exercices de mathématiques - prépa et université

Selon la règle de

Soient $I$ un intervalle, $\,f\app\sc C^{1}(I,\bb R^n)\,$ et $U$ un ouvert de $\bb R^n.$

Si $\,f(I)\subset U\,$ et $\,g\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors  $\,(g\circ f)\app\sc C^1(I,\bb R^p)\,$ et :

$\displaystyle{} \ptt t\app I,\ (g\circ f)'(t)=\!\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial x_i}\big(f(t)\big)\,f_i'(t)=\d g\big(f(t)\big)\!\cdot\!f'(t)$

la chaîne, la fonction $\,g\,$ est déjà de classe $\,\sc C^1\,$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec pour tout $\,t\app\bb R:\,$ Les fonctions $\,u'\,$ et $\,v'\,$ sont

$\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^n\,$ ssi  $f$ est $n$ fois dérivable sur $I,$ avec $f^{(n)}$ continue sur $I.$

• $\,\sc C^n(I,\bb K)\,$ est  l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5};$
• $\,\sc C^\I(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables sur $I.$

de classe $\,\sc C^1\,$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ et $\,\dp fx\,$ et $\,\dp fy\,$ sont

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est  de classe $\sc C^2$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :

• $f$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,\Omega\sp{1.5},\,$
• et ses dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i\,$ sont de classe $\sc C^1$ sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$

de classe $\,\sc C^1\,$ sur $\,\bb R^2.\,$

Par

Soit $I$ un intervalle de $\bb R$ et $\,f,g\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors :

• $\,\sc C^{n}(I,\bb K)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(I,\bb K)\sp{1.5};\,$
• $\,\sc C^{n}(I,\bb K)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

opérations entre fonctions de classe $\,\sc C^1,\,$ $\,g'\,$ est donc elle aussi de classe $\sc C^1$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ avec :

La fonction $\,g\,$ est donc

$\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^n\,$ ssi  $f$ est $n$ fois dérivable sur $I,$ avec $f^{(n)}$ continue sur $I.$

• $\,\sc C^n(I,\bb K)\,$ est  l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5};$
• $\,\sc C^\I(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables sur $I.$

de classe $\sc C^2$ sur $\,\bb R\,$ et on obtient, toujours la règle de

Soient $I$ un intervalle, $\,f\app\sc C^{1}(I,\bb R^n)\,$ et $U$ un ouvert de $\bb R^n.$

Si $\,f(I)\subset U\,$ et $\,g\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors  $\,(g\circ f)\app\sc C^1(I,\bb R^p)\,$ et :

$\displaystyle{} \ptt t\app I,\ (g\circ f)'(t)=\!\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial x_i}\big(f(t)\big)\,f_i'(t)=\d g\big(f(t)\big)\!\cdot\!f'(t)$

la chaîne :

On peut alors appliquer le théorème de

Soit $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ de classe $\sc C^2$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^2\,;$  alors :

$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\Omega\sp{1.5},\ \ \frac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial y\sp{1.5}\partial x}\sp{1.5}(x,y)$

Schwarz, d'où le résultat suivant :

En combinant deux formules

Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :

• $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
• $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
• $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$

On en déduit les formules en $\,(a-b)\,$ par parité et imparité.

d'addition, on obtient pour $\,(a,b)\app\bb R^2:\,$ Avec $\,a=\dfrac{x+y}2\,$ et $\,b=\dfrac{x-y}2\sp{1.5},\,$ on a alors pour tout $\,(x,y)\app\bb R^2\,$ tel que $\,x\neq y:\,$ En considérant la fonction $\,\phi:u\mapsto\dfrac{\sin u}u\sp{1.5},\,$ on obtient comme expression de $\,f(x,y)\,$ pour $\,x\neq y:\,$

Le développement en série entière du

Le cosinus  est  développable en série entière en $\,0\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=+\I:\,$

$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,\cos x=\sum_{p=0}^{+\I}(-1)^p\dfrac{x^{2\sp{.75}p}}{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!}$

sinus, de rayon de convergence $\,+\I\sp{1.5},\,$ nous donne :

En posant $\,\phi(0)=1\sp{1.5},\,$ la fonction $\,\phi\,$ se prolonge donc sur $\,\mathbb{R}\,$ en une fonction $\sc C^{\I},$ car

Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$

Sa somme $f$  est de classe  $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :

$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$

développable en série entière.

Les formes

Toute application linéaire $\,f\app\sc L(\bb R^n,\bb R^p)\,$ est  de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R^n.$

linéaires $\,(x,y)\mapsto{}\dfrac{x\pm y}2\sp{1.5},\,$

Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{k}(U\sp{-1.5},\bb R)\,$ et $I$ un intervalle.

