exercices de mathématiques - prépa et université

$f$ est une fonction

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

rationnelle, définie et

Une fonction rationnelle $\,f\,$ est de classe $\sc C^\I$ sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$

dérivable sur $\,\bb R\!\setminus\!\{-1\}\!\cdot\,$

On calcule alors sa dérivée sur les intervalles $\,]-\I,-1\sp{1.5}[\,$ et $\,]\sp{1.5}-1,+\I[\,$ par dérivation d'un

Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I\sp{1.5},$ tel que : $\,g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

Alors  les quotients $\,1/g\,$ et $\,f/g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\!\Big(\dfrac 1g\Big)'(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}-\dfrac{g'(x)}{g(x)^2}\txt{et} \Big(\dfrac fg\Big)'(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\dfrac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{g(x)^2}$

quotient : La fonction $\,x\mapsto 2\sp{1.5}x^3+3\sp{1.5}x^2-5\,$ s'annulant en $\,x=1\sp{1.5},\,$ on obtient la factorisation :

Le quotient $\,2\sp{1.5}x^2+5\sp{1.5}x+5\sp{1.5},\,$ de coefficient dominant $\,2\,$ et de

Soit, pour $(a,b,c)\app\bb R^{\ast}\!\times\sp{-1.5}\bb R^2\sp{1.5},$ l'équation : $\,a\sp{1.5}x^2+b\sp{1.5}x+c=0\sp{1.5}.\,$

Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\bb R\sp{1.5}:$

• aucune racine si $\,\smh{.5}\Delta < 0\,;\,$
• une seule racine si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.7}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
• deux racines distinctes si $\,\Delta > 0\sp{1.5}:\,$  $\,x=\smh{0.2}{\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\sp{1.5}a}}\!\cdot\,$

discriminant négatif, est donc positif pour tout $\,x\app\bb R\sp{1.5}.\,$

La dérivée de $f$ est alors du signe de $\,(x-1)\,,\,$ et on a aussi, par équivalent

Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$

En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :

$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$

polynomial et par

Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$

Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a  alors :

• $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
• $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$

quotient d'équivalents :

On en déduit le tableau des

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

variations ainsi que les limites de $f:$

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&\i-&&&{\llap-1}&&&1&&\i+\hl f'(x)&&-&&\w&&\tg{\tg-}&0&\td{\td+}\hl\ &\i+&&&\w&\rr\i+&& &&\i+\sl f(x)&&\dec&&\w&&\dec&&\cr\sl &&&\i-\rr&\w&&&3&&}$}$

La fonction $f$ admet ainsi un

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

• un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
• un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$

minimum local en $\,x=1\,$ et son graphe admet une

Soit $f$ une fonction réelle admettant en $a\app\bb R$ une limite infinie.

Alors le graphe de $f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=a\sp{1.5}.$

asymptote verticale $D$ d'équation $\,x=-1\sp{1.5}.\,$

On a aussi, par

La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$

développement de $\,\dfrac1{1-u}\,$ lorsque $\,u=-1/x\tend x{\pm\I}0\sp{1.5},\,$ puis par

Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :

$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$

Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$

$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$

produit de développements :

Le graphe de $f$ est donc

Soient $f$ et $\,g\,$ des fonctions réelles définies au voisinage de $\,\alpha=\pm\I\sp{1.5}.\,$

Si $\,\sth{.5}\lim x{\alpha}\big(f(x)-g(x)\big)=0\sp{1.5},\,$ les graphes de $f$ et $g$ sont asymptotes.

asymptote à la parabole $P$ d'équation :

Représentation de $\,f:x\mapsto\smh{1}{\dfrac{x^3+5}{x+1}}\,$

La fonction

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

rationnelle $\,q:x\mapsto\dfrac{x^2}{2\sp{1.5}(x-1)}\,$ est

Une fonction rationnelle $\,f\,$ est de classe $\sc C^\I$ sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$

dérivable sur $\,\bb R\!\setminus\!\{0,\sp{1.5}1\}\sp{1.5},\,$ avec pour

Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I\sp{1.5},$ tel que : $\,g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

Alors  les quotients $\,1/g\,$ et $\,f/g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\!\Big(\dfrac 1g\Big)'(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}-\dfrac{g'(x)}{g(x)^2}\txt{et} \Big(\dfrac fg\Big)'(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\dfrac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{g(x)^2}$

dérivée : On dérive ensuite la fonction

Soient $f\sp{-1.5}:I\!\to\sp{-1.5}\bb K$ dérivable en $x$ et  $g\sp{-1.5}:J\!\to\sp{-1.5}\bb R$ dérivable en $f(x)\sp{1.5}.$

Si $\,\sth{.5}f(I)\subset J\sp{1.5},\,$ alors $\,g\circ f\,$ est dérivable en $x\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}(g\circ f)'(x)=g'\big(f(x)\big)\sp{1.5}f'(x)$

composée $\,r:x\mapsto\e{\sp{1.5}1/x}\sp{1.5},\,$ puis le

Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$

• $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$

produit $\,f=q\,r:\,$

La dérivée de $f$ est donc sur chaque intervalle de $\bb R\!\setminus\!\{0,\sp{1.5}1\},$ du signe de : Avec $\,\alpha=\dfrac{3-\sqrt5}2\,$ et $\,\beta=\dfrac{3+\sqrt5}2\,$ et $\,p(1)<0\sp{1.5},\,$ on obtient :  $\,\alpha <1<\beta\sp{1.5},\,$  et on va en déduire le tableau des

