Sujet C.3.5 Courbes planes
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Exercice a
Pour $\,a\!>\!0\sp{1.5},\,$ dans un plan euclidien orienté $P$ muni d'un repère orthonormal direct $(O,\veci,\,\vecj\,)\sp{1.5},$ on considère la courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par :
$\displaystyle{}M:\syst{\,\bb R&\To P\\[-1ex] \,t&\,\longmapsto \,O+a\sp{1.5}\big(\!\cos^3\sp{-1.5}t\ \veci+\sin ^3\sp{-1.5} t\ \vecj\ \big)}$
Démontrer que cette courbe $\,\Gamma\,$ admet en chaque point $\,M(t)\,$ une tangente $\sc T_{M(t)}\sp{1.5}.$
Établir que pour $\,t\non\equiv 0\,[\pi/2]\sp{1.5},\,$ $\sc T_{M(t)}$ coupe $\,Ox\,$ et $\,Oy\,$ selon un segment de longueur constante.
courbe paramétrée
Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.
Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$ est définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$
- L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
- l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
tangente à une courbe paramétrée
Soient $E$ un espace vectoriel normé et une courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par $M\app\sc C^1(I,E)\sp{1.5}.$
Si $\,\Vec{M'}(t_0)\neq\vecc0\sp{1.5},\,$
alors la droite $\,\sth1M_0\!+\!\op{Vect}\!\big(\Vec{M'}(t_0)\big)\,$ est tangente en $\,M_0\,$ à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
équation cartésienne d'une courbe plane
Soit $P$ un plan vectoriel réel muni d'un repère $\,(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,$ et $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^2\sp{1.5}.$
Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la courbe $\sc C$ d'équation cartésienne $\,f(x,y)=0\,$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc C=\ens{M(x,y)\app P\,}{\,(x,y)\app\Omega\txt{et}f(x,y)=0}$
tangente à une courbe plane d'équation cartésienne donnée
Soit, dans un repère orthonormal d'un plan euclidien $P,$ une courbe $\sc C$ d'équation $\,f(x,y)=0\sp{1.5}.\,$
Si $f$ est de classe $\sc C^1,$ soit $M(x,y)$ un point régulier de la courbe $\sc C,$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la courbe $\sc C$ admet pour tangente la droite passant par $M(x,y)$ et normale à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y)\sp{1.5}.$
indication
Utiliser $\,\Vec{M'\sp{-1.5}}\sp{-1.5}(t)\sp{1.5},\,$ et au besoin $\,\Vec{M''\sp{-1.5}}\sp{-1.5}(t)\sp{1.5},\,$ pour déterminer la tangente à $\,\Gamma\,$ en $\,M(t)\,$ pour tout $\,t\app\bb R\sp{1.5}.\,$
figure
L'astroïde $\Gamma\stb{1}$ et certains des segments $[\![I_{t},\sp{-1.5}J_{t}]\!]$
réponse
La courbe $\Gamma$ admet en tout point $\,M(t)\,$ une tangente $\sc T_{M(t)}$ dirigée par : $\,\vec{u}(\pi-t)=-\cos t\ \veci+\sin t\ \vecj\sp{1.5}.\,$
Pour $\,t\non\equiv 0\,[\pi/2],\,$ cette tangente $\sc T_{M(t)}$ coupe les axes selon un segment de longueur constante $a\sp{1.5}.$
correction
On utilise l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soit $E$ un $\bb R\tiret$espace vectoriel de dimension finie.
On définit une orientation de $E$ en fixant une base de référence $\sc B_0:$
orienté,
et on pose dans la base
- une base $\sc B$ de $E$ est directe ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)>0\,;\,$
- une base $\sc B$ de $E$ est indirecte ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)<0\sp{1.5}.\,$
Soit $\,\sc B=(\veci,\vecj)\,$ une base orthonormale d'un plan euclidien $P\sp{1.5}.$
Pour tous vecteurs $\,\vec u=x\sp{1.5}\veci+y\sp{1.5}\vecj\,$ et $\,\vec v=x'\sp{1.5}\veci+y'\sp{1.5}\vecj\,$ de $P\sp{1.5},$ on a :
orthonormale
directe $(\veci,\vecj):$
- $\,x=\ps{\veci}{\vec u}\,$ et $\,y=\ps{\vecj}{\vec u}\sp{1.5};\,$
- $\,\ps{\vec u}{\vec v}=x\sp{1.5}x'+y\sp{1.5}y'\,;\,$
- $\,\|\vec u\|=\smh{.5}{\sqrt{\smh{.2}{x^2+y^2}}\,.}\,$
$\eqalign{&\vec u(t)=\cos t\ \veci+\sin t\ \vecj\\[-.5ex] \txt{d'où :}&\vec v(t)=\vecc{u'\ }\!\!(t)=-\sin t\ \veci+\cos t\ \vecj}$
La
Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.
Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$ est définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$
paramétrisation
$M$ est de classe $\sc C^{2}$ sur $\bb R$ et, selon une formule de
- L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
- l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
duplication,
on a pour tout $t\app\bb R:$
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
$\eqalign{ &\Vec{M'}\sp{-1.5}(t)&=3\sp{1.5}a\sp{1.5}\cos t\sp{1.5}\sin t\,\big(\!-\cos t\ \veci+\sin t\ \vecj\ \big)\\[-.5ex]&&=3\sp{1.5}a\,\frac{\sin2\sp{1.5}t}2\ \vec u(\pi-t)\\[-1.5ex]
&\Vec{M''}\sp{-1.5}(t)&=3\sp{1.5}a\,\cos2\sp{1.5}t\ \vec u(\pi-t)-3\sp{1.5}a\,\frac{\sin2\sp{1.5}t}2\ \vec v(\pi-t)}$
- pour $\,t\non\equiv 0\,[\pi/2]\,$ fixé,
la courbe $\Gamma$ admet donc une
Soient $E$ un espace vectoriel normé et une courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par $M\app\sc C^1(I,E)\sp{1.5}.$ Si $\,\Vec{M'}(t_0)\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ alors la droite $\,\sth1M_0\!+\!\op{Vect}\!\big(\Vec{M'}(t_0)\big)\,$ est tangente en $\,M_0\,$ à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$tangente en $\,M(t),\,$ dirigée par $\,\vec{u}(\pi-t)\sp{1.5}.\,$ Il s'agit de laSoient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :droite affine : $\,\sc T_{M(t)}=M(t)+\op{Vect}\sp{-1.5}\big(\sp{1.5}\vec u(\pi-t)\big),\,$$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$Soit un plan vectoriel réel $P$ muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\sp{1.5})\sp{1.5}.$ Pour toute droite affine $\sc D,$ il existe $\,(a,b,c)\app\bb R^3,\,$ $\,(a,b)\neq(0,0)\sp{1.5},\,$ tel que :d'équation :$\displaystyle{}M(x,y)\app\sc D\Ssi a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y+c=0$
- La droite affine $\sc D$ est alors dirigée par : $\,\vec u=-b\sp{1.5}\veci+a\sp{1.5}\vecj\sp{1.5}.\,$
- Si $P$ est euclidien avec $(\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ orthonormale, $\sc D$ est normale à : $\,\vec n=a\sp{1.5}\veci+b\sp{1.5}\vecj\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&\detr{x-a\sp{1.5}\cos^3\sp{-1.5}t&\!\!-\cos t\\y-a\sp{1.5}\sin^3\sp{-1.5}t&\!\sin t}=0\\[.5ex]\txt{soit :}\ &x\sp{1.5}\sin t+y\sp{1.5}\cos t-a\sp{1.5}\cos t\sp{1.5}\sin t=0}$ - pour $\,t_0\equiv 0\,[\pi/2],\,$ on obtient en $\,M_0=M(t_0):\,$ $\,\Vec{M'}(t_0)=\Vec{\,0}\,$ et $\,\Vec{M''}(t_0)=\pm\sp{1.5}3\sp{1.5}a\sp{1.5}\vec u(\pi-t_0)\neq\vecc0\sp{-1.5}.\,$ Selon la
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :formule de Taylor-Young appliquée aux deux coordonnées de $M(t)\sp{1.5},$ il s'ensuit que :$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$$\eqalign{&\ \,\Vec{M_0M(t)\sp{-1.5}}&\smb{1.5}{=\frac{(t-t_0)^2}2}\big(\pm\sp{1.5}3\sp{1.5}a\sp{1.5}\vec u(\pi-t_0)+\vec{\omega}(t)\big)\\[-.5ex] &\big(M_0M(t)\big)&=M_0+\op{Vect}\big(\pm\sp{1.5}3\sp{1.5}a\sp{1.5}\vec u(\pi-t_0)+\vec{\omega}(t)\big)}$Avec $\,\smb0{\lim t{t_0}}\vec{\omega}(t)=\vecc0\sp{1.5},\,$ la courbe $\,\Gamma\,$ admet encore pourSoient $E$ un espace vectoriel normé et une courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par $M\app\sc C(I,E)\sp{1.5}.$ Si au voisinage de $\,t_0\app I\sp{1.5},\,$ la courbe a pour sécante en $\,M_0\!=\!M(t_0):\,$tangente en $\,M_0\,$ la droite $\,\sc T_{M(t_0)}=M(t_0)+\op{Vect}\sp{-1.5}\big(\vec u(\pi-t_0)\big).\,$$\displaystyle{}(M_0M(t))\sp{-1.5}=\sp{-1.5}M_0\!+\!\op{Vect}\!\big(\vec u(t)\big),\txt{avec}\vec u(t)\tend{t}{t_0}\vec{u}_{\!0}\neq\vecc0 $alors, la droite $\,\sth1M_0\!+\!\op{Vect}(\vec{u}_{\!0})\,$ est tangente en $\,M_0\,$ à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
Dans ces conditions, on dit que la courbe $\Gamma$ est l'enveloppe de la famille des droites $\,\sc T_{M(t)}=M(t)+\op{Vect}\sp{-1.5}\big(\vec u(\pi-t)\big).\,$
Dans le
Un repère d'un plan vectoriel réel $P, $ est un triplet $(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ formé :
repère
orthonormal $(O,\veci,\,\vecj\,)\sp{1.5},$ pour tout $\,t\non\equiv 0\,[\pi/2],\,$ la tangente $\sc T_{M(t)}$ coupe les axes $Ox$ et $Oy$ aux deux points :
- d'un point $O\app P\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
- d'une base $(\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ du plan vectoriel $P.$
$\eqalign{&I_{t}\big(a\sp{1.5}\cos t,\,0\big)\txt{et}J_{t}\big(0,\,a\sp{1.5}\sin t\big)\\[.5ex]
\txt{avec :}&\big\|\Vec{I_{t}J_{t}\!\!}\sp{1.5}\big\|=a\sqrt{\smh{0.3}{\cos^2\sp{-1.5}t+\sin^2\sp{-1.5}t}}=a}$
Ces deux points délimitent donc sur la tangente $\sc T_{M(t)}$ un segment de longueur constante : $\,I_{t}J_{t}\sp{-1.5}=a\,.\,$
Cette courbe paramétrée de période $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5},$ s'appelle une astroïde ; on peut en obtenir le tracé en se restreignant d'abord à l'intervalle $[\sp{1.5}0,\pi/2\sp{1.5}]\sp{1.5}.$ Avec les transformations $\,t\ot \pi+t\sp{1.5},\,$ $\,t\ot \pi-t\sp{1.5},\,$ et $\,t\ot \pi/2-t\sp{1.5},\,$ on complète ensuite la courbe par trois symétries :
- la symétrie orthogonale $\,\sigma_{\Delta}\sp{1.5},\,$ d'axe $\,\Delta=O+\smh0{\op{Vect}\!\big(\veci+\vecj\ \big)}\sp{1.5},\,$
- la symétrie orthogonale $\,\sigma_{Oy}\sp{1.5},\,$ d'axe $\,Oy\sp{1.5},\,$
- la symétrie centrale $\,\sigma_O\sp{1.5}\,$ de centre $\, O\,.\,$
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L'astroïde $\Gamma\stb{1}$ et certains des segments $[\![I_{t},\sp{-1.5}J_{t}]\!]$
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Exercice b
Dans un plan euclidien $P$ muni d'un repère orthonormal $(O,\veci,\,\vecj\,)\sp{1.5},$ on considère la courbe $\Gamma$ d'équation cartésienne $\,y=a\sp{1.5}x^2\,$ pour $a\!>\!0\sp{1.5}.$
Étant donné $M\app\Gamma,$ on note $\sc D_M'$ l'image de la droite $\,\sc D_M=M+\op{Vect}(\,\smh0{\vecj}\,)\,$ par la réflexion ayant pour axe la normale $\sc N_M$ à $\Gamma$ au point $M\sp{1.5}.$
Démontrer l'existence d'un un point fixe $F$ par lequel passent toutes les droites $\sc D_M'\sp{1.5}.$
courbe paramétrée
Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.
Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$ est définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$
- L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
- l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
tangente à une courbe paramétrée
Soient $E$ un espace vectoriel normé et une courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par $M\app\sc C^1(I,E)\sp{1.5}.$
Si $\,\Vec{M'}(t_0)\neq\vecc0\sp{1.5},\,$
alors la droite $\,\sth1M_0\!+\!\op{Vect}\!\big(\Vec{M'}(t_0)\big)\,$ est tangente en $\,M_0\,$ à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
équation cartésienne d'une courbe plane
Soit $P$ un plan vectoriel réel muni d'un repère $\,(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,$ et $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^2\sp{1.5}.$
Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la courbe $\sc C$ d'équation cartésienne $\,f(x,y)=0\,$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc C=\ens{M(x,y)\app P\,}{\,(x,y)\app\Omega\txt{et}f(x,y)=0}$
tangente à une courbe plane d'équation cartésienne donnée
Soit, dans un repère orthonormal d'un plan euclidien $P,$ une courbe $\sc C$ d'équation $\,f(x,y)=0\sp{1.5}.\,$
Si $f$ est de classe $\sc C^1,$ soit $M(x,y)$ un point régulier de la courbe $\sc C,$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la courbe $\sc C$ admet pour tangente la droite passant par $M(x,y)$ et normale à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y)\sp{1.5}.$
indication
1
Paramétriser la courbe $\Gamma$ par une application $\,t\mapsto M(t)\,$ de classe $\sc C^1,$ pour en déduire un vecteur $\smh1{\Vec N(t)}$ normal à $\Gamma$ en $M(t)$ et un vecteur directeur de la droite $\sc D_M'(t).$
indication
2
Paramétriser $\sc D_M'(t)$ pour en déduire l'existence d'un point $F$ commun à toutes ces droites.
figure
La parabole $\Gamma$ et son foyer $F$
réponse
$\Gamma$ admet une tangente en tout point $M$ et toutes les droites $\sc D_M'$ passent par le point $\,F\Big(0,\dfrac1{4\sp{1.5}a}\Big)\!\cdot\,$
correction
On utilise l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien.
Dans le
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Un repère d'un plan vectoriel réel $P, $ est un triplet $(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ formé :
repère
orthonormal $(O,\veci,\vecj)\sp{1.5},$ on peut
- d'un point $O\app P\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
- d'une base $(\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ du plan vectoriel $P.$
Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.
Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$ est définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$
paramétriser
la courbe $\,\Gamma\,$ en posant $\,t=x\,$ dans son équation
- L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
- l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
Soit $P$ un plan vectoriel réel muni d'un repère $\,(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,$ et $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^2\sp{1.5}.$
Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la courbe $\sc C$ d'équation cartésienne $\,f(x,y)=0\,$ est l'ensemble :
cartésienne :
$\displaystyle{}\sc C=\ens{M(x,y)\app P\,}{\,(x,y)\app\Omega\txt{et}f(x,y)=0}$
$\displaystyle{}M:\syst{\,\bb R&\To P\\[-1ex] \,t&\,\longmapsto M(t)=O+t\ \veci+a\,t^2\ \vecj}$
L'application $M$ est de classe $\sc C^{1}$ sur $\bb R$ avec, pour tout $t\app\bb R:$
$\,\Vec{M'}(t)=\veci+2\sp{1.5}a\sp{1.5}t\ \vecj\neq\vecc0\sp{1.5}.\,$
Pour tout $t\app\bb R\sp{1.5},$ la courbe $\Gamma$ admet une
Soient $E$ un espace vectoriel normé et une courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par $M\app\sc C^1(I,E)\sp{1.5}.$
Si $\,\Vec{M'}(t_0)\neq\vecc0\sp{1.5},\,$
alors la droite $\,\sth1M_0\!+\!\op{Vect}\!\big(\Vec{M'}(t_0)\big)\,$ est tangente en $\,M_0\,$ à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
tangente
au point $M(t)$ dirigée par $\,\Vec{T}\!(t)=\veci+2\sp{1.5}a\sp{1.5}t\ \vecj\sp{1.5}.\,$
Elle admet donc aussi une
Soit, dans un plan euclidien $P,$ un point $A$ et un vecteur $\,\vec n\neq\vecc0\sp{1.5}.\,$
La normale au vecteur $\vec n$ issue du point $A$ est la droite affine :
normale
$\sc N_M(t)$ dirigée par $\,\Vec{N}\!(t)=-2\sp{1.5}a\sp{1.5}t\ \veci+\vecj:\,$ $\displaystyle{}A+\op{Vect}(\vec n)^{\perp}=\ens{M\app P}{{\Vec{AM}}\perp \vec n}$
$\displaystyle{}\sc N_M(t)=M(t)+\op{Vect}\!\big(\Vec{T}\!(t)\big)^{\!\large\perp}=M(t)+\op{Vect}\!\big(\Vec{N}\!(t)\big)$
Si le vecteur $\,\vecj\,$ se décompose dans la base orthogonale $\big(\Vec T\!(t),\Vec N\!(t)\big)$ en $\,\vecj=\alpha\ \Vec T\!(t)+\beta\ \Vec N\!(t),\,$ on a :
$\eqalign{&\Syst{\smh1{\ps{\,\vecj}{\,\Vec T\!(t)}=\alpha\,\|\sp{1.5}\Vec T\!(t)\|^2}\\[-.5ex]
\smh1{\ps{\,\vecj}{\,\Vec N\!(t)}=\beta\,\|\sp{1.5}\Vec N\!(t)\|^2}}\\ \txt{avec :}&\|\sp{1.5}\Vec T\!(t)\|^2=\|\sp{1.5}\Vec N\!(t)\|^2=1+4\sp{1.5}a\sp{1.5}t^2}$
On en déduit que l'image de $\,\vecj\,$ par la
Soit dans un espace euclidien $E,$ un sous-espace vectoriel $F.$ La symétrie orthogonale par rapport $F$ est l'application $\,\sigma_F\app \op{O}(E),\,$ définie par :
réflexion
d'axe $\op{Vect}\big(\Vec{N}\!(t)\big)$ est le vecteur :
