exercices de mathématiques - prépa et université

L'expression de $f_n( x)$ se factorise de la manière suivante : La fonction quadratique  $\,\phi:x\mapsto3\sp{1.5}x\sp{1.5}(1-x)\,$ est positive sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}0\sp{.75},1]\,$ avec un

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

• un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
• un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$

maximum en $\,x=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2:\,$

Il s'ensuit que la suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ converge

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simplement, et même

Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$

uniformément vers la fonction nulle  $\,f:x\mapsto0\sp{1.5}.\,$

En effet, par limite d'une suite

Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente  ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$

• $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
• $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,q\app\bb R\,$ avec $\,q > 1\sp{1.5},\,$ alors  au contraire : $\lim n{+\I}q^n=+\I\sp{1.5}.$

géométrique de raison $\,q=\dfrac34 < 1\,$ on a, pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}0\sp{.75},1]:\,$

Les $\,15\,$ premières fonctions $f_n$ et la limite $f$

\\(\TV\\)On détermine d'abord la limite

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simple de la suite $\,(f_n)_{n\geq1}\,$ en recherchant $\,\lim n{+\I}f_n(x)\,$ pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ fixé.

Pour $\,x\geq 0\,$ fixé, il convient alors de distinguer deux cas vis à vis de la variable $\,n:\,$

• Si $\,x > 0\sp{1.5},\,$  on a la limite d'une
  La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :

  $\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
  exponentielle :  $\,\e{-n\sp{1.5}x}\tend n{+\I}0\sp{1.5},\,$  d'où : $\,\lim n{+\I}f_n(x)=x\sp{1.5}.\,$
• Si $\,x=0\sp{1.5},\,$  on a :  $\,f_n(0)=0\sp{1.5},\,$  d'où : $\,\lim n{+\I}f_n(0)=0\sp{1.5}.\,$

La suite $\,(f_n)_{n\geq1}\,$ converge donc

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simplement vers la fonction identité  $\,f:x\mapsto x\sp{1.5}.\,$

On s'intéresse maintenant aux variations des fonctions $\, g_n:x\mapsto f_n(x)-f(x)=-x\,\e{-n\sp{1.5}x}\sp{1.5}.\,$

Ces fonctions $\,g_n\,$ sont dérivables sur $\,[\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ comme

Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$

• $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$

produit de $\,x\mapsto -x\,$ par une

Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\ n\geq1\sp{1.5};\,$ $\,f:x\mapsto\e{u(x)}\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=u'(x)\,\e{u(x)}$

exponentielle, avec :

$\,g_n'(x)\,$ est du signe de $\,(n\sp{1.5}x-1)\sp{1.5},\,$ et on a par

Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

$\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$

croissances comparées : $\,\lim x{+\I}g_n(x)=0\sp{1.5},\,$  d'où les

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

variations :

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&0&&&1/n&&&\i+\\ \hline &0&&&&&&0\sl g_n(x)&&\ \dec&&&&\cr\sl &&&&\!\!g_n(1/n)\!\!&}$}$

Il s'ensuit que la suite $\,(f_n)_{n\geq1}\,$ converge

Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$

uniformément vers la fonction identité  $\,f:x\mapsto x\sp{1.5}.\,$

En effet, par limite du

Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$  alors :

• $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
• $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
• $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$  si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$

sauf  pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\sp{1.5},\,$ $\,0/0\sp{1.5}.\,$

quotient :  $\,g_n\Big(\dfrac1n\Big)=-\dfrac{\e{-1}}n\sp{1.5},\,$ on a pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}0,+\I[\,:\,$

\\(\TV\\)On détermine d'abord la limite

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simple de la suite $\,(f_n)_{n\geq1}\,$ en recherchant $\,\lim n{+\I}f_n(x)\,$ pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ fixé.

Pour $\,x\geq 0\,$ fixé, il convient alors de distinguer deux cas vis à vis de la variable $\,n:\,$

• Si $\,x > 0,\,$  on a
  Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

  $\displaystyle{}(\ln n)^\beta\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(n^\alpha)\sp{1.5},\ \,n^\alpha\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,n})\,\txt{et}\,\e{\gamma\,n}\dl n{+\I}o\big(n\sp{1.5}!\big) $
  croissance comparées : $\,x^n\dl n{+\I}o\big(n\sp{1.5}!\big),\,$  d'où : $\,\lim n{+\I}f_n(x)=0\sp{1.5}.\,$
• Si $\,x=0,\,$  on a : $\,f_n(0)=0\sp{1.5},\,$  d'où : $\,\lim n{+\I}f_n(0)=0\sp{1.5}.\,$

La suite $\,(f_n)_{n\geq1}\,$ converge donc

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simplement vers la fonction nulle  $\,f:x\mapsto 0.\,$

Les fonctions $\,f_n\,$ sont dérivables sur $\,[\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ comme

Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$

• $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$

produit de  $\,x\mapsto x^n\!/n\sp{1.5}!\,$  par une

Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\ n\geq1\sp{1.5};\,$ $\,f:x\mapsto\e{u(x)}\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=u'(x)\,\e{u(x)}$

exponentielle,  avec :

