Sujet A.4.6 Bornes supérieures et inférieures
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Exercice
\\(\def\s{\op{sup}} \def\i{\op{inf}}\\)
Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $\bb R$ telles que :
$\,\ptt (x,y)\app A\!\times\!B\sp{1.5},\ x < y\sp{1.5}.\,$
Montrer l'existence dans $\bb R$ des bornes $\,\s(A)\,$ et $\,\i(B)\sp{1.5},\,$ puis les comparer.
borne supérieure
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus petit majorant :
$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$
C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$
borne inférieure
Toute partie non vide $A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus grand minorant :
$\displaystyle{}\inf A=\max\ens{m\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ m\leq x}$
C'est la borne inférieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est minoré dans $\bb R\,.$
indication
1
Commencer par montrer que $A$ est majoré dans $\bb R\sp{1.5},$ puis que $B$ est minoré dans $\bb R\sp{1.5}.$
indication
2
Vérifier que $\,\s(A)\,$ est un minorant de $B\sp{1.5}.$
réponse
Les bornes $\,\s(A)\,$ et $\,\i(B)\,$ existent bien dans $\bb R$ et sont telles que : $\,\s(A)\leq\i(B)\sp{1.5}.\,$
En revanche, on ne peut pas affirmer que : $\,\s(A) < \i(B)\sp{1.5}.\,$
correction
$B$ étant non vide, il contient un élément $\,b\,$ tel que : $\,\ptt x\app A\sp{1.5},\ x < b\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit que l'ensemble $A$ est non vide et majoré par $\,b\sp{1.5},\,$ d'où l'existence d'une borne
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus petit majorant :
supérieure
finie : $\,\s(A)\app\bb R\sp{1.5}.\,$
De même, $B$ est minoré par un $\,a\app A\sp{1.5},\,$ d'où l'existence d'une borne
$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$
C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$
Toute partie non vide $A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus grand minorant :
inférieure
finie : $\,\i(B)\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Par hypothèse, tout élément de $B$ est un
$\displaystyle{}\inf A=\max\ens{m\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ m\leq x}$
C'est la borne inférieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est minoré dans $\bb R\,.$
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
majorant
de $A$ et $\,\s(A)\,$ est le plus petit des majorants de $A\sp{1.5}.$
On a alors : $\,\ptt y\app B,\ \s(A) \leq y\sp{1.5},\,$
ce qui signifie que $\,\s(A)\,$ est un
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
minorant
de $B\sp{1.5}.$
Il s'ensuit que $\,\s(A)\,$ est inférieur ou égal au plus grand de ces minorants, à savoir $\,\i(B):\,$
$\,\s(A)\leq\i(B)\sp{1.5}.\,$
Les bornes supérieure et inférieure n'appartiennent pas nécessairement aux ensembles considérés. On ne peut donc pas affirmer que $\,\s(A) < \i(B)\,,\,$ comme le montre le contre-exemple suivant :
$\displaystyle{}A=\ \!]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\txt{et}B=\ \!]\sp{1.5}b,c\sp{1.5}[\sp{1.5},\txt{pour}a < b < c$
Il s'ensuit que l'hypothèse initiale aurait pu être élargie en :
$\,\ptt (x,y)\app A\!\times\!B\sp{1.5},\ x \leq y\,.\,$
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Exercice
\\(\def\s{\op{sup}} \def\i{\op{inf}}\\)
Étant donné un réel $a$ strictement positif, on considère l'ensemble :
$\,A=\ens{n\sp{1.5}a}{n\app\bb N}\!\cdot\,$
Montrer que l'hypothèse que l'ensemble $A$ soit majoré dans $\bb R$ conduit à une contradiction.
En déduire la propriété d'Archimède :
$\,\ptt a > 0,\ \ptt b\app\bb R\sp{1.5},\ \iex n\app \bb N\sp{1.5},\ n\sp{1.5}a > b\sp{1.5}.\,$
borne supérieure
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus petit majorant :
$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$
C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$
borne inférieure
Toute partie non vide $A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus grand minorant :
$\displaystyle{}\inf A=\max\ens{m\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ m\leq x}$
C'est la borne inférieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est minoré dans $\bb R\,.$
indication
1
Montrer d'abord que si $A$ était majoré dans $\bb R\sp{1.5},$ il admettrait une borne supérieure finie : $\,M=\s(A)\app\bb R\sp{1.5}.\,$
indication
2
Établir que dans ces conditions, $\,M-a\,$ serait aussi un majorant de $A\sp{1.5}.$
réponse
L'ensemble $A$ n'est pas majoré dans $\bb R\sp{1.5},$ d'où la propriété d'Archimède :
$\displaystyle{}\ptt a > 0,\ \ptt b\app\bb R\sp{1.5},\ \iex n\app \bb N\sp{1.5},\ n\sp{1.5}a > b$
correction
- Supposons que $A$ soit majoré dans $\bb R\sp{1.5};$ $A$ est non vide, car $\,a\app A\sp{1.5},\,$ et il admet alors une borne
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus petit majorant :supérieure finie : $\,M=\s(A)\sp{1.5}.\,$ Dès lors, $M$ étant un$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$ Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$ Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$majorant de $A\sp{1.5},$ on aurait : $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ n\sp{1.5}a\leq M\sp{1.5},\,$ mais aussi, avec $\,n=p+1\app\bb N^{\ast}:\,$$\eqalign{&\ptt p\app\bb N\sp{1.5},\ (p+1)\sp{1.5}a\leq M\\ \text{soit :}\ &\ptt p\app\bb N\sp{1.5},\ \sp{10}p\sp{1.5}a\leq M-a}$$\,M-a\,$ serait donc aussi un majorant de $A\sp{1.5},$ strictement inférieur à $M\sp{1.5}.$ $M$ étant le plus petit des majorants de $A\sp{1.5},$ c'est contradictoire.
