exercices de mathématiques - prépa et université

Le carré $\,[0,1]^2\,$ est la réunion des triangles pleins $T_1$ et $T_2$ définis par :

On remarque que $f$ prend sur $T_2$ les mêmes valeurs que sur $T_1$ car,  pour tout $\,(x,y)\app\bb R^2:\,$

On considère alors l'ensemble : $\,\Omega_1=\ens{(x,y)\app\bb R^2}{0 < x < y < 1}\,$ qui est un ouvert de $\bb R^2.$

En effet, $\Omega_1$ est

Dans un espace vectoriel normé $E:$

• toute réunion d'ouverts de $E$  est  un ouvert de $E\sp{1.5};$
• toute intersection  finie  d'ouverts de $E$  est  un ouvert de $E\sp{1.5}.$

l'intersection des

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$

• pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
• pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$

ouverts $\,(\phi_i)^{-1}(]\sp{1.5}0,+\I[)\sp{1.5},\,$ pour les fonctions

Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :

$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$

Ces fonctions  sont  continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$

continues :

Sur cet ouvert $\Omega_1\sp{1.5},$ la fonction

Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :

$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$

Ces fonctions  sont  continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$

polynomiale $\,(x,y)\mapsto x\sp{1.5}(1-y)\,$ est sans point

Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

• La différentielle de $f$ en $a$ est la forme linéaire $\d f(a)$ de $\bb R^n:$
  $\displaystyle{}h=(h_1,\dots,h_n)\mapsto\d f(a)\!\cdot\!h=\smb{2}{\smh{1.5}{\dsum_{i=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\,h_i}}$
• Un point $\,a\,$ de $\,\Omega\,$ est  un point critique de $f$  ssi $\,\d f(a)=0\sp{1.5}.\,$

critique, car :

Les

Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

Si $f$ admet un extremum local en $a\sp{1.5},$ alors $a$ est un point critique de $f.$

extremums de $f$ sur le triangle $T_1$ appartiennent donc à $\,\Gamma_1=T_1\!\setminus\!\Omega_1\sp{1.5};\,$ plus précisément :

• $f$ présente en chaque point de $\Gamma_1$ tels que $\,x=0\,$ ou $\,y=1\,$ un
  $\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

  • un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
  • un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

  Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$
  minimum global, car pour $\,(x,y)\app T_1:\,$
  $\displaystyle{}f(x,y)=x\sp{1.5}(1-y)\geq 0=f(0,y)=f(x,1)$
• $f$ présente au point $\,A=(1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5},1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2)\,$ un unique
  $\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

  • un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
  • un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

  Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$
  maximum global de valeur $1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}4\sp{1.5},$ car pour $\,(x,y)\app T_1:\,$
  $\eqalign{&f(x,y)=x\sp{1.5}(1-y)\leq x\sp{1.5}(1-x)\leq\smh{1}{ \frac14}=f(A)\\[-1ex] &\!\!\txt{avec :}\ptt x\neq\frac12\sp{1.5},\ \,x\sp{1.5}(1-x)=\frac14-\Big(x-\frac12\Big)^2\!<\frac14}$

On considère alors le contour : $\,\Gamma=\Gamma_1\cup\Gamma_2,\,$ où $\,\Gamma_2=\sigma(\Gamma_1)\,$ pour la symétrie $\,\sigma:(x,y)\mapsto(y,x)\sp{1.5}.\,$

On peut finalement conclure de tout ce qui précède que $f$ présente sur le carré $[0,1]^2:$

• un minimum global nul en chacun des points du contour $\,\Gamma\sp{1.5},\,$
• un unique maximum global de valeur $\,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}4\,$ au point $\,A=(1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5},1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2)\sp{1.5}.\,$

Les lignes de niveau de $f$ sur $\,C=[\sp{1.5}0,1]^2\,$

La surface représentant $f$ dans $\,P=C\!\times\![\sp{1.5}0\sp{.75},1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}4\sp{1.5}]\,$