$\displaystyle{}\sth{2}\sigma_F:\syst{\,E&=F\oplus{ F^{\perp}}\!\to F\oplus{ F^{\perp}}\\[-.5ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v-w}$
On a alors : $\,\sigma_F\circ\sigma_F=\op{Id}_E,\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(\sigma_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,F^{\perp}=\op{Ker}(\sigma_F+\op{Id}_E).\,$
Si $F$ est un hyperplan $H,$ $\,\sigma_H\,$ est la réflexion d'hyperplan $H.$
$\eqalign{\sigma_{\Vec{N}\!(t)}(\,\vecj\,)&=-\alpha\ \Vec T\!(t)+\beta\ \Vec N\!(t)\\[-.5ex]&=\frac1{1+4\sp{1.5}a\sp{1.5}t^2}\Big(\!\!-2\sp{1.5}a\sp{1.5}t\ \Vec T\!(t)+\Vec N\!(t)\Big)\\
&=\frac1{1+4\sp{1.5}a\sp{1.5}t^2}\big(\!\!-4\sp{1.5}a\sp{1.5}t\ \veci+(1-4\sp{1.5}a^2t^2)\,\vecj\ \big)}$
La
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :
droite
affine $\,\sc D_M(t)=M(t)+\op{Vect}(\,\smh0{\vecj}\,)\,$ a alors pour image, par la réflexion d'axe $\sc N_M(t)\sp{1.5},$ la droite :
$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$
$\eqalign{\sc D_M'(t)&=M(t)+\op{Vect}\big(\sigma_{\vec{N}\!(t)}(\,\vecj\,)\big)\\[-.5ex]&=M(t)+\op{Vect}\big(\!\!-4\sp{1.5}a\sp{1.5}t\ \veci+(1-4\sp{1.5}a^2t^2)\,\vecj\ \big)}$
Pour $t\app\bb R$ fixé, on peut donc paramétriser la
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :
droite
affine $\sc D_M'(t)$ par $\lambda\app\bb R:$
$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$
$\eqalign{&\syst{x&=t-4\sp{1.5}a\sp{1.5}t\sp{1.5}\lambda\\[-.5ex]\,y&=a\sp{1.5}t^2+(1-4\sp{1.5}a^2t^2)\sp{1.5}\lambda}\\[1ex]
\txt{c'est-à-dire :}&\syst{x&=(1-4\sp{1.5}a\sp{1.5}\lambda)\sp{1.5}t\\[-.5ex]\,y&=\lambda+a\sp{1.5}(1-4\sp{1.5}a\sp{1.5}\lambda)\sp{1.5}t^2}}$
Pour $\,\lambda=\dfrac1{4\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on obtient alors que le point fixe $\,F\Big(0,\dfrac1{4\sp{1.5}a}\Big)\,$ appartient à toutes les droites $\sc D_M'(t)\sp{1.5},$ indépendamment du réel $\,t\sp{1.5}.\,$
La courbe $\,\Gamma\,$ est une parabole, et ce point fixe $F$ est appelé le foyer de la parabole $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$ Compte tenu des lois de la réflexion en optique, cette propriété a de multiples applications, comme les fours solaires ou les antennes paraboliques.
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La parabole $\Gamma$ et son foyer $F$
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Exercice c
Soient dans un plan euclidien $P$ muni d'un repère orthonormal $(O,\veci,\vecj\,)\sp{1.5},$ les ensembles $\Delta$ et $\,\Gamma\,$ d'équations :
$\,f(x,y)=0\,$ et $\,f(x,y)=1\sp{1.5},\,$ pour :
$\displaystyle{}f(x,y)=x^2+x\sp{1.5}y-2\sp{1.5}y^2$
Montrer que $\Delta$ est la réunion de deux droites $\sc D_1$ et $\sc D_2,$ et que $\,\Gamma\,$ est une courbe admettant partout une tangente. Déterminer alors les distances respectives de $\,\Gamma\,$ à $\sc D_1$ et à $\sc D_2,$ c'est-à-dire les nombres :
$\displaystyle{}d\sp{1.5}(\Gamma,\sc D_i)=\inf\sp{-1.5}\ens{MN}{(M,N)\app\,\Gamma\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\sc D_i}$
courbe paramétrée
Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.
Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$ est définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$
- L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
- l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
tangente à une courbe paramétrée
Soient $E$ un espace vectoriel normé et une courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par $M\app\sc C^1(I,E)\sp{1.5}.$
Si $\,\Vec{M'}(t_0)\neq\vecc0\sp{1.5},\,$
alors la droite $\,\sth1M_0\!+\!\op{Vect}\!\big(\Vec{M'}(t_0)\big)\,$ est tangente en $\,M_0\,$ à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
équation cartésienne d'une courbe plane
Soit $P$ un plan vectoriel réel muni d'un repère $\,(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,$ et $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^2\sp{1.5}.$
Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la courbe $\sc C$ d'équation cartésienne $\,f(x,y)=0\,$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc C=\ens{M(x,y)\app P\,}{\,(x,y)\app\Omega\txt{et}f(x,y)=0}$
tangente à une courbe plane d'équation cartésienne donnée
Soit, dans un repère orthonormal d'un plan euclidien $P,$ une courbe $\sc C$ d'équation $\,f(x,y)=0\sp{1.5}.\,$
Si $f$ est de classe $\sc C^1,$ soit $M(x,y)$ un point régulier de la courbe $\sc C,$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la courbe $\sc C$ admet pour tangente la droite passant par $M(x,y)$ et normale à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y)\sp{1.5}.$
indication
1
Factoriser $f(x,y)$ pour déterminer $\Delta,$ et montrer que $\,\Gamma\,$ est une courbe de classe $\sc C^1$ régulière.
indication
2
Pour chaque $i\app\{1,2\}\sp{1.5},$ calculer la distance $\,d\sp{1.5}(M,\sc D_i)\,$ d'un point quelconque $M(x,y)$ à $\,\sc D_i\sp{1.5},\,$ puis démontrer l'existence pour tout $\eps\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0$ d'un point $M$ de $\,\Gamma\,$ tel que : $\,d\sp{1.5}(M,\sc D_i)=\eps\sp{1.5}.\,$
figure
L'hyperbole $\,\Gamma\,$ et ses deux asymptotes $\sc D_1$ et $\sc D_2$
réponse
$\Delta$ est la réunion des droites $\sc D_1$ et $\sc D_2\sp{1.5},$ d'équations : $\,x-y=0\,$ et $\,x+2\sp{1.5}y=0\sp{1.5}.\,$
$\,\Gamma\,$ est une courbe de classe $\sc C^1$ régulière, admettant donc en chaque point une tangente.