Si $\,f(U)\subset I\,$ et $\,\phi\app\sc C^k(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ alors :  $\,(\phi\circ f)\app\sc C^k(U\sp{-1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$

composées par les fonctions $\,\phi\,$ et

Les fonctions cosinus et sinus sont de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :

$\eqalign{&\ptt x\app\bb R,\ \big(\cos'(x)=-\sin x\txt{et} \sin'(x)=\cos x\big) \ \txt{d'où :}\\[-1ex] &\cos^{(k)}(x)=\cos\big(x+\dfrac{k\sp{1.5}\pi}2\big)\txt{et}\sin^{(k)}(x)=\sin\big(x+\dfrac{k\sp{1.5}\pi}2\big)}$

cosinus, sont donc a fortiori de classe $\sc C^2$ sur $\bb R^2.$

Il s'ensuit que le

Soit $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^n$ et $\,f,g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$ alors :

• $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$
• $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app \Omega\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

produit de ces deux fonctions constitue un prolongement de la fonction $f,$ de classe $\sc C^2$ sur $\bb R^2,$ avec :

La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-3\sp{1.5}\pi,3\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]^2\,$

La fonction $f$ est définie sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\}\sp{1.5},\,$ car : $\,(x,y)\neq(0,0)\Imp x^2+y^2 > 0\sp{1.5}.\,$

Elle est de classe $\sc C^2$ sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\}\,$ en tant que

Soit $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^n$ et $\,f,g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$ alors :

• $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$
• $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app \Omega\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

quotient de fonctions

Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :

$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$

Ces fonctions  sont  continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$

polynomiales, avec : De $\,(x\pm y)^2\geq 0\sp{1.5},\,$ on déduit par

Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$

identité remarquable : $\,|x\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq\smb0{\dfrac{x^2+y^2}2}\sp{1.5};\,$ on a donc par

Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels normés, $\,A\subset E \,$ et $\,\ell\app F\sp{1.5}.\,$

Pour $\,f:A\to F\,$ et $\,\phi:A\to \bb R\sp{1.5},\,$ si  on a, au voisinage de $\,a\app\adher{A}:\,$

$\displaystyle{}\|f(x)-\ell\|\leq\phi(x)$

on a  alors l'implication :  $\,\lim x a\, \phi(x) =0 \Imp \lim x a\, f(x) =\ell\sp{1.5}.\,$

majoration :

On

Soit $\,f\app\sc C(A,F)\sp{1.5},\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F,$ avec $\,A\subset E\sp{1.5}.\,$

Si  $f$ admet une limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}},\,$ alors  $f$ se prolonge par continuité à $\,A\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :

$\displaystyle{}f(a)=\lim x a\, f(x)$

prolonge donc $f$ par continuité en posant : $\,f(0,0)=0\sp{1.5},\,$ et on obtient des

Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$

alors,  la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :

• alors,  la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est  la fonction :
  $\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
• $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
  $\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$

dérivées partielles en $\,(0,0):\,$

Avec les inégalités : $\,x^2+3\sp{1.5}y^2\leq3(x^2+y^2)\sp{1.5},\,$ et

Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a  alors  les inégalités triangulaires :

$\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$

Chacune de ces inégalités est une égalité  ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.

aussi : $\,|x^2-y^2|\leq x^2+y^2,\,$ on obtient par

Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels normés, $\,A\subset E \,$ et $\,\ell\app F\sp{1.5}.\,$

Pour $\,f:A\to F\,$ et $\,\phi:A\to \bb R\sp{1.5},\,$ si  on a, au voisinage de $\,a\app\adher{A}:\,$

$\displaystyle{}\|f(x)-\ell\|\leq\phi(x)$

on a  alors l'implication :  $\,\lim x a\, \phi(x) =0 \Imp \lim x a\, f(x) =\ell\sp{1.5}.\,$

majoration :

On en déduit la continuité en $\,(0,0)\,$ de ces dérivées partielles ; avec $\,f(0,0)=0\sp{1.5},\,$ $f$ est bien

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est  de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :

• $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
• et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$

de classe $\sc C^1$ sur $\,\bb R^2.\,$

Sachant que : $\,\dp fy(x,0)=x\,$ et $\,\dp fx(0,y)=0\sp{1.5},\,$ on obtient cependant : $\,\dfrac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}(0,0)\neq\dfrac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial y\sp{1.5}\partial x}(0,0)\sp{1.5},\,$ car :

Selon le théorème de

Soit $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ de classe $\sc C^2$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^2\,;$  alors :

