Sujet F.3.1 Fonctions de classe C1
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Exercice a
Déterminer sur quelle partie de $\bb R^2$ la fonction $f$ est de classe $\sc C^1$ lorsque :
$\displaystyle{}\sth2f(x,y)=\bigg\{\eqalign{\ \smh{0.5}{\e{\tfrac1{x\sp{1.5}y-1}}}&\txt{si}x\sp{1.5}y < 1\\[-.25ex]0\sp{18} &\txt{si}x\,y \geq 1}$
définition des dérivées partielles
Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$
alors, la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :
- alors, la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est la fonction :
$\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
- $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
$\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$
fonctions de classe ${\scr C}^1$ sur un ouvert
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :
- $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
- et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
règle de la chaîne pour une variable
Soient $I$ un intervalle, $\,f\app\sc C^{1}(I,\bb R^n)\,$ et $U$ un ouvert de $\bb R^n.$
Si $\,f(I)\subset U\,$ et $\,g\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(I,\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{} \ptt t\app I,\ (g\circ f)'(t)=\!\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial x_i}\big(f(t)\big)\,f_i'(t)=\d g\big(f(t)\big)\!\cdot\!f'(t)$
gradient d'une fonction de classe ${\scr C}^1$
Soient $\Omega$ un ouvert de l'espace euclidien $\bb R^n$ et $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5}.$ Le gradient de $f$ en $a\app\Omega$ est l'unique vecteur $\smh{.5}{\Vec{\nabla}}\!f(a)\app\bb R^n$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt h\app\bb R^n,\ \d f(a)\!\cdot\!h=\ps{\smh1{\Vec{\nabla}}\!f(a)}h$
Il s'agit du vecteur $\,\Vec{\nabla}\!f(a)=\big(\partial f\sp{-1.5}/\partial x_1(a),\dots,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_n(a)\big)\!\cdot\,$
indication
Montrer que $\,\phi:u\mapsto\Big\{\eqalign{\,\smh0{\e{1/u}}&\!\txt{si}u < 0\\[-.5ex] 0\sp{8}&\!\txt{si} u\geq 0}\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $\bb R\sp{1.5}.$
figure
La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-2,2\sp{1.5}]^2\,$
réponse
On démontre que cette fonction $\,f\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ sur $\,\bb R^2\,$ tout entier.
correction
Considérons la fonction $\,\phi:\bb R\to \bb R\,$ définie par :
$\,\phi(u)=\Big\{\eqalign{\ \,\smh0{\e{1/u}}&\txt{si}u < 0\sp{1.5},\\[-.5ex] 0\sp{10}&\txt{si} u\geq 0\sp{1.5}.}\,$
Comme
Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\ n\geq1\sp{1.5};\,$ $\,f:x\mapsto\e{u(x)}\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :
exponentielle
de la
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=u'(x)\,\e{u(x)}$
Soit $\,k\app\bb Z\,$ et la fonction puissance $\,p_k:x\mapsto x^k.\,$ Alors $\,p_k\app\sc C^\I(\bb R^{\ast},\bb R)\,$ et : $\,\ptt x \neq0\sp{1.5},\ p_k'(x)=k\,x^{k -1}\sp{1.5}.\,$
Si $\,k\app\bb N,\,$ $\,p_k\app\sc C^\I(\bb R,\bb R)\,$ avec $\,p_k'(0)=0\txt{si}k\neq1\,$ et $\,p_1'(0)=1\sp{1.5}.\,$
fonction
$\,u\mapsto u^{-1},\,$ la fonction $\,\phi\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ sur $\,]\!-\sp{-1.5}\I,0\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
Elle est de plus
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
continue
sur $\bb R$ du fait des
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,\,+\I\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^+}\,f(x)=f(a)\sp{1.5};\,$
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]-\I,\,a\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^-}\,f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :
limites
de l'exponentielle :
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
$\displaystyle{}\lim u{0^-}\phi(u)=\lim v{-\I}\e{v}=0=\phi(0)=\lim u{0^+}\phi(u)$
On montre aussi par
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :
croissances
comparées la
$\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\
x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
$f:I\to\bb K$ est dérivable en $\,a\,$ ssi le taux d'accroissement de $f$ en $a$ admet une limite finie en $\,a:\,$
dérivabilité
de $\,\phi\,$ en $\,0:\,$
