Sujet B.4.3 Calcul par blocs
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Exercice a
\\(\OPEL\\)Pour $a,b,c,d\app \bb{C},$ calculer le déterminant :
$\,\Delta=\detr{a&d&b&c\\ 0&a&0&b\\ c&b&d&a\\ 0&c&0&d}\!\cdot\,$
matrice triangulaire par blocs
Une matrice triangulaire par blocs est composée de $p^2$ blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$
- tous carrés, lorsqu'ils sont diagonaux : pour $\,i=j\sp{1.5},\,$
- et tous nuls, soit lorsque $\,i < j\sp{1.5},\,$ soit lorsque $\,i > j\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ triangulaire par blocs ou diagonale par blocs.
Alors, $\det(A)$ est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux :
$\displaystyle{}\det(A)=\det(A_{1,1})\times\cdots\times\det(A_{p,\sp{1.5}p})$
déterminant d'un produit de matrices
Soient, pour $n\app\bb N^{\ast},$ deux matrices carrées $A$ et $B$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
$\displaystyle{}\det(AB)=\det(A)\sp{-1.5}\det(B) \ \txt{et} \det(\lambda A)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(A)$
indication
S'efforcer de regrouper les zéros dans un même bloc.
réponse
On obtient comme déterminant : $\,\Delta=(a\sp{1.5}d-b\sp{1.5}c)^2\,.\,$
correction
Dans ce qui suit, on note $L_i$ les lignes et $C_j$ les colonnes des
Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$ est un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.
matrices
associées aux différents déterminants obtenus.
Par
- Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
- On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
opérations
élémentaires, on regroupe les zéros dans le coin inférieur gauche de la matrice correspondant à $\Delta:$
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\Delta\ =\ &\detr{a&d&b&c\\ 0&a&0&b\\ c&b&d&a\\ 0&c&0&d}\\[1.5ex]
\eg{C_2\tot C_3}-&\detr{a&b&d&c\\ 0&0&a&b\\ c&d&b&a\\ 0&0&c&d} \\[1.5ex]
\eg{L_2\tot L_3}+&\detr{a&b&d&c\\ c&d&b&a\\ 0&0&a&b\\ 0&0&c&d}}$
On a ainsi le
Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ triangulaire par blocs ou diagonale par blocs.
Alors, $\det(A)$ est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux :
déterminant
d'une matrice
$\displaystyle{}\det(A)=\det(A_{1,1})\times\cdots\times\det(A_{p,\sp{1.5}p})$
Une matrice triangulaire par blocs est composée de $p^2$ blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$
triangulaire
par blocs : - tous carrés, lorsqu'ils sont diagonaux : pour $\,i=j\sp{1.5},\,$
- et tous nuls, soit lorsque $\,i < j\sp{1.5},\,$ soit lorsque $\,i > j\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\Delta=\detr{A&B\\0&A}\sp{1.5},\txt{pour} A=\matr{a&b\\c&d},\ B=\matr{d&c\\b&a}$
On obtient finalement comme déterminant :
$\displaystyle{}\Delta=\det(A)^2=\detr{a&b\\c&d}^2=(a\sp{1.5}d-b\sp{1.5}c)^2$
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Exercice b
\\( \OPEL\\)Soient $n\app\bb N^{\ast},$ $\,A,B\app\sc M_n(\bb R)\,$ et $\Delta$ le déterminant de $\,M=\matc{A&B\\B&A}\app\sc M_{2\sp{1.5}n}(\bb R)\sp{1.5}.\,$
Exprimer $\Delta$ comme un produit de deux déterminants de matrices carrées d'ordre $n\sp{1.5}.$
Donner une condition suffisante sur $A$ et $B$ pour que : $\,\Delta=\det\!\big(A^2-B^{\sp{1.5}2}\big).\,$
matrice triangulaire par blocs
Une matrice triangulaire par blocs est composée de $p^2$ blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$
- tous carrés, lorsqu'ils sont diagonaux : pour $\,i=j\sp{1.5},\,$
- et tous nuls, soit lorsque $\,i < j\sp{1.5},\,$ soit lorsque $\,i > j\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ triangulaire par blocs ou diagonale par blocs.
