exercices de mathématiques - prépa et université

Par définition, le nombre

Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$

Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est  un majorant de $A$  ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$

Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$  $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$

maximum de $\,a\,$ et $\,c\,$ est l'un de ces deux réels, et donc :

• si $\,a\leq x\,$ et $\,c\leq x\sp{1.5},\,$ alors : $\,\max(a,c)\leq x\sp{1.5};\,$
• si $\,\max(a,c)\leq x\sp{1.5},\,$ alors $\,(a\leq c\leq x\txt{ou}c\leq a\leq x)\sp{1.5},\,$ d'où : $\,(a\leq x\txt{et}c\leq x)\sp{1.5}.\,$

On a ainsi établi que : $\,(a\leq x\txt{et}c\leq x)\Ssi\max(a,c)\leq x\sp{1.5}.\,$

Par définition du

Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$

Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est  un minorant de $A$  ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$

Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$  $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$

minimum, on a symétriquement : $\,(x\leq b\txt{et}x\leq d)\Ssi x\leq\min(b,d)\sp{1.5}.\,$

Selon la définition des

Un segment de $\bb R$  est  un intervalle fermé et borné $[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ pour $\,a\leq b:\,$

$\displaystyle{}[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x\leq b\}$

segments et de

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$

L'intersection de $A$ et $B$  est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$

$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$

l'intersection de deux ensembles, on a alors :

On doit finalement distinguer deux éventualités :

• si $\,\min(b,d) < \max(a,c)\sp{1.5},\,$ alors $\,[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap[\sp{1.5}c\sp{1.5},d\sp{1.5}]\,$ est l'ensemble vide ;
• si $\,\max(a,c)\leq\min(b,d)\sp{1.5},\,$ alors $\,[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap[\sp{1.5}c\sp{1.5},d\sp{1.5}]\,$ est le segment $\,\big[\sp{-1.5}\max(a,c),\,\min(b,d)\big]\sp{1.5}.\,$

D'après la définition des

Un segment de $\bb R$  est  un intervalle fermé et borné $[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ pour $\,a\leq b:\,$

$\displaystyle{}[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x\leq b\}$

segments et de

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$

L'intersection de $A$ et $B$  est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$

$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$

l'intersection, on distingue trois cas selon la position de $\,c:\,$

• Lorsque $\,a\leq c\leq b\sp{1.5},\,$ alors $\,c\,$ appartient à $\,[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap\seg cx\,$ pour tout $\,x\app\bb R\sp{1.5};\,$ d'où : $\,\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\ [\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap\seg cx\neq\vide\sp{1.5}.\,$
  Sachant que $\,\Omega_c\subset\bb R\sp{1.5},\,$ on a dans ce cas
  Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :

  $\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$

  En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion :

  $\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$
  l'égalité :  $\,\Omega_c=\bb R\sp{1.5}.\,$

• Lorsque $\,c < a\sp{1.5},\,$ on distingue deux cas :
  • si $\,x\geq a\sp{1.5},\,$ on a alors :  $\,c < a \leq x\sp{1.5},\,$ et donc :  $\,a\app\,[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap\seg cx\neq\vide\sp{1.5};\stb{1.25}\,$
  • si $\,x < a\sp{1.5},\,$ on a cette fois :  $\,\max(c,x) < a\sp{1.5},\,$ et donc : $\,[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap\seg cx=\vide\sp{1.5}.\,$
  On a ainsi :  $\,[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap\seg cx\neq\vide\Ssi x\geq a\sp{1.5},\,$  ce qui caractérise
  Les intervalles de $\bb R$  sont  les parties de $\bb R$ définies par :

  $\eqalign{&[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]&=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x\leq b\}\sp{1.5},&\ \,&]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[&=\{x\app \bb R\op{\big|}a < x < b\}\\[-.5ex] &[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[&=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x < b\}\sp{1.5},&\ \,&]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]&=\{x\app \bb R\op{\big|}a < x\leq b\}\\[-0.5ex] }$

  avec $\,a,b\app\bb R\,$ pour tout crochet fermé et $\,a,b\app\smh0{\surl{\sp{1.5}\bb R}}\,$ pour tout crochet ouvert.
  l'intervalle :  $\,\Omega_c=[\sp{1.5}a\sp{1.5}, +\infty[\sp{1.5}.\,$

