Maths - prépa et université : franchir la première marche

	Retour au choix d'une partie Table des matières
Partie B	Retour au choix d'un chapitre Algèbre linéaire
Chapitre 4	Retour au choix d'un sujet Déterminants

Sujet B.4.2 Développement selon une rangée

Choisir un exercice, puis le résoudre :

Signaler une erreur Signaler une erreur Exercice a

\$\MAT\$Pour $\,n\geq2\sp{1.5},\,$ calculer en fonction de $\,n\,$ le déterminant $\Delta_n$ de la matrice $A_n$ de $\sc M_n(\bb R)$ définie par :

$\displaystyle{}\Syst{&\ptt i\app\,[\![1,\sp{1.5}n]\!], \ \ \ a_{i,\sp{1.5}i}\ &=\ \ i\\[-.5ex] &\ptt i\app\,[\![2,\sp{1.5}n]\!], \ \,a_{i,\sp{1.5}i-1}&=n-i+1}$

tous les autres termes étant nuls, à l'exception de : $\,a_{1,\sp{1.5}n}=1\sp{1.5}.\,$

cours 0/2 ▼

indication ▼

réponse ▼

correction ▼

développement d'un déterminant

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

déterminant d'une matrice triangulaire

Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :

$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$

indication

Développer ce déterminant en vue d'éliminer le terme $\,a_{1,n}\sp{1.5}.\,$

réponse

Pour tout $\,n\geq 2\sp{1.5},\,$ on obtient : $\,\Delta_n=(n-1)\sp{.75}!\,\big(n+(-1)^{n+1}\big).\,$

correction

Le déterminant de la

Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$ est un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.

Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.

Si $\,n=p\sp{1.5},\,$ ces matrices sont carrées, et leur ensemble se note : $\,\sc M_{n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

matrice $A_n$ peut s'écrire :

$\displaystyle{}\Delta_n=\detc{ 1&0&\hh&\hh&0&1\\ \!n\!-\!1\!&2&\dd&&0&0\\ 0&\dd&\dd&\dd&&\vv\\ \vv&\dd&\dd&\dd&\dd&\vv\\ \vv&&\dd&2&\dd&0\\ 0&\hh&\hh&0&1&n}$

Ce déterminant serait triangulaire sans le terme $\,a_{1,n}\sp{1.5},\,$ d'où l'idée de le

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développer selon sa première ligne ou sa dernière colonne.

En développant $\Delta_n$ selon sa première ligne par exemple, on obtient en laissant des espaces vides à la place des zéros :

$\eqalign{\Delta_n=&\determ{\ \ }{{ccccc} 1&&&&1\\ \!\!n\!-\!1\!\!&2&\\ &\!\!n\!-\!2\!\!&\dd\\ &&\dd&\!\!\!n\!-\!1\!\!\!\\&&&1&\!\!n}{\ \ }\\[1ex] =&\determ{\ \ }{{cccc}2&\\ \!\!n\!-\!2\!\!&\dd\\ &\dd&\!\!n\!-\!1\!\!\\&&1&n}{} +(-1)^{n+1}\determ{\ \ }{{cccc}\!\!\!n\!-\!1\!\!&2\\ &\!\!n\!-\!2\!\!&\dd\\ &&\dd&\!\!\!n\!-\!1\!\!\!\\&&&1}{\ \ }}$

Les deux derniers déterminants étant de forme

Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :

$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$

triangulaire, on obtient des

Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :

$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$

factorielles, d'où :

$\displaystyle{}\Delta_n=n!+(-1)^{n+1}(n-1)!=(n-1)!\,\big(n+(-1)^{n+1}\big)$

Signaler une erreur Signaler une erreur Exercice b

\$\MAT\$Pour $\,n\geq2\,$ et $\,a\app \bb{C}\sp{1.5},\,$ calculer en fonction de $\,n\,$ et $\,a\,$ le déterminant $\Delta_n$ de la matrice $A_n$ de $\sc{M}_n(\bb{C})$ définie par :

$\displaystyle{}\Syst{&\ptt i\app\,[\![\sp{.75}1,\sp{1.5}n\!-\!1]\!],\ a_{i,\sp{1.5}i}\ =\ \ a\\[-.5ex] &\ptt i\app\,[\![\sp{.75}2,\sp{1.5}n\sp{.75}]\!], \ a_{i,\sp{1.5}i-1}=-1\\[-.5ex] &\ptt i\app\,[\![\sp{.75}1,\sp{1.5}n\sp{.75}]\!], \ a_{i,\sp{1.5}n}=1}$

et dont tous les autres termes $a_{i,\sp{1.5}j}$ sont nuls.

