Sujet F.3.4 Équations aux dérivées partielles
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Exercice a
Déterminer l'ensemble des $\,f\app\sc C^1(\bb R^2,\bb R)\,$ pour lesquelles il existe des fonctions $\,g\,$ et $\,h\,$ de $\bb R$ vers $\bb R\sp{1.5},$ telles que :
$\displaystyle{} \ptt (x,y)\app\bb R^2,\ \Big(\sp{1.5}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g(y)\txt{et}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=h(x)\Big)$
règle de la chaîne pour plusieurs variables
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{1}(U\sp{-1.5},\bb R^m)\,$ et $V$ un ouvert de $\bb R^m.$
Si $\,f(U)\subset V\,$ et $\,g\app\sc C^1(V\!,\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{}\ptt x\app U,\ \,\dp{(g\circ f)}{x_i}(x)=\sum_{j=1}^m\dp g{y_j}(f(x))\sp{1.5}\dp{f_j}{x_i}(x)$
fonctions partielles d'une fonction de classe ${\scr C}^1$
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
indication
1
Fixer $\,y\app\bb R\,$ et primitiver la fonction $\,x\mapsto\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g(y)\,$ pour en déduire une expression de $f(x,y)\sp{1.5}.$
indication
2
S'assurer que les termes de cette expression sont de classe $\sc C^1,$ et expliciter l'équation $\,\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=h(x)\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient l'ensemble des fonctions de la forme suivante, pour tout $\,(a,b,c,d)\app\bb R^4:\,$
$\displaystyle{}f:(x,y)\mapsto a\sp{1.5}x\sp{1.5}y+b\sp{1.5}x+c\sp{1.5}y+d$
correction
Pour $y\app\bb R$ fixé, l'équation $\,\dp fx(x,y)=g(y)\,$ signifie que la fonction
Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$
alors, la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :
partielle
$\,x\mapsto f(x,y)\,$ est de dérivée constante.
Par
- alors, la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est la fonction :
$\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
- $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
$\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$
$F$ est une primitive de $\,f:I\to\bb K\,$ ssi $F$ est dérivable sur $I$ et $\,F'=f.\,$
Les primitives de $f$ sont alors les $\,G:x\mapsto F(x)+C,\,$ pour $\,C\app\bb K\sp{1.5}.\,$
primitivation
sur l'intervalle $\bb R\sp{1.5},$ on en conclut qu'il existe une constante réelle $C(y)$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ f(x,y)=x\,g(y)+C(y)$
Les fonctions $\,g\,$ et $\,y\mapsto C(y)\,$ sont a priori quelconques, mais la fonction $f$ est supposée de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^2.$
Il s'ensuit que ses fonctions
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
partielles
sont de classe $\sc C^1$ sur $\bb R\sp{1.5},$ ainsi donc que $C$ et $g\sp{1.5},$ puisque :
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
$\eqalign{&\ptt y\app\bb R,\ C(y)&=f(0,y)\sp{1.5},\txt{puis :}\\ &\ptt y\app\bb R,\ g(y)&=f(1,y)-C(y)}$
Dans ces conditions, l'équation $\,\smb{1.25}{\dp fy(x,y)}=h(x)\,$ s'écrit :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ x\sp{1.5}g'(y)+C'(y)=h(x)$
En posant successivement $\,x=0\,$ et $\,x=1\,$ dans cette relation, on obtient $\,c\app\bb R\,$ et $\,a\app\bb R\,$ tels que :
$\eqalign{&\ptt y\app\bb R,\ C'(y)&=h(0)=c\sp{1.5},\txt{puis :}\\
&\ptt y\app\bb R,\ g'(y)&=h(1)-C'(y)=h(1)-h(0)=a}$
Par
$F$ est une primitive de $\,f:I\to\bb K\,$ ssi $F$ est dérivable sur $I$ et $\,F'=f.\,$
