exercices de mathématiques - prépa et université

\\(\TV\\)On détermine la limite

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simple de la suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ en déterminant $\,\lim n{+\I}f_n(x)\,$ pour tout $\,x\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,+\I[\,$ fixé.

Avec : $\,f_n(x)=x\sp{.75}\big(x\,\e{\sp{1.5}1-x}\big)^n,\,$ on s'intéresse aux variations de la fonction  $\,\phi:x\mapsto x\,\e{\sp{1.5}1-x}\,$ sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,.\,$

Cette fonction $\,\phi\,$ est dérivable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ comme

Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$

• $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$

produit de $\,x\mapsto x\,$ par une

Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\ n\geq1\sp{1.5};\,$ $\,f:x\mapsto\e{u(x)}\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=u'(x)\,\e{u(x)}$

exponentielle, avec :

$\,\phi'(x)\,$ est du signe de $\,(1-x)\sp{1.5},\,$ et on a par

Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

$\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$

croissances comparées : $\,\lim x{+\I}\phi(x)=0\sp{1.5},\,$  d'où les

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

variations :

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&0&&&1&&&\i+\\ \hline &&&&1&\sl \phi(x)&&\ \cr&&&&\dec\sl &0&&&&&&0}$}$

Pour $\,x\geq 0\,$ fixé, il convient donc de distinguer deux cas vis à vis de la variable $\,n:\,$

• Si $\,x\geq 0\,$ et $\,x\neq 1\sp{1.5},\,$   alors $\,(f_n(x))_{n\app\bb N}\,$ est une suite
  Une suite $(u_n)_{n\app\bb N}$ est une suite géométrique de raison $q\app\bb K^{\ast},$ ssi :

  $\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=q\,u_n$

  Alors $\,u_0\,$ détermine toute la suite $(u_n)_{n\app\bb N}:$  $\,\ptt n\app\bb N,\ u_n=u_0\,q^n.\,$
  géométrique de raison  $\,\phi(x)\app\,[\sp{1.5}0\sp{1.5},1[\,,\,$
  Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente  ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$

  • $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
  • $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$

  Lorsque $\,q\app\bb R\,$ avec $\,q > 1\sp{1.5},\,$ alors  au contraire : $\lim n{+\I}q^n=+\I\sp{1.5}.$
  d'où :
  $\displaystyle{}\lim n{+\I}f_n(x)=\lim n{+\I}x\big(\phi(x)\big)^n=0$
• Si $\,x=1,\,$  on a par contre : $\,\phi(1)=1\,$ et $\,f_n(1)=\big(\phi(1)\big)^n=1,\,$  si bien que : $\,\lim n{+\I}f_n(1)=1.\,$

La suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ converge donc

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simplement vers la fonction

La fonction indicatrice d'une partie $F$ d'un ensemble $E$  est :

$\displaystyle{}\bb1_{\sp{-1.5}F}:E\to\{0,1\}\sp{1.5},\ \ x\mapsto\syst{&1\sp{1.5}\txt{si}x\app F\\[-.5ex]&0\sp{1.5}\txt{si}x\sp{-1.5}\non\app\sp{-1.5} F}$

indicatrice de $\,\{1\}\,$ sur $\,[\sp{1.5}0\sp{1.5},+\I[\,:\,$

Avec $\,\lim x1\bb1_{\sp{-1.5}\{1\}}(x)=0\neq1\sp{1.5},\,$ cette limite $\,\bb1_{\sp{-1.5}\{1\}}\,$ de la suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ est

$\,f:I\to\bb K\,$ est  continue en $\,a\app I\,$ ssi  elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$

Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$

$\sc C(I,\bb K)$  est  l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$

discontinue  en $\,x=1\sp{1.5}.\,$

Les $\,30\,$ premières fonctions $f_n$ et la limite $f$

On détermine la limite

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simple de la suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ en déterminant $\,\lim n{+\I}f_n(x)\,$ pour tout $\,x\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,1]\,$ fixé.

Pour $\,x\geq 0\,$ fixé, il convient alors de distinguer deux cas vis à vis de la variable $\,n:\,$

• Si $\,x\app\,[\sp{1.5}0,1[\,,\,$ on a par
  Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

  $\displaystyle{}(\ln n)^\beta\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(n^\alpha)\sp{1.5},\ \,n^\alpha\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,n})\,\txt{et}\,\e{\gamma\,n}\dl n{+\I}o\big(n\sp{1.5}!\big) $
  croissances comparées :  $\,\lim n{+\I}n^2x^n=0\sp{1.5},\,$  d'où :  $\,\lim n{+\I}f_n(x)=0\sp{1.5}.\,$
• Si $\,x=1,\,$ on a : $\,f_n(1)=0,\,$  d'où : $\,\lim n{+\I}f_n(1)=0.\,$

La suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ converge donc

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simplement sur $\,[\sp{1.5}0,1]\,$ vers la fonction nulle  $\,f:x\mapsto 0\sp{1.5}.\,$

Pour comparer la limite des intégrales de $f_n$ et l'intégrale de leur limite :