La fonction $f$ est

Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :

$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$

Ces fonctions  sont  continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$

polynomiale, et donc de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^2,$ avec pour dérivées partielles : Avec $\,\dp fy(x,y)=-y\sp{1.5}(y^2+3\sp{1.5}x^2+2)\,$ et $\,y^2+3\sp{1.5}x^2+2 > 0\sp{1.5},\,$ la relation  $\,\d f(x,y)=0\,$  équivaut au système :

La fonction $f$ possède donc trois points

Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

• La différentielle de $f$ en $a$ est la forme linéaire $\d f(a)$ de $\bb R^n:$
  $\displaystyle{}h=(h_1,\dots,h_n)\mapsto\d f(a)\!\cdot\!h=\smb{2}{\smh{1.5}{\dsum_{i=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\,h_i}}$
• Un point $\,a\,$ de $\,\Omega\,$ est  un point critique de $f$  ssi $\,\d f(a)=0\sp{1.5}.\,$

critiques, pouvant correspondre à des

Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

Si $f$ admet un extremum local en $a\sp{1.5},$ alors $a$ est un point critique de $f.$

extremums de $f:$

En mettant en évidence le

Pour tous $\,a,b,c\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a la formule :

$\displaystyle{}(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2\sp{1.5}(a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\sp{1.5}a)$

carré d'une somme de trois réels, on peut majorer $\,f(x,y)-f(A):\,$

Avec : $\,\ptt(x,y)\app\bb R^2,\ f(-x,y)=f(x,y)\sp{1.5},\,$ la situation est la même pour $\,B\,$ que pour $\,A\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que $f$ présente en $\,A\,$ et $\,B\,$ un

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

• un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
• un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$

maximum global de valeur $\,f(A)=f(B)=1\sp{1.5}.\,$

On analyse ensuite le signe de $\,f(x,y)-f(O)\,$ autour de $\,O:\,$

• $\,f(x,0)=x^2-\smh{1.5}{\dfrac{x^4\!}4=\dfrac{x^2\!}4\sp{1.5}(4-x^2)}\geq0\sp{1.5},\,$ si $\,|x|\leq2\,;\,$
• $\,f(0,y)=-y^2-\smh{1}{\dfrac{y^4\!}4=-\dfrac{x^2\!}4\sp{1.5}(4+y^2)}\leq0\sp{1.5},\,$ si $\,y\app\bb R\sp{1.5}.\,$

La fonction $f$ présente donc un

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R^n\,$ présente un point col en $\,a\app\Omega\,$ si :

• $f$ admet un maximum local en $\,a\,$ dans une direction,
• et $f$ admet un minimum local en $\,a\,$ dans une autre direction.

point col en $\,O=(0,0)\sp{1.5}.\,$

Finalement, la fonction $f$ présente donc :

• un unique maximum global de valeur $\,1\sp{1.5}\,$ en $A$ et en $B,$
• mais aucun minimum local sur $\bb R^2,$ avec un point col en $\,O\sp{1.5}.\,$

Les lignes de niveau de $f$ sur $\,R=[-2\sp{.75},2\sp{1.5}]\!\times\![-1\sp{.75},1\sp{1.5}]\,$

La surface représentant $f$ dans $\,P=R\!\times\![-10\sp{.75},2\sp{1.5}]\,$

La fonction$f$ est

Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :

$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$

Ces fonctions  sont  continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$

polynomiale, et donc de classe $\sc C^2$ sur $\bb R^2,$ avec pour dérivées partielles :

la relation $\,\d f(x,y)=0\,$ équivaut alors au système :  $\,x\sp{1.5}(2+3\sp{1.5}x)=y=0\sp{1.5}.\,$

