exercices de mathématiques - prépa et université

Supposons qu'il existe un $\,n\app\bb N\,$ tel que $\,(\sqrt5+\sqrt n\sp{1.5})\,$ soit un nombre

Les nombres rationnels  sont  les nombres réels $\,q\,$ tels que :

$\displaystyle{}\iex a\app\bb Z\sp{1.5},\,\iex\bb \app \bb Z\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\},\ \ q=\frac ab$

Leur ensemble se note $\,\bb Q\,;\,$ un $\,x\app\bb R\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\bb Q\,$ est  un nombre irrationnel.

rationnel $\,q:\,$

• On isole $\,\sqrt n\,$ dans cette relation et on développe le
  Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

  $\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
  carré de la différence obtenue :
  $\eqalign{&\sqrt5+\sqrt n = q\Ssi\sqrt n =q-\sqrt5\sp{1.5}\\ \txt{d'où :}&\ n =(q-\sqrt5)^2\,=\,q^2+5-2\sp{1.5}q\sp{.75}\sqrt5}$
  Avec $\,q\geq\sqrt5\sp{1.5},\,$ on a $\,q\neq0\,;\,$ par
  Une loi de composition interne sur un ensemble $E$  est  une application $\,(x,y)\mapsto x*y\,$ de $E\!\times\!E$ vers $E\sp{1.5}.$

  Une partie $A$ de $E$  est stable pour la loi $\,*\,$ ssi :  $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ \,x*y\sp{1.5}\app A\sp{1.5}.\,$
  stabilité des opérations dans le
  Pour les opérations usuelles, $\,(\bb Q\sp{1.5},+\sp{1.5},\times)\,$ est  un corps.
  corps $(\bb Q,+,\times)\sp{1.5},$ $\,\sqrt5\,$ serait donc rationnel :
  $\displaystyle{}\sqrt5=\frac{q^2+5-n}{2\sp{1.5}q}\app\bb Q$
• Ce rationnel s'écrirait alors sous forme
  Soit $q$ un nombre rationnel $\,q\sp{1.5};\,$ il s'écrit  alors  de manière unique sous forme irréductible :

  $\displaystyle{}q=\frac ab,\ \text{ avec }\ a\app\bb Z,\ b\app\bb N^{\ast}\! \,\text{ et }\ a\land b=1$
  irréductible : $\,\sqrt5=\dfrac ab,\,$ avec : $\,a\app\bb N\sp{1.5},\,$ $b\app\bb N^{\ast}$ et $\,a\wedge b = 1\sp{1.5}.\,$
  • On obtient : $\,a^2=5\,b^2,\,$ c'est-à-dire que $\,5\,$ est un diviseur de $\,a^2\,;\,$ $\,5\,$ étant
    Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

    L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.
    premier, il s'ensuit que $\,5\,$
    Un nombre premier $p$ divise un produit d'entiers relatifs $a$ et $b$  ssi  il divise l'un d'entre eux :

    $\displaystyle{}p\op{|}\sp{1.5}(a\sp{1.5}b)\Ssi \big(\sp{1.5}p\sp{-1.5}\op{|}\sp{-1.5}a\,\text{ ou }\,p\sp{-1.5}\op{|}\sp{-1.5}b\sp{1.5}\big)$
    divise $\,a\sp{1.5}.\,$

  • On écrit alors $\,a=5\sp{1.5}a'\,$ pour $\,a'\sp{-1.5}\app\bb N\sp{1.5},\,$ d'où $\,b^2=5\sp{1.5}a'^{\sp{1.5}2}\sp{1.5},\,$ et on en déduit de la même manière que $\,5\,$ divise $\,b\sp{1.5}.\,$

  • Les nombres  $a$ et $b$  étant supposés
    Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux  ssi  leur pgcd $\,a\land b\,$ est égal à $1\sp{1.5}.$

    En d'autres termes, $\,a\,$ et $\,b\,$ ont $\,1\,$ et $\,-1\,$ pour seuls diviseurs communs.
    premiers entre eux, ces résultats sont contradictoires
  On a ainsi démontré par l'absurde que $\,\sqrt5\,$ est
  Les nombres rationnels  sont  les nombres réels $\,q\,$ tels que :

  $\displaystyle{}\iex a\app\bb Z\sp{1.5},\,\iex\bb \app \bb Z\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\},\ \ q=\frac ab$

  Leur ensemble se note $\,\bb Q\,;\,$ un $\,x\app\bb R\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\bb Q\,$ est  un nombre irrationnel.
  irrationnel.