Alors, $\det(A)$ est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux :
$\displaystyle{}\det(A)=\det(A_{1,1})\times\cdots\times\det(A_{p,\sp{1.5}p})$
déterminant d'un produit de matrices
Soient, pour $n\app\bb N^{\ast},$ deux matrices carrées $A$ et $B$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
$\displaystyle{}\det(AB)=\det(A)\sp{-1.5}\det(B) \ \txt{et} \det(\lambda A)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(A)$
indication
Effectuer une opération sur une ligne de blocs de $M,$ c'est-à-dire une suite d'opérations élémentaires sur ses lignes.
Effectuer ensuite une opération similaire sur une colonne de blocs de la matrice obtenue.
réponse
On obtient d'abord : $\,\Delta=\det(A+B)\det(A-B)\sp{1.5}.\,$
Il suffit que $\,A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A\sp{1.5},\,$ pour qu'on ait : $\,\Delta=\det\!\big(A^2-B^{\sp{1.5}2}\big).\,$
correction
On note $\,\sc L_1=[A,B\sp{1.5}]\,$ et $\,\sc L_2=[B,A\sp{1.5}]\,$ les deux lignes de blocs de la matrice $M.$
Ces lignes $\,\sc L_1\,$ et $\,\sc L_2\,$ regroupent respectivement les
Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$ est un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.
lignes
$\,L_1,\dots,L_n\,$ et $\,L_{n+1},\dots,L_{2\sp{1.5}n}\,$ de $M\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc L_1\ot \sc L_1 + \sc L_2\,$ la suite des
- Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
- On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
opérations
élémentaires : $\,L_i\ot L_i+L_{n+i}\,,\,$ pour $\,i\,$ de $\,1\,$ à $\,n\sp{1.5}.\,$
On définit de la même manière les colonnes de blocs $\,\sc C_1\,$ et $\,\sc C_2\,$ et l'opération combinée : $\,\sc C_2\ot \sc C_2 - \sc C_1\,.\,$
On peut alors transformer le déterminant de $M$ par ces suites d'opérations élémentaires :
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\Delta=\determ{\,}{{cc}A&B\\B&A}{\,}\ &\eg{\sc L_1\ot \sc L_1 + \sc L_2}&\detc{A+B&B+A\\B&A}\\[1.5ex]
&\,\eg{\ \sc C_2\ot \sc C_2 - \sc C_1}&\detc{A+B&0\\B&A-B}}$
On obtient ainsi le
Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ triangulaire par blocs ou diagonale par blocs.
Alors, $\det(A)$ est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux :
déterminant
d'une matrice
$\displaystyle{}\det(A)=\det(A_{1,1})\times\cdots\times\det(A_{p,\sp{1.5}p})$
Une matrice triangulaire par blocs est composée de $p^2$ blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$
triangulaire
par blocs : $\,\Delta=\det(A+B)\sp{1.5}\det(A-B)\sp{1.5}.\,$
Ce résultat peut encore s'écrire comme déterminant d'un
- tous carrés, lorsqu'ils sont diagonaux : pour $\,i=j\sp{1.5},\,$
- et tous nuls, soit lorsque $\,i < j\sp{1.5},\,$ soit lorsque $\,i > j\sp{1.5}.\,$
Soient, pour $n\app\bb N^{\ast},$ deux matrices carrées $A$ et $B$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
produit
:
$\displaystyle{}\det(AB)=\det(A)\sp{-1.5}\det(B) \ \txt{et} \det(\lambda A)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(A)$
$\displaystyle{}\Delta=\det\!\big((A+B)(A-B)\big)=\det\!\big(A^2+A\sp{1.5}B-B\sp{1.5}A-B^{\sp{1.5}2}\big)$