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

variations de $f\sp{1.5}.$

On a en effet, par

Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$

En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :

$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$

equivalents polynomiaux et par

Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$

Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a  alors :

• $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
• $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$

opérations entre équivalents, les relations suivantes :

Les limites de $f$ s'ensuivent, par

Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

$\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$

croissances comparées en $\,0^+\sp{1.5},\,$ et directement en $\,0^-\sp{1.5},\,$ en $\,1^\pm\,$ et  en $\,\pm\I:\,$

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x\!&\i-&&\!&0&& &\alpha&&&1&&&\beta&&\i+\hl f'(x)\!& &\r\tg+\r&&\w&&\r\tg+\r&0 &\r\td-\r& &\w&&\r\tg-\r&0&\r\td+\r \hl & &\!&0\r\rr&\w&&&\r f(\alpha)\r&&&\w&\rr\i+&&&&\i+ \sl f(x)\!&&\cr\!\!\!&&\w&&\cr&&\dec\!\!\!& &\w&&\dec&&\cr\sl &\i-&&&\w&\rr\i-&&&&\i-\rr&\w&&&\r f(\beta)\r}$}$

Le graphe de $\,f\,$ présente donc deux

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

• un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
• un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$

extremums locaux, en $\,x=\alpha\,$ et $\,x=\beta\,.\,$

On a aussi, par

La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$

développement de $\,\dfrac1{1-u}\,$ et de

La fonction exponentielle a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}\e x\dl x0\ 1+x+\cdots+\smh{1.75}{\frac{x^n}{n\sp{1.5}!}}+\o xn$

l'exponentielle lorsque $\,u=1/x\tend x{\pm\I}0\sp{1.5},\,$ puis par

Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :

$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$

Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$

$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$

produit de développements : La courbe représentative de $\sth{2}f\stb{1}$ présente donc les particularités suivantes :

• un point limite $\,O(0,0)\sp{1.5},\,$ avec une demi-tangente horizontale, car : $\,\smb1{\smh{.5}{\dfrac{f(x)}x}\eq x{0^-}\!\!-\dfrac x2\,\e{1/x}}\To0\,;\,$
• deux
  Soit $f$ une fonction réelle admettant en $a\app\bb R$ une limite infinie.

  Alors le graphe de $f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=a\sp{1.5}.$
  asymptotes verticales, d'équations $\,x=0\,$ et $\,x=1\,;\,$
• une
  Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\alpha=+\I$ ou $-\I\sp{1.5}.$

  Si  il existe $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ tel que $\,\sth1\lim x{\alpha}\big(f(x)-(a\sp{1.5}x+b)\big)=0\sp{1.5},\,$

  alors  le graphe de $f$ admet une asymptote d'équation $\,y=a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}.\,$
  asymptote oblique, ayant pour équation : $\,y={\dfrac x2}+1\sp{1.5}.\,$

Représentation de $\,f:x\mapsto\smh{1}{\dfrac{x^2\!/2}{x-1}\,\e{\sp{1.5}1/x}}\,$

La fonction

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

rationnelle $\,u:x\mapsto\dfrac1{x+1}\,$ a pour

Une fonction rationnelle $\,f\,$ est de classe $\sc C^\I$ sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$

dérivée : $\,u'(x)=-\dfrac1{(x+1)^2}\,$ sur $\,\bb R\!\setminus\!\{-1\}\sp{1.5},\,$ et la fonction arc tangente est

La fonction arc tangente est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \op{Arctan}'(x)=\smh{1}{\frac1{1+x^2}}$

dérivable sur $\bb R\sp{1.5}.$

La fonction $f$ est donc dérivable sur les intervalles $\,]-\I,-1\sp{1.5}[\,$ et $\,]\sp{1.5}-1,+\I[\sp{1.5},\,$  par

Soient $f\sp{-1.5}:I\!\to\sp{-1.5}\bb K$ dérivable en $x$ et  $g\sp{-1.5}:J\!\to\sp{-1.5}\bb R$ dérivable en $f(x)\sp{1.5}.$

Si $\,\sth{.5}f(I)\subset J\sp{1.5},\,$ alors $\,g\circ f\,$ est dérivable en $x\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}(g\circ f)'(x)=g'\big(f(x)\big)\sp{1.5}f'(x)$

composition et par

Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$

• $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$

produit avec :

On ne peut pas trouver directement le signe de cette dérivée, mais on peut étudier les variations de la dérivée de $\,\phi:\,$

$\,\phi\,$ est donc strictement

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

décroissante sur chacun des intervalles $\,]-\I,-1\sp{1.5}[\,$ et $\,]\sp{1.5}-1,+\I[\sp{1.5}.\,$