$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\Omega\sp{1.5},\ \ \frac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial y\sp{1.5}\partial x}\sp{1.5}(x,y)$

Schwarz, la fonction $f$ n'est donc pas de classe $\sc C^2$ sur $\,\bb R^2.\,$

Soit une fonction définie sur $\bb R^2$ par $\,f:(x,y)\mapsto u(x)\sp{1.5}v(x)\sp{1.5},\,$ pour $\,u,v\app\sc C^2(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$

$f$ est alors de classe $\sc C^2$ sur $\bb R^2, $ comme

Soit $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^n$ et $\,f,g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$ alors :

• $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$
• $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app \Omega\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

produit des fonctions : $\,(x,y)\mapsto u(x)\,$ et  $\,(x,y)\mapsto v(y)\sp{1.5}.\,$

Ces fonctions sont en effet les

Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{k}(U\sp{-1.5},\bb R)\,$ et $I$ un intervalle.

Si $\,f(U)\subset I\,$ et $\,\phi\app\sc C^k(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ alors :  $\,(\phi\circ f)\app\sc C^k(U\sp{-1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$

composées par $\,u\,$ et $\,v\,$ des formes

Toute application linéaire $\,f\app\sc L(\bb R^n,\bb R^p)\,$ est  de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R^n.$

linéaires : $\,(x,y)\mapsto x\,$ et $\,(x,y)\mapsto y\sp{1.5}.\,$

Par définition des

Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$

alors,  la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :

• alors,  la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est  la fonction :
  $\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
• $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
  $\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$

dérivées partielles, la fonction à variables séparées $f$ vérifie donc :

Il s'ensuit que $f$ vérifie bien l'équation aux dérivées partielles proposée, puisqu'on a pour tout $\,(x,y)\app\bb R^2:\,$

La fonction $\,\phi:z\mapsto z^3+|z|^3\,$ est de classe $\,\sc C^2\,$ sur $\,\bb R^{\ast},\,$ et elle est aussi

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est  de classe $\sc C^2$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :

• $f$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,\Omega\sp{1.5},\,$
• et ses dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i\,$ sont de classe $\sc C^1$ sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$

de classe $\,\sc C^2\,$ en $\,0\sp{1.5},\,$ car :

On a alors en effet :  $\,\ \phi(0)=\lim z0\phi(z)=0\sp{1.5},\,\,$ $\,\phi'(0)=\lim z0\phi'(z)=0\,$  et $\,\ \phi''(0)=\lim z0\phi''(z)=0\sp{1.5}.\,$

La

Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{k}(U\sp{-1.5},\bb R)\,$ et $I$ un intervalle.

Si $\,f(U)\subset I\,$ et $\,\phi\app\sc C^k(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ alors :  $\,(\phi\circ f)\app\sc C^k(U\sp{-1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$

composée $\,g:(x,y)\mapsto (x\sp{1.5}y)^3+|x\sp{1.5}y|^3\,$ de la fonction

Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :

$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$

Ces fonctions  sont  continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$

polynomiale $\,(x,y)\mapsto x\sp{1.5}y\,$ par $\,\phi\,$ est donc de classe $\sc C^2.$

Lorsque $\,x\sp{1.5}y\geq0\sp{1.5},\,$ on a successivement :

Lorsque $\,x\sp{1.5}y\leq0\sp{1.5},\,$ on a au contraire :

La fonction $\,g\,$ de classe $\sc C^2$ vérifie donc bien sur $\bb R^2$ l'équation :  $\,g\sp{-1.5}\cdot\!\dfrac{\partial^2\sp{-1.5}g}{\partial x\sp{1.5}\partial y}=\dp gx\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\dp gy\,$

Cependant cette fonction $\,g\,$ n'est pas à variables séparées, car avec : $\,g(x,y)=u(x)\sp{1.5}v(y)\sp{1.5},\,$ on aurait :

• d'une part :  $\,u(1)\sp{1.5}v(1)=g(1,1)=2=g(-1,-1)=u(-1)\sp{1.5}v(-1)\sp{1.5},\,$
• et d'autre part :  $\,u(1)\sp{1.5}v(-1)=g(1,-1)=0=g(-1,1)=u(-1)\,v(1)\sp{1.5}.\,$

Le premier item implique que $\,u(1),\,v(1),\,u(-1)\,$ et $\,v(-1)\,$ sont tous non nuls, et c'est incompatible avec l'autre item.

Ainsi, certaines solutions de classe $\sc C^2$ de l'équation :  $\,f\sp{-1.5}\cdot\!\dfrac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}=\dp fx\!\cdot\!\dp fy\,$ ne sont pas à variables séparées.