Sujet C.3.4 Segments et polygones
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Exercice a
\\(\def\v#1#2{\smh{.5}{\sp{1.5}\Vec{\!#1#2}\!}} \def\de#1#2{\big[#1\sp{-1.5},#2\sp{1.5}\big]}\\)
Soient trois points $A,I,J$ d'un plan euclidien orienté $P$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{1.5}.$
Montrer que la droite affine $\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)$ coupe le segment $[\![\sp{1.5}I,J\sp{1.5}]\!]$ si et seulement si :
$\displaystyle{}\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AI\,}.\sp{-1.5}\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AJ\,}\leq0$
où $\,\smh0{\de{\vec u}{\vec v}}\,$ désigne le produit mixte de $\smh0{\vec u}$ et $\smh0{\vec v},$ c'est-à-dire leur déterminant dans toute base orthonormale directe.
Pour $A,B,C,D\app P$ deux à deux distincts, donner une condition nécessaire et suffisante pour que $[\![\sp{1.5}A,C\sp{1.5}]\!]$ et $[\![\sp{1.5}B,D\sp{1.5}]\!]$ soient sécants.
Que représente alors le nombre : $\,\smh{.5}{\Big|\sp{-1.5}\de{\v AC}{\v BD\,}\sp{-1.5}\Big|}\,?\,$
segment d'un espace vectoriel réel
Pour deux points $A$ et $B$ d'un espace vectoriel réel $E,$ le segment $[\![A,B\sp{1.5}]\!]$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}[\![A,B\sp{1.5}]\!]=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\smh1{\Vec{AB}}}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,1]}$
demi-plans
Soient, dans un plan vectoriel réel $P$ muni d'une base $\sc B,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Les demi-plans délimités par la droite $\,\sc D\,$ sont les deux ensembles :
$\eqalign{\sc P_+=\ens{M\app P}{\smh{1}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\geq0}\\
\sc P_-=\ens{M\app P}{\smh{0}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\leq0}}$
aire d'un triangle d'un plan euclidien
Soient, dans un plan euclidien $P\sp{1.5},$ trois points $A,B,C,$ et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)\sp{1.5}.$
Si $\sc B$ est une base orthonormale de $P\sp{1.5},$ l'aire délimitée par le triangle $(A,B,C)$ a pour mesure :
$\displaystyle{}\sc A(A,B,C)=\frac12\smh1{\Big|\sp{-1.5}\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AB},\Vec{AC}\big)\Big|}=\frac{AB\times AH}2$
indication
1
Pour $\lambda\app\bb R$ tel que $\,\v IM=\lambda\sp{1.5}\v IJ\sp{1.5}, \,$ développer $\,f(\lambda)=\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AM\,},\,$ puis étudier l'image de $[\sp{1.5}0,1]$ par $f\sp{1.5}.$
indication
2
Considérer le domaine délimité par $(A,B,C,D)$ comme la réunion de deux triangles pleins.
figure
1
$\,[\![\sp{1.5}A,C\sp{1.5}]\!]\cap[\![\sp{1.5}B,D\sp{1.5}]\!]\neq\vide\,$
figure
2
$\,(AC)\cap[\![\sp{1.5}B,D\sp{1.5}]\!]\neq\vide\,$
figure
3
$\,[\![\sp{1.5}A,C\sp{1.5}]\!]\cap(BD)\neq\vide\,$
réponse
On obtient les équivalences suivantes :
$\displaystyle{}\Delta\cap[\![\sp{1.5}I,J\sp{1.5}]\!]\neq\vide\!\Ssi\! \det\!\big(\,\vec u,\v AI\ \big)\sp{1.5}.\det\!\big(\,\vec u,\v AJ\ \big)\leq0$
On en conclut que $\,[\![\sp{1.5}A,C\sp{1.5}]\!]\cap[\![\sp{1.5}B,D\sp{1.5}]\!]\neq\vide\,$ équivaut à :
$\displaystyle{}\Syst{\det\!\big(\v AC,\v AB\,\big)\sp{1.5}.\det\!\big(\v AC,\v AD\,\big)\leq0\\ \det\!\big(\v BD,\v BA\,\big)\sp{1.5}.\det\!\big(\v BD,\v BC\,\big)\leq0}$
Le nombre $\,\smh{1}{\big|\sp{-1.5}\det\!\big(\v AC,\v BD\ \big)\big|}\,$ est alors le double de l'aire délimitée par le quadrilatère $(A,B,C,D)\sp{1.5}.$
correction
On utilise ici l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soit $E$ un $\bb R\tiret$espace vectoriel de dimension finie.
