exercices de mathématiques - prépa et université

Pour $\,x>0\,$ fixé, la fonction $\,f:t\mapsto t-\sin t\,$ est

Les fonctions cosinus et sinus sont de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :

$\eqalign{&\ptt x\app\bb R,\ \big(\cos'(x)=-\sin x\txt{et} \sin'(x)=\cos x\big) \ \txt{d'où :}\\[-1ex] &\cos^{(k)}(x)=\cos\big(x+\dfrac{k\sp{1.5}\pi}2\big)\txt{et}\sin^{(k)}(x)=\sin\big(x+\dfrac{k\sp{1.5}\pi}2\big)}$

dérivable sur $\,[0,x]\,$ avec $\,f'(t)=1-\cos t\,.\,$

Selon

Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ continue sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]$ et dérivable sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}.$

Alors, il existe un $\,c\sp{1.5}\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que :

$\displaystyle{}\smh{2.25}{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$

l'égalité des accroissements finis, il existe donc un $\,u\app\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}x[\,$ tel que :

Pour $\,x\geq0\sp{1.5},\,$ les

Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :

• $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
• $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
• $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$  si  $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$

formules de duplication et l'

Pour tout $x\app\bb R,$ on a les majorations suivantes :

$\displaystyle{}|\cos x|\leq 1\sp{1.5},\ \ |\sin x|\leq 1\,\txt{et} \,|\sin x|\leq |x|$

inégalité $\,\sin x\leq x\,$ appliquées à $\,u\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5},\,$ permettent ensuite d'écrire :

On obtient enfin, après

L'ordre sur $\bb R$  est  compatible avec le produit par un réel  positif :

• $\,(\sp{1.5}a\leq b\ \txt{et}\ c\geq 0\sp{1.5})\Imp a\sp{1.5}c\leq b\sp{1.5}c \,;\,$
• $\, (\sp{1.5}a < b\ \txt{et}\ c > 0\sp{1.5})\Imp a\sp{1.5}c < b\sp{1.5}c\,.\,$

produit par $\,x>0\sp{1.5},\,$ l'encadrement suivant, valable aussi pour $\,x=0:\,$

Le

La fonction sinus a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}\sin x\ \dl x0 \ x-\smh{1.75}{\frac{x^3}6+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}}+\o x{2p+2}$

développement limité de $\,\sin x\,$ en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,5\,$ peut s'écrire :

Cela suggère, sans certitude, la possibilité de remplacer $\,\dfrac{x^3}2\,$ par $\,\dfrac{x^3}6\,$ dans cet encadrement.

On considère alors la fonction $\,\phi: x\mapsto x-\sin x-\smb1{\dfrac{x^3}6}\,$ dont la dérivée sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ vérifie :

La fonction $\phi$ est ainsi

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

décroissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ avec $\,\phi(0)=0\sp{1.5},\,$ ce qui nous prouve que pour tout $\,x\geq0:\,$

Si la fonction $f$ est

Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ dérivable sur un intervalle $I\sp{1.5};$ $f$ est constante  ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ f'(x)=0$

constante, on a $\,f'(x)=0\,$ pour tout $\,x\app\bb R\sp{1.5}.\,$

On suppose désormais que $f$ n'est pas constante ; il existe alors un $a\app\bb R$ tel que $\,f(a)-\ell\neq0\sp{1.5}.\,$

• Dans le cas où $\,f(a)>\ell\sp{1.5},\,$ on peut écrire selon les définitions des
  Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$

  La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :

  $\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex A\app \bb R,\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq A\Imp |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$

  La limite$\,\ell\,$ est unique ; on écrit : $\!\lim x {+\I} f(x)=\ell$  ou $\,f(x)\tend x {+\I}\ell\sp{1.5}.\,$

  On définit de même $\,\!\lim x {-\I}\,f(x)\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}A\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
  limites en $\,+\I\,$ et en $\,-\I:\,$
  $\displaystyle{}\iex A\app \bb R,\ \ptt x\app \bb R,\ \big(|x|\geq A\Imp |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
  En posant $\,\eps = \smb1{\dfrac{f(a)-\ell}2}>0\sp{1.5},\,$ on a pour tout réel $x$ extérieur au segment $[-A,A]:$
  $\displaystyle{}f(x)\leq \ell+\eps=\ell+\frac{f(a)-\ell}2=\frac{f(a)+\ell}2 < f(a)$
  Cette inégalité stricte étant fausse pur $\,x=a\sp{1.5},\,$ il s'ensuit que $a$ n'est pas extérieur à $\,[-A,A]\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que : $\,a\app\,[-A,A]\sp{1.5}.\,$
  Sachant que l'image par $f$ du segment $\,[-A,A]\,$ est un
  L'image d'un segment $\,[a,b]\,$ par une fonction réelle continue est un segment.
  segment $\,[m,M]\sp{1.5},\,$ il existe donc un $\,c\app\,[-A,A]\,$ tel que :
  $\displaystyle{}\ptt x\sp{1.5}\app\,[-A,A],\ f(x)\leq f(c)=M$
  D'autre part, pour tout $\,x\non\app\,[-A,A]:\,$ $\,f(x) < f(a)\leq M\sp{1.5};\,$ on peut donc en conclure que finalement :
  $\displaystyle{}f(c)=M=\max f(\bb R)$
  On en déduit alors une double inégalité relative au taux d'accroissement de $f$ en $c:$
  $\displaystyle{}\Syst{\,\ptt x < c\,,\ \,\smh{1}{\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}\geq 0\\[-.5ex]\,\ptt x > c\,,\ \,\smb{0}{\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}\leq 0}$
  En passant ces inégalités à la
  Soient $\,f,\sp{1.5}g:I\to\bb R\,$ admettant des limites, finies ou non, en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