On a $\,\Gamma\cap \Delta=\vide,\,$ mais cependant : $\,d\sp{1.5}(\Gamma,\sc D_1)=d\sp{1.5}(\Gamma,\sc D_2)=0\sp{1.5}.\,$
correction
On commence par factoriser l'expression $\,f(x,y)\sp{1.5}:\,$
$\eqalign{f(x,y)&=\Big(x+\frac y2\Big)^2-\frac94\sp{1.5}y^2\\[-1ex]
&=\Big(x+\frac y2-\frac32\sp{1.5}y\Big)\Big(x+\frac y2+\frac32\sp{1.5}y\Big)\\&=(x-y)(x+2\sp{1.5}y)}$
L'ensemble $\Delta$ est donc la réunion des deux droites
Soit un plan vectoriel réel $P$ muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\sp{1.5})\sp{1.5}.$ Pour toute droite affine $\sc D,$ il existe $\,(a,b,c)\app\bb R^3,\,$ $\,(a,b)\neq(0,0)\sp{1.5},\,$ tel que :
d'équations :
$\,x-y=0\,$ et $\,x+2\sp{1.5}y=0\sp{1.5}.\,$
Selon l'interprétation
$\displaystyle{}M(x,y)\app\sc D\Ssi a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y+c=0$
- La droite affine $\sc D$ est alors dirigée par : $\,\vec u=-b\sp{1.5}\veci+a\sp{1.5}\vecj\sp{1.5}.\,$
- Si $P$ est euclidien avec $(\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ orthonormale, $\sc D$ est normale à : $\,\vec n=a\sp{1.5}\veci+b\sp{1.5}\vecj\sp{1.5}.\,$
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un espace vectoriel euclidien, il s'agit pour
$\,\vec n_{\!1}=\veci-\vecj\,$ et $\,\vec n_{\!2}=\veci+2\sp{1.5}\vecj\sp{1.5},\,$ des
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :
droites
affines : $\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$
$\displaystyle{}\sc D_1=O+\op{Vect}\!\big(\sp{1.5}\vec n_{\!1}\big)^{\large\perp}\txt{et}\sc D_2=O+\op{Vect}\!\big(\sp{1.5}\vec n_{\!2}\big)^{\large\perp}$
La fonction $\,g:(x,y)\mapsto x^2+x\sp{1.5}y-2\sp{1.5}y^2-1=f(x,y)-1\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^2$ et de
Soient $\Omega$ un ouvert de l'espace euclidien $\bb R^n$ et $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5}.$ Le gradient de $f$ en $a\app\Omega$ est l'unique vecteur $\smh{.5}{\Vec{\nabla}}\!f(a)\app\bb R^n$ tel que :
gradient :
$\displaystyle{}\ptt h\app\bb R^n,\ \d f(a)\!\cdot\!h=\ps{\smh1{\Vec{\nabla}}\!f(a)}h$
Il s'agit du vecteur $\,\Vec{\nabla}\!f(a)=\big(\partial f\sp{-1.5}/\partial x_1(a),\dots,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_n(a)\big)\!\cdot\,$
$\displaystyle{} \smh{.7}{\Vec{\nabla}\!g\sp{1.5}(x,y)=(2\sp{1.5}x+y)\,\veci+(x-4\sp{1.5}y)\,\vecj}$
$\,\Gamma\,$ est donc la
Soit $P$ un plan vectoriel réel muni d'un repère $\,(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,$ et $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^2\sp{1.5}.$
Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la courbe $\sc C$ d'équation cartésienne $\,f(x,y)=0\,$ est l'ensemble :
courbe
d'équation cartésienne $\,f(x,y)=1\sp{1.5},\,$ admettant en tout point une
$\displaystyle{}\sc C=\ens{M(x,y)\app P\,}{\,(x,y)\app\Omega\txt{et}f(x,y)=0}$
Soit, dans un repère orthonormal d'un plan euclidien $P,$ une courbe $\sc C$ d'équation $\,f(x,y)=0\sp{1.5}.\,$
Si $f$ est de classe $\sc C^1,$ soit $M(x,y)$ un point régulier de la courbe $\sc C,$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la courbe $\sc C$ admet pour tangente la droite passant par $M(x,y)$ et normale à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y)\sp{1.5}.$
tangente
puisque $\,O\non\app\Gamma:\,$
$\displaystyle{}\Vec{\nabla}\!g\sp{1.5}(x,y)=\vecc 0\Ssi\Syst{2\sp{1.5}x+y=0\\x-4\sp{1.5}y=0}\Ssi (x,y)=(0,0)$
Pour tout $\,M(x,y)\sp{1.5},\,$ la distance $\,d\sp{1.5}(M,\sc D_i)\,$ est la distance $\,MN_i\,$ de $M$ à son
Soit, dans un espace euclidien $E,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc D$ est le seul point $H$ tel que :
projeté
orthogonal $\,N_i\,$ sur $\,\sc D_i\sp{1.5}.\,$
Il s'agit de la
$\displaystyle{}H\app\sc D\txt{et}\Vec{MH}\perp\vec u$
Soit dans un espace euclidien $E,$ un hyperplan $\,H=(\op{Vect}(\sp{1.5} n\sp{1.5}))^{\large\perp}.\,$
La projection orthogonale $\pi_H(u)$ de $u\app E$ sur $H$ a pour expression :
distance
entre le vecteur $\Vec{OM}$ et la direction $\op{Vect}\!\big(\sp{1.5}\vec n_{\!1}\big)^{\large\perp}\!$ de la droite $\sc D_i:$