La fonction $f$ possède donc deux points

Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

• La différentielle de $f$ en $a$ est la forme linéaire $\d f(a)$ de $\bb R^n:$
  $\displaystyle{}h=(h_1,\dots,h_n)\mapsto\d f(a)\!\cdot\!h=\smb{2}{\smh{1.5}{\dsum_{i=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\,h_i}}$
• Un point $\,a\,$ de $\,\Omega\,$ est  un point critique de $f$  ssi $\,\d f(a)=0\sp{1.5}.\,$

critiques, pouvant correspondre à des

Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

Si $f$ admet un extremum local en $a\sp{1.5},$ alors $a$ est un point critique de $f.$

extremums de $f:$

On dispose alors de deux méthodes pour analyser chacun de ces points critiques $\,M=(a,b):\,$

• Soit étudier le signe de $\,\delta_M(h,k)=f(a+h,b+k)-f(a,b)\sp{1.5},\,$ pour $(h,k)$ voisin de $(0,0):$
  • On obtient d'abord que $f$ présente un
    $\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

    • un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
    • un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

    Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$
    minimum local en $\,O\sp{1.5},\,$ car pour $\,h\geq -1:\,$
    $\displaystyle{}\delta_O(h,k)= f(h,k)\sp{-1.5}-\sp{-1.5}f(O)=h^2(h+1)+k^2\!\geq0$
  • On touve ensuite que $f$ présente un
    $\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R^n\,$ présente un point col en $\,a\app\Omega\,$ si :

    • $f$ admet un maximum local en $\,a\,$ dans une direction,
    • et $f$ admet un minimum local en $\,a\,$ dans une autre direction.
    point col en $\,A\sp{1.5},\,$ puisque :
    $\eqalign{ \delta_A(h,k)&=f(-2\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3+h,k)-f(A)\\[-.5ex] &=(h-2\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3)^2(h+1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3)+k^2-4\sp{-1.5}/\sp{-1.5}27\\[-.5ex] &=h^2(h-1)+k^2\sp{1.5},\txt{d'où :}\\ &\syst{\,\ptt h \leq 1\sp{1.5},\,\delta_A(h,0)\leq0\\[-.25ex] \sp{1.5}\ptt k\app\bb R\sp{1.5},\,\delta_A(0,k)\geq0}}$

• Soit chercher la nature de la matrice
  Soient $\,f\app\sc C^2(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

  Alors, la matrice hessienne de $f$ en $\,a\,$ est la matrice symétrique :

  $\displaystyle{}H_f(a)=\smh{1.5}{\Big[\dfrac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\Big]}\app\sc S_n(\bb R)$
  hessienne $\,H_{\sp{-1.5}f}(M)\sp{1.5},\,$ sachant que $\,f\app\sc C^2(\bb R^2,\bb R):\,$
  $\eqalign{&\ptt (x,y)\app\bb R^2\sp{1.5},\ H_{\sp{-1.5}f}(x,y)=\smh{1.5}{\matc{2+6\sp{1.5}x&\!\!0\,\\[-.5ex]0&\!\!2\,}}}$
  • On en déduit que $f$ admet un
    Soient $\,f\app\sc C^2(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\,$ un point critique de $f.$

    Alors, $\,H_{\sp{-1.5}f}(a)\,$ étant la matrice hessienne de $f$ en $\,a:\,$

    • si $\,H_f(a)\non\app\sc S_n^+(\bb R)\sp{1.5},\,$ $f$ n'a pas de minimum local en $\,a\,;\,$
    • si $\,H_f(a)\app\sc S_n^{++}(\bb R)\sp{1.5},\,$ $f$ a un minimum local strict en $\,a\sp{1.5}.\,$

    Mêmes conditions pour un maximum, avec $\sc S_n^-(\bb R)$ et $\sc S_n^{--}(\bb R)\sp{1.5}.$
    minimum local en $\,O\sp{1.5},\,$ puisque :  $\,H_{\sp{-1.5}f}(O)=2\sp{1.5}I_2\app\sc S_2^{++}(\bb R)\sp{1.5}.\,$

