Sujet C.3.3 Cercles
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Exercice a
Pour deux points $A\neq B$ dans un plan euclidien orienté $P,$ déterminer l'ensemble $\,\Gamma\,$ des points $M$ tels que :
$\displaystyle{}\smh1{\big(\Vec{MA},\Vec{MB}\big)}\equiv\dfrac{\pi}3\ [\sp{1.5}2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]$
cercle dans un plan euclidien
Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$ Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$
caractérisation d'un cercle dont un diamètre est fixé
Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un plan euclidien $P\sp{1.5}.$
L'ensemble des points $M\sp{-1.5}\app\sp{-1.5} P$ tels que $\,\Vec{AM}\perp\Vec{BM}\,$ est le cercle de diamètre $(A,B)\sp{1.5}.$ Il s'agit du cercle centré au milieu $I$ de $\sth{.7}(A,B)$ et de rayon $\,R=AB\sp{-1.5}/2\,.\,$
tangente à un cercle d'un plan euclidien
Soit, dans un plan euclidien $P,$ un point $M$ appartenant à un cercle $\sc C\sp{1.5}.$
$\,\sc C\,$ admet pour tangente au point $M$ la normale à $\Vec{\Omega M}$ issue de $M\sp{1.5}.$
équation d'un cercle dans un plan euclidien
Soit $P$ un plan euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\sp{1.5})\sp{1.5}.$
le cercle $\sc C$ de centre $\,\Omega(a,b)\,$ et de rayon $R\!>\!0$ est caractérisé par :
$\displaystyle{}M(x,y)\app\sc C\Ssi(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
indication
1
Construire un repère orthonormal direct, d'origine le milieu $O$ de $(A,B)$ et d'axe des abscisses $(AB)\sp{1.5}.$
indication
2
Pour $M(x,y)$ dans ce repère, utiliser $\,\smh{1}{\ps{\Vec{MA}}{\Vec{MB}}}\,$ et $\,\smh1{\big[\Vec{MA},\Vec{MB}\sp{1.5}\big]}\,$ pour caractériser l'ensemble $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
figure
L'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'où l'on voit $(A,B)$ sous l'angle orienté de mesure $\,\pi\sp{-1.5}/3\,$
réponse
On obtient : $\,\Gamma=\sc C(\Omega,R)\cap\Pi\sp{1.5},\,$ un arc de cercle d'extrémités $A$ et $B$ et de rayon $\,R=AB\sp{-1.5}/\!\sqrt 3\sp{1.5},\,$ où :
- $\Pi$ est le demi-plan ouvert $\Pi$ situé à gauche de l'axe $(AB),$ celui-ci étant dirigé par $\smh1{\Vec{AB}};$
- $\Omega$ est le point de $\Pi$ situé sur la médiatrice de $(A,B)$ et à la distance $R\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2$ de la droite $(\sp{-1.5}AB)\sp{1.5}.$
correction
On utilise ici l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soit $E$ un $\bb R\tiret$espace vectoriel de dimension finie.
On définit une orientation de $E$ en fixant une base de référence $\sc B_0:$
orienté.
Pour $(\vec u,\vec v)\app P^2\sp{1.5},$ on note $\big[\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]$ leur produit
- une base $\sc B$ de $E$ est directe ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)>0\,;\,$
- une base $\sc B$ de $E$ est indirecte ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)<0\sp{1.5}.\,$
Soient ${\vec u}$ et ${\vec v}$ deux vecteurs dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5};$ alors :
$\det_{\sc B}(\vec u,\vec v)$ reste invariant dans toute base $\sc B$ orthonormale directe.
C'est le produit mixte de $({\vec u},{\vec v})\sp{1.5},$ noté : $\,\det(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,$ ou $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big].\,$
mixte,
c'est-à-dire leur déterminant dans toute base orthonormale directe.
À partir de $\,\vec{\imath}=\smh{1.2}{\Vec{AB}\sp{-1.5}/\!AB}\,$ on
Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ toute famille orthonormale peut être complétée en une base orthonormale.
complète
$\,\veci\,$ en une base
Soit $\,\sc B=(\veci,\vecj)\,$ une base orthonormale d'un plan euclidien $P\sp{1.5}.$
Pour tous vecteurs $\,\vec u=x\sp{1.5}\veci+y\sp{1.5}\vecj\,$ et $\,\vec v=x'\sp{1.5}\veci+y'\sp{1.5}\vecj\,$ de $P\sp{1.5},$ on a :
orthonormale
$(\sp{1.5}\veci,\,\vecj\,)$ de $P,$ en choisissant le sens de $\,\vecj\,$ pour qu'elle soit directe.
