Sujet E.3.4 Approximation uniforme
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un exercice, puis le résoudre
:
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Exercice a
Soit une fonction réelle $f$ continue sur un segment $[\sp{1.5}a\sp{.75},b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$
Démontrer que pour tout $\,\eps > 0\sp{1.5},\,$ il existe des polynômes $P$ et $\,Q\,$ à coefficients réels, tels que :
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[\sp{1.5}a\sp{.75},b\sp{1.5}]\sp{1.5},\ \big(\sp{1.5}P(x)\leq f(x)\leq Q(x)\txt{et}Q(x)-P(x)\leq\eps\sp{1.5}\big)$
convergence uniforme d'une suite de fonctions
Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi
il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :
$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
fonctions polynomiales
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
théorème de Weierstrass
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\mapsto\bb K\sp{1.5},\,$ une fonction continue sur un segment $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$Alors, il existe une suite de fonctions polynomiales $\,x\mapsto P_n(x)\,$ qui convergent uniformément vers $f$ sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}].$
subdivision d'un segment
Une subdivision d'un segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ est une suite $\,(x_0,\dots,x_n)\,$ telle que :
$\displaystyle{}a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$
Le réel : $\,\Op{max}_{k\app\sp{1.5}[\sp{-1.5}[1,n]\sp{-1.5}]}(x_k-x_{k-1})\,$ est le pas de cette subdivision.
indication
1
Appliquer le théorème de Weierstrass à la fonction $f.$
indication
2
Considérer ensuite, pour $\,\eps >0\sp{1.5},\,$ une fonction polynomiale $\,x\mapsto R(x)\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\ |\sp{.75}R(x)-f(x)\sp{.75}|\leq \frac\eps2$
réponse
On obtient deux polynômes $P$ et $\,Q\,$ à coefficients réels, tels que :
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[\sp{1.5}a\sp{.75},b\sp{1.5}]\sp{1.5},\ \big(\sp{1.5}P(x)\leq f(x)\leq Q(x)\txt{et}Q(x)-P(x)=\eps\sp{1.5}\big)$
correction
La fonction $f$ étant continue sur le segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ on peut lui appliquer le théorème de
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\mapsto\bb K\sp{1.5},\,$ une fonction continue sur un segment $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$Alors, il existe une suite de fonctions polynomiales $\,x\mapsto P_n(x)\,$ qui convergent uniformément vers $f$ sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}].$
Weierstrass.
Il existe donc une suite de fonctions
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
polynomiales
$\,x\mapsto R_n(x)\,$ convergeant
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi
il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :
uniformément
vers $f$ sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}].$
En d'autres termes, il existe une suite $(\omega_n)$ tendant vers $\,0\,$ et $\,N_1\app\bb N\,$ tels que :
$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
$\displaystyle{}\ptt n\geq N_1\sp{1.5},\ \ptt x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\ |\sp{.75}R_n(x)-f(x)\sp{.75}|\leq \omega_n$
Pa définition de la
Une suite numérique $(u_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,\ell\app\bb K\,$ ssi :
limite
nulle de $(\omega_n)\sp{1.5},$ pour tout $\,\eps > 0\,$ il existe $\,N_2\app\bb N\,$ tel que :
$\,\ptt n\geq N_2,\ \,\omega_n\leq \dfrac\eps2\!\cdot\,$
En posant $\,N=\max(N_1,N_2)\sp{1.5},\,$ on peut alors écrire :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex N\geq n_0\sp{1.5},\ \ptt n\app \bb N,\ \big(n\geq N\Imp |u_n-\ell| \leq \eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim n{+\I}u_n=\ell\,$ ou $\,u_n\tend n{+\I} \ell\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\ \,-\frac\eps2\leq-\omega_N\leq f(x)-R_N(x)\leq\omega_N\leq \frac\eps2$