  • En revanche, $f$ n'admet pas d'extremum local en $\,A\sp{1.5},\,$ car :  $\,\det\big(H_{\sp{-1.5}f}(A)\big)=\smh{1.5}{\detr{\!-2&0\\[-.5ex]0&2}}=-4 < 0\sp{1.5}.\,$
    En effet, avec deux
    Soit $\,A\app\sc S_n(\bb R)\,$ une matrice symétrique ; alors :

    • $\,A\app\sc S_n^+(\bb R)\,\Ssi \op{Sp}(A)\subset [\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,;\,$
    • $\,A\app\sc S_n^{++}(\bb R)\Ssi \op{Sp}(A)\subset\ \sp{-1.5}]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
    valeurs propres de signes opposés, on a : $\,H_{\sp{-1.5}f}(A)\non\app\big(\sc S_2^{+}(\bb R)\sp{-1.5}\cup\!\sc S_2^{-}(\bb R)\big).\,$

On a donc établi en tout cas que $f$ n'admet qu'un minimum local en $O\sp{1.5},$ et que celui-ci n'est pas global, car :

Les lignes de niveau de $f$ sur $\,R=[-2\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3\sp{.75},4\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3\sp{1.5}]\!\times\![-1,1\sp{1.5}]\,$

La surface représentant $f$ dans $\,P=R\!\times\![-1\sp{.75},2\sp{1.5}]\,$

Les fonctions

Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :

$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$

Ces fonctions  sont  continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$

polynomiales $\,(x,y)\mapsto x-y\,$ et $\,(x,y)\mapsto x\sp{1.5}y\,$ sont de classe $\sc C^2$ sur $\bb R^2.$

Par

Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{k}(U\sp{-1.5},\bb R)\,$ et $I$ un intervalle.

Si $\,f(U)\subset I\,$ et $\,\phi\app\sc C^k(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ alors :  $\,(\phi\circ f)\app\sc C^k(U\sp{-1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$

composition et

Soit $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^n$ et $\,f,g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$ alors :

• $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$
• $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app \Omega\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

produit, $\,f:(x,y)\mapsto(x-y)\sp{1.5}\e{x\sp{1.5}y}\,$ est donc de classe $\sc C^2$ sur $\bb R^2,$ avec pour

Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$

alors,  la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :

• alors,  la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est  la fonction :
  $\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
• $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
  $\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$

dérivées partielles : la relation $\,\d f(x,y)=0\,$ équivaut alors au système :

La fonction $f$ possède donc deux points

Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

• La différentielle de $f$ en $a$ est la forme linéaire $\d f(a)$ de $\bb R^n:$
  $\displaystyle{}h=(h_1,\dots,h_n)\mapsto\d f(a)\!\cdot\!h=\smb{2}{\smh{1.5}{\dsum_{i=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\,h_i}}$
• Un point $\,a\,$ de $\,\Omega\,$ est  un point critique de $f$  ssi $\,\d f(a)=0\sp{1.5}.\,$

critiques, pouvant correspondre à des

Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

Si $f$ admet un extremum local en $a\sp{1.5},$ alors $a$ est un point critique de $f.$

extremums de $f:$

On calcule alors la matrice

Soient $\,f\app\sc C^2(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

Alors, la matrice hessienne de $f$ en $\,a\,$ est la matrice symétrique :

$\displaystyle{}H_f(a)=\smh{1.5}{\Big[\dfrac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\Big]}\app\sc S_n(\bb R)$

hessienne de $f$ en $\,A\,$ à partir de ses dérivées secondes : On en déduit que $f$ n'admet pas d'

Soient $\,f\app\sc C^2(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\,$ un point critique de $f.$

Alors, $\,H_{\sp{-1.5}f}(a)\,$ étant la matrice hessienne de $f$ en $\,a:\,$

• si $\,H_f(a)\non\app\sc S_n^+(\bb R)\sp{1.5},\,$ $f$ n'a pas de minimum local en $\,a\,;\,$
• si $\,H_f(a)\app\sc S_n^{++}(\bb R)\sp{1.5},\,$ $f$ a un minimum local strict en $\,a\sp{1.5}.\,$

