Sujet B.4.1 Calcul par opérations élémentaires
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Exercice a
$ \OPEL $Pour $a,b,c\app \bb{C},$ calculer le déterminant suivant, en factorisant si possible le résultat :
$\displaystyle{}\Delta=\detr{1&1&1\\a&b&c\\c&b&a}$
calcul d'un déterminant par opérations élémentaires
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une matrice triangulaire
Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :
$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$
déterminant d'une matrice inversible
Les colonnes ou les lignes de $A\app\sc M_n(\bb K)$ sont liées ssi $\,\det(A)=0\sp{1.5},\,$ soit encore :
$\displaystyle{}A\app\op{GL}_n(\bb K)\Ssi\det(A)\neq0$
indication
Se ramener, par opérations élémentaires, à une forme triangulaire.
réponse
On obtient, sous forme factorisée : $\,\Delta=(a-c)(2\sp{1.5}b-a-c)\sp{1.5}.\,$
correction
Dans ce qui suit, on note $L_i$ les lignes et $C_j$ les colonnes des
Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$ est un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.
matrices
associées aux différents déterminants obtenus.
On procède par
- Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
- On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
opérations
élémentaires, pour ramener ce déterminant à une forme triangulaire :
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\Delta&\sp{30}=&\detr{1&1&1\\a&b&c\\c&b&a}\\[.5ex]
&\!\!\eg{L_2\ot L_2\sp{1.5}-\sp{1.5}a\sp{1.5}L_1\stb{1}\\[-.5ex]L_3\ot L_3\sp{1.5}-\sp{1.5}c\sp{1.5}L_1}\ &\detc{\ \ 1\ \ &1&1\\0&b-a&c-a\\0&b-c&a-c}\\[1.5ex]
&\eg{L_3\ot L_3\sp{1.5}+\sp{1.5}L_2}\ &\detc{\ \ 1\ \ &1&\!\!1\\0&\!\!b-a&c-a\\0&2\sp{1.5}b-a-c&\!\!0}\\[1.5ex]
&\ \ \eg{C_2 \tot C_3}\ &\llap{-\,}\!\detc{\ \ 1\ \ &1&1\\0&c-a&b-a\\0&0&2\sp{1.5}b-a-c}}$
Le déterminant est alors le
Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :
produit
de ses termes diagonaux : $\,\Delta=(a-c)(2\sp{1.5}b-a-c).\,$
$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$
Pour préserver les factorisations possibles, on évite les méthodes de développement direct comme la règle de Sarrus.
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Exercice b
$ \OPEL $Pour $a,b,c\app \bb{C},$ calculer le déterminant suivant :
$\displaystyle{}\Delta=\detr{1&a&b&c\\1&b&c&a\\1&c&a&b\\1&b&a&c}$
calcul d'un déterminant par opérations élémentaires
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une matrice triangulaire
Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :
$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$
déterminant d'une matrice inversible
Les colonnes ou les lignes de $A\app\sc M_n(\bb K)$ sont liées ssi $\,\det(A)=0\sp{1.5},\,$ soit encore :
$\displaystyle{}A\app\op{GL}_n(\bb K)\Ssi\det(A)\neq0$
indication
Comparer les colonnes de la matrice correspondante.
réponse
On obtient un déterminant nul : $\,\Delta=0\sp{1.5}.\,$
correction
Dans ce qui suit, on note $L_i$ les lignes et $C_j$ les colonnes des
Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$ est un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.
matrices
associées aux différents déterminants obtenus.
Ce calcul peut s'effectuer selon deux méthodes bien différentes :
- Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
- On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.
- Par observation des colonnes $\,C_1,C_2,C_3,C_4\,$ de la matrice $A\sp{1.5},$ on remarque que :
$\displaystyle{}C_2+C_3+C_4=(a+b+c)\sp{1.5}C_1$Cela nous prouve que ces colonnes sontSoit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$ $\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$liées ; on en conclut directement que :$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.
- Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
Les colonnes ou les lignes de $A\app\sc M_n(\bb K)$ sont liées ssi $\,\det(A)=0\sp{1.5},\,$ soit encore :$\,\Delta=0\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}A\app\op{GL}_n(\bb K)\Ssi\det(A)\neq0$ - Par
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$opérations élémentaires sur les lignes $\,L_2,L_3,L_4\,$ de la matrice $A\sp{1.5},$ puis factorisation de $L_4$ par
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
Soit $\,n\app\bb N^{\ast};\,$ pour toute matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ on a la relation :multilinéarité, on obtient :$\displaystyle{}\det(A^T\sp{1.5})=\det(A)$Le déterminant de $A$ est donc aussi multilinéaire et alterné vis à vis des lignes de $A\sp{1.5}.$$\eqalign{\Delta&\eg{L_2\ot L_2\sp{1.5}-\sp{1.5}L_1\\[-.5ex]L_3\ot L_3\sp{1.5}-\sp{1.5}L_1\\[-.5ex]L_4\ot L_4\sp{1.5}-\sp{1.5}L_1}\ \detc{\ \ 1\ \ &a&b&c\\0&b-a&c-b&a-c\\0&c-a&a-b&b-c\\0&b-a&a-b&0} \\[1ex]&\sp{10}=(b-a)\detc{\ \ 1\ \ &a&b&c\\0&c-a&a-b&b-c\\0&b-a&c-b&a-c\\0&1&\!\!-1&0}}$On poursuit avec des opérations similaires, puis deux autres factorisations :$\eqalign{\Delta\,\eg{L_2\ot L_2\sp{1.5}-\sp{1.5}(c-a)L_4\\[-.5ex]L_3\ot L_3\sp{1.5}-\sp{1.5}(b-a)L_4\stb2}\sp{-5} (b-a)\detc{\,1&a\!&b&c\\0\!&0\!&\!c-b\!&b-c\\0\!&0\!&\!c-a\!&a-c\\0\!&\ \ 1\ &\!-1&0}&\\[1ex] =(b-a)(c-b)(c-a)\detr{\, 1&\ \ \, a&b&c\,\\ \,0&0&1&-1\sp{1.5}\\ \,0&0&1&-1\sp{1.5}\\ \,0&1&-1&0\sp{1.5}}&}$Avec $\,L_2=L_3\sp{1.5},\,$ on remarque que les lignes sontSoit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$ $\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$liées, ce qui permet de conclure enfin que :$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.- Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
Les colonnes ou les lignes de $A\app\sc M_n(\bb K)$ sont liées ssi $\,\det(A)=0\sp{1.5},\,$ soit encore :$\,\Delta=0\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}A\app\op{GL}_n(\bb K)\Ssi\det(A)\neq0$
Comme on peut le voir ici, il est très utile d'observer attentivement les particularités d'une matrice avant de se lancer dans un calcul.
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Exercice c
\\(\OPEL\MAT\\)Pour $n\app \bb{N}^{\ast},$ calculer le déterminant $\Delta_n$ de la matrice $A_n$ de $\sc{M}_n(\bb{R})$ définie par : $\,a_{i,j}=\max(i,j)\sp{1.5}.\,$
calcul d'un déterminant par opérations élémentaires
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une matrice triangulaire
Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :
$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$
déterminant d'une matrice inversible
Les colonnes ou les lignes de $A\app\sc M_n(\bb K)$ sont liées ssi $\,\det(A)=0\sp{1.5},\,$ soit encore :
$\displaystyle{}A\app\op{GL}_n(\bb K)\Ssi\det(A)\neq0$
indication
Soustraire des lignes (ou colonnes) consécutives.
réponse
On obtient comme déterminant de $\,A_n:\,$ $\,\Delta_n=n\sp{1.5}(-1)^{n-1}.\,$
correction
Le déterminant de la
Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$ est un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.
matrice
$A_n$ peut s'écrire : - Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
- On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.