  Si $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$  alors : $\,\lim x a\sp{1.5}f(x)\leq\lim x a \sp{1.5}g(x)\sp{1.5}.\,$
  limite dans la définition de la
  $f:I\to\bb K$ est dérivable en $\,a\,$ ssi  le taux d'accroissement de $f$ en $a$  admet une limite finie en $\,a:\,$

  $\displaystyle{}f'(a)=\lim xa\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\app\bb K$

  Si $f$ est dérivable en $\,a\sp{1.5},\,$ alors $f$ est continue en $\,a\sp{1.5}.\,$

  Si $f$ est dérivable sur $I\sp{1.5},$ $\,f':x\mapsto f'(x)\,$ est  la dérivée de $f\sp{1.5}.$
  dérivée, on obtient :
  $\displaystyle{}\big( f'(c)\geq0\txt{et}f'(c)\leq0\big) \txt{d'où :}f'(c)=0$

• Si on suppose au contraire que $\,f(a)<\ell\sp{1.5},\,$ on obtient la même conclusion avec : $\,f(c)=m=\min f(\bb R)\sp{1.5}.\,$

Finalement, il existe bien dans tous les cas un réel $\,c\,$ tel que $\,f'(c)=0\sp{1.5}.\,$

On raisonne par l'absurde en considérant quatre

Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est  un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$

$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi  $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$

racines réelles distinctes de $P=X^n+a\,X+b:$

Dans ces conditions, la fonction

Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :

$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$

Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes :

$\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$

polynomiale $\,x\mapsto P(x)\,$ est

Une fonction polynomiale $\widetilde P:x\mapsto P(x)$ est de classe $\sc C^\I$ sur $\bb R\sp{1.5}.$

Sa dérivée correspond au polynôme dérivé $P':$ $\,(\sp{1.5}\widetilde{\sp{1.5}P\sp{1.5}}\sp{1.5})\sp{1.5}'=\widetilde{\!(P^{\sp{1.5}\prime})\!}\,.\,$

dérivable sur chaque $\,\big[\a_i,\a_{i+1}\big],\sp{1.5}\,$ avec $\,P(\a_i)=P(\a_{i+1})=0\sp{1.5}.\,$

Le

Soit $\,f:[a,b]\to\bb R\,$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}.$

Si $\,f(a)=f(b)\sp{1.5},\,$ alors  il existe $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que : $\,f'(c)=0\sp{1.5}.\,$

théorème de Rolle nous garantit alors qu'il existe sur chaque intervalle $\big]\sp{1.5}\a_i,\a_{i+1}\big[$ une racine $\b_i$ du polynôme dérivé $\,P'=n\sp{1.5}X^{n-1}+a\sp{1.5}.\,$

On en conclut que le polynome $P'$ admettrait trois racines réelles distinctes : $\,\b_1 < \b_2 < \b_3\,.\,$

Le

Soit $\,f:[a,b]\to\bb R\,$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}.$

Si $\,f(a)=f(b)\sp{1.5},\,$ alors  il existe $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que : $\,f'(c)=0\sp{1.5}.\,$

même argument s'applique à la fonction réelle $\,x\mapsto P'(x)\sp{1.5},\,$ dérivable sur chaque $\,\big[\b_i,\b_{i+1}\big]\,$ avec $\,P'(\b_i)=P'(\b_{i+1})=0\sp{1.5}.\,$

On obtiendrait ainsi deux racines distinctes de $\,P''=n(n-1)X^{n-2},\,$ ce qui est exclu pour $\,n\geq 2\,$ car alors : $\,P''(x)=0\Ssi x=0\sp{1.5}.\,$

On a ainsi démontré par l'absurde que $P$ n'admet pas plus de trois racines réelles distinctes lorsque $\,n\geq 2\sp{1.5}.\,$

Cette conclusion tient toujours pour des raisons de

Soit $\,A\app\bb K[X]\,$ de degré $\,p\app\bb N\sp{1.5};\,$ alors $\,A\,$ admet  au plus $\,p\,$ racines.

