w\app E\sp{1.5}.$

Il reste alors à examiner le cas où $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, ce qui correspond à $\,\vec u\wedge\vec v=\vecc 0:\,$

• on a d'une part $\,f=0\,$ car : $\,\ptt \vec w\app E,\ f(\sp{1.5}\vec w\sp{1.5})= (\sp{1.5}\vec u\wedge \vec v\,)\wedge\vec w=\vecc 0\wedge\vec w=\vecc 0,\,$
• et d'autre part $\,g=0\,;\,$ en effet, si par exemple $\,\vec v=\lambda\sp{1.5}\vec u\,$ pour $\lambda\app\bb R\,,$ on a alors :
  $\displaystyle{}\ptt \vec w\app E,\ g(\sp{1.5}\vec w\sp{1.5})=\ps{\sp{1.5}\vec w}{\vec u\sp{1.5}}\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}\vec u-\ps{\sp{1.5}\vec w}{\lambda\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}}\sp{1.5}\vec u=\vecc 0$

On a ainsi établi que : $\,f(\vec w)=g(\vec w)\,$ pour tout $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v,\vec w\sp{1.5})\app E^3\,;\,$ c'est la formule du double produit vectoriel :