Sujet A.4.5 Racine carrée
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Exercice
Étant donnés trois réels $\,a\sp{1.5},b\sp{1.5},c\,$ strictement positifs, on considère les nombres suivants :
$\displaystyle{}A=\frac1{\sqrt b+\sqrt c}\sp{1.5}, \,\ B=\frac1{\sqrt c+\sqrt a}\sp{1.5}, \ \,C=\frac1{\sqrt a+\sqrt b}$
Calculer une expression simplifiée de la différence entre $B$ et $A\sp{1.5}.$
En déduire que si les nombres $\,a\sp{1.5},b\sp{1.5},c\,$ forment une suite arithmétique, il en va de même de $\,A,B,C\sp{1.5}.\,$
racine carrée d'un réel positif
La racine carrée de $y\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0$ est l'unique $x=\!\sqrt{y\,}\geq0$ tel que $\,x^2\!=y\sp{1.5}.\,$
$\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] x\ &\mapsto x^2}$ et $\,\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] y\ &\mapsto\sqrt{y}}\,$ sont réciproques l'une de l'autre.
On a alors : $\,\sth1\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\,\sqrt{\sth{.25}x^2\sp{1.5}}=|x|\sp{1.5},\,$ et : $\,\ptt y\geq0\sp{1.5},\ (\sp{-1.5}\sqrt{y\,})^2=y\sp{1.5}.\,$
racine carrée et opérations
La fonction racine carrée vérifie les propriétés suivantes :
- $\,\ptt x\geq0\sp{1.5},\ \ptt y\geq0\sp{1.5},\ \sqrt{\smh{.1}x\,y\,}=\sqrt{\smh{.1}x\,}\sqrt{\smh{.1}y\,}\,;\,$
- $\,\ptt x\geq0\sp{1.5},\ \ptt y > 0\sp{1.5},\ \sqrt{x/y\,}=\sqrt{\smh{.1}x}\sp{1.5}/\!\sqrt{\smh{.1}y}\,.\,$
équation du second degré dans $\bb R$
Soit, pour $(a,b,c)\app\bb R^{\ast}\!\times\sp{-1.5}\bb R^2\sp{1.5},$ l'équation :
$\,a\sp{1.5}x^2+b\sp{1.5}x+c=0\sp{1.5}.\,$
Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\bb R\sp{1.5}:$
- aucune racine si $\,\smh{.5}\Delta < 0\,;\,$
- une seule racine si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.7}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
- deux racines distinctes si $\,\Delta > 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{0.2}{\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\sp{1.5}a}}\!\cdot\,$
indication
Utiliser une permutation circulaire de $\,(a\sp{1.5},b\sp{1.5},c)\,$ pour déduire l'expression de $\,C-B\,$ de celle de $\,B-A\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient d'abord : $\,B-A=\dfrac{\sqrt b-\sqrt a}{(\sqrt c+\sqrt a\sp{1.5})\sp{1.5}(\sqrt b+\sqrt c\sp{1.5})}\!\cdot\,$
On en déduit l'implication recherchée : $\,c-b=b-a\Imp C-B=B-A\sp{1.5}.\,$
correction
On commence par exprimer la différence entre $B$ et $A$ en mettant les fractions correspondantes au même numérateur :
$\eqalign{B-A&=\frac1{\sqrt c+\sqrt a}-\frac1{\sqrt b+\sqrt c}\\[-.5ex]
&=\frac{(\sqrt b+\sqrt c\sp{1.5})-(\sqrt c+\sqrt a\sp{1.5})}{(\sqrt c+\sqrt a\sp{1.5})\sp{1.5}(\sqrt b+\sqrt c\sp{1.5})}\\[-.5ex]
&=\frac{\sqrt b-\sqrt a}{(\sqrt c+\sqrt a\sp{1.5})\sp{1.5}(\sqrt b+\sqrt c\sp{1.5})}}$
Trois nombres consécutifs $\,x\sp{1.5},y\sp{1.5},z\,$ forment une suite
Une suite $(u_n)_{n\app\bb N}$ est une suite arithmétique de raison $r\app\bb K$ ssi :