$\,f_n'(x)\,$ est du signe de $\,(n-x)\sp{1.5},\,$ et on a par

Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

$\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$

croissances comparées : $\,\lim x{+\I}f_n(x)=0\sp{1.5},\,$  d'où les

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

variations :

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&0&&&n&&&\i+\hl &&&&\!\!f_n(n)\!\!&\sl f_n(x)&&\ \cr&&&&\dec\sl &0&&&&&&0}$}$

Il s'ensuit que la suite $\,(f_n)_{n\geq1}\,$ converge

Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$

uniformément vers la fonction nulle  $\,f:x\mapsto 0\sp{1.5}.\,$

En effet, selon la formule de

La factorielle de $n$ a pour équivalent lorsque $\,n\,$ tend vers $\,+\I:\,$

$\displaystyle{}n\sp{1.5}!\eq n{+\I}\!\sqrt{2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}n}\,\Big(\dfrac n{\e{}}\Big)^{\!n}$

Stirling,  avec :  $\,f_n(n)=\dfrac{n^n\sp{1.5}\e{-n}}{n\sp{1.5}!}\sp{1.5},\,$ on a pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}0,+\I[\,:\,$

On détermine d'abord la limite

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simple de la suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ en recherchant $\,\lim n{+\I}f_n(x)\,$ pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}0,1[\,$ fixé.

Par limite d'une suite

Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente  ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$

• $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
• $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,q\app\bb R\,$ avec $\,q > 1\sp{1.5},\,$ alors  au contraire : $\lim n{+\I}q^n=+\I\sp{1.5}.$

géométrique de raison $\,x <1\sp{1.5},\,$ on a :  $\,x^n\tend n{+\I}0\sp{1.5},\,$ si bien que :

• par équivalent d'un logarithme et
  Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

  $\displaystyle{}(\ln n)^\beta\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(n^\alpha)\sp{1.5},\ \,n^\alpha\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,n})\,\txt{et}\,\e{\gamma\,n}\dl n{+\I}o\big(n\sp{1.5}!\big) $
  par croissances comparées : $\,n\sp{1.5}\ln\!\big(1+x^{n}\big)\eq n{+\I}n\,x^n\tend n{+\I}0\,;\,$
• on en déduit, par continuité de
  Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

  • continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
  • continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
  l'exponentielle :  $\,\big(1+x^{n}\big)^{n}=\e{\sp{1.5}n\sp{1.5}\ln\!\big(1+x^{n}\big)}\tend n{+\I}\e{0}=1\sp{1.5},\,$
• d'où finalement, par
  Deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)$  sont  équivalentes  ssi  à partir d'un rang $\,n_0:\,$

  $\displaystyle{}u_n=v_n\,\delta_n\sp{1.5},\txt{avec :}\lim n{+\I}\delta_n=1$

  On écrit :  $\,u_n\,\eq n{+\I}\,v_n\sp{1.5},\,$ et  si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ alors :

  $\displaystyle{}u_n\,\eq n{+\I}\,v_n\Ssi\lim n{+\I}\,\smh{.5}{\frac{u_n}{v_n}}=1$
  équivalent :  $\,f_n(x)=x^{n}\sp{1.5}\big(1+x^{n}\big)^{n}\eq n{+\I} x^{n}\tend n{+\I}0\sp{1.5}.\,$

La suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ converge donc

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simplement sur $\,\sp{1.5}[\sp{1.5}0,1[\sp{1.5}\,$ vers la fonction nulle  $\,f:x\mapsto 0\sp{1.5}.\,$

Les fonctions $f_n$ se prolongent par continuité en $\,x=1\,$ avec $\,f_n(1)=2^{n},\,$ si bien que :

Selon le théorème de la

Soit une suite de $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec $\,a\app I\,$ ou $\,a\,$ extrémité de $I.$

• Si  la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $\,f:I\to\bb K\sp{1.5},\,$
• et  si  chaque $f_n$ admet en $a$ une limite $\,\ell_n\sp{1.5},\,$

alors $\,(\ell_n)\,$ converge vers $\,\lim n{+\I}\ell_n=\lim xa f(x)\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que :

$\displaystyle{}\lim n{+\I}\sp{-1.5}\Big(\sp{1.5}\lim xa f_n(x)\Big)=\lim xa\sp{-1.5}\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}f_n(x)\Big)$

double limite, la convergence sur $\,[\sp{1.5}0,1[\,$ de la suite $(f_n)$ n'est donc pas

Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$

uniforme.

Si on ne connaît pas ce théorème, on peut recourir à la caractérisation de la convergence uniforme :

En effet, supposons qu'à partir d'un certain rang $\,N\sp{1.5},\,$ on ait :  $\,\big|f_n(x)\big|\leq\omega_n\ \tend n{+\I}\,0\sp{1.5}.\,$

On aurait alors :  $\,\ptt n\geq N,\ 2^{n}=\lim x{1^-} \big|f_n(x)\big|\leq\omega_n\sp{1.5},\,$ ce qui est contradictoire puisque : $\,\lim n{+\I}2^{n}=+\I\sp{1.5}.\,$

Pour obtenir une convergence uniforme, il faut se restreindre à un segment $\,[\sp{1.5}0\sp{.75},a\sp{.75}]\,$  pour $\,0\!\leq\!a\!<\!1\,$ fixé.