On n'obtient pas en général $\,\det\!\big(A^2-B^{\sp{1.5}2}\big),\,$ mais il suffit que $\,A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A\sp{1.5},\,$ pour qu'on ait alors : $\,\Delta=\det\!\big(A^2-B^{\sp{1.5}2}\big).\,$
On n'a pas pour autant : $\,\Delta=\det\!\big(A^2\big)-\det\!\big(B^{\sp{1.5}2}\big),\,$ comme pourrait le laisser croire le cas $\,n=1\sp{1.5},\,$ avec :
$\,{\detc{a&b\\[-.5ex]b&a}}=a^2-b^2\sp{1.5}.\,$
On en a un contre-exemple, pour $\,n=2\sp{1.5},\,$ avec : $\,A=\matc{1&0\\[-.5ex]0&1}\,$ et : $\,B=\matc{1&0\\[-.5ex]0&0},\,$ d'où : $\,A^ 2=A=I_2\,$ et $\,B^2=B\sp{1.5},\,$ et donc :
$\displaystyle{}\Delta=\det\!\big(A^2-B^{\sp{1.5}2}\big)=\detc{0&0\\[-.5ex]0&1}=0\neq1=\det\!\big(A^2\big)-\det\!\big(B^{\sp{1.5}2}\big)$
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Exercice c
\\(\OPEL\\)Soient $n\app\bb N^{\ast},$ $\,A,B\app\sc M_n(\bb R)\,$ et $\Delta$ le déterminant de $\,M=\matr{A&B\\ \!-B&A}\app\sc M_{2\sp{1.5}n}(\bb R)\sp{1.5}.\,$ Exprimer $\Delta$ comme un produit de deux déterminants de matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients complexes.
En déduire que ce déterminant est toujours un réel positif.
matrice triangulaire par blocs
Une matrice triangulaire par blocs est composée de $p^2$ blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$
- tous carrés, lorsqu'ils sont diagonaux : pour $\,i=j\sp{1.5},\,$
- et tous nuls, soit lorsque $\,i < j\sp{1.5},\,$ soit lorsque $\,i > j\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ triangulaire par blocs ou diagonale par blocs.
Alors, $\det(A)$ est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux :
$\displaystyle{}\det(A)=\det(A_{1,1})\times\cdots\times\det(A_{p,\sp{1.5}p})$
déterminant d'un produit de matrices
Soient, pour $n\app\bb N^{\ast},$ deux matrices carrées $A$ et $B$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
$\displaystyle{}\det(AB)=\det(A)\sp{-1.5}\det(B) \ \txt{et} \det(\lambda A)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(A)$
indication
1
Effectuer dans $\,\sc M_n(\bb C)\,$ une opération sur une ligne de blocs de $M,$ c'est-à-dire une suite d'opérations élémentaires sur ses lignes.
Effectuer ensuite une opération similaire sur une colonne de blocs de la matrice obtenue.
indication
2
Établir et utiliser la formule : $\,\ptt D\app\sc M_n(\bb C),\ \det\!\big(\sp{1.5}\surl{D\sp{1.5}}\sp{1.5}\big)=\surl{\det(D)}\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient d'abord : $\,\Delta=\det(A+i\sp{1.5}B)\,.\det(A-i\sp{1.5}B)\sp{1.5}.\,$
On en déduit ensuite que ce déterminant est toujours un réel positif.
correction
$\sc M_n(\bb R)$ étant inclus dans $\sc M_n(\bb C)\sp{1.5},$ on va effectuer des
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
opérations
élémentaires sur la matrice $M$ dans $\sc M_n(\bb C)\sp{1.5}.$
On note $\,\sc L_1=[A,B\sp{1.5}]\,$ et $\,\sc L_2=[-B,A\sp{1.5}]\,$ les deux lignes de blocs de la matrice $M.$
Ces lignes $\,\sc L_1\,$ et $\,\sc L_2\,$ regroupent respectivement les
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$ est un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.