$\displaystyle{}f'(a)=\lim xa\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\app\bb K$
Si $f$ est dérivable en $\,a\sp{1.5},\,$ alors $f$ est continue en $\,a\sp{1.5}.\,$
Si $f$ est dérivable sur $I\sp{1.5},$ $\,f':x\mapsto f'(x)\,$ est la dérivée de $f\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\phi'_g(0) =\lim u{0^-}\frac{\phi(u)-\phi(0)}{u}=\lim u{0^-}=\frac{\e{1/u}}{u}=0=\phi'_d(0)$
On finit enfin de prouver que $\,\phi\,$ est
$\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$
$\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$
de classe $\sc C^1$
sur $\,\bb R\,$ en montrant la
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
continuité
de $\,\phi'\,$ en $\,0:\,$
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,\,+\I\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^+}\,f(x)=f(a)\sp{1.5};\,$
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]-\I,\,a\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^-}\,f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\lim u{0^-}\phi'(u)=-\lim u{0^-}\frac{\e{1/u}}{u^2}=0=\phi'(0)=\lim u{0^+}\phi'(u)$
D'autre part, la fonction $\,g:(x,y)\mapsto x\sp{1.5}y-1\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ sur $\,\bb R^2,\,$ en tant que fonction
Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :
polynomiale.
Par
$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$
Ces fonctions sont continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{k}(U\sp{-1.5},\bb R)\,$ et $I$ un intervalle.
Si $\,f(U)\subset I\,$ et $\,\phi\app\sc C^k(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ alors : $\,(\phi\circ f)\app\sc C^k(U\sp{-1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$
composition,
on a finalement démontré que la fonction $\,f=\phi\circ g\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ sur $\,\bb R^2.\,$
On peut représenter la fonction $f$ sur $\,[-2,2\sp{1.5}]^2\,$ par la surface de $\bb R^3$ formée des $\,\big(x,y,f(x,y)\big):\,$
|
La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-2,2\sp{1.5}]^2\,$
|
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Exercice b
La fonction $\,f:(x,y)\mapsto\dfrac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\,$ admet-elle un prolongement de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^2\,?$
définition des dérivées partielles
Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$
alors, la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :
- alors, la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est la fonction :
$\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
- $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
$\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$
fonctions de classe ${\scr C}^1$ sur un ouvert
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :
- $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
- et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
règle de la chaîne pour une variable
Soient $I$ un intervalle, $\,f\app\sc C^{1}(I,\bb R^n)\,$ et $U$ un ouvert de $\bb R^n.$
Si $\,f(I)\subset U\,$ et $\,g\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(I,\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{} \ptt t\app I,\ (g\circ f)'(t)=\!\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial x_i}\big(f(t)\big)\,f_i'(t)=\d g\big(f(t)\big)\!\cdot\!f'(t)$
gradient d'une fonction de classe ${\scr C}^1$
Soient $\Omega$ un ouvert de l'espace euclidien $\bb R^n$ et $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5}.$ Le gradient de $f$ en $a\app\Omega$ est l'unique vecteur $\smh{.5}{\Vec{\nabla}}\!f(a)\app\bb R^n$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt h\app\bb R^n,\ \d f(a)\!\cdot\!h=\ps{\smh1{\Vec{\nabla}}\!f(a)}h$
Il s'agit du vecteur $\,\Vec{\nabla}\!f(a)=\big(\partial f\sp{-1.5}/\partial x_1(a),\dots,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_n(a)\big)\!\cdot\,$
indication
1
Montrer d'abord que $f$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\},\,$ et calculer par exemple $\,\dp fy(x,y)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Montrer alors l'existence de $\,\dp fy(0,0)\,$ et comparer sa valeur avec : $\,\lim y0\,\dp fy(0,y)\sp{1.5}.\,$
figure
La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-1,1\sp{1.5}]^2\,$