Les primitives de $f$ sont alors les $\,G:x\mapsto F(x)+C,\,$ pour $\,C\app\bb K\sp{1.5}.\,$
primitivation
sur $\bb R\sp{1.5},$ $\,C\,$ et $\,g\,$ sont donc des fonctions affines telles que, pour $\,d\app\bb R\,$ et $\,b\app\bb R:\,$
$\displaystyle{}\ptt y\app\bb R,\ \big(C(y)=c\sp{1.5}y+d\txt{et} g(y)=a\sp{1.5}y+b\big)$
On a ainsi démontré l'existence de $\,(a,b,c,d)\app\bb R^4\,$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ f(x,y)=a\sp{1.5}x\sp{1.5}y+b\sp{1.5}x+c\sp{1.5}y+d$
Réciproquement, cette relation conduit à :
$\,\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=a\sp{1.5}y+b\txt{et}\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=c\sp{1.5}x+d\sp{1.5}.\,$Les solutions sont donc exactement les fonctions de la forme $\,f:(x,y)\mapsto a\sp{1.5}x\sp{1.5}y+b\sp{1.5}x+c\sp{1.5}y+d\sp{1.5}.\,$
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Exercice b
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{(0,0)\}\,$ et, pour $\,f\app\sc C^1(\bb R^2,\bb R)\sp{1.5},\,$ l'équation aux dérivées partielles :
$\displaystyle{}a\,\dp fx+b\,\dp fy=0$
Résoudre cette équation à l'aide du changement de variable :
$\displaystyle{}(u,v)=(a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y,-b\sp{1.5}x+a\sp{1.5}y)$
règle de la chaîne pour plusieurs variables
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{1}(U\sp{-1.5},\bb R^m)\,$ et $V$ un ouvert de $\bb R^m.$
Si $\,f(U)\subset V\,$ et $\,g\app\sc C^1(V\!,\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{}\ptt x\app U,\ \,\dp{(g\circ f)}{x_i}(x)=\sum_{j=1}^m\dp g{y_j}(f(x))\sp{1.5}\dp{f_j}{x_i}(x)$
fonctions partielles d'une fonction de classe ${\scr C}^1$
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
indication
1
Montrer l'existence de $F\app\sc C^1(\bb R^2,\bb R)$ telle que :
$\,\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ f(x,y)=F(a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y,-b\sp{1.5}x+a\sp{1.5}y)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Établir que cette fonction $F$ vérifie, pour $v\app\bb R$ fixé, une équation différentielle que l'on sait résoudre.
réponse
On obtient l'ensemble des fonctions de la forme suivante, pour une fonction $\,C\app\sc C^1(\bb R,\bb R)\,$ arbitraire :
$\displaystyle{}f:(x,y)\mapsto C(-b\sp{1.5}x+a\sp{1.5}y)$
correction
L'application $\,\phi:(x,y)\mapsto(a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y,-b\sp{1.5}x+a\sp{1.5}y)\,$ est un
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $\bb R^2$ de matrice $\,\matr{a&b\\-b&a}\!\cdot\,$
Avec pour déterminant : $\,\det\phi=a^2+b^2\neq0\sp{1.5},\,$ c'est un automorphisme de $\bb R^2,$
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
de réciproque :
$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
$\displaystyle{}\phi^{-1}:(u,v)\mapsto(x,y)=\Big(\frac{a\sp{1.5}u-b\sp{1.5}v}{a^2+b^2},\frac{b\sp{1.5}u+a\sp{1.5}v}{a^2+b^2}\Big)$
On considère alors la fonction composée $\,F=f\circ\phi^{-1}\,$ définie par :
$\displaystyle{}\ptt (u,v)\app\bb R^2,\ F(u,v)=f(x,y)=f\Big(\frac{a\sp{1.5}u-b\sp{1.5}v}{a^2+b^2},\frac{b\sp{1.5}u+a\sp{1.5}v}{a^2+b^2}\Big)$
$\,\phi^{-1}\,$ étant
Toute application linéaire $\,f\app\sc L(\bb R^n,\bb R^p)\,$ est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R^n.$
de classe $\sc C^\I$
sur $\bb R^2,$ la fonction $F$ est de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^2,$ avec selon la règle de
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{1}(U\sp{-1.5},\bb R^m)\,$ et $V$ un ouvert de $\bb R^m.$
