Sujet D.3.2 Dérivation d'une réciproque
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Exercice a
Montrer que la fonction $\,f: x\mapsto \ln x-x\,$ induit par restriction deux bijections entre des intervalles à préciser.
Sur quels ensembles les réciproques de ces bijections sont-elle dérivables ?
théorème de la bijection
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue et strictement monotone sur un intervalle.
Alors, $f$ induit une bijection $\,\smh0{\widehat f}: x\mapsto f(x)\,$ entre $I$ et $\,J=f(I)\sp{1.5}.\,$
$\,\smh{.75}{(\widehat f\,)^{-1}}\,$ est continue, strictement monotone et de même sens que $f\,.$
dérivation des fonctions monotones
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$
- $f$ est croissante sur $I$ ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
- avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.
dérivation d'une fonction réciproque en un point
Soit $\,f:I\to f(I)\sp{1.5},\,$ continue, strictement monotone et dérivable en $x\sp{1.5}.$
Alors, $\,f^{-1}\,$ est dérivable en $\,y=f(x)\,$ ssi $\,f'(x)\neq0\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\big(f^{-1}\big)'(y)=\frac1{f'(x)}$
dérivée d'une fonction réciproque
Soit $\,f:I\to f(I)\subset\bb R,\,$ dérivable et strictement monotone.
$\,f^{-1}\,$ est dérivable sur $I$ ssi : $\,\ptt x\app I\sp{1.5},\ f'(x)\neq0\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\big(f^{-1}\big)'=\frac1{f'\circ f^{-1}}$
indication
Choisir l'un des deux intervalles sur lesquels $f$ est strictement monotone.
réponse
$f$ induit induit, par restriction à $\,]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ et $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5},\,$ deux bijections :
$\displaystyle{}g:\,\sp{1.5} ]\,0,1\sp{1.5}]\To \,]\!-\I,-1\sp{1.5}]\ \txt{et}\ h:[\sp{1.5}1,+\I[\,\To\, ]\!-\I,-1\sp{1.5}]$
$\,g\,$ et $\,h\,$ admettent chacune une réciproque dérivable sur l'intervalle ouvert $\, ]\!-\I,-1\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
correction
Par dérivation du
La fonction logarithme est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\,]0,\sp{-1.5}+\I[\sp{1.5},\,$ avec :
logarithme,
la fonction $\,f\,$ a sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ une dérivée du signe de $1-x:$ $\displaystyle{}\ptt x > 0,\ \ln^{\sp{1.5}\prime}(x)=\smh{1.25}{\dfrac1x}$
$\displaystyle{}f'(x)=\dfrac1x-1=\dfrac{1-x}x$
$f$ étant continue, elle est strictement
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$
croissante
sur $\,]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ et strictement
- $f$ est croissante sur $I$ ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
- avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$
décroissante
sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$
Sachant que, par
- $f$ est croissante sur $I$ ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
- avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :
croissances
comparées : $\,f(x)\dl x{+\I}\!\!-x+o(x)\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\
x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
$\displaystyle{}f(1)=-1\txt{et}\lim x{0^{+}}f(x)=\lim x{+\I}f(x)=-\I$
On en déduit que $f$ induit, par restriction à $\,]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ et $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5},\,$ deux
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue et strictement monotone sur un intervalle.
Alors, $f$ induit une bijection $\,\smh0{\widehat f}: x\mapsto f(x)\,$ entre $I$ et $\,J=f(I)\sp{1.5}.\,$
$\,\smh{.75}{(\widehat f\,)^{-1}}\,$ est continue, strictement monotone et de même sens que $f\,.$
bijections
continues et strictement monotones :
$\displaystyle{}g:\,\sp{1.5} ]\,0,1\sp{1.5}]\To \,]\!-\I,-1\sp{1.5}]\ \txt{et}\ h:[\sp{1.5}1,+\I[\,\To\, ]\!-\I,-1\sp{1.5}]$
Leurs réciproques sont alors
Soit $\,f:I\to f(I)\sp{1.5},\,$ continue, strictement monotone et dérivable en $x\sp{1.5}.$
Alors, $\,f^{-1}\,$ est dérivable en $\,y=f(x)\,$ ssi $\,f'(x)\neq0\sp{1.5},\,$ avec :
dérivables
en tout $\,y=f(x)\app\,]\!-\I,-1\sp{1.5}]\,$ tel que $\,f'(x)\neq0\sp{1.5}'\,$ et on a :
$\displaystyle{}\big(f^{-1}\big)'(y)=\frac1{f'(x)}$
$\displaystyle{}f'(x)=\dfrac1x-1=0\Ssi x=1$
$\,g^{-1}\,$ et $\,h^{-1}\,$ sont donc dérivables là où elles sont définies, sauf en $\,y=f(1)=-1\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire sur l'intervalle ouvert $\,]\!-\I,-1\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
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Exercice b
Montrer que la fonction $\,f: x\mapsto x^3+3\sp{1.5}x\,$ définit une permutation de $\bb R.$
Établir que sa réciproque vérifie une équation différentielle que l'on explicitera.
théorème de la bijection
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue et strictement monotone sur un intervalle.