lignes
$\,L_1,\dots,L_n\,$ et $\,L_{n+1},\dots,L_{2\sp{1.5}n}\,$ de $M\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc L_1\ot \sc L_1 -i\,\sc L_2\,$ la suite des opérations élémentaires : $\,L_k\ot L_k-i\sp{1.5}L_{n+k}\,,\,$ pour $\,k\,$ de $\,1\,$ à $\,n\sp{1.5}.\,$ On définit de la même manière les colonnes de blocs $\,\sc C_1\,$ et $\,\sc C_2\,$ et l'opération combinée : $\,\sc C_2\ot \sc C_2 +i\,\sc C_1\sp{1.5}.\,$
On peut alors transformer le déterminant $\Delta$ de $M$ par ces suites
- Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
- On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
d'opérations
élémentaires :
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\Delta=\determ{}{{rr}A&B\\ -B&A}{\,}\ &\eg{\sc L_1\ot \sc L_1 \sp{1.5}-\sp{1.5}i\,\sc L_2}&\detc{A+i\sp{1.5}B&B-i\sp{1.5}A\\ -B&A}\\[1.5ex]
&\,\eg{\ \sc C_2\ot \sc C_2\sp{1.5}+\sp{1.5}i\,\sc C_1}&\detc{A+i\sp{1.5}B&0\\ -B&A-i\sp{1.5}B}}$
On obtient ainsi le
Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ triangulaire par blocs ou diagonale par blocs.
Alors, $\det(A)$ est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux :
déterminant
d'une matrice
$\displaystyle{}\det(A)=\det(A_{1,1})\times\cdots\times\det(A_{p,\sp{1.5}p})$
Une matrice triangulaire par blocs est composée de $p^2$ blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$
triangulaire
par blocs : $\,\Delta=\det(A+i\sp{1.5}B)\,.\det(A-i\sp{1.5}B)\sp{1.5}.\,$
$A$ et $B$ étant réelles, on note : $\,\surl{D\sp{1.5}}=A-i\sp{1.5}B\,$ la matrice complexe conjuguée de : $\,D=A+i\sp{1.5}B\sp{1.5}.\,$
$\,\sc B\,$ désignant la base
- tous carrés, lorsqu'ils sont diagonaux : pour $\,i=j\sp{1.5},\,$
- et tous nuls, soit lorsque $\,i < j\sp{1.5},\,$ soit lorsque $\,i > j\sp{1.5}.\,$
L'espace vectoriel $\,\bb K^n\,$ est de dimension $\,n\,$ et de base canonique $\,\sc{B}_c=(\delta_1,\dots,\delta_n)\sp{1.5},\,$ avec :
canonique
de $\,\bb C^n,\,$ on considère,
pour $\,D=[C_1,\dots,C_n]\,$ décomposée en colonnes, l'application $\phi$ de $\,(\bb C^n)^n\,$ vers $\,\bb C:\,$
$\displaystyle{}\delta_j=[\delta_{i,j}]_{1\leq i\leq n}\,,\txt{pour}\! \syst{&\delta_{j,j}=1\\[-.5ex] &\delta_{i,j}=0\txt{si}\,i\neq j}$
$\displaystyle{}\phi:(C_1,\dots,C_n)\mapsto\smh{.75}{\surl{\det\nolimits_{\sc B}(\surl{C_1},\dots,\surl{C_n})}}$
Les propriétés du déterminant et de la conjugaison montrent que $\phi$ est $\bb C\tiret$multilinéaire, alternée et telle que $\phi(\sc B)=1\sp{1.5}.$
Ces propriétés caractérisant le
Soit $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de dimension finie et de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$
Le déterminant dans la base $\sc B$ est l'unique application $\,\det_{\sc B}:E^n\to\bb K\,$ étant :
déterminant
dans la base $\sc B\sp{1.5},$ il s'ensuit que $\phi=\det_{\sc B}\sp{1.5},$ d'où par conjugaison :
- multilinéaire, c'est-à-dire que les $\,u_j\mapsto\det_{\sc B}(u_1,\dots,u_n)\,$ sont linéaires,
- alternée, c'est-à-dire que si $\,u_i=u_j\,$ avec $i\neq j,$ alors $\,\det_{\sc B}(u_1,\dots,u_n)=0\sp{1.5},\,$
- et telle que : $\det_{\sc B}(e_1,\dots,e_n)=1\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\ptt D\app\sc M_n(\bb C),\ \smh0{\det\!\big(\sp{1.5}\surl{D\sp{1.5}}\sp{1.5}\big)=\surl{\det(D)}}$
Cette formule résulte plus simplement des propriétés de la
On obtient finalement, pour la matrice complexe $\,D=A+i\sp{1.5}B:\,$