réponse
La fonction $\,f\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\}\,$ et elle se prolonge sur $\bb R^2$ en posant : $\,f(0,0)=0\sp{1.5}.\,$
Ce prolongement de la fonction $f$ sur $\bb R^2$ est bien continu, mais il n'est pas de classe $\sc C^1.$
correction
Par
Soit $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^n$ et $\,f,g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$ alors :
quotient
de fonctions
- $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(\Omega,\bb R)\sp{1.5};\,$
- $\,\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{k}(\Omega,\bb R)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app \Omega\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :
polynomiales
telles que $\,x^2+y^2\neq0\sp{1.5},\,$ la fonction $f$ est
$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$
Ces fonctions sont continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :
de classe
$\sc C^1$ sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\}\!\cdot\,$
Elle admet alors des dérivées partielles sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\}\sp{1.5},\,$ avec
- $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
- et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I\sp{1.5},$ tel que : $\,g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Alors les quotients $\,1/g\,$ et $\,f/g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :
en particulier :
$\displaystyle{}\!\Big(\dfrac 1g\Big)'(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}-\dfrac{g'(x)}{g(x)^2}\txt{et}
\Big(\dfrac fg\Big)'(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\dfrac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{g(x)^2}$
$\eqalign{\dp fy(x,y)&=\frac{-3\sp{1.5}y^2(x^2+y^2)-2\sp{1.5}y(x^3-y^3)}{(x^2+y^2)^2}\\&=\frac{-y\sp{1.5}(y^3+3\sp{1.5}x^2y+2\sp{1.5}x^3)}{(x^2+y^2)^2}}$
Avec
Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
l'inégalité
triangulaire : $\,|x^3-y^3|\leq |x|^3+|y|^3\sp{1.5},\,$ on a par
$\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.
Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels normés, $\,A\subset E \,$ et $\,\ell\app F\sp{1.5}.\,$
Pour $\,f:A\to F\,$ et $\,\phi:A\to \bb R\sp{1.5},\,$ si on a, au voisinage de $\,a\app\adher{A}:\,$
majoration
$\,\lim{(x,y)}{(0,0)}f(x,y)=0\sp{1.5},\,$ car :
$\displaystyle{}\|f(x)-\ell\|\leq\phi(x)$
on a alors l'implication : $\,\lim x a\, \phi(x) =0 \Imp \lim x a\, f(x) =\ell\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}|f(x,y)|\leq\frac{|x|^3+|y|^3}{ x^2+y^2}\leq |x|+|y|\,\tend{(x,y)}{(0,0)}0$
La fonction $f$ se
Soit $\,f\app\sc C(A,F)\sp{1.5},\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F,$ avec $\,A\subset E\sp{1.5}.\,$
Si $f$ admet une limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}},\,$ alors $f$
se prolonge par continuité à $\,A\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :
prolonge
donc par continuité sur $\bb R^2$ en posant : $\,f(0,0)=0\sp{1.5}.\,$
$f$ ainsi prolongée, admet alors une
$\displaystyle{}f(a)=\lim x a\, f(x)$
Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$
alors, la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :
dérivée
partielle par rapport à $\,y\,$ en $\,(0,0):\,$
- alors, la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est la fonction :
$\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
- $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
$\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$
$\displaystyle{}\dp fy(0,0)=\lim y0\,\frac {f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim y0\ \frac {-y^3}{y^3}=-1$
Si $\,\smb0{\dp fy}\,$ était continue en $\,(0,0)\sp{1.5},\,$ on aurait, par
Soient $\,E,\,F,\,G\,$ des espaces vectoriel normés, $\,A\!\subset\! E\,$ et $\,B\!\subset\! F.\,$
Pour $\,f:A\to F\,$ et $\,g:B\to G\,$ telles que $\,f(A)\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}B\,$ et $\,a\app\surl{A}:\,$
composition
avec la fonction
$\displaystyle{}\big(\,\lim x a\, f(x) = b \txt{et} \lim y b\, g(y) = c\,\big)\Imp\lim x a\, (g\circ f)(x) = c$
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $E$ de dimension finie. Alors toute
$\,f\app\sc L(E,F)\,$ est lipschitzienne, et donc continue.
