exercices de mathématiques - prépa et université

La fonction

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

rationnelle $f$ a deux pôles simples : $\,1\,$ et $\,-1\sp{1.5}.\,$

Avec une partie entière nulle, la fraction $f(x)$ se

Soit $f$ une fonction rationnelle irréductible à pôles simples $\alpha_1,\dots,\alpha_p\sp{1.5}.$

Alors $f$ a une unique décomposition en éléments simples :

$\displaystyle{}\smh{1.5}{f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}= E(x)+\dfrac{\lambda_1}{x-\alpha_1}+\cdots+\dfrac{\lambda_p}{x-\alpha_p}}$

• La partie entière $E$ est le quotient euclidien de $A$ par $B\sp{1.5};$
• après simplification par $(x-\alpha_k):$ $\,\lambda_k\!=\!\dfrac{\!A(x)(x-\alpha_k)\!}{B(x)}\Big|_{x=\alpha_k}\!\!\!\!\!\!\,$

décompose donc en éléments simples sous la forme :

On peut alors obtenir les coefficients $a$ et $b$ de cette décomposition selon deux méthodes :

• soit en évaluant directement $\,a\,$ et $\,b\,$ par les formules :
  $\displaystyle{}\smh{1}{\smb{1.5}{a=\frac{-1}{x+1}\Big|_{x=1}=-\frac12\ \txt{et} \ b=\frac{-1}{x-1}\Big|_{x=-1}=\frac12}}$
• soit en
  Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun,  alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$

  On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$
  identifiant $\,a\,$ et $\,b\,$ au numérateur de :
  $\eqalign{\dfrac{-1}{(x-1)(x+1)}=&\dfrac{(a+b)\sp{1.5}x+a-b}{(x-1)(x+1)}\\ \txt{d'où :}&\Big\{\eqalign{\,a+b&=\ 0\\[-.5ex]a-b&=-1}}$

On trouve donc : $\,f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}=\dfrac12\Big(\!-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}\Big)\!\cdot\,$

Pour tout $\alpha\app\bb R\sp{1.5},$ la fonction  $\,\phi:x\mapsto\smb{1.5}{\dfrac1{x-\alpha}}=(x-\alpha)^{-1}\,$ est

Une fonction rationnelle $\,f\,$ est de classe $\sc C^\I$ sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$

de classe $\sc C^{\infty}$ sur $\,\bb R\!\setminus\!\{\alpha\}\sp{1.5},\,$ avec : Cette expression des

Soit $\,n\app\bb N\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}\{\I\}\,$ et $\,f:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ $n$ fois dérivable sur l'intervalle $I.$

Alors,  ses dérivées successives sont définies par récurrence, avec :

$\displaystyle{}f^{(0)}=f\txt{et}\ptt k < n\sp{1.5},\ f^{(k+1)}={f^{(k)}}'$

dérivées successives de $\,\phi\,$ se justifie par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence :

• on a : $\,\phi^{(0)}(x)=(-1)^0\,0\sp{1.5}!\,(x-\alpha)^{-1}=\phi(x)\sp{1.5},\,$
• et si : $\,\phi^{(n)}(x)=(-1)^n\,n\sp{1.5}!\,(x-\alpha)^{-n-1}\sp{1.5},\,$ alors :
  $\eqalign{\phi^{(n+1)}(x)&=(-1)^n\,n\sp{1.5}!\,(-n-1)\,(x-\alpha)^{-n-2}\\&=(-1)^{n+1}\,(n+1)\sp{1.5}!\,(x-\alpha)^{-n-2}}$

Avec $\,\alpha=\pm1\sp{1.5},\,$ l'expression de la dérivée $n$-ème de $f$ sur $\,\bb R\!\setminus\!\{-1,1\}\,$ en découle :

On va linéariser $f(x)$ à l'aide des

Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :

• $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
• $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$

formules d'Euler : On développe alors $\,\sin^3\!x\sp{1.5}\cos x\,$ en utilisant la

Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$

formule du binôme :

Cela nous donne finalement, après regroupement des termes conjugués :