Si $\,f(U)\subset V\,$ et $\,g\app\sc C^1(V\!,\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\,$ et :
la chaîne :
$\displaystyle{}\ptt x\app U,\ \,\dp{(g\circ f)}{x_i}(x)=\sum_{j=1}^m\dp g{y_j}(f(x))\sp{1.5}\dp{f_j}{x_i}(x)$
$\eqalign{\dp Fu(u,v)&=\frac 1{a^2+b^2}\Big(a\,\dp fx(x,y)+b\,\dp fy(x,y)\Big)\\
\dp Fv(u,v)&=\frac 1{a^2+b^2}\Big(\!-b\,\dp fx(x,y)+a\,\dp fy(x,y)\Big)}$
L'équation aux dérivées partielles proposée est donc équivalente à l'équation : $\,\dp Fu(u,v)=0\,.\,$
Pour $v\app\bb R$ fixé, cette équation prouve que la fonction
Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$
alors, la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :
partielle
$\,u\mapsto F(u,v)\,$ est
- alors, la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est la fonction :
$\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
- $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
$\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ dérivable sur un intervalle $I\sp{1.5};$ $f$ est constante ssi :
constante
sur l'intervalle $\bb R.$
Il existe donc, pour tout $v\app\bb R\sp{1.5},$ une constante réelle $C(v)$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ f'(x)=0$
$\displaystyle{}\ptt (u,v)\app\bb R^2,\ F(u,v)=C(v)$
La fonction $\,C:v\mapsto C(v)\,$ est a priori quelconque, mais la fonction $F$ est de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^2.$
Il s'ensuit que ses fonctions
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
partielles
sont de classe $\sc C^1$ sur $\bb R\sp{1.5},$ ainsi donc que la fonction $C\sp{1.5},$ puisque :
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
$\displaystyle{}\ptt v\app\bb R,\ C(v)=F(0,v)$
Chaque solution de l'équation est donc de la forme suivante, pour une fonction $\,C\app\sc C^1(\bb R,\bb R)\,$ arbitraire :
$\displaystyle{}f:(x,y)\mapsto C(-b\sp{1.5}x+a\sp{1.5}y)$
Réciproquement, une telle fonction vérifie bien l'équation aux dérivées partielles, avec :
$\eqalign{&a\,\dp fx(x,y)=\sp{-1.5}-a\sp{1.5}b\,C'(-b\sp{1.5}x+a\sp{1.5}y)\\
&b\,\dp fy(x,y)=\,b\sp{1.5}a\,C'(-b\sp{1.5}x+a\sp{1.5}y)\\
\txt{d'où :}&a\,\dp fx(x,y)+b\,\dp fy(x,y)=0}$
Les solutions sont donc bien toutes les fonctions $\,f:(x,y)\mapsto C(-b\sp{1.5}x+a\sp{1.5}y),\,$ pour $C\app\sc C^1(\bb R,\bb R).$
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Exercice c
Déterminer l'ensemble des fonction réelles $f$ de classe $\sc C^1$ sur $\,\bb R^2\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{(0,0)\}\,$ vérifiant l'équation aux dérivées partielles :
$\displaystyle{}y\,\dp fx(x,y)-x\,\dp fy(x,y)=x\sp{1.5}y$
règle de la chaîne pour plusieurs variables
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{1}(U\sp{-1.5},\bb R^m)\,$ et $V$ un ouvert de $\bb R^m.$
Si $\,f(U)\subset V\,$ et $\,g\app\sc C^1(V\!,\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{}\ptt x\app U,\ \,\dp{(g\circ f)}{x_i}(x)=\sum_{j=1}^m\dp g{y_j}(f(x))\sp{1.5}\dp{f_j}{x_i}(x)$
fonctions partielles d'une fonction de classe ${\scr C}^1$
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
indication
1
Écrire l'équation en coordonnées polaires, avec $\,(\rho,\theta)\app\,]\sp{1.5}0,+\I[\times\bb R\,$ tel que : $\,(x,y)=(\rho\sp{1.5}\cos\theta,\rho\sp{1.5}\sin\theta)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Résoudre cette équation en coordonnées polaires, et en déduire la solution générale de l'équation initiale.