Si un polynôme $\,A\,$ a une infinité de racines, alors : $\,A=0\sp{1.5}.\,$

degré lorque $\,n=1\,$ ou $\,n=0\sp{1.5}.\,$

Supposons maintenant que $n$ soit un entier pair non nul : $\,n=2\sp{1.5}p\,$ pour $\,p\app\bb N^{\ast}.\,$

Dans ces conditions, la fonction $\,x\mapsto P'(x)=2\sp{1.5}p\sp{1.5}x^{2\sp{1.5}p-1}+a\,$  ne s'annule que pour

Pour $\,n\app\bb N\,$ impair, la racine $n\tiret$ème de $\,y\app\bb R\,$ est l'unique $\,x=\!\sqrt[\scriptstyle n] {y\,}\app\bb R\,$ tel que : $\,x^{n}\!=y\sp{1.5}.\,$

$\syst{\sp{1.5}\bb R&\to\bb R\\[-1ex] x&\mapsto x^n}$  et $\,\syst{\sp{1.5}\bb R&\to\,\bb R\\[-1ex] \,y&\mapsto\sqrt[\scriptscriptstyle n] {y\,}}\,$  sont réciproques l'une de l'autre.

une seule valeur réelle : Le polynôme $P$ ne peut donc pas dans ce cas avoir trois racines réelles distinctes $\,\a_1 < \a_2 < \a_3\sp{1.5}.\,$

En effet, cela impliquerait l'existence de deux racines réelles distinctes $\,\b_1 < \b_2\,$ de $P',$ et il en va de même lorsque $\,n=0\,$ pour raison de

Soit $\,A\app\bb K[X]\,$ de degré $\,p\app\bb N\sp{1.5};\,$ alors $\,A\,$ admet  au plus $\,p\,$ racines.

Si un polynôme $\,A\,$ a une infinité de racines, alors : $\,A=0\sp{1.5}.\,$

degré.

Lorsque $n$ est pair, le polynôme $P$ a donc au plus deux racines réelles distinctes.

Pour tout $\,x > 0\sp{1.5},\,$ on peut écrire par propriété du

Le logarithme est un morphisme de $\,(\bb R_+^{\ast}\sp{1.5},\times)\,$ vers $\,(\bb R\sp{1.5},+)\sp{1.5},\,$ soit :

$\displaystyle{}\ptt x,\,y >0\sp{1.5},\ \ln(x\sp{1.5}y)=\ln x+\ln y\txt{et}\ln(x\sp{-1.5}/\sp{-1.5}y)=\ln x-\ln y$

On a de plus : $\,\ln 1=0\,$  et  $\,\ptt x >0\sp{1.5},\,\ptt \alpha\app\bb R\sp{1.5},\ \ln(x^\alpha)=\alpha\ln x\,.\,$

logarithme : La fonction logarithme est

La fonction logarithme est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\,]0,\sp{-1.5}+\I[\sp{1.5},\,$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x > 0,\ \ln^{\sp{1.5}\prime}(x)=\smh{1.25}{\dfrac1x}$

dérivable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}x,x+1]\,$ et de dérivée $\,f':x\mapsto\dfrac1x\!\cdot\,$

On peut donc lui appliquer

Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ continue sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]$ et dérivable sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}.$

Alors, il existe un $\,c\sp{1.5}\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que :

$\displaystyle{}\smh{2.25}{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$

l'égalité des accroissements finis selon laquelle il existe un  $\,c\app\,]\sp{1.5}x,x+1[\,$ tel que : La fonction

L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :

• $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
• $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$

inverse $\,f':x\mapsto\dfrac1x\,$ étant strictement décroissante sur $\,[\,x,x+1]\subset\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ on en conclut donc que : Pour $\,x > 0\sp{1.5},\,$ les expressions $\,g(x)=\Big(1+\dfrac1x\Big)^{\!x}\,$ et $\,h(x)=\Big(1+\dfrac1x\Big)^{\!x+1}\,$

Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ monotones, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors : leur composée $g\circ f$  est :

• croissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont même sens de variation,
• décroissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont des sens de variation opposés.

$g\circ f$ est strictement monotone si $f$ et $g$ sont strictement monotones.

varient comme leurs

Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$

logarithmes :

Par

Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\,$ pour $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ telle que : $\,\ptt x\app I,\ u(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

Alors la fonction $\,f:x\mapsto\ln|u(x)|\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=\smh{1.25}{\frac{u'(x)}{u(x)}}$

dérivation de fonctions logarithmes, ces expressions ont respectivement pour dérivées :

De même que $\,g\,$ et $\,h\sp{1.5},\,$ les suites $\,\big(g(n)\big)_{n\geq1}\,$ et $\,\big(h(n)\big)_{n\geq1}\,$ sont donc

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

monotones, l'une croissante et l'autre décroissante, avec :

On a bien ainsi établi que les suites des $\,g(n)=\Big(1+\dfrac1n\Big)^{\!n}\,$ et des $\,h(n)=\Big(1+\dfrac1n\Big)^{\!n+1}\!\,$ sont

Deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ sont adjacentes  ssi :

• $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ est croissante  et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ est décroissante ;
• la différence $\,(v_n-u_n)\,$ tend vers $\,0\,$ lorsque $\,n\to+\I\sp{1.5}.\,$

adjacentes.