continue
$\,x\mapsto(x,0):\,$
$\displaystyle{}\lim x0\,\dp fy(x,0)=\dp fy(0,0)$
Étant donné que $\,\dp fy(x,0)=0\,$ pour $\,x\neq0\sp{1.5},\,$ la fonction $\,\smb{1.5}{\dp fy}\,$ est au contraire discontinue en $\,(0,0)\sp{1.5},\,$ puisque :
$\displaystyle{}\lim x0\,\dp fy(x,0)=0\neq-1= \dp fy(0,0)$
On a de plus : $\,f(x,y)=-f(y,x)\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\dp fx(x,y)=-\dp fy(y,x)\sp{1.5};\,$ ainsi $\,\dp fx\,$ est elle aussi discontinue en $\,(0,0)\sp{1.5}.\,$
Finalement la fonction $f,$ quoique continue sur $\bb R^2$ et de classe $\sc C^1$ sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\},\,$ n'est pas
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :
de classe
$\sc C^1$ sur $\,\bb R^2.\,$
- $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
- et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
On peut visualiser la fonction $f$ sur $\,[-1,1\sp{1.5}]^2\,$ par la surface de $\,\bb R^3\,$ formée des $\,\big(x,y,f(x,y)\big).\,$Les tangentes aux courbes $\,y\mapsto\big(x,y,f(x,y)\big)\,$ aux points $\,\big(x,0,f(x,0)\big)\,$ illustrent la discontinuité de $\,\partial f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\partial y\,$ en $\,(0,0)\sp{1.5}.\,$
|
La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-1,1\sp{1.5}]^2\,$
|
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Exercice c
Soient $\,f:\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\}\to\bb R\,$ de classe $\,\sc C^1\sp{-1.5},\,$ et les applications $\,\vec u,\vec v:\bb R\to\bb R^2\,$ définies par :
$\displaystyle{}\vec u(\theta)=(\cos\theta\sp{.75}, \sp{1.5}\sin \theta)\txt{et}\vec v(\theta)=(-\sin \theta\sp{.75},\sp{1.5}\cos\theta)$
On considère alors la fonction $F$ définie sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\times \bb R\,$ par $\,F:(\rho,\theta)\mapsto f\big(\rho\vec u(\theta)\big).\,$Exprimer le gradient $\,\smh0{\Vec{\nabla}}\!\sp{-1.5}f\,$ de la fonction $f$ au point $\,(x,y)=\rho\vec u(\theta)\sp{1.5},\,$ en fonction de $\,(\rho,\theta)\,$ et des dérivées partielles de $F.$
définition des dérivées partielles
Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$
alors, la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :
- alors, la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est la fonction :
$\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
- $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
$\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$
fonctions de classe ${\scr C}^1$ sur un ouvert
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :
- $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
- et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
règle de la chaîne pour une variable
Soient $I$ un intervalle, $\,f\app\sc C^{1}(I,\bb R^n)\,$ et $U$ un ouvert de $\bb R^n.$
Si $\,f(I)\subset U\,$ et $\,g\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(I,\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{} \ptt t\app I,\ (g\circ f)'(t)=\!\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial x_i}\big(f(t)\big)\,f_i'(t)=\d g\big(f(t)\big)\!\cdot\!f'(t)$
gradient d'une fonction de classe ${\scr C}^1$
Soient $\Omega$ un ouvert de l'espace euclidien $\bb R^n$ et $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5}.$ Le gradient de $f$ en $a\app\Omega$ est l'unique vecteur $\smh{.5}{\Vec{\nabla}}\!f(a)\app\bb R^n$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt h\app\bb R^n,\ \d f(a)\!\cdot\!h=\ps{\smh1{\Vec{\nabla}}\!f(a)}h$
Il s'agit du vecteur $\,\Vec{\nabla}\!f(a)=\big(\partial f\sp{-1.5}/\partial x_1(a),\dots,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_n(a)\big)\!\cdot\,$
indication
1
Calculer $\,\dp F\rho\big(\rho\vec u(\theta)\big)\,$ et $\,\dp F\theta\big(\rho\vec u(\theta)\big)\,$ par la règle de la chaîne.