réponse
On obtient, pour une fonction $\,C\app\sc C^1\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[,\bb R\big)\,$ arbitraire, l'ensemble des fonctions :
$\displaystyle{}f:(x,y)\mapsto \dfrac{x^2-y^2}4+C\big(\sqrt{x^2+y^2}\big)$
correction
Pour utiliser des coordonnées
On utilise les coordonnées polaires sur $\bb R^2$ avec l'application :
polaires,
on considère la fonction suivante de $\,]\sp{1.5}0,+\I[\times\bb R\,$ vers $\,\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}\phi:(\rho\sp{.75},\theta)\mapsto(\rho\sp{1.5}\cos\theta\sp{.75},\rho\sp{1.5}\sin\theta)$
$\,\phi\app\sc C^\I(\Omega\sp{.75},\bb R^2)\sp{1.5},\,$ où $\,\Omega=\,]0,+\I[\times\bb R\,$ et $\,\phi(\Omega)=\bb R^2\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{(0,0)\}\!\cdot\,$
$\displaystyle{}\phi:(\rho,\theta)\mapsto(x,y)=(\rho\sp{1.5}\cos\theta\sp{.75},\rho\sp{1.5}\sin\theta)$
La fonction $\,\phi\,$ est de classe $\sc C^\I$ sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\times\bb R\,$ et a pour image $\,\bb R^2\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{(0,0)\}\sp{1.5},\,$ d'où la fonction composée :
$\displaystyle{}F=f\circ\phi:(\rho,\theta)\mapsto f(x,y)=f(\rho\sp{1.5}\cos\theta\sp{.75},\rho\sp{1.5}\sin\theta)$
Selon la règle de
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{1}(U\sp{-1.5},\bb R^m)\,$ et $V$ un ouvert de $\bb R^m.$
Si $\,f(U)\subset V\,$ et $\,g\app\sc C^1(V\!,\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\,$ et :
la chaîne,
cette fonction $F$ est de classe $\sc C^1$ et admet des dérivées partielles sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\times\bb R:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app U,\ \,\dp{(g\circ f)}{x_i}(x)=\sum_{j=1}^m\dp g{y_j}(f(x))\sp{1.5}\dp{f_j}{x_i}(x)$
$\eqalign{\dp F\rho(\rho,\theta)&=\cos\theta\,\dp fx(\phi(\rho,\theta))+\sin\theta\,\dp fy(\phi(\rho,\theta))\\
\dp F\theta(\rho,\theta)&=-\rho\sin\theta\,\dp fx(\phi(\rho,\theta))+\rho\cos\theta\,\dp fy(\phi(\rho,\theta))}$
L'équation aux dérivées partielles proposée est donc équivalente à l'équation :
$\eqalign{\dp F\theta(\rho,\theta)&=-y\,\dp fx(x,y)+x\,\dp fy(x,y)=-x\sp{1.5}y\\[-1ex]&=-\rho^2\cos\theta\sp{1.5}\sin\theta=-\frac{\rho^2}2\,\sin(2\sp{1.5}\theta)}$
Pour $\,\rho\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ fixé, il existe par
$F$ est une primitive de $\,f:I\to\bb K\,$ ssi $F$ est dérivable sur $I$ et $\,F'=f.\,$
Les primitives de $f$ sont alors les $\,G:x\mapsto F(x)+C,\,$ pour $\,C\app\bb K\sp{1.5}.\,$
primitivation
sur $\bb R\sp{1.5},$ une constante $C(\rho)\app\bb R$ telle que, avec une formule de
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
duplication :
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
$\eqalign{\ptt \theta\app\bb R\sp{1.5},\ F(\rho,\theta)&=\smh{1.5}{\frac{\rho^2}4}\,\cos(2\sp{1.5}\theta)+C(\rho)\\
&={\frac{\rho^2}4}\sp{1.5}(\cos^2\theta-\sin^2\theta\sp{1.5})+C(\rho)}$
La fonction $\,C:\rho\mapsto C(\rho)\,$ est a priori quelconque, mais la fonction $F$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\times\bb R\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit que ses fonctions
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
partielles
sont de classe $\sc C^1,$ ainsi donc que la fonction $C$ sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ puisque :
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
$\displaystyle{}\ptt\rho\app\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\ C(\rho)=F(\rho,\pi/4)$
Avec $\,\rho=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5},\,$ on obtient, pour une fonction $\,C\app\sc C^1\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[,\bb R\big)\,$ arbitaire, des solutions $f$ de la forme : $\displaystyle{} f:(x,y)\mapsto\frac{x^2-y^2}4+C\big(\sqrt{x^2+y^2}\big)$
Réciproquement, pour une telle fonction $f,$ on obtient :
$\eqalign{&\dp f x(x,y)&=\ \ \frac x2+\dfrac x{\sqrt{x^2+y^2}}\,C'\big(\sqrt{x^2+y^2}\big)\\[-.5ex]
&\dp f y(x,y)&=-\frac y2+\dfrac y{\sqrt{x^2+y^2}}\,C'\big(\sqrt{x^2+y^2}\big)\\[.5ex]
&\txt{d'où :} &y\,\dp fx(x,y)-x\,\dp fy(x,y)=x\sp{1.5}y}$
Les solutions sont bien toutes les fonctions $\,f:(x,y)\mapsto\dfrac{x^2-y^2}4+C\big(\sqrt{x^2+y^2}\big),\,$ pour $\,C\app\sc C^1\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[,\bb R\big).\,$
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Exercice d
À l'aide du changement de variable $\,(u,v)=(x+y,y)\sp{1.5},\,$ résoudre dans $\,\sc C^2(\bb R^2,\bb R)\,$ l'équation aux dérivées partielles :