On définit une orientation de $E$ en fixant une base de référence $\sc B_0:$
orienté
et son produit
- une base $\sc B$ de $E$ est directe ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)>0\,;\,$
- une base $\sc B$ de $E$ est indirecte ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)<0\sp{1.5}.\,$
Soient ${\vec u}$ et ${\vec v}$ deux vecteurs dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5};$ alors :
$\det_{\sc B}(\vec u,\vec v)$ reste invariant dans toute base $\sc B$ orthonormale directe.
C'est le produit mixte de $({\vec u},{\vec v})\sp{1.5},$ noté : $\,\det(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,$ ou $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big].\,$
mixte,
noté $\de{\vec u}{\vec v}.$
Pour tout point $M$ appartenant à la
Soient deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe une et une seule droite affine, notée $(AB),$ telle que $\,A\app\sp{1.5}(AB)\!\txt{et}\!B\app\sp{1.5}(AB):\,$
droite
$(IJ)\sp{1.5},$ il existe $\lambda\app\bb R$ tel que$\,\v IM=\lambda\sp{1.5}\v IJ\sp{1.5};\,$ par
$\displaystyle{}(AB)=A+\op{Vect}(\Vec{AB})=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\Vec{AB}}{\lambda\app\bb R}$
Dans un plan euclidien orienté, le produit mixte a pour propriétés :
bilinéarité
du produit mixte, on a donc :
- $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=\big\|\vec u\big\|\sp{1.5}\big\|\vec v\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$ pour $\,\alpha\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,[\sp{1.5}2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AM\,}&=\de{\sp{1.5}\vec u}{\sp{1.5}\v AI+\lambda\sp{1.5}\v IJ\,}\\[-.5ex]
&=\de{\sp{1.5}\vec u}{\sp{1.5}(1-\lambda)\sp{1.5}\v AI+\lambda\sp{1.5}\v AJ\,}\\[-.5ex]
&=(1-\lambda)\sp{1.5}\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AI\,}+\lambda\sp{1.5}\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AJ\,}}$
Par définition de la
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :
droite
affine $\Delta=A+\op{Vect}(\vec u)$ et du
$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$
Pour deux points $A$ et $B$ d'un espace vectoriel réel $E,$ le segment $[\![A,B\sp{1.5}]\!]$ est l'ensemble :
segment
$[\![I,J]\!]\sp{1.5},$ on a d'autre part :
$\displaystyle{}[\![A,B\sp{1.5}]\!]=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\smh1{\Vec{AB}}}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,1]}$
$\displaystyle{}M\app\Delta\cap[\![\sp{1.5}I,J\sp{1.5}]\!]\Ssi\big(\sp{1.5}\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AM\,}=0\sp{1.5}\txt{et}\sp{1.5}\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,1]\sp{1.5}\big)$
Considérons la fonction réelle :
$\,f:\lambda\mapsto(1-\lambda)\sp{1.5}\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AI\,}+\lambda\sp{1.5}\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AJ\,}.\,$
Cette fonction $f$ étant continue sur $\bb R\sp{1.5},$ l'image par $f$ du segment $[\sp{1.5}0,1]$ est
L'image d'un segment $\,[a,b]\,$ par une fonction réelle continue est un segment.
un segment.
