exercices de mathématiques - prépa et université

On calcule d'abord les mineurs de $A:$ On écrit alors sous forme de matrices les tableaux des signes $\,(-1)^{i+j}\,$ et des mineurs $A_{i,j}:$

On en déduit la

La comatrice d'une matrice $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ est la matrice de ses cofacteurs :

$\displaystyle{}\smb1{\op{Com}(A)=\big[(-1)^{i+j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\big]\app\sc M_n(\bb K)}$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

comatrice de $A$ en affectant chacun de ces signes aux mineurs correspondants :

On connaît d'autre part la

La comatrice d'une matrice $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ vérifie la relation :

$\displaystyle{}A\sp{.75}\op{Com}(A)^T=\op{Com}(A)^T\sp{-1.5}A=\det(A)\sp{1.5}I_n$

Lorsque $A$ est inversible, on en déduit : $\,A^{-1}=\smh{1.5}{\dfrac1{\det(A)}}\,\op{Com}(A)^T.\,$

relation entre $A$ et sa comatrice :

On calcule alors le déterminant de $A$ par

Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$

• $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
• $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires :

La matrice $A$ étant de déterminant nul, elle n'est donc pas

Les colonnes ou les lignes de $A\app\sc M_n(\bb K)$ sont liées  ssi  $\,\det(A)=0\sp{1.5},\,$ soit encore :

$\displaystyle{}A\app\op{GL}_n(\bb K)\Ssi\det(A)\neq0$

inversible.

On peut alors écrire finalement la relation :  $\,A\,(\Op{Com}(A))^T=(\Op{Com}(A))^TA=0\sp{1.5}.\,$

La

La comatrice d'une matrice $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ est la matrice de ses cofacteurs :

$\displaystyle{}\smb1{\op{Com}(A)=\big[(-1)^{i+j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\big]\app\sc M_n(\bb K)}$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

comatrice de toute matrice carrée vérifie la

La comatrice d'une matrice $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ vérifie la relation :

$\displaystyle{}A\sp{.75}\op{Com}(A)^T=\op{Com}(A)^T\sp{-1.5}A=\det(A)\sp{1.5}I_n$

Lorsque $A$ est inversible, on en déduit : $\,A^{-1}=\smh{1.5}{\dfrac1{\det(A)}}\,\op{Com}(A)^T.\,$

relation :

Il convient alors de distinguer trois cas :

• Si $\det(A)\neq0,$ on a, par le déterminant d'un
  Soient, pour $n\app\bb N^{\ast},$ deux matrices carrées $A$ et $B$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$  alors :

  $\displaystyle{}\det(AB)=\det(A)\sp{-1.5}\det(B) \ \txt{et} \det(\lambda A)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(A)$
  produit et le déterminant d'une
  Soit $\,n\app\bb N^{\ast};\,$ pour toute matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ on a la relation :

  $\displaystyle{}\det(A^T\sp{1.5})=\det(A)$

  Le déterminant de $A$ est donc aussi multilinéaire et alterné vis à vis des lignes de $A\sp{1.5}.$
  transposée :
  $\eqalign{\det\big(A\sp{.75}\op{Com}(A)^T\sp{1.5}\big)&=\det(A).\det\!\big(\!\op{Com}(A)^T\sp{1.5}\big)\\&=\det(A).\det(\op{Com}(A))}$
  D'autre part, le déterminant d'une matrice est
  Pour $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ soient $\,A=[C_1,\dots,C_n]\app\sc M_n(\bb K)\,$ et $\sc C$ la base canonique de $\bb K^n\sp{-1.5}.$

  Le déterminant de $A$ est le déterminant de $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ relativement à $\sc C:$

  $\displaystyle{}\det(A)=\det\nolimits_{\sc C}(C_1,\dots,C_n)$

  Le déterminant de $A$ est donc multilinéaire et alterné vis à vis des colonnes de $A\sp{1.5}.$
  multilinéaire vis à vis de ses colonnes, si bien que :
  $\eqalign{\det\big(A\sp{.75}\op{Com}(A)^T\sp{1.5}\big)&=\det\!\big(\!\det(A)\sp{1.5}I_n\big)\\&=\det(A)^n\det(I_n)=\det(A)^n }$
  On en déduit, en simplifiant par $\det(A)\sp{1.5},$ la formule : $\,\det(\op{Com}(A))=\det(A)^{n-1}.\,$

• Si $\det(A)=0$ et $A\neq0,$ la relation initiale devient :
  $\displaystyle{}A\,(\op{Com}(A))^T=(\op{Com}(A))^TA=0$
  Si $\,\op{Com}(A)\,$ était de déterminant non nul, elle serait
  Les colonnes ou les lignes de $A\app\sc M_n(\bb K)$ sont liées  ssi  $\,\det(A)=0\sp{1.5},\,$ soit encore :