Pour $\,\omega\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction

Si $\,f\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ $\,g\app\sc C^{n}(J,\bb K)\,$ et $\,f(I)\subset J\sp{1.5},\,$ alors : $\,g\circ f\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$

composée $\,\phi:x\mapsto\sin \omega\sp{1.5}x\,$ est de classe $\sc C^{\infty}$ comme la fonction

Les fonctions cosinus et sinus sont de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :

$\eqalign{&\ptt x\app\bb R,\ \big(\cos'(x)=-\sin x\txt{et} \sin'(x)=\cos x\big) \ \txt{d'où :}\\[-1ex] &\cos^{(k)}(x)=\cos\big(x+\dfrac{k\sp{1.5}\pi}2\big)\txt{et}\sin^{(k)}(x)=\sin\big(x+\dfrac{k\sp{1.5}\pi}2\big)}$

sinus,  avec : Cette expression des

Soit $\,n\app\bb N\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}\{\I\}\,$ et $\,f:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ $n$ fois dérivable sur l'intervalle $I.$

Alors,  ses dérivées successives sont définies par récurrence, avec :

$\displaystyle{}f^{(0)}=f\txt{et}\ptt k < n\sp{1.5},\ f^{(k+1)}={f^{(k)}}'$

dérivées successives de $\,\phi\,$ se justifie par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence :

• on a d'une part : $\,\phi^{(0)}(x)=\omega^0\sin\omega\sp{1.5}x=\phi(x)\sp{1.5};\,$
• d'autre part, si on a : $\,\phi^{(n)}(x)=\omega^n\sin\big(\omega\sp{1.5}x+n\sp{1.5}\pi/2\big)\sp{1.5},\,$ on en déduit par
  Soient $f\sp{-1.5}:I\!\to\sp{-1.5}\bb K$ dérivable en $x$ et  $g\sp{-1.5}:J\!\to\sp{-1.5}\bb R$ dérivable en $f(x)\sp{1.5}.$

  Si $\,\sth{.5}f(I)\subset J\sp{1.5},\,$ alors $\,g\circ f\,$ est dérivable en $x\sp{1.5},$ avec :

  $\displaystyle{}(g\circ f)'(x)=g'\big(f(x)\big)\sp{1.5}f'(x)$
  composition et formules de
  Par symétries du cercle trigonométrique d'axes $\,Oy\,$ et $\,y=x\sp{1.5},\,$ on a :

  • $\,\sth{.5}\cos(\pi-x)=-\cos x\sp{1.5};\,$  $\,\sin(\pi-x)=\ \,\sin x\ \sp{1.5};\,$
    $\,\sth{.5}\tan(\pi-x)=-\tan x\,$  si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\stb{1.25}\,$
  • $\,\cos(\pi/2-x)=\sin x\sp{1.5};\,$  $\,\sin(\pi/2-x)=\cos x\sp{1.5};\,$
    $\,\sth{.5}\tan(\pi/2-x)=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\tan x\,$  si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi/2\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$

  Les formules en $\,(\pi+x)\,$ et $\,(\pi/2+x)\,$ en résultent par parité et imparité.
  symétrie :
  $\eqalign{\phi^{(n+1)}(x)&=\omega\times \omega^{n}\cos\big(\omega\sp{1.5}x+n\sp{1.5}\pi/2\big)\\ &=\omega^{n+1}\,\sin\big(\omega\sp{1.5}x+(n+1)\sp{1.5}\pi/2\big)}$

L'expression de la dérivée $n$-ème de $f$ sur $\,\bb R\,$ en découle :

Pour tout $\,k\app\bb N\sp{1.5},\,$ compte tenu de la périodicité du

Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$

• Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
• Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

sinus et de son imparité, on a :

Selon la formule de

Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :

$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$

Taylor-Young,  on obtient alors :

La fonction $f$ est une fonction

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

rationnelle, et elle est

Une fonction rationnelle $\,f\,$ est de classe $\sc C^\I$ sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$

de classe $\sc C^{\infty}$ sur $\,\bb R\!\setminus\!\{-1\}\!\cdot\,$

En tant que produit des fonctions $\,x\mapsto x^2+1\,$ et $\,x\mapsto(x+1)^{-3},\,$ on pourrait lui appliquer directement la

Pour $\,f,g\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ la fonction $\,f\sp{1.5}g\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ (f\sp{1.5}g)^{(n)}(x)=\smh{1}{\sum_{k=0}^{n}}\binome{n\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}f^{(k)}(x)\,g^{\sp{1.5}(n-k)}(x)$

formule de Leibniz.