De plus, $f$ est affine et donc monotone, si bien que $f\big([\sp{1.5}0,1]\big)$ a pour extrémités : $\,f(0)=\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AI\,}\,$ et $\,f(1)=\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AJ\,}.\,$ Dans ces conditions, on a l'équivalence : $\,0\app f\big([\sp{1.5}0,1]\big)\Ssi f(0)\sp{1.5}.f(1)\leq0\sp{1.5},\,$ et finalement :
$\displaystyle{}\Delta\cap[\![\sp{1.5}I,J\sp{1.5}]\!]\neq\vide\!\Ssi\! \de{\sp{1.5}\vec u}{\v AI\,}.\sp{-1.5}\de{\sp{1.5}\vec u}{\v AJ\,}\leq0$
Avec $\,\Delta\!=\!(AC)\,$ et $\,[\![\sp{1.5}I,J\sp{1.5}]\!]\!=\![\![\sp{1.5}B,D\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ puis $\,\Delta\!=\!(BD)\,$ et $\,[\![\sp{1.5}I,J\sp{1.5}]\!]\!=\![\![\sp{1.5}A,C\sp{1.5}]\!],\,$ $\,[\![\sp{1.5}A,C\sp{1.5}]\!]\cap[\![\sp{1.5}B,D\sp{1.5}]\!]\neq\vide\,$ équivaut donc à :
$\displaystyle{}\Syst{\de{\v AC}{\v AB\,}\sp{1.5}.\de{\v AC}{\v AD\,}\leq0\\ \de{\v BD}{\v BA\,}\sp{1.5}.\de{\v BD}{\v BC\,}\leq0}$
Pour tout triangle $(I,J,K)\sp{1.5},$ on note $\sc A(I,J,K)$ son
Soient, dans un plan euclidien $P\sp{1.5},$ trois points $A,B,C,$ et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)\sp{1.5}.$
Si $\sc B$ est une base orthonormale de $P\sp{1.5},$ l'aire délimitée par le triangle $(A,B,C)$ a pour mesure :
aire :
$\,\sc A(I,J,K)=\dfrac12\,\Big|\sp{-1.5}\de{\v IJ}{\v IK\,}\sp{-1.5}\Big|\sp{1.5}.\,$
Les réels $\,\de{\v AC}{\v AB\,}\,$ et $\,\de{\v AC}{\v AD\,}\,$ étant de signes contraires, on a alors :
$\displaystyle{}\sc A(A,B,C)=\frac12\smh1{\Big|\sp{-1.5}\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AB},\Vec{AC}\big)\Big|}=\frac{AB\times AH}2$
$\eqalign{ \Big|\sp{-1.5}\de{\v AC}{\v BD\,}\sp{-1.5}\Big|&= \Big|\sp{-1.5}\de{\v AC}{\,\v BA+\v AD\,}\sp{-1.5}\Big|\\
&= \Big|\sp{-1.5}-\de{\v AC}{\,\v AB\,}+\de{\v AC}{\,\v AD\,}\sp{-1.5}\Big|\\
&= \Big|\sp{-1.5}\de{\v AC}{\,\v AB\,}\sp{-1.5}\Big|+\Big|\sp{-1.5}\de{\v AC}{\,\v AD\,}\sp{-1.5}\Big|\\
&=2\,\sc A(A,C,B)+2\,\sc A(A,C,D)}$
Les triangles $(A,C,B)$ et $(A,C,D)$ étant situés
Soient, dans un plan vectoriel réel $P$ muni d'une base $\sc B,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Les demi-plans délimités par la droite $\,\sc D\,$ sont les deux ensembles :
de part et d'autre
de la droite $(AC),$ leurs aires s'additionnent.