$\displaystyle{}\dfrac{\partial^2\sp{-1.5} f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial^2\sp{-1.5} f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}$
règle de la chaîne pour plusieurs variables
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{1}(U\sp{-1.5},\bb R^m)\,$ et $V$ un ouvert de $\bb R^m.$
Si $\,f(U)\subset V\,$ et $\,g\app\sc C^1(V\!,\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{}\ptt x\app U,\ \,\dp{(g\circ f)}{x_i}(x)=\sum_{j=1}^m\dp g{y_j}(f(x))\sp{1.5}\dp{f_j}{x_i}(x)$
fonctions partielles d'une fonction de classe ${\scr C}^1$
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
indication
1
Montrer l'existence d'une fonction $F\app\sc C^2(\bb R^2,\bb R)$ telle que :
$\,\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ f(x,y)=F(x+y,y)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Établir que cette fonction $F$ vérifie une équation aux dérivées partielles simple, et la résoudre en fixant successivement l'une et l'autre des variables $u$ et $v.$
réponse
On obtient l'ensemble des fonctions $\,f:(x,y)\mapsto K(x+y)+L(y),\,$ pour des fonction $K\app\sc C^2(\bb R,\bb R)$ et $L\app\sc C^2(\bb R,\bb R)$ arbitraires.
correction
L'application $\,\phi:(x,y)\mapsto(x+y,y)\,$ est un
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $\bb R^2$ de matrice $\,\matr{1&1\\0&1}\!\cdot\,$
Avec pour déterminant : $\,\det\phi=1\neq0\sp{1.5},\,$ c'est un automorphisme de $\bb R^2,$
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
de réciproque :
$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
$\displaystyle{}\phi^{-1}:(u,v)\mapsto(x,y)=(u-v\sp{.75},v)$
On considère alors la fonction composée $\,F=f\circ\phi^{-1}\,$ définie par : $\displaystyle{}F=f\circ\phi^{-1}:(u,v)\mapsto F(u,v)=f(x,y)=f(u-v,v)$
$\,\phi^{-1}\,$ étant
Toute application linéaire $\,f\app\sc L(\bb R^n,\bb R^p)\,$ est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R^n.$
de classe $\sc C^\I$
sur $\bb R^2,$ la fonction $F$ est de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^2,$ avec selon la règle de
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{1}(U\sp{-1.5},\bb R^m)\,$ et $V$ un ouvert de $\bb R^m.$
Si $\,f(U)\subset V\,$ et $\,g\app\sc C^1(V\!,\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\,$ et :
la chaîne :
$\displaystyle{}\ptt x\app U,\ \,\dp{(g\circ f)}{x_i}(x)=\sum_{j=1}^m\dp g{y_j}(f(x))\sp{1.5}\dp{f_j}{x_i}(x)$
$\eqalign{&\dp Fu(u,v)=\dp fx(x,y)\\ &\dp Fv(u,v)=-\dp fx(x,y)+\dp fy(x,y)}$
$f$ étant de classe $\sc C^2\!,$ ces dérivées partielles sont de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^2\sp{1.5},$ et $F$ est donc
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est de classe $\sc C^2$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :
de classe $\sc C^2$
sur $\bb R^2.$
Le même principe appliqué à la fonction $\,G=\Big(\!-\dp fx+\dp fy\Big)\circ\phi^{-1}\,$ nous donne alors :
- $f$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,\Omega\sp{1.5},\,$
- et ses dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i\,$ sont de classe $\sc C^1$ sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\frac{\partial^2\!F}{\partial u\sp{1.5}\partial v}(u,v)&=\dp{}{u}\Big(\dp F v(u,v)\Big)\\[-.5ex]
&=\dp{}{x}\Big(\!\!-\dp fx(x,y)+\dp fy(x,y)\Big)\\[-.5ex]&=-\frac{\partial^2\sp{-1.5} f}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2\sp{-1.5} f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}(x,y)}$
L'équation aux dérivées partielles proposée est donc équivalente à l'équation : $\,\dfrac{\partial^2\!F}{\partial u\sp{1.5}\partial v}(u,v)=0\sp{1.5}.\,$
Pour $v\app\bb R$ fixé, la fonction $\,u\mapsto \dp Fv(u,v)\,$ est
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ dérivable sur un intervalle $I\sp{1.5};$ $f$ est constante ssi :
constante
sur l'intervalle $\bb R\sp{1.5}.$
Il existe donc, pour tout $v\app\bb R\sp{1.5},$ une constante réelle $C(v)$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ f'(x)=0$
$\displaystyle{}\ptt (u,v)\app\bb R^2,\ \smh{1}{\dp Fv(u,v)}=C(v)$
La fonction $\,C:v\mapsto C(v)\,$ est a priori quelconque, mais la dérivée partielle $\, \dp Fv\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^2.$
Il s'ensuit que ses fonctions
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
partielles
sont de classe $\sc C^1$ sur $\bb R\sp{1.5},$ ainsi donc que la fonction $C\sp{1.5},$ puisque :
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
$\displaystyle{}\ptt v\app\bb R,\ C(v)=\smh{1.5}{\dp Fv(0,v)}$
Pour $u\app\bb R$ fixé, on peut alors résoudre l'équation $\,\dp Fv(u,v)=C(v)\,$ par primitivation.