Mêmes conditions pour un maximum, avec $\sc S_n^-(\bb R)$ et $\sc S_n^{--}(\bb R)\sp{1.5}.$

extremum local en $\,A\sp{1.5},\,$ dans la mesure où :  $\,\det\big(H_{\sp{-1.5}f}(A)\big)=-4\sp{1.5}\sqrt2\,\e{-1/2} < 0\sp{1.5}.\,$

En effet, avec deux

Soit $\,A\app\sc S_n(\bb R)\,$ une matrice symétrique ; alors :

• $\,A\app\sc S_n^+(\bb R)\,\Ssi \op{Sp}(A)\subset [\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,;\,$
• $\,A\app\sc S_n^{++}(\bb R)\Ssi \op{Sp}(A)\subset\ \sp{-1.5}]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$

valeurs propres de signes opposés, on a :  $\,H_{\sp{-1.5}f}(A)\non\app\big(\sc S_2^{+}(\bb R)\sp{-1.5}\cup\!\sc S_2^{-}(\bb R)\big).\,$

Avec :  $\,\ptt(x,y)\app\bb R^2,\ f(-x,-y)=-f(x,y)\sp{1.5},\,$  la situation en $\,B\,$ est à l'opposé de la situation au point $\,A\sp{1.5}.\,$

Finalement, la fonction $f$ n'admet donc aucun

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

• un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
• un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$

extremum local sur $\bb R^2.$

Les lignes de niveau de $f$ sur $\,C=[-3\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{.75},3\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]^2\,$

La surface représentant $f$ dans $\,P=C\!\times\![-5\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{.75},5\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\,$

Les fonctions $\,(x,y)\mapsto x^{\alpha}\,$ et $\,(x,y)\mapsto y^{\beta}\\,$ sont les

Soient $\,E,\,F,\,G\,$ des espaces vectoriel normés, $\,A\!\subset\! E\,$ et $\,B\!\subset\! F:\,$

$\displaystyle{}\big(f\app\sc C(A,F)\sp{1.5}, g\app\sc C(B,G)\!\txt{et}\!f(A)\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}B\big)\!\Imp\! g\circ f\app\sc C(A,G)$

composées d'une forme

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $E$ de dimension finie.

Alors  toute $\,f\app\sc L(E,F)\,$ est  lipschitzienne, et donc continue.

linéaire par une fonction

Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance  $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :

• continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
• continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$

puissance.

Leur

Soient $E$ un espace vectoriel normé, ainsi que $\,f,g\app\sc C(A, \bb K):\,$

• les $\,\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g\,$ pour $(\alpha,\beta)\app\bb K^2$ sont continues sur $A\,;$
• le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ est continu sur $A\,;$
• le quotient $\,f/g\,$ est continu sur $A$  si  $g$ ne s'annule pas sur $A.$

$\,\sc C(A,\bb K)\,$ est  alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel, et même une $\bb K\tiret$algèbre.

produit $f$ est donc une fonction continue sur l'ensemble $\,Q=[\sp{1.5}0,+\I[^{\sp{1.5}2}\sp{1.5}.\,$

Pour $\,A_c\!=\!(c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}p,0)\,$ et $\,B_c\!=\!(0,c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}q)\sp{1.5},\,$ la contrainte $\,p\sp{1.5}x+q\sp{1.5}y=c\,$ caractérise une

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$

droite affine : Avec $\,D_c=g^{-1}(\{c\})\,$ pour la forme

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $E$ de dimension finie.