arithmétique
si et seulement si : $\,z-y=y-x\sp{1.5}.\,$
Il s'agira donc de comparer les nombres $\,C-B\,$ et $\,B-A\,$ sous l'hypothèse que : $\,c-b=b-a\sp{1.5}.\,$
Dans ces conditions, il est judicieux de faire apparaître $\,b-a\,$ dans l'expression de $\,B-A\sp{1.5}.\,$
On y parvient en multipliant haut et bas cette fraction par $\,\sqrt b+\sqrt a\,$ selon
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=u_n+r$
Alors $\,u_0\,$ détermine toute la suite : $\,\ptt n\app\bb N,\ u_n=u_0+n\sp{1.5}r\,.\,$
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
l'identité
suivante :
$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$
$\eqalign{&(\sqrt b-\sqrt a\sp{1.5})\sp{1.5}(\sqrt b+\sqrt a\sp{1.5})=(\sqrt b\sp{1.5})^2-(\sqrt a\sp{1.5})^2=b-a\\[1ex]
\txt{d'où :}&B-A=\frac{b-a}{(\sqrt c+\sqrt a\sp{1.5})\sp{1.5}(\sqrt b+\sqrt c\sp{1.5})\sp{1.5}(\sqrt b+\sqrt a\sp{1.5})}}$
On peut alors déduire l'expression de $\,C-B\,$ de celle de $\,B-A\,$ par la permutation circulaire : $\,(a\sp{1.5},b\sp{1.5},c)\ot(b\sp{1.5},c\sp{1.5},a):\,$ $\displaystyle{}C-B=\frac{c-b}{(\sqrt a+\sqrt b\sp{1.5})\sp{1.5}(\sqrt c+\sqrt a\sp{1.5})\sp{1.5}(\sqrt c+\sqrt b\sp{1.5})}$
Les dénominateurs de $\,C-B\,$ et $\,B-A\,$ étant égaux, on obtient bien l'implication recherchée :
$\displaystyle{}c-b=b-a\Imp C-B=B-A$
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Exercice
Résoudre dans $\bb R\sp{1.5},$ en fonction du paramètre $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ l'équation suivante :
$\displaystyle{}1+a\sp{1.5}x=\sqrt{1+2\sp{1.5}x}$
racine carrée d'un réel positif
La racine carrée de $y\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0$ est l'unique $x=\!\sqrt{y\,}\geq0$ tel que $\,x^2\!=y\sp{1.5}.\,$
$\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] x\ &\mapsto x^2}$ et $\,\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] y\ &\mapsto\sqrt{y}}\,$ sont réciproques l'une de l'autre.
On a alors : $\,\sth1\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\,\sqrt{\sth{.25}x^2\sp{1.5}}=|x|\sp{1.5},\,$ et : $\,\ptt y\geq0\sp{1.5},\ (\sp{-1.5}\sqrt{y\,})^2=y\sp{1.5}.\,$
racine carrée et opérations
La fonction racine carrée vérifie les propriétés suivantes :
- $\,\ptt x\geq0\sp{1.5},\ \ptt y\geq0\sp{1.5},\ \sqrt{\smh{.1}x\,y\,}=\sqrt{\smh{.1}x\,}\sqrt{\smh{.1}y\,}\,;\,$
- $\,\ptt x\geq0\sp{1.5},\ \ptt y > 0\sp{1.5},\ \sqrt{x/y\,}=\sqrt{\smh{.1}x}\sp{1.5}/\!\sqrt{\smh{.1}y}\,.\,$
équation du second degré dans $\bb R$
Soit, pour $(a,b,c)\app\bb R^{\ast}\!\times\sp{-1.5}\bb R^2\sp{1.5},$ l'équation :
$\,a\sp{1.5}x^2+b\sp{1.5}x+c=0\sp{1.5}.\,$
Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\bb R\sp{1.5}:$
- aucune racine si $\,\smh{.5}\Delta < 0\,;\,$
- une seule racine si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.7}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
- deux racines distinctes si $\,\Delta > 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{0.2}{\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\sp{1.5}a}}\!\cdot\,$