cours 0/2 ▼

indication ▼

réponse ▼

correction ▼

développement d'un déterminant

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

déterminant d'une matrice triangulaire

Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :

$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$

indication

Établir une relation de récurrence entre les $\,\Delta_n=\det(A_n)\sp{1.5}.\,$

réponse

Pour tout $\,n\geq 2\sp{1.5},\,$ on obtient comme déterminant :

$\displaystyle{}\Delta_n=\Syst{&\smh1{\dfrac{a^n-1}{a-1}}&\txt{si} a\neq 1\\[-.5ex] &\sp{25} n&\txt{si} a= 1}$

correction

Le déterminant de la

Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.

Si $\,n=p\sp{1.5},\,$ ces matrices sont carrées, et leur ensemble se note : $\,\sc M_{n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

matrice $A_n$ peut s'écrire :

$\displaystyle{}\Delta_n=\detr{ a&0&\hh&0&1\,\\ \!-1&\dd&\dd&\vv&\vv\\ 0&\dd&\dd&0&\vv\\ \vv&\dd&\dd&a&\vv\\0&\hh&0&\llap{-}1&1\,}$

En vue d'obtenir une relation de récurrence entre les $\Delta_n\sp{1.5},$ on

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développe $\Delta_n$ selon sa dernière ligne, lorsque $\,n\geq3\sp{1.5}.\,$

On obtient ainsi, en laissant des espaces vides à la place des zéros :

$\eqalign{&\ \Delta_n=\detr{a&&&&1\,\\ -1&\dd&&&\vv\\ &\dd&\dd&&\vv\\ &&\dd&a&\vv\\ &&&\llap{-}1&1\,}\\[2ex] =&-(-1)\sp{1.5}\detr{ a&&&1\sp{1.5}\\ -1&\dd&&\vv\\ &\dd&a&\vv\\ &&\llap{-}1&1\sp{1.5}}{}\ +\ \detr{ a&&&\\ -1&\dd&&\\ &\dd&\dd&\\ &&\llap{-}1&a}{}}$

On reconnaît $\Delta_{n-1}$ dans le premier déterminant extrait tandis que le second est de forme

Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :

$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$

triangulaire, d'où la relation de récurrence :

$\displaystyle{}\ptt n\geq3,\ \sp{1.5}\Delta_n=\Delta_{n-1}+a^{n-1}$

L'expression de $\Delta_n$ pour $\,n\geq2\,$ s'ensuit par

Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :

$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$

On a alors : $\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$

téléscopage :

$\eqalign{\Delta_n&=\Delta_{2}+\sum_{k=3}^{n}\big(\Delta_k-\Delta_{k-1}\big)\\[-3ex]&=1+a + \sum_{k=3}^{n}a^{k-1}=\sum_{i=0}^{n-1}a^{i}}$

Pour $\,a\neq 1\sp{1.5},\,$ il s'agit d'une

Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :

$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

somme géométrique, si bien que finalement :

$\displaystyle{}\Delta_n=\Syst{&\smh1{\dfrac{a^n-1}{a-1}}&\txt{si} a\neq 1\\[-.5ex] &\sp{25} n&\txt{si} a= 1}$

Signaler une erreur Signaler une erreur Exercice c

\$\MAT\$Pour $\,n\geq2\,$ et $\,a\app \bb{C}\sp{1.5},\,$ calculer en fonction de $\,n\,$ et $\,a\,$ le déterminant $\Delta_n$ de la matrice $A_n$ de $\sc{M}_n(\bb{C})$ définie par :

$\displaystyle{}\Syst{&\ptt i\app\,[\![\sp{.75}1,\sp{1.5}n\!-\!1]\!], \ a_{i,\sp{1.5}i+1}=1/i\\[-.5ex] &\ptt i\app\,[\![\sp{.75}1,\sp{1.5}n\sp{.75}]\!],\ a_{i,\sp{1.5}i}\ =\ \ 2\\[-.5ex] &\ptt i\app\,[\![\sp{.75}2,\sp{1.5}n\sp{.75}]\!], \ a_{i,\sp{1.5}i-1}=i-1}$

et dont tous les autres termes $\,a_{i,\sp{1.5}j}\,$ sont nuls.

cours 0/2 ▼

indication ▼

réponse ▼

correction ▼

développement d'un déterminant

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

déterminant d'une matrice triangulaire

Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :

$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$

indication

Établir une relation de récurrence entre les $\,\Delta_n=\det(A_n)\sp{1.5}.\,$

réponse

Pour tout $\,n\geq 2\sp{1.5},\,$ on obtient : $\,\Delta_n=n+1\sp{1.5}.\,$

correction

Le déterminant de la

Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.