indication
2
En déduire $\,\dp fx\big(\rho\vec u(\theta)\big)\,$ et $\,\dp fy\big(\rho\vec u(\theta)\big)\sp{1.5},\,$ puis le gradient $\,\Vec{\nabla}\!\sp{-1.5}f\big(\rho\vec u(\theta)\big)\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient pour gradient de $f$ en $\,(x,y)=\rho\vec u(\theta):\,$
$\displaystyle{}\Vec{\nabla}\!\sp{-1.5}f\big(\rho\vec u(\theta)\big)=\dfrac{\partial F}{\partial\rho}(\rho\sp{.75},\theta)\ \vec u(\theta)
+\dfrac{1}{\rho}\!\cdot\!\dfrac{\partial F}{\partial\theta}(\rho\sp{.75},\theta)\ \vec v(\theta)$
correction
Les fonctions $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont
Les fonctions cosinus et sinus sont de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :
de classe $\sc C^1$
sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :
$\eqalign{&\ptt x\app\bb R,\ \big(\cos'(x)=-\sin x\txt{et} \sin'(x)=\cos x\big) \ \txt{d'où :}\\[-1ex]
&\cos^{(k)}(x)=\cos\big(x+\dfrac{k\sp{1.5}\pi}2\big)\txt{et}\sin^{(k)}(x)=\sin\big(x+\dfrac{k\sp{1.5}\pi}2\big)}$
$\displaystyle{} \ptt \theta\app\bb R\sp{1.5},\ \vec u'(\theta)=(-\sin \theta\sp{.75},\cos\theta)=\vec v(\theta)$
Pour tout $\,\theta\app\bb R\sp{1.5},\,$ $\,\big(\vec u(\theta)\sp{.75},\vec v(\theta)\big)\,$ est une base
Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.
orthonormale
de l'espace
- $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale ssi : $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
- $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale ssi elle est est orthogonale, avec : $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$
$\,\bb R^n\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :
euclidien
$\,\bb R^2\sp{1.5}.\,$
On calcule les
$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$
En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement :
$\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$
Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$
alors, la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :
dérivées
partielles de la fonction composée $F$ en fonction de $\,\rho\,$ et $\,\theta\,$ par la règle de
- alors, la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est la fonction :
$\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
- $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
$\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{1}(U\sp{-1.5},\bb R^m)\,$ et $V$ un ouvert de $\bb R^m.$
Si $\,f(U)\subset V\,$ et $\,g\app\sc C^1(V\!,\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\,$ et :
la chaîne :
$\displaystyle{}\ptt x\app U,\ \,\dp{(g\circ f)}{x_i}(x)=\sum_{j=1}^m\dp g{y_j}(f(x))\sp{1.5}\dp{f_j}{x_i}(x)$
$\eqalign{ \Syst{&\smh{1}{\dp F\rho(\rho\sp{.75},\theta)=\ \cos\theta\,\dp fx\big(\rho\vec u(\theta)\big)+\sin\theta\,\dp fy\big(\rho\vec u(\theta)\big)}\\
&\smb{1}{\dp F\theta(\rho\sp{.75},\theta)=-\rho\sp{1.5}\sin\theta\,\dp fx\big(\rho\vec u(\theta)\big)+\rho\sp{1.5}\cos\theta\,\dp fy\big(\rho\vec u(\theta)\big)}}}$