indication
Mettre au carré les deux termes de l'équation, avec la condition : $\,1+a\sp{1.5}x\geq0\sp{1.5}.\,$
figure
Résolution graphique de l'équation pour $\,0\sp{-1.5}< \sp{-1.5}a\leq\sp{-1.5}2\,$
réponse
l'équation $\,1+a\sp{1.5}x=\sqrt{1+2\sp{1.5}x}\,$ admet :
- deux solutions distinctes $\,x=0\,$ et $\,x=\smh{1.5}{\dfrac{2\sp{1.5}(1-a)}{a^2}}\sp{1.5},\,$ lorsque $\,0 < a\leq2\,$ et $\,a\neq1\,;\,$
- une solution unique : $\,x=0\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a\leq 0\,$ ou $\,a=1\,$ ou $\,a > 2\,.\,$
correction
D'après la définition de la
La racine carrée de $y\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0$ est l'unique $x=\!\sqrt{y\,}\geq0$ tel que $\,x^2\!=y\sp{1.5}.\,$
$\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] x\ &\mapsto x^2}$ et $\,\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] y\ &\mapsto\sqrt{y}}\,$ sont réciproques l'une de l'autre.
On a alors : $\,\sth1\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\,\sqrt{\sth{.25}x^2\sp{1.5}}=|x|\sp{1.5},\,$ et : $\,\ptt y\geq0\sp{1.5},\ (\sp{-1.5}\sqrt{y\,})^2=y\sp{1.5}.\,$
racine
carrée et du fait qu'un carré soit toujours positif, on a, pour tout $\,x\app\bb R:\,$
$\displaystyle{}\eqalign{1+a\sp{1.5}x&=\sqrt{1+2\sp{1.5}x}\\[-.5ex]1+2\sp{1.5}x&\geq 0}\ \bigg\}\Ssi\bigg\{\,\eqalign{(1+a\sp{1.5}x)^2&=1+2\sp{1.5}x\\[-.5ex]1+a\sp{1.5}x&\geq0}$
En
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
développant
$\,(1+a\sp{1.5}x)^2,\,$ puis en factorisant $\,(1+a\sp{1.5}x)^2\sp{-1.5}-(1+2\sp{1.5}x)\sp{1.5},\,$ l'équation proposée équivaut à :
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
$\displaystyle{}x\sp{1.5}\big(a^2x+2\sp{1.5}(a-1)\big)=0\txt{et} 1+a\sp{1.5}x\geq0$
Hormis la solution $\,x=0\sp{1.5},\,$ l'équation $\,x\sp{1.5}\big(a^2x+2\sp{1.5}(a-1)\big)=0\,$ admet aussi pour $\,a\neq0\,$ la solution :
$\,x=\dfrac{2\sp{1.5}(1-a)}{a^2}\!\cdot\,$
La condition : $\,1+a\sp{1.5}x\geq0\,$ s'écrit alors : $\,1+\dfrac{2\sp{1.5}(1-a)}{a}=\dfrac2a-1\geq0\sp{1.5},\,$ ce qui
L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :
équivaut
à : $\,0 < a\leq2\sp{1.5}.\,$
Dans ce dernier cas, la solution $\,x=\dfrac{2\sp{1.5}(1-a)}{a^2}\,$ est distincte de la solution $\,x=0\,$ si et seulement si : $\,a\neq1\sp{1.5}.\,$
En définitive, l'équation proposée admet :
- $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
- $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$
- deux solutions distinctes $\,x=0\,$ et $\,x=\smh{1.5}{\dfrac{2\sp{1.5}(1-a)}{a^2}}\sp{1.5},\,$ lorsque $\,0 < a\leq2\,$ et $\,a\neq1\,;\,$
- une solution unique : $\,x=0\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a\leq 0\,$ ou $\,a=1\,$ ou $\,a > 2\,.\,$
Les solutions de cette équation peuvent s'interpréter graphiquement par l'intersection :
- des droites $D_a$ d'équations : $\,y=1+a\,x\sp{1.5},\,$ passant toutes par le point $\,A(0,1)\sp{1.5},\,$