L'hypothèse initiale était donc fausse : il n'existe aucun $\,n\app\bb N\,$ tel que $\,(\sqrt5+\sqrt n\sp{1.5})\,$ soit rationnel.

Supposons qu'il existe un nombre

Les nombres rationnels  sont  les nombres réels $\,q\,$ tels que :

$\displaystyle{}\iex a\app\bb Z\sp{1.5},\,\iex\bb \app \bb Z\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\},\ \ q=\frac ab$

Leur ensemble se note $\,\bb Q\,;\,$ un $\,x\app\bb R\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\bb Q\,$ est  un nombre irrationnel.

rationnel $\,q\,$ tel que $\,q^3+q+1=0\,;\,$ il s'écrit alors sous forme

Soit $q$ un nombre rationnel $\,q\sp{1.5};\,$ il s'écrit  alors  de manière unique sous forme irréductible :

$\displaystyle{}q=\frac ab,\ \text{ avec }\ a\app\bb Z,\ b\app\bb N^{\ast}\! \,\text{ et }\ a\land b=1$

irréductible : Après produit par $\,b^3\neq0\,$ dans le

Pour les opérations usuelles, $\,(\bb Q\sp{1.5},+\sp{1.5},\times)\,$ est  un corps.

corps $\,(\bb Q,+,\times)\sp{1.5},\,$ on obtient les relations équivalentes :

Il s'ensuit que $\,b\,$

$\,a\app\bb Z\,$ est  un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est  un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :

$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$

On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$

divise $\,a^3\,$ et que $\,a\,$ divise $\,b^3\sp{1.5};\,$ par conséquent :

• Si on connait le lemme de
  Soient $\,a,b,c\app\bb Z\,';\,$ si $\,a\,$ est premier avec $\,b\,$ et  si $\,a\,$ divise $\,b\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ alors $\,a\,$ divise $\,c:\,$

  $\displaystyle{}\big(a\land b = 1\ \text{ et }\ a\op{|}(b\sp{1.5}c)\big)\Imp a\op{|}c$
  Gauss, on peut l'appliquer de manière répétée :
  • On en déduit d'abord que $\,b\,$ divise $\,a^2,\,$ puis que $\,b\,$ divise $\,a\sp{1.5},\,$ et enfin que $\,b\,$ divise $\,1\sp{1.5},\,$ d'où : $\,b=1\sp{1.5}.\,$

  • On prouve de la même manière que $\,a\,$ divise $\,1\sp{1.5},\,$ d'où finalement : $\,a=\pm1\sp{1.5}.\,$
• Sinon, on on utilise les
  Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :

  $\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$

  où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$
  décompositions de $\,a^{3}\,$ et $\,b^3\,$ en facteurs premiers :
  • Tout nombre
    Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

    L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.
    premier $\,p\,$ divisant $\,b\,$ figure dans la décomposition de $\,a^{3}\,$ en facteurs premiers.
    Il figure donc aussi dans celle de $\,a\sp{1.5},\,$ ce qui est exclu car $\,a\land b=1\,;\,$ on a donc $\,b=1\sp{1.5}.\,$

  • Le même raisonnement appliqué à $\,a\,$ dans la décomposition de $\,b^{3}\,$ prouve que $\,a=\pm1\sp{1.5}.\,$

On en conclut que les seul nombres rationnels $\,q\,$ tels que $\,f(q)=q^{3}+q+1=0\,$ pourraient être $\,q=1\,$ et $\,q=-1\,.\,$

Avec $\,f(1)=3\,$ et $\,f(-1)=-1\sp{1.5},\,$ il s'ensuit que l'équation $\,x^3+x+1=0\,$ n'a aucune racine rationnelle.