Alors, $f$ induit une bijection $\,\smh0{\widehat f}: x\mapsto f(x)\,$ entre $I$ et $\,J=f(I)\sp{1.5}.\,$
$\,\smh{.75}{(\widehat f\,)^{-1}}\,$ est continue, strictement monotone et de même sens que $f\,.$
dérivation des fonctions monotones
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$
- $f$ est croissante sur $I$ ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
- avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.
dérivation d'une fonction réciproque en un point
Soit $\,f:I\to f(I)\sp{1.5},\,$ continue, strictement monotone et dérivable en $x\sp{1.5}.$
Alors, $\,f^{-1}\,$ est dérivable en $\,y=f(x)\,$ ssi $\,f'(x)\neq0\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\big(f^{-1}\big)'(y)=\frac1{f'(x)}$
dérivée d'une fonction réciproque
Soit $\,f:I\to f(I)\subset\bb R,\,$ dérivable et strictement monotone.
$\,f^{-1}\,$ est dérivable sur $I$ ssi : $\,\ptt x\app I\sp{1.5},\ f'(x)\neq0\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\big(f^{-1}\big)'=\frac1{f'\circ f^{-1}}$
indication
Établir une relation entre la réciproque $\,g=f^{-1}\,$ de $f$ et sa dérivée $\,g\sp{1.5}'.\,$
réponse
$f$ est bien une bijection de $\bb R$ vers $\bb R\sp{1.5},$ c'est-à-dire une permutation de $\bb R\sp{1.5}.$
Sa réciproque $\,g=f^{-1}\,$ vérifie l'équation différentielle :
$\,g\sp{1.5}'=\dfrac1{3(g^2+1)}\!\cdot\,$
correction
La fonction polynomiale $f$ est
Une fonction polynomiale $\widetilde P:x\mapsto P(x)$ est de classe $\sc C^\I$ sur $\bb R\sp{1.5}.$
Sa dérivée correspond au polynôme dérivé $P':$
$\,(\sp{1.5}\widetilde{\sp{1.5}P\sp{1.5}}\sp{1.5})\sp{1.5}'=\widetilde{\!(P^{\sp{1.5}\prime})\!}\,.\,$
dérivable
sur $\bb R,$ avec pour tout $\,x\app\bb R:\,$ $\,f'(x)=3\sp{1.5}x^2+3 > 0\,.\,$
$f$ est donc strictement
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$
croissante
sur $\bb R\sp{1.5},$
avec par
- $f$ est croissante sur $I$ ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
- avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.
Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$
En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :
équivalent
$\,f(x)\!\eq x{\pm\I}\!x^3,\,$ d'où :
$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
$\displaystyle{}\lim x{-\I}f(x)=-\I\ \txt{et}\!\lim x{+\I}f(x)=+\I$
$f$ est donc une
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue et strictement monotone sur un intervalle.
Alors, $f$ induit une bijection $\,\smh0{\widehat f}: x\mapsto f(x)\,$ entre $I$ et $\,J=f(I)\sp{1.5}.\,$
$\,\smh{.75}{(\widehat f\,)^{-1}}\,$ est continue, strictement monotone et de même sens que $f\,.$
bijection
de $\bb R$ sur
$\,f(\bb R)=\,\big]\!-\I,+\I\big[\,=\bb R\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire une
Une permutation d'un ensemble $E$ est une bijection de $E$ vers $E\sp{1.5};$ on note $\sc S(E)$ l'ensemble de ces permutations.
permutation
de $\bb R\sp{1.5}.$
Étant donné que : $\,\ptt x\app \bb R,\ f'(x)\neq0\sp{1.5},\,$ sa réciproque $f^{-1}$ est
Soit $\,f:I\to f(I)\sp{1.5},\,$ continue, strictement monotone et dérivable en $x\sp{1.5}.$
Alors, $\,f^{-1}\,$ est dérivable en $\,y=f(x)\,$ ssi $\,f'(x)\neq0\sp{1.5},\,$ avec :
dérivable
sur $\bb R\sp{1.5},$ avec pour tout $\,y\app\bb R:\,$
$\displaystyle{}\big(f^{-1}\big)'(y)=\frac1{f'(x)}$
$\displaystyle{}\big(f^{-1}\big)'(y)=\frac1{\big(f'\circ f^{-1}\big)(y)}=\frac1{f'\big(f^{-1}(y)\big)}=\frac1{3\sp{1.5}f^{-1}(y)^2+3}$
En d'autres termes, la fonction $\,g=f^{-1}\,$ vérifie la relation suivante entre $\,g\sp{1.5}'\,$ et $\,g:\,$
$\displaystyle{}g\sp{1.5}'=\dfrac1{3\sp{1.5}(g^2+1)}$
Cette relation entre $\,g'\,$ et $\,g\,$ constitue bien une équation
Une équation différentielle d'ordre 1 est de la forme :
différentielle
vérifiée par la fonction $\,g\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ g(x,y,y\sp{1.5}')=0 \txt{pour} g\app\sc F(I\times\bb K^2,\bb K)$
Les solutions de $\,(\sc E)\,$ sont les $\,\phi:I\to\bb K\,$ dérivables, telles que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ g\sp{1.5}(x,\phi(x),\phi'(x))=0$
Cette équation différentielle n'est pas
La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire d'ordre $\,1\,$ est :
linéaire
et ne relève pas d'une méthode de résolution courante. Cette difficulté correspond à celle qu'il y aurait à résoudre l'équation $\,x^3+3\sp{1.5}x=y\sp{1.5},\,$ de degré $\,3\,$ en $\,x\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}(\sc E)\ \ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=f(x)\sp{1.5}, \txt{pour} a,f\app\sc C(I,\bb K)$
Les solutions de $\,(\sc E)\,$ sont les $\,\phi:I\to\bb K\,$ dérivables, telles que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \phi'(x)+a(x)\sp{1.5}\phi(x)=f(x)$