Sujet A.4.3 Partie entière
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Exercice
Pour tout $\,m\app\bb N^{\ast}\,$ fixé, démontrer l'inégalité suivante en précisant les cas où l'égalité a lieu :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ \Big\lfloor2\sqrt{\smh{.4}{n^2+n+m}}\Big\rfloor\geq 2\sp{1.5}n+1$
inégalité stricte entre entiers
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs ; on a alors l'équivalence :
$\displaystyle{}a > b\Ssi a\geq b+1$
partie entière d'un réel
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
indication
Commence par élever $\,2\sqrt{\smh{.4}{n^2+n+m}}\,$ au carré pour vérifier cette inégalité.
réponse
On a bien : $\,\ptt n\app\bb N,\ \Big\lfloor2\sqrt{\smh{.4}{n^2+n+m}}\Big\rfloor\geq 2\sp{1.5}n+1\sp{1.5},\,$ avec égalité si et seulement si $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$
correction
Avec $\,m\geq1\sp{1.5},\,$ par croissance de la
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
racine
carrée, et
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
identité
remarquable, on a pour tout $\,n\app\bb N:\,$
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
$\eqalign{4(n^2+n+m)&\geq 4(n^2+n+1)\\&>4\sp{.75}n^2+4\sp{.75}n+1=(2\sp{1.5}n+1)^2\\
\text{d'où : }\ 2\sqrt{n^2+n+m}& >2\sp{1.5}n+1}$
Par définition de la partie
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
entière,
on en déduit que :
$\,\ptt n\app\bb N,\ \Big\lfloor2\sqrt{n^2+n+m\sth{.5}}\Big\rfloor\geq 2\sp{1.5}n+1\sp{1.5}.\,$
Pour que l'égalité ait lieu, il faut et il suffit qu'on ait d'autre part :
$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
$\eqalign{2\sqrt{n^2+n+m} &< 2\sp{1.5}n+2\\
\text{c'est-à -dire : }\ 4(n^2+n+m) &< (2\sp{1.5}n+2)^2=4\sp{1.5}n^2+8\sp{1.5}n+4\\
\txt{soit :}\ 4\sp{1.5}m&< 4\sp{1.5}n+4}$
On obtient ainsi la condition $\,m < n+1\sp{1.5},\,$ équivalente à $\,m\leq n\sp{1.5},\,$ par propriété des
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs ; on a alors l'équivalence :
entiers :
$\displaystyle{}a > b\Ssi a\geq b+1$
$\displaystyle{}\Big\lfloor2\sqrt{n^2+n+m}\Big\rfloor= 2\sp{1.5}n+1\Ssi n\geq m$
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Exercice
\\(\def\e#1{\lfloor#1\rfloor}\\)
Étant donnés deux réels $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que $\,a\leq b\sp{1.5},\,$ démontrer l'équivalence suivante :
$\displaystyle{}[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap\bb Z\neq\vide\Ssi a\leq\e{b}$
Démontrer une équivalence similaire pour l'intervalle $\,]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[\,$ lorsque $\,a < b\sp{1.5}.\,$
inégalité stricte entre entiers
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs ; on a alors l'équivalence :
$\displaystyle{}a > b\Ssi a\geq b+1$
partie entière d'un réel
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
indication
1
Vérifier d'abord l'implication réciproque $\,(\Leftarrow)\,.\,$
Montrer ensuite l'implication directe $\,(\imp)\,$ en considérant un entier $\,k\,$ appartenant à $\,[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
indication
2
Rechercher une relation entre $\,\e{a}\,$ et $\,b\,$ équivalente à : $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\cap\,\bb Z\neq\vide\,.\,$
réponse
On obtient les équivalences suivantes :
- $\,[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\sp{1.5}\cap\sp{1.5}\bb Z\neq\vide\Ssi a\leq\e{b}\,;\,$
- $\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[\,\sp{1.5}\cap\,\sp{1.5}\bb Z\neq\vide\Ssi \e{a}+1 < b\sp{1.5}.\,$
correction
Lorsque $\,a\leq\e b\sp{1.5},\,$ on a par
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
définition
de la partie entière : $\,a\leq\e b\leq b\sp{1.5}.\,$
On en déduit que : $\,\e b\app\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\cap\bb Z\big),\,$ si bien que : $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\cap\bb Z\neq\vide\sp{1.5}.\,$
Réciproquement, si on a : $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\cap\bb Z\neq\vide\sp{1.5},\,$ il existe un entier $\,k\,$ tel que $\,a\leq k\leq b\sp{1.5}.\,$
L'entier $\,k\,$ est alors inférieur ou égal au
$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
plus grand
de ces entiers qui est $\,\e b\sp{1.5},\,$ et on a donc : $\,a\leq k\leq \e b\sp{1.5}.\,$
On a donc bien établi l'équivalence : $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\cap\bb Z\neq\vide\Ssi a\leq\e{b}.\,$
Lorsque $\,a < b\sp{1.5},\,$ on considère un entier relatif $\,k\,$ tel que : $\,a < k < b\sp{1.5}.\,$
Un tel entier $\,k\,$ est donc supérieur ou égal au
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est un minorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$
Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$ $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$
plus petit
des entiers strictement supérieurs à $\,a\sp{1.5}.\,$
Selon la
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
définition
de la partie entière, il s'agit de $\,\e a + 1\sp{1.5},\,$ si bien que : $\,\,\e a+1\leq k < b\,.\,$
Réciproquement, si $\,\e a+1 < b,\,$ on a alors : $\,a < \e a+1 < b\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\e a+1\app\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[\,\cap\,\bb Z\big).\,$
On a cette fois établi que : $\,]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[\,\cap\,\bb Z\neq\vide\Ssi \e{a}+1 < b\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
Ce résultat vaut encore lorsque $\,a=b\sp{1.5},\,$ car avec :
$\,]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[\,=\vide \,$ et $\,b=a < \e a+1\sp{1.5},\,$
les deux termes de l'équivalence sont faux. En effet, d'une manière générale,
Pour deux propositions $\sc A$ et $\sc B\sp{1.5},$ on a l'implication définie par :
$\,\sp{50}\big(\sp{1.5}\sc A\sp{-1.5}\Imp\sp{-1.5} \sc B\sp{1.5}\big)\,$ ssi $\,\big((\op{non}\sc A) \mathbin{\rm ou}\sc B\sp{1.5}\big)\,$
Sa négation : $\,\sth{.5}\!\op{non}\big(\sc A\!\Imp\!\sc B\big)\,$ équivaut à : $\,\!\big(\sc A\!\txt{et}\!(\op{non}\sc B)\big).\,$
l'implication
$\,(A\!\Imp\!\!B\sp{1.5})\,$ signifie : $\,(\op{non}A)\,\op{ou}\,B\,;\,$ elle est donc vérifiée lorsque $A$ est faux.
L'équivalence $\,(A\!\!\Ssi\!\!B\sp{1.5})\,$ qui signifie alors : $\,(A\,\op{et}\,B)\,\op{ou}\sp{1.5}\big((\op{non}A)\,\op{et}\,\sp{1.5}(\op{non}B)\big),\,$ est donc vérifiée lorsque $A$ et $B$ sont faux.