- avec la courbe d'équation $\,y=\smh0{\sqrt{1+2\sp{1.5}x}}\sp{1.5},\,$ tangente à la droite $D_1$ au point $A:$
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Résolution graphique de l'équation pour $\,0\sp{-1.5}< \sp{-1.5}a\leq\sp{-1.5}2\,$
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Exercice
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction réelle de variable réelle $f$ définie par :
$\displaystyle{}f(x)=\sqrt{x+\smh{.5}{\sqrt{2\sp{1.5}x-1}}}-\sqrt{x-\smh{.5}{\sqrt{2\sp{1.5}x-1}}}$
Simplifier ensuite cette expression de $\,f(x)\sp{1.5}.\,$
racine carrée d'un réel positif
La racine carrée de $y\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0$ est l'unique $x=\!\sqrt{y\,}\geq0$ tel que $\,x^2\!=y\sp{1.5}.\,$
$\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] x\ &\mapsto x^2}$ et $\,\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] y\ &\mapsto\sqrt{y}}\,$ sont réciproques l'une de l'autre.
On a alors : $\,\sth1\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\,\sqrt{\sth{.25}x^2\sp{1.5}}=|x|\sp{1.5},\,$ et : $\,\ptt y\geq0\sp{1.5},\ (\sp{-1.5}\sqrt{y\,})^2=y\sp{1.5}.\,$
racine carrée et opérations
La fonction racine carrée vérifie les propriétés suivantes :
- $\,\ptt x\geq0\sp{1.5},\ \ptt y\geq0\sp{1.5},\ \sqrt{\smh{.1}x\,y\,}=\sqrt{\smh{.1}x\,}\sqrt{\smh{.1}y\,}\,;\,$
- $\,\ptt x\geq0\sp{1.5},\ \ptt y > 0\sp{1.5},\ \sqrt{x/y\,}=\sqrt{\smh{.1}x}\sp{1.5}/\!\sqrt{\smh{.1}y}\,.\,$
équation du second degré dans $\bb R$
Soit, pour $(a,b,c)\app\bb R^{\ast}\!\times\sp{-1.5}\bb R^2\sp{1.5},$ l'équation :
$\,a\sp{1.5}x^2+b\sp{1.5}x+c=0\sp{1.5}.\,$
Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\bb R\sp{1.5}:$
- aucune racine si $\,\smh{.5}\Delta < 0\,;\,$
- une seule racine si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.7}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
- deux racines distinctes si $\,\Delta > 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{0.2}{\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\sp{1.5}a}}\!\cdot\,$
indication
1
Commencer par résoudre l'inéquation : $\,x\geq\sqrt{2\sp{1.5}x-1}\,.\,$
indication
2
Simplifier l'expression de $f(x)^2$ et distinguer les cas $\,x\leq1\,$ et $\,x\geq1\sp{1.5}.\,$
figure
Représentation graphique de $f$
réponse
On obtient comme ensemble de définition de la fonction $f:$ $\,D_f=[\,1/2,\sp{1.5}+\infty[\,.\,$
On peut alors simplifier son expression : $\,f(x)=\bigg\{\eqalign{\sqrt{4\sp{1.5}x-2}&\ \text{ si }\ 1/2\leq x\leq 1\sp{1.5};\\[-.5ex]
\ph{\sqrt{4}}\sqrt2\sp{20}&\ \text{ si }\ x\geq 1\sp{1.5}.}\,$
correction
La
La racine carrée de $y\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0$ est l'unique $x=\!\sqrt{y\,}\geq0$ tel que $\,x^2\!=y\sp{1.5}.\,$
$\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] x\ &\mapsto x^2}$ et $\,\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] y\ &\mapsto\sqrt{y}}\,$ sont réciproques l'une de l'autre.