$\displaystyle{}\pi_H(\sp{1.5}u\sp{1.5})= u-\frac{\ps un}{\|n\|}\,n\ \,\txt{avec :}\ d\sp{1.5}(u,H)=\dfrac{\big|\ps un\big|}{\|n\|}$
$\eqalign{&d\sp{1.5}(M,\sc D_1)=MN_1=\frac{\big|\ps{\Vec{OM}\!}{\vec n_{\!1}}\big|}{\big\|\sp{1.5}\vec n_{\!1}\big\|}=\frac{|\sp{1.5}x-y\sp{1.5}|}{\sqrt 2}\\[.5ex]
&d\sp{1.5}(M,\sc D_2)=MN_2=\frac{\big|\ps{\Vec{OM}\!}{\vec n_{\!2}}\big|}{\big\|\sp{1.5}\vec n_{\!2}\big\|}=\frac{|\sp{1.5}x+2\sp{1.5}y\sp{1.5}|}{\sqrt 5}}$
On va prouver que $\,d\sp{1.5}(\Gamma,\sc D_1)=0\sp{1.5},\,$ en montrant, pour tout $\eps > 0\sp{1.5},$ l'existence de $\,M(x,y)\app\Gamma\,$ tel que $\,d\sp{1.5}(M,\sc D_1)<\eps\sp{1.5}.\,$
On pose $\,x=y+\eps\sp{1.5},\,$ et on en déduit un point $\,M(y+\eps,\sp{1.5}y)\,$ appartenant à $\,\Gamma\sp{1.5},\,$ car :
$\eqalign{&f(x,y)=(x-y)(x+2\sp{1.5}y)=\eps\sp{1.5}(3\sp{1.5}y+\eps)\sp{1.5},\txt{d'où :}\\[-.5ex]
&f(x,y)=1\!\Ssi\! y=\frac13\Big(\frac1{\eps}-\eps\Big)=\frac{1-\eps^2}{3\sp{1.5}\eps}}$
Il existe donc pour tout $\,\eps>0\sp{1.5},\,$ un point $M(x,y)$ de $\,\Gamma\sp{1.5},\,$ projeté en $N_1$ sur $\,\sc D_1\sp{1.5},\,$ tel que $\,MN_1=\dfrac{|\sp{1.5}x-y\sp{1.5}|}{\sqrt 2}=\dfrac{\eps}{\sqrt2} < \eps\sp{1.5}.\,$
L'ensemble $\,\ens{MN}{(M,N)\app\,\Gamma\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\sc D_1}\sp{1.5},\,$ n'ayant pas de
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est un minorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$
Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$ $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$
minorant
strictement positif, a donc pour
Toute partie non vide $A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus grand minorant :
borne
inférieure : $\,d\sp{1.5}(\Gamma,\sc D_1)=0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,d(\Gamma, \sc D_2)\sp{1.5},\,$ on fait de même avec $\,x=\eps-2\sp{1.5}y\,$ et
$\,M(\eps-2\sp{1.5}y,\,y)\app\,\Gamma,\,$ car :
$\displaystyle{}\inf A=\max\ens{m\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ m\leq x}$
C'est la borne inférieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est minoré dans $\bb R\,.$
$\eqalign{&f(x,y)=(x-y)(x+2\sp{1.5}y)=\eps\sp{1.5}(\eps -3\sp{1.5}y\sp{1.5})\sp{1.5},\txt{d'où :}\\[-.5ex]
&f(x,y)=1\Ssi y=-\frac13\Big(\frac1{\eps}-\eps\Big)=\frac{\eps^2-1}{3\sp{1.5}\eps}}$
On a pour tout $\,\eps>0\sp{1.5},\,$ un $\,M(x,y)\app\Gamma\sp{1.5},\,$ projeté en $N_2$ sur $\,\sc D_2\sp{1.5},\,$ tel que $\,MN_2=\dfrac{|\sp{1.5}x+2\sp{1.5}y\sp{1.5}|}{\sqrt 5}=\dfrac{\eps}{\sqrt5} < \eps\sp{1.5},\,$ d'où : $\,d\sp{1.5}(\Gamma,\sc D_2)=0\sp{1.5}.\,$
On a, par les équations de $\Gamma$ et $\Delta:$ $\,\Gamma\cap \Delta=\vide\sp{1.5};\,$ de telles droites $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont des droites asymptotes à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
On pouvait aussi chercher une équation cartésienne de $\,\Gamma\,$ dans le repère $(O,\sp{1.5}2\sp{1.5}\veci-\vecj\sp{1.5},\sp{1.5}\veci+\vecj\,)\sp{1.5},$ d'axes $\sc D_1$ et $\sc D_2\sp{1.5}.$
On obtient alors une équation de la forme$\,X\sp{1.5}Y=k\,;\,$ $\,\Gamma\,$ représente dans ce repère la fonction : $\,X\mapsto k/\sp{-1.5}X,\,$ dont la courbe s'appelle une hyperbole :
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L'hyperbole $\,\Gamma\,$ et ses deux asymptotes $\sc D_1$ et $\sc D_2$
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Exercice d
Soit, dans un plan euclidien orienté $P$ muni d'un repère orthonormal direct $(O,\veci,\,\vecj\,)\sp{1.5},$ le cercle $\sc C$ de centre $\Omega(1,\sp{1.5}0)$ et de rayon $1\sp{1.5}.$
Un point $M$ décrivant le cercle $\sc C,$ on considère la courbe $\,\Gamma\,$ formée des projetés orthogonaux $H$ du point $O$ sur la tangente à $\sc C$ en $M\sp{1.5}.$
Montrer, en la paramétrisant, que la courbe $\,\Gamma\,$ admet en tout point $H$ une tangente dans une direction à préciser.
Établir ensuite que cette courbe $\,\Gamma\,$ peut être caractérisée par une équation cartésienne.
courbe paramétrée
Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.
Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$ est définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$
- L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
- l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
tangente à une courbe paramétrée
Soient $E$ un espace vectoriel normé et une courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par $M\app\sc C^1(I,E)\sp{1.5}.$
Si $\,\Vec{M'}(t_0)\neq\vecc0\sp{1.5},\,$
alors la droite $\,\sth1M_0\!+\!\op{Vect}\!\big(\Vec{M'}(t_0)\big)\,$ est tangente en $\,M_0\,$ à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
équation cartésienne d'une courbe plane
Soit $P$ un plan vectoriel réel muni d'un repère $\,(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,$ et $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^2\sp{1.5}.$
Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la courbe $\sc C$ d'équation cartésienne $\,f(x,y)=0\,$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc C=\ens{M(x,y)\app P\,}{\,(x,y)\app\Omega\txt{et}f(x,y)=0}$
tangente à une courbe plane d'équation cartésienne donnée
Soit, dans un repère orthonormal d'un plan euclidien $P,$ une courbe $\sc C$ d'équation $\,f(x,y)=0\sp{1.5}.\,$
Si $f$ est de classe $\sc C^1,$ soit $M(x,y)$ un point régulier de la courbe $\sc C,$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la courbe $\sc C$ admet pour tangente la droite passant par $M(x,y)$ et normale à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y)\sp{1.5}.$
indication
1
Partir d'une paramétrisation du cercle $\sc C$ pour en déduire une paramétrisation de la courbe $\Gamma\sp{1.5}.$
indication
2
Soit, pour $N(x,y)$ distinct de $O,$ la mesure principale $\,t\,$ de l'angle orienté $\big(\sp{1.5} \veci,\vec{ON}\sp{-1.5}\big)\sp{1.5}.$ Transcrire en fonction de $x$ et $y\sp{1.5},$ la caractérisation des points de $\Gamma$ par l'expression de $ON$ en fonction de $\,t\sp{1.5}.\,$
figure
Le cercle $\sc C$ et la cardioïde $\,\Gamma\,$
réponse
Avec $\,\vec u(t)=\cos t\ \veci+\sin t\ \vecj\sp{1.5},\,$ on paramétrise $\Gamma$ par l'application : $\,H:t\mapsto O+(1+\cos t)\sp{1.5}\vec u(t)\sp{1.5}.\,$
$\Gamma$ admet en tout point $H(t)$ une tangente $\sc T_{M(t)},$ formant avec $\,\veci\,$ l'angle :
$\,\big(\veci,\sc T_{M(t)}\big)\equiv\dfrac{3\sp{1.5}t}2+\dfrac\pi2\ [\pi]\sp{1.5}.\,$
$\Gamma$ est caractérisée par l'équation cartésienne : $\,x^2+y^2-x=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5},\,$ soit sous forme polynomiale :
$\displaystyle{}\big(x^2+y^2-x\big)^2=x^2+y^2$
correction
On utilise l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soit $E$ un $\bb R\tiret$espace vectoriel de dimension finie.
On définit une orientation de $E$ en fixant une base de référence $\sc B_0:$
orienté,
et on pose dans la base
- une base $\sc B$ de $E$ est directe ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)>0\,;\,$
- une base $\sc B$ de $E$ est indirecte ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)<0\sp{1.5}.\,$
Soit $\,\sc B=(\veci,\vecj)\,$ une base orthonormale d'un plan euclidien $P\sp{1.5}.$
Pour tous vecteurs $\,\vec u=x\sp{1.5}\veci+y\sp{1.5}\vecj\,$ et $\,\vec v=x'\sp{1.5}\veci+y'\sp{1.5}\vecj\,$ de $P\sp{1.5},$ on a :
orthonormale
directe $(\veci,\vecj):$ - $\,x=\ps{\veci}{\vec u}\,$ et $\,y=\ps{\vecj}{\vec u}\sp{1.5};\,$
- $\,\ps{\vec u}{\vec v}=x\sp{1.5}x'+y\sp{1.5}y'\,;\,$
- $\,\|\vec u\|=\smh{.5}{\sqrt{\smh{.2}{x^2+y^2}}\,.}\,$
$\eqalign{&\vec u(t)=\cos t\ \veci+\sin t\ \vecj\\[-.5ex] \txt{d'où :}&\vec v(t)=\vecc{u'\ }\!\!(t)=-\sin t\ \veci+\cos t\ \vecj}$
On considère la
Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.
Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$ est définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$
paramétrisation
de classe $\sc C^1$ du cercle $\,\sc C:\,$ $\,t\mapsto M(t)=\Omega+\vec u(t)\sp{1.5},\,$ pour $\,t\app\,]\!-\pi,\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
La
- L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
- l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
Soient $E$ un espace vectoriel normé et une courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par $M\app\sc C^1(I,E)\sp{1.5}.$
Si $\,\Vec{M'}(t_0)\neq\vecc0\sp{1.5},\,$
alors la droite $\,\sth1M_0\!+\!\op{Vect}\!\big(\Vec{M'}(t_0)\big)\,$ est tangente en $\,M_0\,$ à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
tangente
au cercle $\sc C$ en un point $M(t)\app\sc C$ est alors la
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :
droite
affine : $\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$
$\displaystyle{}\sc T_{M(t)}=M(t)+\smh0{\op{Vect}\!\big(\vec v(t)\big)}=M(t)+\smh0{\op{Vect}\!\big(\,\vec u(t)\big)^{\large\perp}}$
On détermine alors le
Soit, dans un espace euclidien $E,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc D$ est le seul point $H$ tel que :
projeté
orthogonal $H(t)$ de l'origine $O$ sur $\,\sc T_{M(t)}\,$ par le
$\displaystyle{}H\app\sc D\txt{et}\Vec{MH}\perp\vec u$
Soit dans un espace euclidien $E,$ un hyperplan $\,H=(\op{Vect}(\sp{1.5} n\sp{1.5}))^{\large\perp}.\,$
La projection orthogonale $\pi_H(u)$ de $u\app E$ sur $H$ a pour expression :
projeté
$\Vec{M(t)H(t)}$ de $\Vec{M(t)\sp{1.5}O}$ sur $\op{Vect}\!\big(\,\vec u(t)\big)^{\large\perp}:$
$\displaystyle{}\pi_H(\sp{1.5}u\sp{1.5})= u-\frac{\ps un}{\|n\|}\,n\ \,\txt{avec :}\ d\sp{1.5}(u,H)=\dfrac{\big|\ps un\big|}{\|n\|}$
$\eqalign{\Vec{M(t)H(t)}&=-\Vec{OM(t)}+\ps{\Vec{OM(t)}}{\vec u(t)}\,\vec u(t)\sp{1.5},
\txt{d'où :}\\
\Vec{OH(t)}&=\ps{\Vec{O\Omega}+\Vec{\Omega M(t)\sp{-1.5}}}{\vec u(t)}\,\vec u(t)\\[-.5ex]&=\ps{\veci+\vec u(t)}{\vec u(t)}\sp{1.5}\vec u(t)=(1+\cos t)\,\vec u(t)}$
La fonction $\,H: t\mapsto O+(1+\cos t)\,\vec u(t)\sp{1.5},\,$ de classe $\sc C^1$ sur $\sp{1.5}]\!-\pi,\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5},$ définit donc une paramétrisation de $\Gamma.$
La dérivée de $H$ se simplifie par
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
duplication
des arcs et
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
Par symétries du cercle trigonométrique d'axes $\,Oy\,$ et $\,y=x\sp{1.5},\,$ on a :
interversion
du sinus et du cosinus :
- $\,\sth{.5}\cos(\pi-x)=-\cos x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi-x)=\ \,\sin x\ \sp{1.5};\,$ $\,\sth{.5}\tan(\pi-x)=-\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\stb{1.25}\,$
- $\,\cos(\pi/2-x)=\sin x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi/2-x)=\cos x\sp{1.5};\,$$\,\sth{.5}\tan(\pi/2-x)=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi/2\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{ &\Vec{H'(t)\!}=-\sin t\ \vec u(t)+(1+\cos t)\,\vec{u'\ }\!\!(t)\\[-.25ex]
=&2\cos(t/2)\,\big(-\sin(t/2)\,\vec u(t)+\cos(t/2)\,\vec v(t)\big)\\[-.25ex]
=&2\cos(t/2)\,\big(\cos(t/2+\pi/2)\,\vec u(t)+\sin(t/2+\pi/2)\,\vec v(t)\big)}$
On obtient ainsi, vis à vis de la base orthonormale directe $\,\big(\vec u(t),\vec v(t)\big)\sp{1.5},\,$ l'image de $\vec u(t)$ par la
Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$
Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$
rotation
d'angle $\,\dfrac t2+\dfrac\pi2:\,$
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$
l'isométrie $f$ est la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$
- Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.