$L$ étant une
$F$ est une primitive de $\,f:I\to\bb K\,$ ssi $F$ est dérivable sur $I$ et $\,F'=f.\,$
Les primitives de $f$ sont alors les $\,G:x\mapsto F(x)+C,\,$ pour $\,C\app\bb K\sp{1.5}.\,$
primitive
de $C$ sur l'intervalle $\bb R\sp{1.5},$ il existe pour tout $\,u\app\bb R\sp{1.5},\,$ une constante $K(u)$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt (u,v)\app\bb R^2,\ F(u,v)=L(v)+K(u)$
Les fonction $K$ et $L$ sont alors des fonctions de classe $\sc C^2$ sur $\bb R\,;$ en effet :
- $\,\ptt u\app\bb R,\ K(u)=F(u,0)-L(0),\,$ où $\,u\mapsto F(u,0)\,$ est une fonction
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :partielle de $F\app\sc C^2(\bb R^2,\bb R)\,;$$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex] &\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$ Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
- la fonction $L$ est de classe $\sc C^2$ sur $\bb R$ en tant que primitive de la fonction $C$ de classe $\sc C^1$ sur $\bb R\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}f:(x,y)\mapsto K(x+y)+L(y)$
Réciproquement, une telle fonction $f$ vérifie bien l'équation aux dérivées partielles, car pour tout $\,(x,y)\app\bb R^2:\,$
$\eqalign{&\dp fx(x,y)=K'(x+y)\txt{et}\dp fy(x,y)=K'(x+y)+L'(y)\\[-1ex]
&\!\!\txt{d'où :}\frac{\partial^2\sp{-1.5} f}{\partial x^2}(x,y)=K''(x+y) =\frac{\partial^2\sp{-1.5} f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}(x,y)}$
Les solutions sont bien toutes les fonctions $\,f:(x,y)\mapsto K(x+y)+L(y)\sp{1.5},\,$ pour $\,K, L\app\sc C^2(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$
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Exercice e
On considère l'équation aux dérivées partielles suivante où $f$ représente une fonction de classe $\sc C^2$ sur $\bb R^2:$
$\displaystyle{}f\sp{-1.5}\cdot\!\dfrac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}=\dp fx\!\cdot\!\dp fy$
Montrer que les solutions de cette équation ne s'annulant pas sur $\bb R^2$ sont exactement les fonctions de la forme :
$\displaystyle{}f:(x,y)\mapsto u(x)\sp{1.5}v(y)\sp{1.5},\txt{pour}u,v\app\sc C^2(\bb R\sp{.75},\bb R^{\ast}\sp{-1.5})$
règle de la chaîne pour plusieurs variables
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{1}(U\sp{-1.5},\bb R^m)\,$ et $V$ un ouvert de $\bb R^m.$
Si $\,f(U)\subset V\,$ et $\,g\app\sc C^1(V\!,\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{}\ptt x\app U,\ \,\dp{(g\circ f)}{x_i}(x)=\sum_{j=1}^m\dp g{y_j}(f(x))\sp{1.5}\dp{f_j}{x_i}(x)$
fonctions partielles d'une fonction de classe ${\scr C}^1$
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
indication
1
Montrer d'abord que les fonctions $\,f:(x,y)\mapsto u(x)\sp{1.5}v(y)\sp{1.5},\,$ pour $\,u,v\app\sc C^2(\bb R\sp{.75},\bb R^{\ast}\sp{-1.5})\sp{1.5},\,$
sont bien des solutions.