Soit $\,q\,$ une solution

Les nombres rationnels  sont  les nombres réels $\,q\,$ tels que :

$\displaystyle{}\iex a\app\bb Z\sp{1.5},\,\iex\bb \app \bb Z\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\},\ \ q=\frac ab$

Leur ensemble se note $\,\bb Q\,;\,$ un $\,x\app\bb R\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\bb Q\,$ est  un nombre irrationnel.

rationnelle de cette équation, écrite sous forme

Soit $q$ un nombre rationnel $\,q\sp{1.5};\,$ il s'écrit  alors  de manière unique sous forme irréductible :

$\displaystyle{}q=\frac ab,\ \text{ avec }\ a\app\bb Z,\ b\app\bb N^{\ast}\! \,\text{ et }\ a\land b=1$

irréductible : Après produit par $\,b^5\neq0\,$ dans le

Pour les opérations usuelles, $\,(\bb Q\sp{1.5},+\sp{1.5},\times)\,$ est  un corps.

corps $\,(\bb Q,+,\times)\sp{1.5},\,$ on obtient les relations équivalentes :

Il s'ensuit que $\,b\,$

$\,a\app\bb Z\,$ est  un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est  un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :

$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$

On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$

divise $\,3\sp{1.5}a^5\,$ et que $\,a\,$ divise $\,2\sp{1.5}b^5\sp{1.5};\,$ par conséquent :

• Si on connait le lemme de
  Soient $\,a,b,c\app\bb Z\,';\,$ si $\,a\,$ est premier avec $\,b\,$ et  si $\,a\,$ divise $\,b\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ alors $\,a\,$ divise $\,c:\,$

  $\displaystyle{}\big(a\land b = 1\ \text{ et }\ a\op{|}(b\sp{1.5}c)\big)\Imp a\op{|}c$
  Gauss, on peut l'appliquer de manière répétée :
  • On en déduit d'abord que $\,b\,$ divise $\,3\sp{1.5}a^4,\,$ puis $\,3\sp{1.5}a^3\,$ etc,  jusqu'à ce que $\,b\,$ divise $\,3\sp{1.5},\,$ d'où : $\,b\app\,\{1,3\}\!\cdot\,$

  • On prouve de la même manière que $\,a\,$ divise $\,2\sp{1.5},\,$ d'où finalement : $\,|a|\app\,\{1,2\}\!\cdot\,$
• Sinon, on on utilise les
  Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :

  $\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$

  où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$
  décompositions de $\,3\sp{1.5}a^5\,$ et  $\,2\sp{1.5}b^5\,$ en facteurs premiers :
  • Tout nombre
    Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

    L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.
    premier $\,p\,$ divisant $\,b\,$ figure dans la décomposition de $\,3\sp{1.5}a^5\,$ en facteurs premiers.
    Il ne figure pas dans celle de $\,a\,$ car $\,a\land b=1\,;\,$ on a donc : $\,b\app\,\{1,3\}\!\cdot\,$

  • Le même raisonnement appliqué à $\,a\,$ dans la décomposition de $\,2\sp{1.5}b^5\,$ prouve que : $\,|a|\app\,\{1,2\}\!\cdot\,$

D'autre part, on remarque que $\,q\,$ ne peut pas prendre de valeur positive :

Il s'ensuit que $\,q\,$ ne peut prendre que les valeurs négatives suivantes :

On calcule alors les valeurs correspondantes de $\,f(q)\sp{1.5},\,$ dont une seule est nulle : On a ainsi établi que l'équation : $\,3\sp{1.5}x^5+2\sp{1.5}x^4+3\sp{1.5}x^2+5\sp{1.5}x+2=0\,$ a exactement une solution rationnelle : $\,q=-\dfrac23\!\cdot\,$