  $\displaystyle{}A\app\op{GL}_n(\bb K)\Ssi\det(A)\neq0$
  inversible d'où, par
  Pour toutes matrices $A\app\sc M_{m,n}(\bb K)$ et $B\app\sc M_{n,p}(\bb K),$ on a :

  $\displaystyle{}(AB)^T=B^{\,T}\!A^T$

  Si $A$ est une matrice carrée inversible, alors on a aussi :

  $\displaystyle{}(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
  transposition et par
  Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :

  • $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$  le produit matriciel est associatif ;
  • $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$  le produit matriciel est bilinéaire.
  associativité du produit :
  $\eqalign{A&=A\,I_n=A\sp{.75}\big(\!\op{Com}(A)^{-1}\op{Com}(A)\big)^T\\[-.5ex] &=A\,\big(\!\op{Com}(A)^T\sp{1.5}(\op{Com}(A)^{-1}\sp{1.5})^T\sp{1.5}\big)\\[-.5ex] &=\big(A\op{Com}(A)^T\sp{1.5}\big)(\op{Com}(A)^{-1})^T=0}$
  C'est en contradiction avec l'hypothèse $A\neq0\sp{1.5};$ on a donc dans ce cas : $\,\det(\op{Com}(A))=0\sp{1.5}.\,$

• Si enfin $A=0,$ les mineurs de $A$ sont tous nuls, d'où $\,\op{Com}(A)=0\sp{1.5},\,$ et a fortiori : $\,\det(\op{Com}(A))=0\sp{1.5}.\,$

On obtient finalement dans tous les cas la formule  :  $\,\det(\op{Com}(A))=\det(A)^{n-1}\sp{1.5}.\,$

Pour tout $k\leq n\sp{1.5},$ la matrice $A_k$ est triangulaire et a pour déterminant : $\,\det(A_k)=a^k\sp{1.5}.\,$

On va déterminer les

La comatrice d'une matrice $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ est la matrice de ses cofacteurs :

$\displaystyle{}\smb1{\op{Com}(A)=\big[(-1)^{i+j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\big]\app\sc M_n(\bb K)}$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

mineurs $M_{i,j}$ de la matrice $A_n\sp{1.5},$ en remarquant que :

• la suppression d'une colonne de $A_n$ entraîne un décalage vers la gauche des colonnes suivantes,
• la suppression d'une ligne de $A_n$ entraîne un décalage vers le haut des lignes suivantes.

Ces mineurs sont alors des

Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ triangulaire par blocs ou diagonale par blocs.

Alors, $\det(A)$ est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux :

$\displaystyle{}\det(A)=\det(A_{1,1})\times\cdots\times\det(A_{p,\sp{1.5}p})$

déterminants de matrices triangulaires ou

Une matrice carrée $A$ est diagonale par blocs  ssi  elle est formée de blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$

• tous carrés lorsqu'ils sont diagonaux, c'est-à-dire pour $\,i=j\,;\,$
• et tous nuls sinon, c'est-à-dire pour $\,i\neq j\,.\,$

diagonales par blocs.

En laissant des espaces vides à la place des zéros, on distingue les cas suivants :

• si $\,i=j:\,$ $\,M_{i,i}=\det(A_{n-1})=a^{n-1}\,;\,$
• si $\,i < j:\,$ $\,M_{i,j}=\!\determ{}{{c|c|c}A_{i-1}\!&&\\\hline&B&\\\hline&&\!\!A_{n-j}}{}\stb5=0\,$ $\,\txt{car :}\det(B)=\detc{\sp{1.5}0\!&a\!&\!\!-1\!\!\\&\dd&\dd&\dd \\&&\dd&\dd&\!\!\!\!-1\!\!\,\\ &&&\!\dd&\!\!a\\[-.5ex]&&&&\!\!0}=0\,;\,$

• si $\,i > j:\,$ $\,M_{i,j}=\!\determ{}{{c|c|c}A_{j-1}\!&&\\\hline&C&\\\hline&&\!\!A_{n-i}}{}\!\stb5=\!(-1)^{i-j}\,a^{n-i+j-1}\,$ $\,\txt{car :}\det(C)=\detc{-1\\a&\dd&&\\ &\dd&\!\dd& \\&&a&\!\!\sp{-1.5}-1}=(-1)^{i-j}\,.\,$

Les

La comatrice d'une matrice $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ est la matrice de ses cofacteurs :

$\displaystyle{}\smb1{\op{Com}(A)=\big[(-1)^{i+j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\big]\app\sc M_n(\bb K)}$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

cofacteurs de $A$ sont donc les :  $\,(-1)^{i+j}\sp{1.5}M_{i,j}=\Syst{&0&\txt{pour}i < j\,,\\ &a^{n-i+j-1}&\txt{pour}i\geq j\,.}\,$

On obtient alors comme comatrice de $A$ la matrice :