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$
On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
conjugaison
si on connaît
- $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
- $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$
Pour $n\app\bb N^{\ast}$ et $A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},$ le déterminant de la matrice carrée $A$ est le nombre défini par :
l'expression
suivante du déterminant de $D:$
$\displaystyle{}\det(A)=\smb{2.5}{\sum_{\sigma\app\cal{S}_n}}\eps(\sigma)\,a_{\sigma(1),\sp{1.5}1}\dots a_{\sigma(n),\sp{1.5}n}$
où $\cal{S}_n$ désigne l'ensemble des permutations de $\,[\![1,n]\!]\,$ et $\,\eps(\sigma)\,$ la signature de $\sigma\app\cal{S}_n\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\det(D)=\smb{1}{\sum_{\sigma\app\cal{S}_n}}\eps(\sigma)\,d_{\sigma(1),\sp{1.5}1}\dots d_{\sigma(n),\sp{1.5}n}$
$\displaystyle{}\Delta=\det(D)\,.\det\!\big(\sp{1.5}\surl{D\sp{1.5}}\sp{1.5}\big)=\det(D)\,.\surl{\det(D)}=\big|\det(D)\big|^2\geq0$
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Exercice d
\\(\OPEL\\)Soient $n\app\bb N^{\ast},$ $\,A,B,C,D\app\sc M_n(\bb K)\,$ telles que $A\sp{1.5}C=C\sp{1.5}A,$ et $\Delta$ le déterminant de $\,M=\matr{A&B\\ C&D}\app\sc M_{2\sp{1.5}n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
Montrer que si $A$ est inversible, alors : $\,\Delta=\det(A\sp{1.5}D-C\sp{1.5}B)\sp{1.5}.\,$
Ce résultat subsiste-t-il, si c'est la matrice $C$ qui est inversible au lieu de la matrice $A\,?$
matrice triangulaire par blocs
Une matrice triangulaire par blocs est composée de $p^2$ blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$
- tous carrés, lorsqu'ils sont diagonaux : pour $\,i=j\sp{1.5},\,$
- et tous nuls, soit lorsque $\,i < j\sp{1.5},\,$ soit lorsque $\,i > j\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ triangulaire par blocs ou diagonale par blocs.
Alors, $\det(A)$ est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux :
$\displaystyle{}\det(A)=\det(A_{1,1})\times\cdots\times\det(A_{p,\sp{1.5}p})$
déterminant d'un produit de matrices
Soient, pour $n\app\bb N^{\ast},$ deux matrices carrées $A$ et $B$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
$\displaystyle{}\det(AB)=\det(A)\sp{-1.5}\det(B) \ \txt{et} \det(\lambda A)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(A)$
indication
1
Commencer par multiplier $M$ à gauche par une matrice triangulaire par blocs adéquate.
indication
2
Lorsque c'est $C$ qui est inversible, appliquer le résultat précédent à une matrice déduite de $M$ par permutations de lignes.
réponse
On obtient bien : $\,\Delta=\det(A\sp{1.5}D-C\sp{1.5}B)\,$ lorsque $\,A\sp{1.5}C=C\sp{1.5}A\,$ et que $A$ est inversible.
Ce résultat subsiste si c'est $C$ au lieu de $A$ qui est inversible.
correction
$A$ étant inversible, on considère la matrice
Une matrice triangulaire par blocs est composée de $p^2$ blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$
triangulaire
par blocs : $\,T=\Big(\tabl{{cc}\ A^{-1}\!\!\!\!&0\\[-.5ex] -C&A\,}\Big)\app\sc M_{2\sp{1.5}n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
Cette matrice a pour
- tous carrés, lorsqu'ils sont diagonaux : pour $\,i=j\sp{1.5},\,$
- et tous nuls, soit lorsque $\,i < j\sp{1.5},\,$ soit lorsque $\,i > j\sp{1.5}.\,$
Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ triangulaire par blocs ou diagonale par blocs.