On considère enfin les polynômes : $\,P=R_N-\dfrac\eps2\,$ et $\,Q=R_N+\dfrac\eps2\,;\,$ ils vérifient, pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]:\,$
$\eqalign{P(x)&=R_N(x)-\frac\eps2\leq f(x)\leq R_N(x)+\frac\eps2=Q(x)\\
&\txt{ainsi que :}\ Q(x)-P(x)=\eps}$
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Exercice b
Soit une fonction réelle $f$ de classe $\sc{C}^{1}$ sur un segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Démontrer l'existence d'une suite de polynômes $P_{n}$ de polynômes à coefficients réels tels que :
- les fonctions $\,\sp{1.5}x\mapsto{}P_{n}(x)\,$convergent uniformément sur $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ vers la fonction $f\,;$
- les fonctions $\,\sp{1.5}x\mapsto{}P_{n}^{\sp{1.5}\prime}(x)\,$ convergent uniformément sur $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ vers la fonction $f^{\sp{1.5}\prime}\sp{-1.5}.$
convergence uniforme d'une suite de fonctions
Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi
il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :
$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
fonctions polynomiales
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
théorème de Weierstrass
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\mapsto\bb K\sp{1.5},\,$ une fonction continue sur un segment $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$Alors, il existe une suite de fonctions polynomiales $\,x\mapsto P_n(x)\,$ qui convergent uniformément vers $f$ sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}].$
subdivision d'un segment
Une subdivision d'un segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ est une suite $\,(x_0,\dots,x_n)\,$ telle que :
$\displaystyle{}a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$
Le réel : $\,\Op{max}_{k\app\sp{1.5}[\sp{-1.5}[1,n]\sp{-1.5}]}(x_k-x_{k-1})\,$ est le pas de cette subdivision.
indication
1
Montrer d'abord l'existence d'une suite de polynômes $\,Q_{n}\app\bb R[X]\,$ tels que les $\,\sp{1.5}x\mapsto{}Q_{n}(x)\,$ convergent uniformément vers $f^{\sp{1.5}\prime}$ sur $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
indication
2
Définir ensuite les polynômes $P_n$ par primitivation des polynômes $Q_n\sp{1.5}.$
réponse
Il existe bien une suite de $P_{n}\app\bb R[X]$ tels que les $\,\sp{1.5}x\mapsto{}P_{n}(x)\sp{1.5}\,$ et $\,\sp{1.5}x\mapsto{}P_{n}'(x)\sp{1.5}\,$ convergent uniformément vers $\,f\,$ et $\,f'\,$ sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$
correction
La fonction $f$ étant
$\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$
$\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$
de classe $\sc C^1,$
sa dérivée $f^{\sp{1.5}\prime}$ est continue sur le segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ et on peut lui appliquer le théorème de
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\mapsto\bb K\sp{1.5},\,$ une fonction continue sur un segment $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$Alors, il existe une suite de fonctions polynomiales $\,x\mapsto P_n(x)\,$ qui convergent uniformément vers $f$ sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}].$
Weierstrass.
Il existe alors une suite de $\,Q_{n}\!\app\bb R[X]\,$ tels que les fonctions
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
polynomiales
$\,\sp{1.5}x\mapsto{}Q_{n}(x)\sp{1.5}\,$ convergent
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi
il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :
uniformément
sur $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ vers $f^{\sp{1.5}\prime}\sp{-1.5}.$
Il existe ainsi un entier $N$ et une suite $\,(\omega_n)_{n\geq N}\,$ tendant vers $\,0\,$ telle que :
$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\ \big|Q_n(x)-f'(x)\big|\leq\omega_n$
Par
Toute fonction continue $\,f:I\to\bb K\,$ admet des primitives sur $I\sp{1.5}.$Pour $\,a\app I\sp{1.5},\,$ $\,F:x\mapsto\!\dint_a^x\!\! f(t)\d t\,$ est une de ces primitives.
