exercices de mathématiques - prépa et université

En tant que limite

Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$

uniforme de fonctions continues, la fonction $f$ est

Soit une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur un intervalle $I.$

Si $(f_n)$ converge uniformément vers $\,f:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ alors $f$ est continue sur $I.$

continue sur $I$ et donc aussi en $\,a\app I\,.\,$

Cela

$\,f:I\to\bb K\,$ est  continue en $\,a\app I\,$ ssi  elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$

Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$

$\sc C(I,\bb K)$  est  l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$

signifie que :  $\,\lim xa f(x)=f(a)\sp{1.5},\,$ et sachant que : $\,\lim n{+\I}a_n=a,\,$  on en

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$

Alors,  pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ et pour tout $\,\ell\app\smh0{\surl{\sp{1.5}\bb R}}:\,$

$\displaystyle{}\big(\,\lim n{+\I}x_n=a\,\txt{et}\lim xa f(x)=\ell\ \big)\Imp\lim n{+\I}f(x_n)=\ell$

déduit que :

Par définition de la convergence

Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$

uniforme, il existe une suite $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $N\sp{-1.5}\app\bb N$ tels que :

Il s'ensuit, par

Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a  alors  les inégalités triangulaires :

$\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$

Chacune de ces inégalités est une égalité  ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.

inégalité triangulaire, que pour tout $\,n\geq N:\,$

On majore donc $\,\big|f_n(a_n)-f(a)\big|\,$ par une

Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$  alors :

• $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
• $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
• $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$  si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$

sauf  pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\sp{1.5},\,$ $\,0/0\sp{1.5}.\,$

somme de deux suites de limite nulle :

On en déduit, par

Soient $(u_n)$ une suite numérique, $(v_n)$ une suite réelle et $\,\ell\app \bb K\sp{1.5}.\,$

Si  on a,  à partir d'un certain rang $N:$ $\,\big|\sp{1.5}u_n-\ell\sp{1.5}\big|\leq v_n\sp{1.5},\,$ alors :

$\displaystyle{}\lim n{+\I} v_n=0\Imp \lim n{+\I} u_n=\ell$

majoration, la conclusion attendue :

La fonction $\,\phi\,$ est

$\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi  $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$

$\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$

de classe $\sc C^1$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ et la valeur absolue est

La fonction valeur absolue : $\,x\mapsto|x|\sp{1.5},\,$ est  continue sur $\bb R\sp{1.5}.$

De plus, elle est paire, et strictement croissante sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,.\,$

continue sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$

Par

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$

composition de fonctions continues, la fonction $\,|\phi^{\sp{1.5}\prime}|\,$ est donc continue sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$

Par définition des

Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$

La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex A\app \bb R,\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq A\Imp |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$

La limite$\,\ell\,$ est unique ; on écrit : $\!\lim x {+\I} f(x)=\ell$  ou $\,f(x)\tend x {+\I}\ell\sp{1.5}.\,$

On définit de même $\,\!\lim x {-\I}\,f(x)\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}A\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$

limites, on conclut de $\,\lim x{-\I}\phi^{\sp{1.5}\prime}(x)=0\,$ à l'existence d'un réel $\,\alpha\,$ tel que : $\,x <\alpha\Imp |\phi^{\sp{1.5}\prime}(x)|\leq1\sp{1.5}.\,$

Avec $\,\lim x{+\I}\phi^{\sp{1.5}\prime}(x)=0\sp{1.5},\,$ il existe aussi un $\,\beta\sp{1.5},\,$ que l'on peut choisir supérieur à $\,\alpha\sp{1.5},\,$ et tel que : $\,x >\beta\Imp |\phi'(x)|\leq1\sp{1.5}.\,$

De ces deux implications, on conclut à l'existence d'un segment $\,[\sp{1.5}\alpha\sp{.75},\beta\sp{1.5}]\,$ tel que :

Selon le

Soit $\,f:[a,b]\to\bb R\,$ continue ; alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

théorème des bornes atteintes, la fonction continue $\,|\phi^{\sp{1.5}\prime}|\,$ est majorée par $\,m=\max\Big(1, \Op{\max}_{x\app[\sp{1.5}\alpha\sp{.75},\beta\sp{1.5}]}|\phi^{\sp{1.5}\prime}(x)|\Big).\,$

En vertu de

Soient $\,f:I\to\bb K\,$ dérivable et $\,\lambda>0\,$ tels que : $\,|f^{\sp{1.5}\prime}|\leq\lambda\sp{1.5};\,$ alors :

$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app I^2,\ \big|f(x)-f(y)\big|\leq\lambda\,|x-y\sp{1.5}|$

l'inégalité des accroissements finis, l'application $\,\phi\,$ est donc  $m\tiret$

Étant donné $\,k > 0\sp{1.5},\,$ l'application $\,f:I\to\bb K\,$ est  $k\tiret$lipschitzienne  ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\sp{.75}, y\sp{.75}\app \sp{.75}I\sp{1.5},\ \ |f(x)-f(y)|\leq k\,|\sp{.75}x-y\sp{.75}|$