$\displaystyle{}\Vec{H'(t)\!}=2\cos(t/2)\,\rho_{t/2+\pi/2}\big(\vec u(t)\big)$
- Pour $\,t\neq\pi\sp{1.5},\,$ par relation de
Soient dans un plan euclidien orienté $P,$ $\,\vec u,\vec v,\vec w\,$ non nuls ; alors :Chasles, la courbe $\Gamma$ admet alors en $H(t)$ une tangente formant avec $\veci\ $
- $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec v,\vec w)\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec w)\ [2\sp{1.5}\pi]:\,$ relation de Chasles ;
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv0\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5};\,$
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont orthogonaux ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac{\pi}2\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Soient dans un plan euclidien orienté $P,$ $\,\vec u,\vec v,\vec w\,$ non nuls ; alors :l'angle orienté :- $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec v,\vec w)\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec w)\ [2\sp{1.5}\pi]:\,$ relation de Chasles ;
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv0\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5};\,$
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont orthogonaux ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac{\pi}2\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\big(\ \veci,\sp{1.5}\Vec{H'(t)\!\!}\,\big)&\equiv\big(\,\veci,\sp{1.5}\vec u(t)\big)+\big(\vec u(t),\sp{1.5}\Vec{H'(t)\!\!}\,\big)\\[-.25ex] &\equiv t+\Big(\frac t2+\frac\pi2\Big)\equiv\frac{3\sp{1.5}t}2+\frac\pi2\ [\pi]}$ - lorsque $t$ tend vers $\pi\sp{1.5},$ la droite $(OH(t)\sp{-1.5})$ est dirigée par $\vec u(t)$ tendant vers $\,\vec u(\pi)=-\veci\sp{1.5}.\,$ La courbe $\Gamma$ admet donc en $O=H(\pi)$ une
Soient $E$ un espace vectoriel normé et une courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par $M\app\sc C(I,E)\sp{1.5}.$ Si au voisinage de $\,t_0\app I\sp{1.5},\,$ la courbe a pour sécante en $\,M_0\!=\!M(t_0):\,$tangente dans une direction prolongeant celle du cas $\,t\neq\pi:\,$$\displaystyle{}(M_0M(t))\sp{-1.5}=\sp{-1.5}M_0\!+\!\op{Vect}\!\big(\vec u(t)\big),\txt{avec}\vec u(t)\tend{t}{t_0}\vec{u}_{\!0}\neq\vecc0 $alors, la droite $\,\sth1M_0\!+\!\op{Vect}(\vec{u}_{\!0})\,$ est tangente en $\,M_0\,$ à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\big(\ \veci,\sp{1.5}\vec u(\pi)\sp{-1.5}\big)\equiv\big(\ \veci,-\veci\,\big)\equiv 0\equiv\dfrac{3\sp{1.5}\pi}2+\dfrac\pi2\ [\pi]$
Soient $\,\vec u\neq\vecc0\,$ et $\,\vec v\neq\vecc0\,$ dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5}.$ Une mesure de l'angle orienté de $\vec u$ et $\vec v$ est un réel $\,\theta\,$ tel que :
l'angle
orienté $\big(\sp{1.5}\veci,\Vec{ON}\big)\sp{1.5}.$
Elle est telle que $\,\Vec{ON}\!=ON\,\vec u(t)\sp{1.5},\,$ et lorsque $\,N\app\Gamma\sp{1.5},\,$ il s'agit précisément du paramètre $\,t\,$ tel que $\,N=H(t)\sp{1.5}.\,$
La courbe $\,\Gamma\,$ est caractérisée par la relation : $\,ON=1+\cos t\,;\,$ avec $\,\cos t=x\sp{-1.5}\big/\!{\sqrt{x^2+y^2}}\,$ cela donne l'équation
$\displaystyle{}\cos\theta=\frac{\ps{\vec u}{\vec v}}{\big\|\vec u\big\|\|\vec v\|}\txt{et}\sin\theta=\frac{\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$
Ce réel est unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5},$ et on écrit : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
Soit $P$ un plan vectoriel réel muni d'un repère $\,(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,$ et $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^2\sp{1.5}.$
Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la courbe $\sc C$ d'équation cartésienne $\,f(x,y)=0\,$ est l'ensemble :
cartésienne :
$\displaystyle{}\sc C=\ens{M(x,y)\app P\,}{\,(x,y)\app\Omega\txt{et}f(x,y)=0}$
$\displaystyle{}N(x,y)\app\Gamma\!\setminus\!\{O\}\Ssi \sqrt{x^2+y^2}=1+\smb2{\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}}$
On en déduit une formule simplifiée incluant le point $\,N(0,0)=O\,\,$ et même une équation polynomiale :
$\eqalign{N(x,y)\app\Gamma&\Ssi x^2+y^2-x=\sqrt{x^2+y^2}\\
&\Ssi\big(x^2+y^2-x\big)^2=x^2+y^2}$
En effet, avec $\,x-\sqrt{x^2+y^2} \leq 0\sp{1.5},\,$ l'éventualité $\,x^2+y^2-x=-\sqrt{x^2+y^2}\,$ implique : $\,x=y=0\sp{1.5}.\,$
Cette courbe $\Gamma$ est une cardioïde ; elle admet $\,Ox\,$ pour axe de symétrie, et le point $\,O\,$ est un « point de rebroussement ».
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Le cercle $\sc C$ et la cardioïde $\,\Gamma\,$
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