En effet, les $f_n$ sont croissantes comme

Soient $\,f,g:I\to \bb R_+\sp{1.5},\,$ monotones et de même sens de variation.

Alors,  le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ est monotone de même sens de variation sur $\,I\sp{1.5}.\,$

$\,f\sp{1.5}g\,$ est strictement monotone si $f$ et $\,g\,$ sont strictement monotones.

produits des  $\,x\mapsto x^n\,$  et  $\,x\mapsto 1+x^n,\,$  positives et

Pour $\,k\app\bb Z^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonction puissances : $\,x\mapsto x^k\,$ sont :

• continues sur $\,\bb R\,$ et strictement croissantes sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,k >0\sp{1.5};\,$
• continues sur $\,\bb R^{\ast}\,$ et strictement décroissantes sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,k <0\sp{1.5}.\,$

De plus, elle sont paire ou impaire sur $\,\bb R\,$ ou $\,\bb R^{\ast}\!\,$ selon la parité de $\,k\sp{1.5}.\,$

croissantes sur $\,[\sp{1.5}0\sp{.75},1[\,,\,$ d'où :

On détermine d'abord la limite

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simple de la suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ en recherchant $\,\lim n{+\I}f_n(x)\,$ pour tout $\,x\app\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,$ fixé.

Par limite d'une suite

Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente  ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$

• $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
• $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,q\app\bb R\,$ avec $\,q > 1\sp{1.5},\,$ alors  au contraire : $\lim n{+\I}q^n=+\I\sp{1.5}.$

géométrique de raison $\,\e{-x} < 1\sp{1.5},\,$ on a : $\,\lim n{+\I}\e{-n\sp{1.5}x}=0\sp{1.5},\,$  d'où : $\,\lim n{+\I}f_n(x)=0\sp{1.5}.\,$

La suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ converge donc

Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$

simplement sur $\,\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}\,$ vers la fonction nulle $\,f:x\mapsto 0\sp{1.5}.\,$

Par équivalent de

La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :

$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$

l'exponentielle, on a : $\,1-\e{-x}\eq x0 x\sp{1.5},\,$  puis par produit et quotient

Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$

Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a  alors :

• $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
• $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$

d'équivalents :

Par continuité d'une exponentielle en $\,x=0\sp{1.5},\,$ on a donc : $\,\lim x0 f_n(x)=\lim x0 \e{-n\sp{1.5}x}=\e{0}=1\sp{1.5}.\,$

En posant $\,\surl{f_n\!}\,(0)=1\sp{1.5},\,$ chaque fonctions $f_n$ admet un prolongement par continuité $\,\surl{f_n\!}\,$  à l'intervalle $\,[\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$

Si la suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ convergeait

Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$

uniformément vers $\,f:x\mapsto0\,$ sur $\,\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ il existerait un rang $\,N\,$ tel que : Par passage à la

Soient $\,f,\sp{1.5}g:I\to\bb R\,$ admettant des limites, finies ou non, en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

Si $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$  alors : $\,\lim x a\sp{1.5}f(x)\leq\lim x a \sp{1.5}g(x)\sp{1.5}.\,$

limite dans cette inégalité lorsque $\,x\,$ tend vers $\,0\sp{1.5},\,$ on en déduirait que : Ces deux propriétés étant contradictoires, $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ ne converge pas uniformément vers $\,f:x\mapsto0\sp{1.5}.\,$

Pour obtenir une convergence uniforme, il faut se restreindre à un intervalle $\,[\sp{1.5}a,+\I[\,$  pour $\,a > 0\,$ fixé.

En effet, on a alors par

Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

• continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
• continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$

décroissance de $\,x\mapsto\e{-x},\,$ puis changement de signe : Chaque $\,g_n:x\mapsto x^2\sp{1.5}\e{-n\sp{1.5}x}\,$ est dérivable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ comme

Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$

• $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$

produit de  $\,x\mapsto x^2\,$  par une

Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\ n\geq1\sp{1.5};\,$ $\,f:x\mapsto\e{u(x)}\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=u'(x)\,\e{u(x)}$

exponentielle,  avec : Les fonctions $\,g_n\,$ sont donc

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

décroissantes sur $\,[\sp{1.5}2/n\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ et a fortiori sur tout $\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ lorsque $\,\sp{1.5}n\geq\dfrac2a\!\cdot\,$

la suite $\,(f_n)_{n\app\bb N}\,$ converge alors

Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$  ssi  il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :

$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$

uniformément vers $\,f:x\mapsto0\,$ sur $\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ car pour  $\,n\geq\dfrac2a\sp{1.5},\,$ on a :

Les $\,30\,$ premières fonctions $f_n$ et la limite $f$