• Lorsque $\,b < c\sp{1.5},\,$ on a symétriquement :
  • $\,x\leq b\Imp b\app\,[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap\seg cx\neq\vide\sp{1.5},\,$ car :  $\,x\leq b < c\,;\stb{1.25}\,$
  • $\,x > b\Imp\![\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap\seg cx\neq\vide\sp{1.5},\,$ car :  $\,\min(c,x) > b\sp{1.5}.\,$
  On a donc cette fois :  $\,[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\cap\seg cx\neq\vide\Ssi x\leq b\sp{1.5},\,$  d'où
  Les intervalles de $\bb R$  sont  les parties de $\bb R$ définies par :

  $\eqalign{&[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]&=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x\leq b\}\sp{1.5},&\ \,&]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[&=\{x\app \bb R\op{\big|}a < x < b\}\\[-.5ex] &[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[&=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x < b\}\sp{1.5},&\ \,&]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]&=\{x\app \bb R\op{\big|}a < x\leq b\}\\[-0.5ex] }$

  avec $\,a,b\app\bb R\,$ pour tout crochet fermé et $\,a,b\app\smh0{\surl{\sp{1.5}\bb R}}\,$ pour tout crochet ouvert.
  l'intervalle :  $\,\Omega_c=\ ]\!-\infty\sp{1.5}, b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

Par définition de

Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$

l'inclusion, si $\,I\subset J,\,$ on a : $\,(a\app J\txt{et}b\app J)\sp{1.5},\,$ et donc :  $\,(c < a\txt{et}b < d)\sp{1.5}.\,$

Réciproquement, par

Une partie $A$ de $\bb R$ est un intervalle  ssi  $A$ est convexe, c'est-à-dire :

$\displaystyle{}\ptt x\app A\sp{1.5},\,\ptt y\app A\sp{1.5}, \ \big(\sp{1.5}x\leq y\Imp [\sp{1.5}x\sp{1.5},y\sp{1.5}]\subset A\sp{1.5}\big)$

caractérisation des intervalles :  $\,c < a\leq b < d\Imp[\sp{.75}a,b\sp{.75}]\subset J,\,$  d'où l'équivalence :

D'autre part, si $\,(a\leq c\ \text{ et }\ d \leq b)\sp{1.5},\,$ on a par définition des

Les intervalles de $\bb R$  sont  les parties de $\bb R$ définies par :

$\eqalign{&[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]&=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x\leq b\}\sp{1.5},&\ \,&]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[&=\{x\app \bb R\op{\big|}a < x < b\}\\[-.5ex] &[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[&=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x < b\}\sp{1.5},&\ \,&]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]&=\{x\app \bb R\op{\big|}a < x\leq b\}\\[-0.5ex] }$

avec $\,a,b\app\bb R\,$ pour tout crochet fermé et $\,a,b\app\smh0{\surl{\sp{1.5}\bb R}}\,$ pour tout crochet ouvert.

intervalles :  $\,J\subset I\sp{1.5}.\,$

Réciproquement, avec $\,J\subset I,\,$ $\,a\,$ est un

Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$

Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est  un minorant de $A$  ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$

Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$  $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$

minorant de $\,J\sp{1.5},\,$ plus petit ou égal à sa borne

Toute partie non vide $A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$  un  plus grand minorant :

$\displaystyle{}\inf A=\max\ens{m\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ m\leq x}$

C'est la borne inférieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est minoré dans $\bb R\,.$

inférieure.

De même, $\,b\,$ est un

Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$

Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est  un majorant de $A$  ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$

Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$  $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$

majorant de $\,J\sp{1.5},\,$ plus grand ou égal à sa borne

Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$  un  plus petit majorant :

$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$

C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$

supérieure, si bien qu'on peut écrire :

Précisons la

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$

La différence entre $A$ et $B$  est  l'ensemble des $\,x\app A\,$ n'appartenant pas à $\,B:\,$

$\displaystyle{}A\!\setminus\! B=\ens{x\app A}{x\notin B}$

Le complémentaire de $A$ dans l'ensemble $E$  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\complement_EA=E\!\setminus\!A=\ens{x\app E}{x\notin A}$

différence $\,I\!\setminus\!\sp{-1.5}J\,$ selon la situation relative des intervalles $I$ et $J:$