On effectue alors simultanément les deux
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires :
$\,\syst{\,\sc E_1&\ot\cos\theta\,\sc E_1-1\sp{-1.5}/\!\rho\sp{1.5}\sin\theta\,\sc E_2\\[-.5ex] \,\sc E_2&\ot\sin\theta\,\sc E_1+1\sp{-1.5}/\!\rho\sp{1.5}\cos\theta\,\sc E_2}\,$
Compte tenu de la
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
Pour tout $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a les relations suivantes :
relation :
$\,\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\sp{1.5},\,$ on obtient les expressions de $\,\dp fx\big(\rho\vec u(\theta)\big)\,$ et $\,\dp fy\big(\rho\vec u(\theta)\big):\,$
- $\,\sth{.5}\cos^2a+\sin^2a=1\,;\,$
- $\,1+\tan^2a=\smh{1}{\dfrac1{\cos^2a}}\,$ lorsque $\,a\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\Syst{&\smh{1}{
\cos\theta\,\dp F\rho(\rho\sp{.75},\theta)-\frac{\sin\theta}{\rho}\!\cdot\!\dp F\theta(\rho\sp{.75},\theta)=\dp fx\big(\rho\vec u(\theta)\big)}\\
&\smb{1}{
\sin\theta\,\dp F\rho(\rho\sp{.75},\theta)+\frac{\cos\theta}{\rho}\!\cdot\!\dp F\theta(\rho\sp{.75},\theta)=\dp fy\big(\rho\vec u(\theta)\big)}}}$
Dans la base canonique orthonormée de $\,\bb R^2,\,$ la fonction $f$ a donc pour
Soient $\Omega$ un ouvert de l'espace euclidien $\bb R^n$ et $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5}.$ Le gradient de $f$ en $a\app\Omega$ est l'unique vecteur $\smh{.5}{\Vec{\nabla}}\!f(a)\app\bb R^n$ tel que :
gradient :
$\displaystyle{}\ptt h\app\bb R^n,\ \d f(a)\!\cdot\!h=\ps{\smh1{\Vec{\nabla}}\!f(a)}h$
Il s'agit du vecteur $\,\Vec{\nabla}\!f(a)=\big(\partial f\sp{-1.5}/\partial x_1(a),\dots,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_n(a)\big)\!\cdot\,$
$\eqalign{\Vec{\nabla}\!\sp{-1.5}f(x,y)&=\Big(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\sp{1.5},\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\sp{-1.5}\Big),\txt{d'où :}\\
\Vec{\nabla}\!\sp{-1.5}f\big(\rho\vec u(\theta)\big)&=\frac{\partial F}{\partial\rho}(\rho\sp{.75},\theta)\ \vec u(\theta)
+\frac{1}{\rho}\!\cdot\!\frac{\partial F}{\partial\theta}(\rho\sp{.75},\theta)\ \vec v(\theta)}$
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Exercice d
Soient $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ $r\app\bb R$ et $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R),\,$ définie sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\,\bb R^n\,$ tel que : $\,\ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \ptt \lambda > 0\sp{1.5},\ \lambda\sp{1.5}x\app\Omega\sp{1.5}.\,$
Démontrer que si $f$ est telle que : $\,f(\lambda\sp{1.5}x)=\lambda^rf(x)\,$ pour tout $\,x\app\Omega\,$ et tout $\,\lambda\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,$ elle vérifie alors :
$\displaystyle{}\ptt x\app \Omega\sp{1.5},\ \ \smh{1.5}{\sum_{i=1}^nx_i\,\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)=r\sp{1.5}f(x)$
La réciproque est-elle exacte ?