$\displaystyle{}\Delta_n=\detc{1&2&3&\hh&\!\!n\!-\!1\!\!&n\\
2&2&3&\hh&\!\!n\!-\!1\!\!&n\sp{1.5}\\ 3&3&3&\hh&\!\!n\!-\!1\!\!&n\sp{1.5}\\ \vv&\vv&\vv&&&\vv\sp{1.5}\\
\!n\!-\!1\!&\!\!n\!-\!1\!\!&\!\!n\!-\!1\!\!&\hh&\!\!n\!-\!1\!\!&n\\
n&n&n&\hh&n&n}$
La matrice $A_n$ étant
$\,A=[a_{i,j}]\app\sc M_{n}(\bb{K})\,$ est symétrique ssi $\,A^T=A\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire :
symétrique,
on peut utiliser indifféremment ses lignes ou ses colonnes.
Dans ce qui suit, on utilise les lignes $L_i$ des matrices associées aux différents déterminants obtenus.
On remarque que lorsque $\,n\geq2\sp{1.5},\,$ les lignes $L_i$ et $L_{i+1}$ diffèrent de $\,1\,$ jusqu'au $i\tiret$ème terme et coïncident ensuite. On procède alors par
$\displaystyle{}\forall\, i,j\app\, [\![1,n]\!],\ a_{i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}$
Ces matrices forment un sous-espace vectoriel $\sc S_n(\bb{K})$ de $\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5}.$
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
opérations
élémentaires, l'opération $\,L_i\ot L_i-L_{i+1}\,$ ayant l'effet suivant :
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{} \left[\tabl{{c}\,i\!&\hh&\!i&\!i+1\!\!&\hh&\!n\,}\right]\Ot\left[\tabl{{c}\,-1\!&\hh&\!\!-1&\!0\!&\hh&\!0\,}\right]$
On va alors répéter cette opération pour $i$ croissant de $\,1\,$ à $\,n-1\sp{1.5}.\,$
Chaque opération utilise ainsi une ligne non encore modifiée, la dernière ligne devant rester inchangée :
$\eqalign{&\Delta_n
& \ \ \ \eg{L_1\ot L_1-L_2\stb{1}}&\detr{-1&0&0&\hh&0\sp{1.5}\\ 2&2&3&\hh&n\sp{1.5}\\ 3&3&3&\hh&n\sp{1.5}\\
\vv\!&\vv\!&\vv\!&&\vv\\ n&n&n&\hh&n\sp{1.5}}
\\[1ex]&&\ \ \ \eg{L_2\ot L_2-L_3\stb{1}}&\detr{-1&0&0&\hh&0\sp{1.5}\\ -1&\llap{-}1&0&\hh&0\sp{1.5}\\ 3&3&3&\hh&n\sp{1.5}\\
\vv\!&\vv\!&\vv\!&&\vv\\ n&n&n&\hh&n\sp{1.5}}\\[.5ex] &&\sp{47}=& ......................
\\[1.5ex]&&\ \eg{L_{n-1}\ot L_{n-1}-L_{n}\stb{1}}&\detr{-1\,&0&0&\hh&0\sp{1.5}\\ -1\,&\llap{-}1\,&0&\hh&0\sp{1.5}\\ \vv&&\dd&\dd&\vv\sp{1.5}\\ -1\,&\hh&\hh&\llap{-}1&0\sp{1.5}\\ n&\hh&\hh&\hh&n\sp{1.5}}}$
On obtient finalement comme déterminant le
Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :
produit
des termes diagonaux, formule encore valable si $\,n=1:\,$ $\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$
$\displaystyle{}\Delta_n=n\sp{1.5}(-1)^{n-1}$
On peut aussi, pour $\,n\geq2\sp{1.5},\,$ effectuer l'opération : $\,L_n\ot L_n-n/(n-1)\sp{1.5}L_{n-1}\sp{1.5},\,$ puis
Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :
développer
$\Delta_n$ selon $L_n\sp{1.5}.$
On en déduit que : $\,\ptt n\geq 2,\ \Delta_n=-n/(n-1)\sp{1.5}\Delta_{n-1}\sp{1.5},\,$ ce qui donne lieu à un produit
- suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
- ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :
télescopique :
$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$
On a alors :
$\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.
$\displaystyle{}\Delta_n=\Delta_1\prod_{k=2}^n\frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}=\Delta_1\prod_{k=2}^n\Big(\!-\frac k{k-1}\Big)=n\sp{1.5}(-1)^{n-1}$