Alors  toute $\,f\app\sc L(E,F)\,$ est  lipschitzienne, et donc continue.

linéaire $\,g:(x,y)\mapsto p\sp{1.5}x+q\sp{1.5}y\sp{1.5},\,$ $D_c$ est une partie

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$

• pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
• pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$

fermée de $\bb R^2.$

D'autre part, $\,D_c\,$ est l'ensemble des $\,M=A_c+\lambda\sp{1.5}\vec{\sp{-1.5}A_cB_c}=(1-\lambda)\sp{1.5}A_c+\lambda\sp{1.5}B_c\,$ pour $\,\lambda\app\bb R\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que la contrainte $\,p\sp{1.5}x+q\sp{1.5}y=c\,$ caractérise sur $\,Q=[\sp{1.5}0,+\I[^{\sp{1.5}2}\,$ le

Pour deux points $A$ et $B$ d'un espace vectoriel réel $E,$ le segment $[\![A,B\sp{1.5}]\!]$  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}[\![A,B\sp{1.5}]\!]=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\smh1{\Vec{AB}}}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,1]}$

segment :

On établit alors que ce segment $\,[\![A_c\sp{.75},B_c\sp{1.5}]\!]\,$ est fermé et borné, c'est-à-dire compact :

• soit en tant qu'
  Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,K\,$ une partie compacte de $E\sp{1.5}.$

  Si $\,f:K\to F\,$ est continue,  alors  $f(K)$ est une partie compacte de $F.$
  image du compact $\,[0,1]\,$ par $\,\lambda\mapsto (1-\lambda)\sp{1.5}A_c+\lambda\sp{1.5}B_c\,$ qui est continue ;
• soit comme
  Dans un espace vectoriel normé $E:$

  • toute intersection de fermés de $E$  est  un fermé de $E\sp{1.5};$
  • toute réunion finie  de fermés de $E$  est  un fermé de $E\sp{1.5}.$
  intersection de la droite fermée $D_c$  par $\,\big[0,c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}p\big]\!\times\!\big[0,c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}q\big],\,$ qui est
  Dans un produit d'espaces vectoriels normés $\,E\!\times\!F:\,$

  • un produit d'ouverts de $E$ et $F$ est un ouvert de $\,E\!\times\!F\sp{1.5};\,$
  • un produit de fermés de $E$ et $F$ est un fermé de $\,E\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
  fermé et borné.

La restriction continue de $f$ à $\,S_c=[\![A_c\sp{1.5},B_c\sp{1.5}]\!]\,$ atteint donc son

Soit $K$ une partie fermée, bornée et non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie.

Si $f:K\to \bb R$ est une application continue,  alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

maximum $\,\mu_c\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ en un point $\,M=(x,y)\app S_c\sp{1.5}.\,$

Avec $\,x\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,y\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\,$ et $\,B(M,r)\!\subset\! Q\,$ pour $\,r\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\min(|x|,|y|)\sp{1.5},\,$ $M$ appartient à

Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$  et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$

Le point $\,a\,$ est  intérieur à $A$  ssi  il existe une boule de centre $\,a\,$ contenue dans $A\sp{1.5}.$

L'intérieur de $A$  est  l'ensemble ouvert $\,\interieur A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ intérieurs à $A:$

$\displaystyle{}a\app\interieur A\Ssi\big(\iex r > 0,\ B(a,r)\subset A\big)$

l'intérieur $\,\interieur Q\,$ de $Q$ qui est un ouvert de $\bb R^2.$

On dispose de deux méthodes pour déterminer les points $\,m=(x,y)\app\interieur Q\,$ tels que $\,f(x,y)=\mu_c\sp{-1.5}:\,$

• Avec la fonction de contrainte : $\,g:(x,y)\mapsto p\sp{1.5}x+q\sp{1.5}y-c\sp{1.5},\,$ $f$ et $g$ sont
  $\,f:\Omega\to\bb R\,$ est  de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :

  • $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
  • et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
  de classe $\sc C^1$ sur l'ouvert $\interieur Q$ et $\,\d g(x,y)\neq 0\sp{1.5}.\,$
  Selon le
  Soient $\,f,g\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et :

  $\displaystyle{}\Gamma=\ens{x\app\Omega}{g(x)=0}$

  Si  $f\restr{\Gamma}$ admet un extremum local en $a\app\Gamma$ tel que $\,\d g(a)\neq0\sp{1.5},\,$ alors :