Le nombre $\,\smh{.5}{\Big|\sp{-1.5}\de{\v AC}{\v BD\,}\sp{-1.5}\Big|}\,$ vaut donc deux fois l'aire délimitée par le quadrilatère $(A,B,C,D):$
$\eqalign{\sc P_+=\ens{M\app P}{\smh{1}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\geq0}\\
\sc P_-=\ens{M\app P}{\smh{0}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\leq0}}$
$\displaystyle{}\sc A(A,B,C,D)=\smh1{\frac12}\,\Big|\sp{-1.5}\de{\v AC}{\v BD\,}\sp{-1.5}\Big|$
|
$\,[\![\sp{1.5}A,C\sp{1.5}]\!]\cap[\![\sp{1.5}B,D\sp{1.5}]\!]\neq\vide\,$
|
La condition $\,[\![\sp{1.5}A,C\sp{1.5}]\!]\cap[\![\sp{1.5}B,D\sp{1.5}]\!]\neq\vide\,$ traduit la
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est convexe ssi :
convexité
du domaine délimité par la ligne polygonale fermée $(A,B,C,D,A)\sp{1.5}.$
Toutefois, une seule des deux inégalités obtenues a suffi pour établir l'expression de $\,\sc A(A,B,C,D)\sp{1.5}.\,$ Cette expression s'applique donc encore à certains polygones non convexes :$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app A^2,\ [\![\sp{1.5}x,y\,]\!]\subset A$
|
$\,(AC)\cap[\![\sp{1.5}B,D\sp{1.5}]\!]\neq\vide\,$
|
$\,[\![\sp{1.5}A,C\sp{1.5}]\!]\cap(BD)\neq\vide\,$
|
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Exercice b
\\(\def\v#1#2{\smh{.5}{\sp{1.5}\Vec{\!#1#2}\!}} \def\de#1#2{\big[#1\sp{-1.5},#2\sp{1.5}\big]}\\)
Soient, dans un plan euclidien orienté $P,$ des points $\,A_1,\dots,A_n\,$ pour $\,n\!\geq\!3\,;\,$ on pose $\,A_{n+1}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}A_1\,$ et on suppose que :
$\displaystyle{}j\non\app\{\sp{1.5}i,\sp{1.5}i+1\}\Imp\smh1{\de{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}\,}{\Vec{A_iA_{j}\!\!}}\,} > 0$
où $\,\smh0{\de{\vec u}{\vec v}}\,$ désigne le produit mixte de $\smh0{\vec u}$ et $\smh0{\vec v},$ c'est-à-dire leur déterminant dans toute base orthonormale directe.
On considère alors l'ensemble $\,\Omega(A_1,\dots,A_n)\,$ et le réel $\,\sc A(A_1,\dots,A_n)\,$ ainsi définis :
- $\,\Omega(A_1,\dots,A_n)\,$ est l'ensemble des points $M$ du plan $P$ tels que : $\,\ptt i\app\sp{1.5}[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ \smh1{\de{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}\,}{\Vec{A_iM}}\,}\sp{-1.5}\geq0\,;\,$
- $\,\sc A(A_1,\dots,A_n)=\smh1{\dfrac12\dsum_{i=2}^{n-1}}\,\de{\Vec{A_iA_{i}\!\!}\sp{1.5}\,}{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}}.\,$
segment d'un espace vectoriel réel
Pour deux points $A$ et $B$ d'un espace vectoriel réel $E,$ le segment $[\![A,B\sp{1.5}]\!]$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}[\![A,B\sp{1.5}]\!]=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\smh1{\Vec{AB}}}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,1]}$
demi-plans
Soient, dans un plan vectoriel réel $P$ muni d'une base $\sc B,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Les demi-plans délimités par la droite $\,\sc D\,$ sont les deux ensembles :
$\eqalign{\sc P_+=\ens{M\app P}{\smh{1}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\geq0}\\
\sc P_-=\ens{M\app P}{\smh{0}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\leq0}}$
aire d'un triangle d'un plan euclidien
Soient, dans un plan euclidien $P\sp{1.5},$ trois points $A,B,C,$ et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)\sp{1.5}.$
Si $\sc B$ est une base orthonormale de $P\sp{1.5},$ l'aire délimitée par le triangle $(A,B,C)$ a pour mesure :
$\displaystyle{}\sc A(A,B,C)=\frac12\smh1{\Big|\sp{-1.5}\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AB},\Vec{AC}\big)\Big|}=\frac{AB\times AH}2$
indication
1
Considérer $\,\Omega(A_1,\dots,A_n)\,$ comme une intersection de demi-plans.
indication
2
Montrer que $\,\Omega(A_1,\dots,A_{n-1})\,$ et le triangle $(A_1,A_{n-1},A_n)$ sont de part et d'autre d'une même droite.
figure
1
$\,\Omega(A_1,\dots,A_{n})\sp{1.5},\,$ pour $n\sp{-1.5}=\sp{-1.5}6$
figure
2
$\,\sc A(A_1,\dots,A_{n})\sp{1.5},\,$ pour $n\sp{-1.5}=\sp{-1.5}6$
réponse
$\,\Omega(A_1,\dots,A_{n})\,$ est le polygone plein de sommets $\,A_1,\dots,A_n,\,$ et $\,\sc A(A_1,\dots,A_n)\,$ mesure son aire.