primitivation
de la fonction continue $f^{\sp{1.5}\prime}\sp{-1.5},$ on peut écrire :
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\ f(x)=f(a)+\smh{1}{\int_a^x}\!f'(t)\d t$
On définit alors une suite de polynômes $\,P_n\sp{1.5},\,$
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
caractérisés
par leurs fonctions polynomiales associées, en posant :
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,\bb R,\ \,P_n(x)=f(a)+\dint_a^x\!Q_n(t)\d t$
Par
Pour $\,f\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\,$ ou $\,f\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\,$ avec $a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\sp{1.5},$ on a :
inégalité
triangulaire intégrale on a donc, à partir du rang $\,N\,$ et pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]:\,$
$\displaystyle{}\bigg|\int_a^bf(x)\d x\bigg|\leq\int_a^b\big|f(x)\big|\d x$
$\displaystyle{}\big|P_n(x)-f(x)\big|\leq\int_a^x\!\big|Q_n(t)-f'(t)\big|\d t\leq\!\int_a^x\!\omega_n\d t$
On en déduit que, pour tout $\,n\geq N\,$ et pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]:\,$
$\displaystyle{}\big|P_n(x)-f(x)\big|\leq(x-a)\,\omega_n\leq(b-a)\,\omega_n$
Avec : $\,\lim n{+\I}\big((b-a)\sp{1.5}\omega_n\big)=0\sp{1.5},\,$ on a ainsi établi que les fonctions $\,x\mapsto{}P_{n}(x)\,$ convergent
Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi
il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :
uniformément
vers $f$ sur $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
D'autre part, ces fonctions sont des
$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
Toute fonction continue $\,f:I\to\bb K\,$ admet des primitives sur $I\sp{1.5}.$Pour $\,a\app I\sp{1.5},\,$ $\,F:x\mapsto\!\dint_a^x\!\! f(t)\d t\,$ est une de ces primitives.
primitives
des $\,x\mapsto Q_n(x)=P_n'(x)\sp{1.5},\,$ qui convergent uniformément vers $f^{\sp{1.5}\prime}$ sur $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
Soit $\,\lambda\,$ un réel positif et $f$ une fonction réelle $\lambda\tiret$lipschitzienne sur un segment $[\sp{.75}a\sp{.75},b\sp{.75}]\sp{1.5}.$
Démontrer l'existence d'une suite de fonctions $\,f_n:[\sp{.75}a\sp{.75},b\sp{.75}]\to\bb R\,$ continues et affines par morceaux, convergeant uniformément vers $f.$
convergence uniforme d'une suite de fonctions
Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi
il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :
$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
fonctions polynomiales
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
théorème de Weierstrass
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\mapsto\bb K\sp{1.5},\,$ une fonction continue sur un segment $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$Alors, il existe une suite de fonctions polynomiales $\,x\mapsto P_n(x)\,$ qui convergent uniformément vers $f$ sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}].$
subdivision d'un segment
Une subdivision d'un segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ est une suite $\,(x_0,\dots,x_n)\,$ telle que :
$\displaystyle{}a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$
Le réel : $\,\Op{max}_{k\app\sp{1.5}[\sp{-1.5}[1,n]\sp{-1.5}]}(x_k-x_{k-1})\,$ est le pas de cette subdivision.
indication
1
Considérer une subdivision régulière $\,(a_0\sp{1.5},\dots\sp{1.5},a_n)\,$ du segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ de pas : $\,\dfrac{b-a}n\!\cdot\,$
indication
2
Définir ensuite une fonction $f_n$ affine par morceaux sur $\,[\sp{.75}a\sp{.75},b\sp{.75}]\,$ telle que pour tout $\,k\app\,[\![1\sp{.75},n\sp{.75}]\!]:\,$
$\displaystyle{}f_n(a_{k-1})=f(a_{k-1})\ \txt{et} f_n(a_{k})=f(a_{k})$
réponse
Il existe bien une suite de fonctions $\,f_n:[\sp{.75}a\sp{.75},b\sp{.75}]\to\bb R\,$ continues et affines par morceaux, convergeant uniformément vers $f.$
correction
On considère une
Une subdivision d'un segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ est une suite $\,(x_0,\dots,x_n)\,$ telle que :
subdivision
régulière du segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ en posant $\,a_k=a+k\,\dfrac{b-a}n\sp{1.5},\,$ pour tout $\,k\app\,[\![\sp{1.5}0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
On définit alors une fonction $f_n$ affine par morceaux en posant, sur chaque segment $\,[\sp{1.5}a_{k-1},a_k\sp{1.5}]:\,$
$\displaystyle{}a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$
Le réel : $\,\Op{max}_{k\app\sp{1.5}[\sp{-1.5}[1,n]\sp{-1.5}]}(x_k-x_{k-1})\,$ est le pas de cette subdivision.