Il est cependant plus simple de commencer par la décomposer :

Les fonctions $\,\phi:x\mapsto(x+1)^{-1}\,$ et $\,\psi:x\mapsto(x+1)^{-3}\,$ sont

Soit $\,k\app\bb Z\,$ et la fonction puissance $\,p_k:x\mapsto x^k.\,$

Alors  $\,p_k\app\sc C^\I(\bb R^{\ast},\bb R)\,$ et : $\,\ptt x \neq0\sp{1.5},\ p_k'(x)=k\,x^{k -1}\sp{1.5}.\,$

Si $\,k\app\bb N,\,$ $\,p_k\app\sc C^\I(\bb R,\bb R)\,$ avec $\,p_k'(0)=0\txt{si}k\neq1\,$ et $\,p_1'(0)=1\sp{1.5}.\,$

de classe $\sc C^{\infty}$ sur $\,\bb R\!\setminus\!\{-1\}\sp{1.5},\,$ avec :

Cette expression des

Soit $\,n\app\bb N\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}\{\I\}\,$ et $\,f:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ $n$ fois dérivable sur l'intervalle $I.$

Alors,  ses dérivées successives sont définies par récurrence, avec :

$\displaystyle{}f^{(0)}=f\txt{et}\ptt k < n\sp{1.5},\ f^{(k+1)}={f^{(k)}}'$

dérivées successives de $\,\phi\,$ et $\,\psi\,$ se justifient par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence :

• elles sont bien valides pour $\,n=0:\,$
  $\eqalign{\phi^{(0)}(x)&=(-1)^0\,0\sp{1.5}!\,(x+1)^{-1}\\ \txt{et :}\psi^{(0)}(x)&=(-1)^0\,\smb{0}{\dfrac{2\sp{1.5}!}2}\,(x+1)^{-3}}$
• et si on les suppose vraies au rang $\,n\sp{1.5},\,$ on a alors :
  $\eqalign{\phi^{(n+1)}(x)&=(-1)^n\sp{1.5}n\sp{1.5}!\ (-n-1)\sp{1.5}(x+1)^{-n-2}\\[-.5ex] \psi^{(n+1)}(x)&=(-1)^n\sp{1.5}\frac{(n+2)\sp{1.5}!}2\,(-n-3)\sp{1.5}(x+1)^{-n-4}}$
  ce qui nous donne bien, comme attendu :
  $\eqalign{\phi^{(n+1)}(x)&=(-1)^{n+1}\,(n+1)\sp{1.5}!\,(x+1)^{-n-2}\\ \txt{et :}\psi^{(n+1)}(x)&=(-1)^{n+1}\,\frac{(n+3)\sp{1.5}!}2\,(x+1)^{-n-4}}$

On va maintenant appliquer la

Pour $\,f,g\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ la fonction $\,f\sp{1.5}g\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ (f\sp{1.5}g)^{(n)}(x)=\smh{1}{\sum_{k=0}^{n}}\binome{n\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}f^{(k)}(x)\,g^{\sp{1.5}(n-k)}(x)$

formule de Leibniz à la fonction  $\,g:x\mapsto\dfrac{2\sp{1.5}x}{(x+1)^3}=2\sp{1.5}x\,\psi(x):\,$ L'expression de la dérivée $n$-ème de $f$ sur $\,\bb R\!\setminus\!\{-1\}\,$ en découle, avec :

Selon la formule de

Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :

$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$

Taylor-Young, on obtient alors le développement limité de $f(x)$ en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,n:\,$