Ce polygone $\,\Omega(A_1,\dots,A_{n})\,$ constitue bien une partie convexe de $P\sp{1.5}.$
correction
On utilise ici l'interprétation
Pour $\,n\!=\!3\sp{1.5},\,$ le nombre $\,\sc A(A_1,A_2,A_3)=\smh0{\de{\Vec{A_1A_2}}{\Vec{A_1A_3}}}\sp{-1.5}/2\,$ mesure
$\,\Omega(A_1,\dots,A_n)\,$ est
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soit $E$ un $\bb R\tiret$espace vectoriel de dimension finie.
On définit une orientation de $E$ en fixant une base de référence $\sc B_0:$
orienté
et son produit
- une base $\sc B$ de $E$ est directe ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)>0\,;\,$
- une base $\sc B$ de $E$ est indirecte ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)<0\sp{1.5}.\,$
Soient ${\vec u}$ et ${\vec v}$ deux vecteurs dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5};$ alors :
$\det_{\sc B}(\vec u,\vec v)$ reste invariant dans toute base $\sc B$ orthonormale directe.
C'est le produit mixte de $({\vec u},{\vec v})\sp{1.5},$ noté : $\,\det(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,$ ou $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big].\,$
mixte,
noté $\,\det(\vec u,\vec v)\sp{1.5}.\,$
Avec $\,\de{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}\,}{\Vec{A_iA_{j}\!\!}}>0\sp{1.5},\,$ on a donc $\,A_i\neq A_{i+1}\,$ et le point $A_j$ n'appartient pas à la
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :
droite
affine $\,(A_iA_{i+1})\sp{1.5}.\,$
Cette suite de points représente donc les sommets d'une ligne polygonale fermée dont trois points consécutifs sont deux à deux distincts et non alignés.
La condition $\,\smh0{\de{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}\,}{\Vec{A_iM}}\geq0}\,$ caractérise alors le
$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$
Soient, dans un plan vectoriel réel $P$ muni d'une base $\sc B,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Les demi-plans délimités par la droite $\,\sc D\,$ sont les deux ensembles :
demi-plan
formé des points situés à gauche de la droite $(\sp{-1.5}A_iA_{i+1}\sp{-1.5})$ orientée par $\smh0{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}}\,\sp{1.5}.$
Il s'ensuit que $\,\Omega(A_1,\dots,A_n)\,$ est l'intersection des $n$ demi-plans ainsi définis et représente le polygone plein de sommets $A_1,\dots,A_n:$
$\eqalign{\sc P_+=\ens{M\app P}{\smh{1}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\geq0}\\
\sc P_-=\ens{M\app P}{\smh{0}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\leq0}}$
|
$\,\Omega(A_1,\dots,A_{n})\sp{1.5},\,$ pour $n\sp{-1.5}=\sp{-1.5}6$
|
Soient, dans un plan euclidien $P\sp{1.5},$ trois points $A,B,C,$ et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)\sp{1.5}.$
Si $\sc B$ est une base orthonormale de $P\sp{1.5},$ l'aire délimitée par le triangle $(A,B,C)$ a pour mesure :
l'aire
du triangle plein $\,\Omega(A_1,A_2,A_3)\sp{1.5}.\,$
En supposant que pour $\,n\!\geq\!4\sp{1.5},\,$ $\sc A(A_1,\dots,A_{n-1})$ représente l'aire de $\,\Omega(A_1,\dots,A_{n-1}),\,$ on a alors :