• on calcule d'abord l'intégrale de chaque $\,f_n:x\mapsto n^2\big(x^n-x^{n+1}\big)\,$ sur le segment $\,[\sp{1.5}0,1]\,$ par
  Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$

  $\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
  primitivation :
  $\eqalign{\!\!\int_0^1\!\!f_n(x)\d x&=n^2\Big[\frac{x^{n+1}}{n+1}\!-\!\frac{x^{n+2}}{n+2}\Big]_0^1 &\!=\frac{n^2}{\!(n+1)(n+2)\!}}$
  Par
  Soient des suites numériques avec $\,\smb0{u_n\eq n{+\I}x_n}\,$ et $\,\smb0{v_n\eq n{+\I}y_n}\sp{1.5};\,$ alors :

  • $\,u_n\,v_n\smb{1}{\eq n{+\I}}x_n\,y_n\sp{1.5};\,$
  • $\,u_n/v_n\eq n{+\I}x_n/y_n\sp{1.5},\,$ lorsque $\,v_n\neq 0\sp{1.5}\,$ et $\,y_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\,.\,$
  quotient de deux
  Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$

  En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :

  $\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
  équivalents, on a : $\,\dint_0^1\!\!f_n(x)\d x\eq n{+\I}\dfrac{n^2}{n^2}=1\sp{1.5},\,$  d'où :  $\,\lim n{+\I}\Big(\dint_0^1\!\!f_n(x)\d x\Big)=1\sp{1.5}.\,$
• On a d'autre part :  $\,\lim n{+\I}f_n(x)=0\sp{1.5},\,$  d'où : $\,\smh{1.5}{\dint_0^1\!\Big(\lim n{+\I}f_n(x)\Big)}\d x=0\sp{1.5}.\,$

Il s'avère donc que la limite des intégrales ne coïncide pas avec l'intégrale de la limite :

Les $\,30\,$ premières fonctions $f_n$ et la limite $f$

On détermine la limite

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simple de la suite $\,(f_n)_{n\geq1}\,$ en déterminant $\,\lim n{+\I}f_n(x)\,$ pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ fixé.

Pour $\,x\geq 0\,$ fixé, il convient donc de distinguer deux cas vis à vis de la variable $\,n:\,$

• Si $\,x > 0,\,$ $\,f_n(x)\,$ est un
  Soient des suites numériques avec $\,\smb0{u_n\eq n{+\I}x_n}\,$ et $\,\smb0{v_n\eq n{+\I}y_n}\sp{1.5};\,$ alors :

  • $\,u_n\,v_n\smb{1}{\eq n{+\I}}x_n\,y_n\sp{1.5};\,$
  • $\,u_n/v_n\eq n{+\I}x_n/y_n\sp{1.5},\,$ lorsque $\,v_n\neq 0\sp{1.5}\,$ et $\,y_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\,.\,$
  quotient de deux fonctions
  Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$

  En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :

  $\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
  affines de $\,n\sp{1.5},\,$ d'où par équivalents :
  $\displaystyle{}f_n(x)\eq n{+\I}\smb{0}{\frac{n\sp{1.5}\sqrt x}n}=\sqrt x\sp{1.5},\ \txt{soit :}\lim n{+\I}f_n(x)=\sqrt x$
• Si $\,x=0,\,$  on a : $\,f_n(0)=\smh0{1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}\sp{1.5},\,$  d'où également : $\,\lim n{+\I}f_n(0)=0=\sqrt{\sth{.25}0\sp{1.5}}\,.\,$

La suite $\,(f_n)_{n\geq1}\,$ converge donc

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simplement vers la fonction racine carrée  $\,f:x\mapsto \sqrt x\,.\,$

Pour évaluer les doubles limites, il convient de distinguer soigneusement les deux variables $\,n\,$ et $\,x:\,$

• Pour $\,n\,$ fixé, on a un
  Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$

  Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a  alors :

  • $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
  • $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$
  quotient de deux
  Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :

  $\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$
  équivalents :  $\,f_n(x)\eq x{+\I}\dfrac {n\sp{1.5}\sqrt x}{x^2}=\dfrac n{x^{3/2}}\!\cdot\,$
  On a donc : $\,f_n(x)\tend x{+\I}0\sp{1.5},\,$  d'où :  $\,\smh{.5}{\lim n{+\I}\!\Big(\lim x{+\I}f_n(x)\Big)}=0\sp{1.5}.\,$
• Pour $\,x\,$ fixé, on a déjà établi que : $\,\lim n{+\I}f_n(x)=\sqrt x\,,\,$  
  La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ vérifie :

  $\displaystyle{}\lim x{+\I}\sqrt x=+\I\ \txt{et}\,\big(\sqrt{1+x}-1\big)\eq x0 \,\frac x2$
  d'où :  $\,\lim x{+\I}\!\Big(\lim n{+\I}f_n(x)\Big)=+\I\,.\,$

Il s'avère donc que les deux limites, selon $\,n\,$ et selon $\,x\sp{1.5},\,$ ne peuvent pas être permutées :

Les $\,50\,$ premières fonctions $f_n$ et la limite $f$