- L'ensemble $A$ n'est donc pas majoré dans $\bb R:$ aucun réel $\,b\,$ ne majore $A\sp{1.5}.$ Pour tout $\,b\app\bb R\sp{1.5}\,$ il existe donc un $\,x\app A\,$ tel que : $\,x > a\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire un $\,n\app\bb N\,$ tel que : $\,x=n\sp{1.5}a > b\sp{1.5}.\,$
Il serait tentant d'utiliser la partie
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
entière
pour montrer l'existence de $n$ en posant directement : $\,n=\lfloor b/a\rfloor +1\sp{1.5}.\,$
Ce serait pourtant un cercle vicieux, car cette propriété d'Archimède sert justement à prouver l'existence de $\lfloor x\rfloor$ pour tout $\,x\app\bb R\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
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Exercice
\\(\def\s{\op{sup}} \def\i{\op{inf}}\\)
Pour toute partie $A$ de $\bb R,$ bornée et non vide, on considère l'ensemble :
$\,D=\ens{|x-y|}{(x,y)\app A\!\times\! A}\!\cdot\,$
Montrer l'existence dans $\bb R$ de la borne supérieure de $D\sp{1.5},$ et l'exprimer en fonction de $\,\s(A)\,$ et $\,\i(A)\sp{1.5}.\,$
borne supérieure
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus petit majorant :
$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$
C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$
borne inférieure
Toute partie non vide $A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus grand minorant :
$\displaystyle{}\inf A=\max\ens{m\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ m\leq x}$
C'est la borne inférieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est minoré dans $\bb R\,.$
indication
1
Commencer par montrer que l'ensemble $\,D\,$ est majoré par : $\,\s(A)-\i(A)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Montrer par l'absurde que : $\,\s(D)=\s(A)-\i(A)\sp{1.5},\,$ en posant :
$\displaystyle{}\eps=\s(A)-\i(A)-\s(D) > 0$
réponse
La borne $\,\s(D)\,$ existe bien, et elle a pour valeur :
$\displaystyle{}\s\big(\ens{|x-y|}{(x,y)\app A\!\times\!A}\big)=\s(A)-\i(A)$
correction
$A$ étant non vide et borné, il admet dans $\bb R$ une borne
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus petit majorant :
supérieure
$\,M=\s(A)\,$ et une borne
$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$
C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$
Toute partie non vide $A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus grand minorant :
inférieure
$\,m=\i(A)\sp{1.5}.\,$
On en déduit un
$\displaystyle{}\inf A=\max\ens{m\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ m\leq x}$
C'est la borne inférieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est minoré dans $\bb R\,.$
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
majorant
de l'ensemble $\,D\,$ car on a, pour tout $\,(x,y)\app A\!\times\!A:\,$
$\displaystyle{} \tabl{{c}\ m \leq\ \sp{1.5}x\ \leq M\\-M\leq -y\leq-m}\ \bigg\}\Imp m-M\leq x-y\leq M-m$
On peut donc en conclure la majoration suivante :
$\,\ptt (x,y)\app A\!\times\!A\sp{1.5},\ |x-y|\leq M-m\sp{1.5}.\,$
L'ensemble $D,$ non vide et majoré par $\,M-m\sp{1.5},\,$ admet alors une borne supérieure finie : $\,\delta=\s(D)\leq M-m\sp{1.5}.\,$
En supposant que $\s(D)$ soit distinct de $\,M-m\sp{1.5},\,$ on pose alors : $\,\eps=M-m-\s(D) > 0\sp{1.5}.\,$
- Par définition de $\,\s(A)\sp{1.5},\,$ $\,M-\smb1{\dfrac\eps2}\,$ ne
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$ Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$ Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$majore pas $A\sp{1.5};$ il existe donc un $\,x_0\app A\,$ tel que : $\,M-\smb1{\dfrac\eps2} > x_0\,;\,$
- de même, $\,m+\dfrac\eps2\,$ ne
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$ Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est un minorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$ Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$ $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$minore pas $A\sp{1.5},$ si bien qu'il existe un $\,y_0\app A\,$ tel que : $\,y_0 < m+\dfrac\eps2\!\cdot\,$
$\eqalign{&|x_0-y_0|\,\geq \,x_0-y_0 > \Big(M -\frac\eps2\Big)-\Big(m+\frac\eps2\Big)\\\txt{d'où :}&|x_0-y_0|\,>\,M-m-\eps\,=\,\s(D)}$
C'est contradictoire car $\,\delta=\s(D)\,$ est un majorant de $\,D=\ens{|x-y|}{(x,y)\app A\!\times\!A}
\sp{1.5};\,$ on a donc finalement :
$\displaystyle{}\s(D)=M-m=\s(A)-\i(A)$