définition des dérivées partielles
Soient $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ pour $\Omega$ ouvert de $\bb R^n$ et $\,a=(a_1,\dots,a_n)\app\Omega\sp{1.5}.\,$
alors, la fonction$f$ admet une $i\tiret$ème dérivée partielle en $\,a\,$ ssi :
- alors, la $i\tiret$ème fonction partielle de $f$ en $\,a\,$ est la fonction :
$\displaystyle{}g:x_i\mapsto f(a_1,\dots,x_i,\dots,a_n)$
- $f$ admet une dérivée partielle en $a$ ssi $\,g\,$ est dérivable en $a_i:$
$\displaystyle{}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=g'(a_i)=\lim{x_i}{a_i}\dfrac{g(x_i)-f(a)}{x_i-a_i}$
fonctions de classe ${\scr C}^1$ sur un ouvert
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :
- $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
- et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
règle de la chaîne pour une variable
Soient $I$ un intervalle, $\,f\app\sc C^{1}(I,\bb R^n)\,$ et $U$ un ouvert de $\bb R^n.$
Si $\,f(I)\subset U\,$ et $\,g\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(I,\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{} \ptt t\app I,\ (g\circ f)'(t)=\!\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial x_i}\big(f(t)\big)\,f_i'(t)=\d g\big(f(t)\big)\!\cdot\!f'(t)$
gradient d'une fonction de classe ${\scr C}^1$
Soient $\Omega$ un ouvert de l'espace euclidien $\bb R^n$ et $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5}.$ Le gradient de $f$ en $a\app\Omega$ est l'unique vecteur $\smh{.5}{\Vec{\nabla}}\!f(a)\app\bb R^n$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt h\app\bb R^n,\ \d f(a)\!\cdot\!h=\ps{\smh1{\Vec{\nabla}}\!f(a)}h$
Il s'agit du vecteur $\,\Vec{\nabla}\!f(a)=\big(\partial f\sp{-1.5}/\partial x_1(a),\dots,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_n(a)\big)\!\cdot\,$
indication
1
Considérer, pour $\,x\app\Omega\,$ fixé, l'application $\,\lambda\mapsto f(\lambda\sp{1.5}x)\,$ et sa dérivée sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
indication
2
Établir la réciproque de l'implication proposée en dérivant $\,\phi:\lambda\mapsto \lambda^{-r}f(\lambda\sp{1.5}x)\sp{1.5},\,$ pour $\,x\app\Omega\,$ fixé.
réponse
La fonction $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R),\,$ telle que : $\,\ptt x\app\Omega\sp{1.5},\,\ptt \lambda\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,f(\lambda\sp{1.5}x)=\lambda^rf(x)\sp{1.5},\,$ vérifie bien la relation :
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \smh{1.5}{\sum_{i=1}^nx_i\,\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)}=r\sp{1.5}f(x)$
Réciproquement, cette relation implique la propriété :
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \ptt \lambda > 0\sp{1.5},\ f(\lambda\sp{1.5}x)=\lambda^rf(x)$
correction
Pour $\,x=(x_1,\dots,x_n)\app\Omega\,$ fixé, l'application $\,u:\lambda\mapsto\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5},\,$ de $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,$ dans $\,\bb R^n\!,\,$ est
Soit $E$ un espace vectoriel normé de base $(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.$
Pour $\,f=f_1\sp{1.5}e_1+\dots+f_n\sp{1.5}e_n,\,$ avec $\,f_1,\dots,f_n:I\to \bb R:\,$
de classe $\sc C^1.$
Pour $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},\,$ on peut alors considérer la fonction composée $\,f\circ u\sp{1.5},\,$
- $f$ est dérivable en $a\app I$ ssi les $f_i$ sont dérivables en $\,a\sp{1.5},\,$ et : $\displaystyle{}f'(a)=f_1'(a)\sp{1.5}e_1+\dots+f_n'(a)\sp{1.5}e_n$