Toute application lipschitzienne  est continue, et même uniformément continue.

lipschitzienne :

D'autre part, $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ convergeant

Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$

uniformément vers $\,f,\,$ il existe une suite $(\omega_n)$ tendant vers $\,0\,$ et un $N\sp{-1.5}\app\bb N$ tels que :

On en déduit, pour tout $\,n\geq N\,$ et pour tout $\,x\app I,\,$ la majoration :

Avec $\,\lim n{+\I}(m\,\omega_n)=0\sp{1.5},\,$  on a ainsi établi que la suite $\,(\phi\circ f_n)_{n\app\bb N}\,$ converge

Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$

uniformément vers $\,\phi\circ f\sp{1.5}.\,$

• Si $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ converge
  Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

  $(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

  $\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
  uniformément vers $\,x\mapsto 0\sp{1.5},\,$ alors il existe une suite $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $N\sp{-1.5}\app\bb N$ tels que :
  $\displaystyle{}\ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)\big|\leq\omega_n$
  Il s'ensuit que, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I,$ on a $\,\lim n{+\I} f_n(x_n)=0\,$ par
  Soient $(u_n)$ une suite numérique, $(v_n)$ une suite réelle et $\,\ell\app \bb K\sp{1.5}.\,$

  Si  on a,  à partir d'un certain rang $N:$ $\,\big|\sp{1.5}u_n-\ell\sp{1.5}\big|\leq v_n\sp{1.5},\,$ alors :

  $\displaystyle{}\lim n{+\I} v_n=0\Imp \lim n{+\I} u_n=\ell$
  majoration, car :
  $\displaystyle{}\ptt n\geq N,\ \big|f_n(x_n)\big|\leq\omega_n\,\tend n{+\I}0$
• Réciproquement, on suppose que pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I,$ $\,\big(f(x_n)\big)\,$ tende vers $\,0\sp{1.5},\,$ et on pose :
  $\displaystyle{}\omega_n=\Op{\sup}_{x\app I}\big|f_n(x)\big|\app\,[\sp{1.5}0,+\I]$
  Par définition de la borne
  Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$  un  plus petit majorant :

  $\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$

  C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$
  supérieure, il existe alors des éléments $\,a_n\,$ de $I$ pour $n\app\bb N^{\ast}$ tels que :
  $\displaystyle{}\Syst{&f_n(a_n)\geq \omega_n-\smash{\frac1{n}}&\txt{si}\,\omega_n\app\bb R\\ &f_n(a_n)\geq1&\txt{si}\,\omega_n=+\I}$
  • En effet, le nombre  $\,\omega_n-\dfrac1{n}\,$  ne majore pas l'ensemble : $\,\ens{|f_n(x)|}{x\app I}\sp{1.5},\,$ lorsque $\,\omega_n\app\bb R\sp{1.5}.\,$
  • De même, le nombre $\,1\,$ ne majore pas l'ensemble : $\,\ens{|f_n(x)|}{x\app I}\sp{1.5},\,$ lorsque $\,\omega_n=+\I\,.\,$
  Sachant que, par hypothèse : $\,\lim n{+\I}f_n(a_n)=0\sp{1.5},\,$  il existe par définition de la
  Une suite numérique $(u_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,\ell\app\bb K\,$ ssi :

  $\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex N\geq n_0\sp{1.5},\ \ptt n\app \bb N,\ \big(n\geq N\Imp |u_n-\ell| \leq \eps\big)$

  La limite $\,\ell\,$ est  unique ; on écrit : $\,\lim n{+\I}u_n=\ell\,$  ou  $\,u_n\tend n{+\I} \ell\sp{1.5}.\,$
  limite un rang $N$ tel que :
  $\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ f_n(a_n) < 1$
  Il s'ensuit que pour tout $\,n\geq N,\,$ $\,\omega_n\,$ est fini et majoré par une
  Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$  alors :

  • $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
  • $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
  • $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$  si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$

  sauf  pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\sp{1.5},\,$ $\,0/0\sp{1.5}.\,$
  somme de deux suites de limite nulle :
  $\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \,\omega_n\leq f_n(a_n)+\frac1{n}\ \tend n{+\I}\,0$
  On en déduit, par
  Soient $(u_n)$ une suite numérique, $(v_n)$ une suite réelle et $\,\ell\app \bb K\sp{1.5}.\,$

  Si  on a,  à partir d'un certain rang $N:$ $\,\big|\sp{1.5}u_n-\ell\sp{1.5}\big|\leq v_n\sp{1.5},\,$ alors :

  $\displaystyle{}\lim n{+\I} v_n=0\Imp \lim n{+\I} u_n=\ell$
  majoration, que : $\,\lim n{+\I}\,\omega_n=0\sp{1.5},\,$ ce qui établit la convergence
  Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

  $(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

  $\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
  uniforme de la suite $(f_n)$ vers la fonction nulle.