indication
2
Établir la réciproque en utilisant la fonction : $\,(x,y)\mapsto\smh3{\dfrac{\dp fy(x,y)}{f(x,y)}}\!\cdot\,$
réponse
L'ensemble des fonctions $\,f\app\sc C^2(\bb R^2,\bb R)\,$ ne s'annulant pas sur $\bb R^2$ et telles que :
$\displaystyle{}f\cdot\dfrac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}=\dp fx\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\dp fy$
est bien exactement l'ensemble des $\,f:(x,y)\mapsto u(x)\sp{1.5}u(y)\sp{1.5},\,$ pour $\,u,v\app\sc C^2(\bb R\sp{.75},\bb R^{\ast}\sp{-1.5})\sp{1.5}.\,$
correction
Soit une fonction définie sur $\bb R^2$ par $\,f:(x,y)\mapsto u(x)\sp{1.5}v(x)\sp{1.5},\,$ pour $\,u,v\app\sc C^2(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$
$f$ est alors de classe $\sc C^2$ sur $\bb R^2, $ comme
Soit $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^n$ et $\,f,g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$ alors :
produit
des fonctions : $\,(x,y)\mapsto u(x)\,$ et $\,(x,y)\mapsto v(y)\sp{1.5}.\,$
Ces fonctions sont en effet les
- $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$
- $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app \Omega\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{k}(U\sp{-1.5},\bb R)\,$ et $I$ un intervalle.
Si $\,f(U)\subset I\,$ et $\,\phi\app\sc C^k(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ alors : $\,(\phi\circ f)\app\sc C^k(U\sp{-1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$
composées
par $\,u\,$ et $\,v\,$ des formes
Toute application linéaire $\,f\app\sc L(\bb R^n,\bb R^p)\,$ est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R^n.$
linéaires :
$\,(x,y)\mapsto x\,$ et $\,(x,y)\mapsto y\sp{1.5}.\,$
Par définition des
Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$
alors, la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :
dérivées
partielles, la fonction $f$ vérifie donc :
- alors, la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est la fonction :
$\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
- $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
$\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$
$\eqalign{\dp fx(x,y)=u'(x)\sp{1.5}v(y)\,\txt{et}\,\dp fy(x,y)=u(x)\sp{1.5}v'(y)\\[-1ex]
\txt{puis :}\frac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(u(x)\sp{1.5}v'(y)\big)=u'(x)\sp{1.5}v'(y)}$
Il s'ensuit que $f$ vérifie bien l'équation aux dérivées partielles proposée, puisqu'on a pour tout $\,(x,y)\app\bb R^2:\,$
$\eqalign{&f(x,y)\,\frac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}(x,y)=\big(u(x)\sp{1.5}v(y)\big)\big(u'(x)\sp{1.5}v'(y)\big)\\[-1ex]
&\ =\big(u'(x)\sp{1.5}v(y)\big)\big(u(x)\sp{1.5}v'(y)\big)=\dp fx(x,y)\,\dp fy(x,y)}$
Réciproquement, considérons une fonction $\,f\app\sc C^2(\bb R^2,\bb R)\sp{1.5},\,$ ne s'annulant pas, et vérifiant cette équation.