- $\,f\app\sc C^k(I,E)\Ssi\big(\ptt i\app\sp{1.5}[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ f_i\app\sc C^k(I,\bb R)\big).\,$
Soient $I$ un intervalle, $\,f\app\sc C^{1}(I,\bb R^n)\,$ et $U$ un ouvert de $\bb R^n.$
Si $\,f(I)\subset U\,$ et $\,g\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(I,\bb R^p)\,$ et :
de classe $\sc C^1$
sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,:\,$
$\displaystyle{} \ptt t\app I,\ (g\circ f)'(t)=\!\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial x_i}\big(f(t)\big)\,f_i'(t)=\d g\big(f(t)\big)\!\cdot\!f'(t)$
$\displaystyle{}(f\circ u):\lambda\mapsto f(\lambda\sp{1.5}x_1,\dots,\lambda\sp{1.5}x_n)=f(\lambda\sp{1.5}x)$
Avec l'hypothèse : $\,\ptt \lambda > 0\sp{1.5},\ f(\lambda\sp{1.5}x)=\lambda^rf(x)\,$ on a, par la règle de
Soient $I$ un intervalle, $\,f\app\sc C^{1}(I,\bb R^n)\,$ et $U$ un ouvert de $\bb R^n.$
Si $\,f(I)\subset U\,$ et $\,g\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(I,\bb R^p)\,$ et :
la chaîne
et par
$\displaystyle{} \ptt t\app I,\ (g\circ f)'(t)=\!\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial x_i}\big(f(t)\big)\,f_i'(t)=\d g\big(f(t)\big)\!\cdot\!f'(t)$
Soit $\,\alpha\app\bb R\,$ et la fonction puissance $\,p_\alpha:x\mapsto x^{\alpha}.\,$ Alors $\,p_\alpha\app\sc C^\I(\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\bb R)\,$ et : $\, \ptt x >0,\ p_\alpha'(x)=\alpha\sp{1.5}x^{\alpha -1}\sp{1.5}.\,$
Si $\,\alpha \geq n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a de plus : $\,p_\alpha\app\sc C^n([\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$
dérivation
de $\,\lambda\mapsto\lambda^r:\,$
$\displaystyle{}\ptt \lambda > 0,\ \ (f\circ u)'(\lambda)=\sum_{i=1}^n\ x_i\,\frac{\partial f}{\partial x_i}(\lambda\sp{1.5}x)=r\sp{1.5}\lambda^{r-1}f(x)$
Le vecteur $\,x\,$ ayant été fixé arbitrairement dans $\,\Omega\sp{1.5},\,$ l'expression de $\,(f\circ u)'(1)\,$ nous donne bien :
$\displaystyle{}\ptt x\app \Omega\sp{1.5},\ \smh{1.5}{\dsum_{i=1}^nx_i\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i}}(x)=r\sp{1.5}f(x)$
Réciproquement, on suppose que cette dernière relation est vérifiée, et on considère pour $\,x\app\Omega\,$ fixé la fonction : $\displaystyle{}\phi:\lambda\mapsto \lambda^{-r}f(\lambda\sp{1.5}x)=\lambda^{-r}(f\circ u)(\lambda)$
Il s'agit d'un
Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$
Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :
produit
de fonctions dérivables, si bien qu'on a, compte tenu de l'hypothèse :
- $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$
- $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&\phi'(\lambda)=-r\,\lambda^{-r-1}f(\lambda\sp{1.5}x)+\lambda^{-r}(f\circ u)'(\lambda)=0\\[-.5ex]
\txt{car :}&(f\circ u)'(\lambda)=\frac1{\lambda}\sum_{i=1}^n\ \lambda\,x_i\,\frac{\partial f}{\partial x_i}(\lambda\sp{1.5}x)=\frac r{\lambda}\,f(\lambda\sp{1.5}x)}$
La fonction $\,\phi\,$ est alors
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ dérivable sur un intervalle $I\sp{1.5};$ $f$ est constante ssi :
constante
sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ d'où la formule :
$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ f'(x)=0$
$\displaystyle{}\ptt \lambda > 0\sp{1.5},\ \lambda^{-r}f(\lambda\sp{1.5}x)=\phi(\lambda)=\phi(1)=f(x)$
Ceci étant établi pour un $\,x\app\Omega\,$ quelconque, on obtient en multipliant par $\,\lambda^r\,$ la propriété réciproque :
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \ptt \lambda > 0\sp{1.5},\ f(\lambda\sp{1.5}x)=\lambda^rf(x)$