• Si $\,I\subset J,\,$ alors l'ensemble $\,I\!\setminus\!\sp{-1.5}J\,$ est vide.
• Si $\,J \subset I,\,$ on a $\,u=\smh1{\dfrac{c+d}2}\app J\,$ et alors :  $\,a\leq c < u < d\leq b,\,$  si bien que :  $\,[\sp{.75}a,b\sp{.75}]\not\subset (I\!\setminus\!\sp{-1.5}J)\sp{1.5}.\,$
  Par
  Une partie $A$ de $\bb R$ est un intervalle  ssi  $A$ est convexe, c'est-à-dire :

  $\displaystyle{}\ptt x\app A\sp{1.5},\,\ptt y\app A\sp{1.5}, \ \big(\sp{1.5}x\leq y\Imp [\sp{1.5}x\sp{1.5},y\sp{1.5}]\subset A\sp{1.5}\big)$
  caractérisation des intervalles, l'ensemble $\,I\!\setminus\!\sp{-1.5}J\,$ n'est donc pas un intervalle.
• si $\,\sth1I\not\subset J\, \text{ et }\, J\not\subset I,\,$ cela
  Étant données deux propositions $\sc A$ et $\sc B\sp{1.5},$ on a  alors :

  • $\,\op{non}\big(\sp{1.5}\sc A \mathbin{\rm et}\sc B\sp{1.5}\big)\,$ ssi $\,\big((\op{non}\sc A) \mathbin{\rm ou}(\op{non}\sc B)\big)\sp{1.5};\,$
  • $\,\op{non}\big(\sc A \mathbin{\rm ou}\sc B\big)\,$ ssi $\,\big((\op{non}\sc A) \mathbin{\rm et}(\op{non}\sc B)\big).\,$
  correspond à :  $\,(a\leq c\ \text{ ou }\ d \leq b)\, \text{ et } \,(c < a \ \text{ ou } \ b < d)\sp{1.5};\,$  on a deux éventualités :

  • Lorsque $\,a\leq c\sp{1.5},\,$ la condition $\,(c < a \ \text{ ou } \ b < d)\,$ se restreint à $\,b < d\sp{1.5},\,$ d'où :  $\,(a\leq c\ \text{ et }\ b < d)\sp{1.5}.\,$
    En supposant que $\,x\app I\sp{1.5},\,$ soit : $\,a\leq x\leq b < d\sp{1.5},\,$ on a alors : $\,x\non\app J\Ssi x\leq c\sp{1.5},\,$ si bien que :
    $\displaystyle{}I\!\setminus\!\sp{-1.5}J=\ens{x\app\bb R}{a\leq x\!\txt{et}\!(x\leq b\!\txt{et}\!x\leq c)}=\big[\sp{1.5}a\sp{1.5},\sp{1.5}\op{min}(b,c)\sp{1.5}\big]$
  • Lorsque $\,d\leq b\sp{1.5},\,$ la condition $\,(c < a \ \text{ ou } \ b < d)\,$ se restreint à $\,c < a\sp{1.5},\,$ d'où :  $\,(c < a \ \text{ et } \ d \leq b)\,.\,$
    Cette fois-ci, pour $\,x\app I\sp{1.5},\,$ soit : $\, c < a\leq x\leq b\sp{1.5},\,$ on a donc : $\,x\non\app J\Ssi d\leq x\sp{1.5},\,$ si bien que :
    $\displaystyle{}I\!\setminus\!\sp{-1.5}J=\ens{x\app\bb R}{(a\leq x\!\txt{et}\!d\leq x)\!\txt{et}\!x\leq b}=\big[\sp{-1.5}\op{max}(a,d)\sp{1.5},\sp{1.5}b\sp{1.5}\big]$
  On obtient dans chacun de ces deux cas un intervalle non vide, et même plus précisément un
  Un segment de $\bb R$  est  un intervalle fermé et borné $[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ pour $\,a\leq b:\,$

  $\displaystyle{}[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x\leq b\}$
  segment.

Finalement, $\,I\!\setminus\!\sp{-1.5}J\,$ est bien un intervalle non vide si et seulement si aucun des intervalles $I$ et $J$ n'est inclus dans l'autre.