Alors le
Soit $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^n$ et $\,f,g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$ alors :
quotient
de $\,\smb{2}{\dp fy}\,$ par $f$ est de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^2\sp{1.5};$ sa dérivée partielle en $\,x\,$ est celle d'un
- $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$
- $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app \Omega\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I\sp{1.5},$ tel que : $\,g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Alors les quotients $\,1/g\,$ et $\,f/g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :
quotient
de fonctions de $\,x:\,$
$\displaystyle{}\!\Big(\dfrac 1g\Big)'(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}-\dfrac{g'(x)}{g(x)^2}\txt{et}
\Big(\dfrac fg\Big)'(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\dfrac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{g(x)^2}$
$\eqalign{ \dp{}x\Big(\dp fy\sp{-1.5}\Big/\!\sp{-1.5}f\Big)&=\frac{\dp{}x\Big(\dp fy\Big)\sp{-1.5}\cdot\! f-\dp fy\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\dp fx}{f^2}\\[-.5ex]
&=\frac{f\cdot\dfrac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}-\dp fx\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\dp fy}{f^2}=0}$
Pour $y\app\bb R$ fixé, il s'ensuit que la fonction $\,x\mapsto \Big(\dp fy\sp{-1.5}\Big/\!\sp{-1.5}f\Big)(x,y)\,$ est
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ dérivable sur un intervalle $I\sp{1.5};$ $f$ est constante ssi :
constante
sur l'intervalle $\bb R\sp{1.5}.$
Il existe donc, pour tout $y\app\bb R\sp{1.5},$ une constante réelle $C(y)$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ f'(x)=0$
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ \,\smh{1}{\dp fy}(x,y)=C(y)\,f(x,y)$
La fonction $\,C:y\mapsto C(y)\,$ est a priori quelconque, mais la fonction $f$ est supposée de classe $\sc C^2$ sur $\bb R^2.$
Ses fonctions
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
partielles
et celles de $\,\partial f\sp{-1.5}\big/\sp{-1.5}\partial y\,$ sont alors de classe $\sc C^1$ sur $\bb R\sp{1.5},$ ainsi que leur
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
Soit $I$ un intervalle de $\bb R$ et $\,f,g\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors :
quotient
$C,$ puisque :
- $\,\sc C^{n}(I,\bb K)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(I,\bb K)\sp{1.5};\,$
- $\,\sc C^{n}(I,\bb K)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt y\app\bb R,\ C(y)=\dfrac{\big(\partial f\sp{-1.5}\big/\sp{-1.5}\partial y\big)(0,y)}{f(0,y)}$
Pour tout $\,x\app\bb R\,$ fixé, la fonction $\,z:y\mapsto f(x,y)\,$ vérifie alors
Soient $\,a\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
l'équation
différentielle : $\,z'(y)=C(y)\sp{1.5}z(y)\sp{1.5}.\,$
$\,\Gamma\,$ étant une
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=0$
$\,A\,$ étant une primitive de $\,a\sp{1.5},\,$ la solution générale sur $\,I\,$ de $\,(\sc E_0)\,$ est :
$\displaystyle{}\psi(x)= K\sp{1.5}\e{-A(x)}\sp{1.5},\txt{pour}K\app\bb K$
$F$ est une primitive de $\,f:I\to\bb K\,$ ssi $F$ est dérivable sur $I$ et $\,F'=f.\,$
Les primitives de $f$ sont alors les $\,G:x\mapsto F(x)+C,\,$ pour $\,C\app\bb K\sp{1.5}.\,$
primitive
de la fonction $\,C\sp{1.5},\,$ il existe un réel $u(x)\sp{1.5},$ constant vis à vis de la variable $\,y\sp{1.5},\,$ et tel que :
$\displaystyle{}\ptt y\app\bb R,\ \,z(y)=u(x)\sp{1.5}\e{\Gamma(y)}$
En posant, pour tout $\,y\app\bb R:\,$ $\,v(y)=\e{\sp{1.5}\Gamma(y)} \sp{-1.5}>\sp{-1.5} 0\sp{1.5},\,$ on a ainsi établi la relation :
$\displaystyle{}\ptt(x,y)\app\bb R^2,\ \,f(x,y)=u(x)\sp{1.5}v(y)$
- La fonction $\,x\mapsto u(x)\,$ appartient à $\,\sc C^2(\bb R\sp{1.5},\bb R^{\ast}\sp{-1.5})\,$ comme multiple d'une fonction
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :partielle de $\,f\app\sc C^2(\bb R^2,\bb R^{\ast}\sp{-1.5}):\,$$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex] &\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$ Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$$\displaystyle{} \ptt x\app\bb R,\ u(x)=\e{-\Gamma(0)}\sp{1.5}f(x,0)\neq0$
- La fonction $\,y\mapsto v(y)=\e{\sp{1.5}\Gamma(y)}\,$ appartient à $\,\sc C^2(\bb R\sp{1.5},\bb R^{\ast}\sp{-1.5})\,$ comme
Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\ n\geq1\sp{1.5};\,$ $\,f:x\mapsto\e{u(x)}\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :exponentielle d'une primitive de $\,C\app\sc C^1(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=u'(x)\,\e{u(x)}$
$\displaystyle{}f\cdot\dfrac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}=\dp fx\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\dp fy$
est bien exactement l'ensemble des $\,f:(x,y)\mapsto u(x)\sp{1.5}u(y)\sp{1.5},\,$ pour $\,u,v\app\sc C^2(\bb R\sp{.75},\bb R^{\ast}\sp{-1.5})\sp{1.5}.\,$