  $\displaystyle{}\iex \lambda\app\bb R\sp{1.5},\ \d f(a)=\lambda\sp{1.5}\d g (a)$
  théorème d'optimisation sous contrainte, $\d f(x,y)$ et $\d g\sp{1.5}(x,y)$ sont alors colinéaires lorsque $\,f(x,y)=\mu_c:\,$
  $\eqalign{&\detc{\partial f/\partial x\sp{1.5}(x,y)\!&p\\ \partial f/\partial y\sp{1.5}(x,y)\!&q}= \detc{\alpha\sp{1.5}x^{\alpha-1}y^{\beta}&p\\\beta\sp{1.5}x^{\alpha}y^{\beta-1}&q}\\[-.5ex]=& \ x^{\alpha-1}y^{\beta-1}\detc{\alpha\sp{1.5}y&p\\ \beta\sp{1.5}x&q}=0}$
  Ceci implique que :  $\,\beta\sp{1.5}p\sp{1.5}x=\alpha\sp{1.5}q\sp{1.5}y=\alpha(c-p\sp{1.5}x)\sp{1.5},\,$ d'où :  $\,(x,y)=\big(\alpha\sp{1.5}c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}p,\,\beta\sp{1.5}c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}q\big).\,$

• Avec : $\,p\sp{1.5}x+q\sp{1.5}y=c\Ssi y=(c-p\sp{1.5}x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}q\sp{1.5},\,$ on définit $\,h:\,]\sp{1.5}0,c/p\sp{1.5}[\to\bb R\,$ de classe $\sc C^1\sp{1.5},$ en posant :
  $\eqalign{&h(x)&=q^{\beta}\sp{1.5}\smh1{f\Big(x,\frac{c-p\sp{1.5}x}q\Big)}=x^{\alpha}\sp{1.5}(c-p\sp{1.5}x)^{\beta}, \txt{d'où :}\\[-1ex] &h'(x)&=\alpha\sp{1.5}x^{\alpha-1}(c-p\sp{1.5}x)^{\beta}-\beta\sp{1.5}p\sp{1.5}x^{\alpha}(c-p\sp{1.5}x)^{\beta-1}\\[-.5ex] &&=x^{\alpha-1}(c-p\sp{1.5}x)^{\beta-1}(\alpha\sp{1.5}c-p\sp{1.5}x)}$
  Le
  Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

  Si $f$ admet un extremum local en $a\sp{1.5},$ alors $a$ est un point critique de $f.$
  maximum de $h$ se présente en $\,x=\alpha\sp{1.5}c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}p\sp{1.5},\,$ car $\,h'(\alpha\sp{1.5}c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}p)=0\sp{1.5},\,$ d'où : $\,f\big(\alpha\sp{1.5}c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}p,\,\beta\sp{1.5}c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}q\big)=\mu_c\,.\,$

On en déduit la valeur du maximum de $f$ sur le segment $\,S_c=[\![A_c\sp{1.5},B_c\sp{1.5}]\!]\!:\,$

Lorsque $c$ décrit $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ l'ensemble des points $\,(x,y)=\big(\alpha\sp{1.5}c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}p,\,\beta\sp{1.5}c\sp{-1.5}/\sp{-1.5}q\big)\,$ pour lesquels $\,f(x,y)=\mu_c\,$ est : Il s'agit de $\,\Delta=O+\bb R^{\ast}_{+}\vec u:\,$ la

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La demi-droite affine $\sc D\sp{-1.5}_+$ issue du point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D\sp{-1.5}_+=A+\bb R_+\sp{-1.5}\vec u=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}}$

demi-droite issue de $O=(0,0)$ et dirigée par $\,\vec u\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\big(\alpha\sp{-1.5}/\sp{-1.5}p\sp{.75},\sp{1.5}\beta\sp{-1.5}/\sp{-1.5}q\big),\,$ privée de $O\sp{1.5}.$

Optimisation de $f$ sous la contrainte $\,p\sp{1.5}x+q\sp{1.5}y=c\,$