Connaissant les

La fonction arc tangente vérifie :

$\displaystyle{}\op{Arctan}y\eq y0\, y\ \txt{et}\ \lim y{+\I}\op{Arctan}y=\frac\pi2$

limites de l'arc tangente en $\,0\,$ et en $\,\pm\I\sp{1.5},\,$ on en déduit le tableau des variations de $\,\phi:\,$

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&\i-\r&&&\llap{-}1&&&\r\i+\hl &\r0&&&\w&\r\rr\pi+1\sl \phi(x)&&\dec&&\w&&\dec\sl &&&\llap{-}\pi+1\rr\r&\w&&&0\rr}$}$

Il s'ensuit que $\,\phi(x)\,$ est du signe de $\,(x+1)\sp{1.5},\,$ et donc que $\,f'(x)\,$ est du signe de $\,x\sp{1.5}(x+1)\sp{1.5}.\,$

D'autre part, avec $\,\lim x{\pm\I}u(x)=0\sp{1.5},\,$ on a : par

Soit une fonction réelle $u$ admettant une limite $\,a\app\surl{\bb R}\,$ en $\,\alpha\app\surl{\bb R}\,.\,$

Pour des fonctions réelles $\,f\,$ et $\,g\,$ définies au voisinage de $\,a\sp{1.5},\,$ on a :

$\displaystyle{}f(x)\ \eq xa \ g(x)\Imp f(u(t))\ \eq t\alpha \ g(u(t)) \stb{1.5}$

Composer ainsi à droite par $u\sp{1.5},$ c'est changer de variable : $\,x=u(t)\sp{1.5}.\,$

En revanche, la composition à  gauche n'est pas permise :

$\displaystyle{}f(x)\eq xa g(x)\longnon\Imp h\big(f(x)\big) \eq xa h\big(g(x)\big)\stb{1.5}$

composition à droite par la fonction $\,u\sp{1.5},\,$ puis

Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$

Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a  alors :

• $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
• $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$

produit d'équivalents : On en déduit le tableau des variations et des limites de $f:$

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&\i-&&&\llap{-}1&&&0&&\i+\hl f'(x)&&+&&\w&&\tg{\tg-}&0&\td{\td+}\hl &&&\llap{-}\pi/2\rr\r&\w&\rr\r\pi/2&&&&\i+\sl f(x)&&\cr&&\w&&\dec&&\cr\sl &\i-&&&\w&&&0}$}$

La fonction $f$ présente donc un

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

• un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
• un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$

minimum local en $\,x=0\sp{1.5}.\,$

Par ailleurs, son graphe admet deux points limites : $\,A(-1,-\pi/2)\,$ et $\,B(-1,\pi/2)\sp{1.5}.\,$

Selon le

Soit $\,f\app\sc C(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ dérivable sur $\,I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\smb0{\lim xaf'(x)}=\ell\sp{1.5}.\,$

• Lorsque $\,\sth1\ell\app\bb R\sp{1.5},\,$ $f$  est  dérivable en $a\sp{1.5},$ avec : $\,f'(a)=\ell\,;\,$
• lorsque $\ell=\pm\I\sp{1.5},$  alors : $\,\lim xa\smh{1.7}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell\,.\,$

théorème de la limite de la dérivée, on a de plus en chacun de ces points une demi-tangente de pente :

Par

La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$

développement de $\,\dfrac1{1-v}\,$ lorsque $\,v=-1/x\tend x{\pm\I}0\sp{1.5},\,$ on développe $\,u(x)=\dfrac1{x+1}\,$ en $\,\pm\I:\,$

Étant donné que : $\,u(x)\ \eq x{\pm\I}\dfrac1x\,,\,$ on a :  $\,o\big(u(x)^2\big)\dl x{\pm\I}\ u(x)^2\,.\sp{1.5}o(1)=o\Big(\dfrac1{x^2}\Big)\sp{1.5},\,$  par

Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

$\,f\,$ est  négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi  on a, au voisinage de $\,a:\,$

$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$

On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :

$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$

définition de la négligeabilité.

On peut donc substituer $\,u(x)\,$ à $\,y\,$ dans le

La fonction arc tangente a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}\op{Arctan}x\,\dl x0 \ \smh{1.75}{x-\frac{x^3}3+\cdots+(-1)^{p}\sp{1.5}\frac{x^{2p+1}}{2p+1}+\o x{2p+2}}$

développement limité de $\,\op{Arctan}y\,$ en $\,0\sp{1.5}:\,$

Le graphe de $f$ admet donc une

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\alpha=+\I$ ou $-\I\sp{1.5}.$

Si  il existe $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ tel que $\,\sth1\lim x{\alpha}\big(f(x)-(a\sp{1.5}x+b)\big)=0\sp{1.5},\,$

alors  le graphe de $f$ admet une asymptote d'équation $\,y=a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}.\,$

asymptote oblique $D\sp{1.5},$ d'équation : $\,y=x-1\sp{1.5}.\,$

Représentation de $\,f:x\mapsto x^2\op{Arctan}\smh{1}{\Big(\dfrac1{x+1}\Big)}\,$