On a alors : $\,\sth1\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\,\sqrt{\sth{.25}x^2\sp{1.5}}=|x|\sp{1.5},\,$ et : $\,\ptt y\geq0\sp{1.5},\ (\sp{-1.5}\sqrt{y\,})^2=y\sp{1.5}.\,$
racine
carrée $\,\sqrt{2\sp{1.5}x-1}\,$ est définie pour tout $\,x\geq1/2\sp{1.5},\,$ et on a alors :
$\displaystyle{}x+\sqrt{2\sp{1.5}x-1}\geq x > 0\sp{1.5},\txt{ainsi que :}x-\sqrt{2\sp{1.5}x-1}\geq 0$
En effet, par croissance de la fonction
Pour $\,k\app\bb Z^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonction puissances : $\,x\mapsto x^k\,$ sont :
carré
et de la fonction
- continues sur $\,\bb R\,$ et strictement croissantes sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,k >0\sp{1.5};\,$
- continues sur $\,\bb R^{\ast}\,$ et strictement décroissantes sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,k <0\sp{1.5}.\,$
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
racine
carrée sur $[\sp{.75}0,+\I[\sp{1.5},$ on a pour tout $x\geq1/2:$
$\eqalign{x\geq\sqrt{2\sp{1.5}x-1}&\Ssi x^2\geq 2x-1\\
&\Ssi(x-1)^2\geq 0}$
Dans ces conditions, la fonction $f$ a pour ensemble de définition : $\,D_f=[\,1/2,\sp{1.5}+\infty[\sp{1.5}.\,$
On calcule alors $f(x)^2$ en
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
développant
le carré d'une différence :
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
$\eqalign{f(x)^2&=\Big(\sqrt{x+\smh{.5}{\sqrt{2\sp{1.5}x-1}}}-\sqrt{x-\smh{.5}{\sqrt{2\sp{1.5}x-1}}}\,\Big)^{\!2}\\[-1ex]
&=2\sp{1.5}x-2\,\sqrt{x+\smh{.5}{\sqrt{2\sp{1.5}x-1}}\,}\,.\sp{-1.5}\sqrt{x-\smh{.5}{\sqrt{2\sp{1.5}x-1}}\,}}$
On
La fonction racine carrée vérifie les propriétés suivantes :
regroupe
alors ces deux racines carrée en un produit que l'on
- $\,\ptt x\geq0\sp{1.5},\ \ptt y\geq0\sp{1.5},\ \sqrt{\smh{.1}x\,y\,}=\sqrt{\smh{.1}x\,}\sqrt{\smh{.1}y\,}\,;\,$
- $\,\ptt x\geq0\sp{1.5},\ \ptt y > 0\sp{1.5},\ \sqrt{x/y\,}=\sqrt{\smh{.1}x}\sp{1.5}/\!\sqrt{\smh{.1}y}\,.\,$
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
développe :
$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$
$\eqalign{f(x)^2&= 2\sp{1.5}x- 2\,\sqrt{\smh{0.15}{x^2-(2x-1)}}\\&=2x-2\,\sqrt{\smh0{(x-1)^2}}\\[.5ex]&=2\sp{1.5}x-2\,|x-1|}$
Avec $\,x+\sqrt{2\sp{1.5}x-1}\geq x-\sqrt{2\sp{1.5}x-1},\,$ $\ f(x)$ est toujours positif, d'où pour tout $\,x\geq1/2\,:\,$
$\displaystyle{}f(x)=\Syst{\smh1{\sqrt{\smh0{2\sp{1.5}x+2\sp{1.5}(x-1)}}}&=\sqrt{4\sp{1.5}x-2}\,,&\ \text{ si }\ 1/2\leq x\leq 1\\
\sqrt{\smh0{2\sp{1.5}x-2\sp{1.5}(x-1)}}&=\ph{\sqrt{4}}\sqrt2\,,&\ \text{ si }\ \ \ \ \,1\leq x}$
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Représentation graphique de $f$
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