$\eqalign{f_n(x)&=f(a_{k-1})+\frac{x-a_{k-1}}{a_k-a_{k-1}}\sp{1.5}\big(f(a_k)-f(a_{k-1})\big)\\[-.5ex]
&=\frac{a_{k}-x}{a_k-a_{k-1}}\sp{1.5}f(a_{k-1})+\frac{x-a_{k-1}}{a_k-a_{k-1}}\sp{1.5}f(a_k)}$
Les restrictions de $f_n$ à chaque segment $\,[\sp{1.5}a_{k-1},a_k\sp{1.5}]\,$ sont continues, et elles se
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
raccordent
continûment puisque :
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,\,+\I\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^+}\,f(x)=f(a)\sp{1.5};\,$
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]-\I,\,a\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^-}\,f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}f_n(a_{k-1})=f(a_{k-1})\ \txt{et} f_n(a_{k})=f(a_{k})$
En posant : $\,t=\dfrac{a_{k}-x}{a_k-a_{k-1}}\,$ et : $\,1-t=\dfrac{x-a_{k-1}}{a_k-a_{k-1}}\,$ pour $\,x\app\,[\sp{1.5}a_{k-1},a_k\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ on obtient par
Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
inégalité
triangulaire :
$\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.
$\displaystyle{}\big|f_n(x)-f(x)\big|\leq t\sp{.75}\big|f(a_{k-1})\sp{-1.5}-\sp{-1.5}f(x)\big|+(1-t)\sp{.75}\big|f(a_k)\sp{-1.5}-\sp{-1.5}f(x)\big|$
L'application $f$ étant $\lambda\tiret$
Étant donné $\,k > 0\sp{1.5},\,$ l'application $\,f:I\to\bb K\,$ est $k\tiret$lipschitzienne ssi :
lipschitzienne,
on en déduit :
$\displaystyle{}\ptt x\sp{.75}, y\sp{.75}\app \sp{.75}I\sp{1.5},\ \ |f(x)-f(y)|\leq k\,|\sp{.75}x-y\sp{.75}|$
Toute application lipschitzienne est continue, et même uniformément continue.
$\eqalign{\big|f_n(x)-f(x)\big|&\leq t\,\lambda\sp{1.5}|a_{k-1}-x|+(1-t)\,\lambda\sp{1.5}|a_k-x|\\[.5ex]
&\leq\lambda\sp{1.5}\big(t\sp{1.5}(a_k-a_{k-1})+(1-t)\sp{1.5}(a_k-a_{k-1})\big)\\[-.5ex]&=\lambda\sp{1.5}(a_k-a_{k-1})=\frac{\lambda\sp{1.5}(b-a)}n}$
Cette inégalité étant valable sur chacun des intervalles de la subdivision $\,(a_0\sp{1.5},\dots\sp{1.5},a_n)\sp{1.5},\,$ on obtient :
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[\sp{1.5}a\sp{.75},b\sp{1.5}]\sp{1.5},\ \,\big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\frac{\lambda\sp{1.5}(b-a)}n$
Avec : $\,\lim n{+\I}\dfrac{\lambda\sp{1.5}(b-a)}n=0\sp{1.5},\,$ on a ainsi démontré la convergence
Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi
il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :
uniforme
des fonctions $f_n$ vers la fonction $f.$
$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
On peut élargir les hypothèses et supposer seulement la continuité de $f$ si on connaît la notion de continuité
Une application $\,f:I\to \bb K\,$ est uniformément continue ssi :
uniforme
et le théorème de
$\displaystyle{}\!\!\ptt \eps\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,\iex\delta\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,\ptt x\sp{1.5},y\app I,\,\big(\sp{1.5}|x-y|\sp{-1.5}<\sp{-1.5} \delta\!\Imp\!|f(x)-f(y)| \sp{-1.5}<\sp{-1.5} \eps\sp{1.5}\big)$
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\mapsto\bb R\sp{1.5},\,$ une fonction continue sur un segment $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$
Alors, cette fonction $f$ est uniformément continue sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$
Heine.
En effet, pour tout $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ il existe alors un $\,\delta_n >0\,$ tel que :
$\displaystyle{} \ptt x\sp{.75},y\app\,[\sp{1.5}a\sp{.75},b\sp{1.5}]\sp{1.5},\ \,\big(\sp{1.5}|\sp{.75}x-y\sp{.75}|\leq\delta_n\Imp\big|f(x)-f(y)\big|\leq1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n\sp{1.5}\big)$
Dans ces conditions, le même raisonnement effectué avec une subdivision de pas inférieur à $\,\delta_n\,$ donnera la même conclusion.