Si $\,n=p\sp{1.5},\,$ ces matrices sont carrées, et leur ensemble se note : $\,\sc M_{n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

matrice $A_n$ peut s'écrire :

$\displaystyle{}\Delta_n=\detc{ 2&1&0&\hh&0\\ 1&\dd&\dd&\dd&\vv\\ 0&\dd&\dd&\dd&0\\ \vv&\dd&\dd&\dd&\!\!\smash{\frac1{n-1}}\!\!\\ 0&\hh&0&\!\!\!\scriptstyle{n-1}\!\!\!&2}$

On calcule les deux premiers termes de cette suite, directement pour $\,\Delta_2\sp{1.5},\,$ et en

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développant $\,\Delta_3\,$ selon sa dernière ligne :

$\eqalign{\Delta_2&=\detc{2&1\\1&2}=4-1=3\\[1ex] \Delta_3&=\detc{2&1&0\,\\1&2&\!\!1\sp{-1.5}/2\!\\0&2&2}=-2\detc{2\!&\!0\\1\!&\!\!1\sp{-1.5}/2\!}+2\detc{2\!&1\\1\!&2}=-2+6=4}$

En vue d'obtenir une relation de récurrence entre les $\,\Delta_n\sp{1.5},\,$ on

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développe ensuite $\Delta_n$ selon sa dernière ligne lorsque $\,n\geq4\sp{1.5}.\,$

On a ainsi, avec des espaces vides à la place des zéros, et en développant selon sa dernière colonne le premier déterminant extrait :

$\eqalign{&\sp{40}\Delta_n=&\determ{\ \ }{{rrrrc} 2&1&\ph{\dd}\\ 1&\dd&\dd\\ &\dd&\dd&\dd\\ &&\dd&\dd&\dd\\&&&\dd&2&\!\!\smash{\frac1{n-1}}\!\!\\ &&&&\!\!\!\!\scriptstyle{n-1}\!\!\!\!&2 }{\ \ }\\[1.5ex] &=-(n-1)&\determ{\ \ }{{ccccc} 2&1&\ph{\dd}\\ 1&\dd&\dd\\ &\dd&\dd&\!\!\smash{\frac1{n-3}}\!\!\\ &&\!\!\!\!\scriptstyle{n-3}\!\!\!\!&2&\\ &&&\!\!\!\!\scriptstyle{n-2}\!\!\!\!&\!\!\!\smash{\frac1{n-1}}\!\! }{\ \ }\,+\,2\ \Delta_{n-1}\\[1.5ex]&=-\frac{n-1}{n-1}&\!\!\Delta_{n-2}\,+\,2\ \Delta_{n-1}}$

On a ainsi établi une relation de récurrence pour tout $\,n\geq 4:\,$

$\eqalign{&\Delta_n=2\sp{1.5}\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}\\ \Ssi&\Delta_n-\Delta_{n-1}=\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}}$

La suite $\,\big(\Delta_n-\Delta_{n-1}\big)_{n\geq3}\,$ est donc constante, avec pour valeur : $\,\Delta_3-\Delta_2=4-3=1\sp{1.5}.\,$

On en conclut que la suite $\,\big(\Delta_n\big)_{n\geq2}\,$ est une suite

Une suite $(u_n)_{n\app\bb N}$ est une suite arithmétique de raison $r\app\bb K$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=u_n+r$

Alors $\,u_0\,$ détermine toute la suite : $\,\ptt n\app\bb N,\ u_n=u_0+n\sp{1.5}r\,.\,$

arithmétique, de raison $\,1\,$ et de premier terme $\,\Delta_2=3\sp{1.5},\,$ d'où :

$\displaystyle{}\ptt n\geq2,\ \Delta_n=(n-2)\times1+3=n+1.$