$\displaystyle{}\sc A(A,B,C)=\frac12\smh1{\Big|\sp{-1.5}\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AB},\Vec{AC}\big)\Big|}=\frac{AB\times AH}2$
$\eqalign{\sc A(A_1,\dots,A_n)&\!=\sp{-1.5}\sc A(A_1,\dots,A_{n-1})\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\smh1{\frac12\sp{1.5}\de{\Vec{A_iA_{n-1}\!\!}\,}{\Vec{A_1A_{n}\!\!}}}\\[-.5ex]&=\sc A(A_1,\dots,A_{n-1})+\sc A(A_1,A_{n-1},A_n)\sp{1.5}.}$
Cette somme mesure l'aire de $\,\Omega(A_1,\dots,A_{n})\,$ si $\,\Omega(A_1,\dots,A_{n-1})\,$ et $\,\Omega(A_1,A_{n-1},A_n)\,$ sont situés de part et d'autre d'une même droite $\,\Delta\sp{1.5}.\,$
C'est le cas pour la droite $\,\Delta=(\sp{-1.5}A_{n-1}A_1\sp{-1.5})\sp{1.5},\,$ car selon les
Dans un plan euclidien orienté, le produit mixte a pour propriétés :
propriétés
du produit mixte :
- $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=\big\|\vec u\big\|\sp{1.5}\big\|\vec v\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$ pour $\,\alpha\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,[\sp{1.5}2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{ \smh1{\de{\Vec{A_{n-1}A_1\!}\sp{1.5}}{\sp{1.5}\Vec{A_{n-1}A_n\!}}}&=
\smh1{\de{\Vec{A_{n-1}A_n\!}+\Vec{A_nA_1\!}}{\sp{1.5}\Vec{A_{n-1}A_n\!\!}\sp{1.5}}}\\
&=\smh1{\de{\Vec{A_nA_1\!}}{\sp{1.5}\Vec{A_{n-1}A_n\!\!}\sp{1.5}}}\\
&=-\smh1{\de{\Vec{A_nA_1}}{\sp{1.5}\Vec{A_nA_{n-1}\!\!}\sp{1.5}}} < 0}$
Il s'ensuit que $\,\sc A(A_1,\dots,A_n)\,$ mesure l'aire du polygone $\,\Omega(A_1,\dots,A_n):\,$
|
$\,\sc A(A_1,\dots,A_{n})\sp{1.5},\,$ pour $n\sp{-1.5}=\sp{-1.5}6$
|
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est convexe ssi :
convexe
si et seulement si, pour
deux points $B$ et $C$ de cet ensemble, le
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app A^2,\ [\![\sp{1.5}x,y\,]\!]\subset A$
Pour deux points $A$ et $B$ d'un espace vectoriel réel $E,$ le segment $[\![A,B\sp{1.5}]\!]$ est l'ensemble :
segment
$[\![B,C\sp{1.5}]\!]$ est inclus dans $\,\Omega(A_1,\dots,A_n)\sp{1.5}.\,$
Étant donné un point $\,M\app\sp{1.5}[\![B,C\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ il existe alors $\,\lambda\app\,[0,1]\,$ tel que $\,\smh1{\Vec{BM}=\lambda\sp{1.5}\Vec{BC}}\,$ d'où, pour tout $\,i\app\sp{1.5}[\![1,n]\!]\sp{-1.5}:\,$
$\displaystyle{}[\![A,B\sp{1.5}]\!]=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\smh1{\Vec{AB}}}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,1]}$
$\eqalign{& \smh{1}{\de{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}\,\sp{1.5}}{\Vec{A_iM}}}\\[-.5ex]=&
\smh1{\de{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}\,\sp{1.5}}{\Vec{A_i\sp{1.5}B}+\lambda\sp{1.5}\Vec{B\sp{1.5}C}}}\\[-.5ex]
=&\de{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}\,\sp{1.5}}{\sp{1.5}(1-\lambda)\sp{1.5}\Vec{A_i\sp{1.5}B}+\lambda\sp{1.5}\Vec{A_i\sp{1.5}C}}\\[-.5ex]
=&(1-\lambda)\sp{1.5}\de{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}\,\sp{1.5}}{\Vec{A_i\sp{1.5}B}}+\lambda\sp{1.5}\de{\Vec{A_iA_{i+1}\!\!}\,\sp{1.5}}{\Vec{A_i\sp{1.5}C}}\geq0}$
On a ainsi établi que $\,M\app\Omega(A_1,\dots,A_n),\,$ d'où la convexité du polygone plein $\,\Omega(A_1,\dots,A_n).\,$