Alors, $\det(A)$ est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux :
déterminant
le déterminant d'un
$\displaystyle{}\det(A)=\det(A_{1,1})\times\cdots\times\det(A_{p,\sp{1.5}p})$
Soient, pour $n\app\bb N^{\ast},$ deux matrices carrées $A$ et $B$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
produit,
soit :
$\displaystyle{}\det(AB)=\det(A)\sp{-1.5}\det(B) \ \txt{et} \det(\lambda A)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(A)$
$\displaystyle{}\detc{\ A^{-1}\!\!&0\\ -C&A}\!=\!\det(A^{-1})\sp{1.5}.\det(A)=\det(A^{-1}\!A)=\det(I_n)=1$
On multiplie à gauche et
Soient $A$ et $B$ deux matrices décomposées en blocs $\,A_{i,k}\,$ et $\,B_{k,j}\sp{1.5}.\,$
Si les formats de ces blocs sont compatibles avec les produits $\,A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}\sp{1.5},\,$ alors :
par blocs,
la matrice $M$ par cette matrice $T$ et on obtient $(A\sp{1.5}D-B\sp{1.5}C)$ sur la diagonale du produit :
- le produit $\,C=A\sp{1.5}B\,$ se décompose en blocs $C_{i,j}\,,$
- et chaque $C_{i,j}$ est la somme des produits $A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}$ correspondants.
$\eqalign{\matc{\ A^{-1}\!\!&0\\ -C&A}\matr{A&B\\ C&D}&=\matc{\ \ \,I_n&A^{-1}B\\ -C\sp{1.5}A+AC&\!\!-C\sp{1.5}B+A\sp{1.5}D}\\&=\matc{I_n&\!\!\!A^{-1}B\\ 0&\!\!\!A\sp{1.5}D-C\sp{1.5}B}\sp{-1.5},\txt{car}\!A\sp{1.5}C\sp{-1.5}=\sp{-1.5}C\sp{1.5}A}$
Le déterminant d'un
Soient, pour $n\app\bb N^{\ast},$ deux matrices carrées $A$ et $B$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
produit
étant le produit des déterminants, on a alors :
$\displaystyle{}\det(AB)=\det(A)\sp{-1.5}\det(B) \ \txt{et} \det(\lambda A)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(A)$
$\displaystyle{}\Delta=\detr{A&B\\ C&D}=\detc{\ A^{-1}\!\!&0\\ -C&A}\,.\detr{A&B\\ C&D}=\detc{I_n&\!\!A^{-1}B\\ 0&\!\!A\sp{1.5}D-C\sp{1.5}B}$
Ce dernier déterminant étant à son tour
Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ triangulaire par blocs ou diagonale par blocs.
Alors, $\det(A)$ est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux :
triangulaire
par blocs, on obtient finalement :
$\displaystyle{}\det(A)=\det(A_{1,1})\times\cdots\times\det(A_{p,\sp{1.5}p})$
$\eqalign{\Delta=\smb1{\detc{I_n&\!\!A^{-1}B\\ 0&\!\!A\sp{1.5}D-C\sp{1.5}B}}&\,=\,\det(I_n)\sp{1.5}.\det(A\sp{1.5}D-C\sp{1.5}B)\\&\,=\,\det(A\sp{1.5}D-C\sp{1.5}B)}$
On note $\,\sc L_1=[A,B\sp{1.5}]\,$ et $\,\sc L_2=[C,D\sp{1.5}]\,$ les deux lignes de blocs de la matrice $M.$
Ces lignes $\,\sc L_1\,$ et $\,\sc L_2\,$ regroupent respectivement les lignes $\,L_1,\dots,L_n\,$ et $\,L_{n+1},\dots,L_{2\sp{1.5}n}\,$ de $M\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc L_1\tot \sc L_2\,$ la suite des opérations élémentaires $\,L_i\tot L_{n+i}\,,\,$ pour $\,k\,$ de $\,1\,$ à $\,n\sp{1.5}.\,$
En supposant $C$ inversible et $A\sp{1.5}C=C\sp{1.5}A,$ on a donc, par
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
opérations
élémentaires et selon le résultat déjà établi :
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\detr{A&B\\ C&D}\ &\eg{\sc L_1\tot\sc L_2}(-1)^n\detr{C&D\\ A&B}\\&\sp{20}=(-1)^n\det(C\sp{1.5}B-A\sp{1.5}D)=\det(A\sp{1.5}D-C\sp{1.5}B)}$