Avec le
- $\,x=\ps{\veci}{\vec u}\,$ et $\,y=\ps{\vecj}{\vec u}\sp{1.5};\,$
- $\,\ps{\vec u}{\vec v}=x\sp{1.5}x'+y\sp{1.5}y'\,;\,$
- $\,\|\vec u\|=\smh{.5}{\sqrt{\smh{.2}{x^2+y^2}}\,.}\,$
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ deux points $\,A\,$ et $\,B\sp{1.5}.\,$
Le milieu du couple de points $(A,B)$ est le point :
milieu
$O$ de $(A,\sp{-1.5}B)$ pour origine, on obtient donc un
$\displaystyle{}m(A,B)={\dfrac12(A+B)=A+\dfrac12\,\Vec{AB}}$
Un repère d'un plan vectoriel réel $P, $ est un triplet $(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ formé :
repère
orthonormal direct $(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,.$ En posant $\,OA=a,\,$ on obtient les coordonnées $A(-a,0)$ et $B(a,0)$ dans ce repère, ce qui nous donne ensuite :
- d'un point $O\app P\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
- d'une base $(\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ du plan vectoriel $P.$
$\eqalign{\smh{1}{\ps{\Vec{MA}}{\Vec{MB}}}\ \ &=\ (x+a)(x-a)+y^2=x^2+y^2-a^2\\
\big[\Vec{MA},\Vec{MB}\sp{1.5}\big]&=\ \detc{x+a&x-a\\y&y}=2\sp{1.5}a\sp{1.5}y}$
La considération de
Soient $\,\vec u\neq\vecc0\,$ et $\,\vec v\neq\vecc0\,$ dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5}.$ Une mesure de l'angle orienté de $\vec u$ et $\vec v$ est un réel $\,\theta\,$ tel que :
l'angle orienté
$\smh1{\big(\Vec{MA},\Vec{MB}\sp{1.5}\big)}$ nécessite $\,\Vec{MA}\neq\vecc 0,\ \Vec{MB}\neq\vecc 0.\,$
Lorsque $\,\smh1{\big(\Vec{MA},\Vec{MB}\sp{1.5}\big)}\non\equiv\dfrac{\pi}2\, [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ on peut alors utiliser la
$\displaystyle{}\cos\theta=\frac{\ps{\vec u}{\vec v}}{\big\|\vec u\big\|\|\vec v\|}\txt{et}\sin\theta=\frac{\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$
Ce réel est unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5},$ et on écrit : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
Soient $\,\vec u\neq\vecc0\,$ et $\,\vec v\neq\vecc0\,$ dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5}.$ Une mesure de l'angle orienté de $\vec u$ et $\vec v$ est un réel $\,\theta\,$ tel que :
caractérisation
trigonométrique de cet angle :
$\displaystyle{}\cos\theta=\frac{\ps{\vec u}{\vec v}}{\big\|\vec u\big\|\|\vec v\|}\txt{et}\sin\theta=\frac{\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$
Ce réel est unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5},$ et on écrit : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\tan\!\big(\Vec{MA},\Vec{MB}\sp{1.5}\big)=\frac{\sin\!\smh1{\big(\Vec{MA},\Vec{MB}\sp{1.5}\big)}}{\smh{1.3}{\cos\!\big(\Vec{MA},\Vec{MB}\sp{1.5}\big)}}=\frac{2\sp{1.5}a\sp{1.5}y}{x^2+y^2-a^2}$
Étant donné que : $\,\ \theta\equiv\dfrac{\pi}3\,[\sp{1.5}2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\Ssi\big(\tan\theta=\sqrt3\txt{et}\sin\theta > 0\sp{1.5}\big),\,$ on a donc :
$\eqalign{\big(\Vec{MA},\Vec{MB}\sp{1.5}\big)\equiv\dfrac{\pi}3\ [\sp{1.5}2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]&\Ssi \Syst{&x^2+y^2-a^2=\smh0{\frac{2\sp{1.5}a\sp{1.5}y}{\sqrt3}}\\[-2ex]&y>0}\\[1ex]
&\Ssi \Syst{&x^2+\smh0{\Big(y-\frac a{\sqrt 3}\Big)^{\!2}=\frac{4\sp{1.5}a^2}3}\\[-2.5ex]&y>0}}$
L'ensemble $\Gamma$ est donc l'intersection du
Soit $P$ un plan euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\sp{1.5})\sp{1.5}.$
le cercle $\sc C$ de centre $\,\Omega(a,b)\,$ et de rayon $R\!>\!0$ est caractérisé par :
cercle
de centre $\Omega\big(0, \sp{1.5}a\sp{-1.5}/\!\sqrt3\big)$ et de rayon $\,R=2\sp{1.5}a\sp{-1.5}/\!\sqrt3\,$ avec le
$\displaystyle{}M(x,y)\app\sc C\Ssi(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
Soient, dans un plan vectoriel réel $P$ muni d'une base $\sc B,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Les demi-plans délimités par la droite $\,\sc D\,$ sont les deux ensembles :
demi-plan
ouvert caractérisé par $\,y>0\sp{1.5}.\,$ Il s'agit donc d'un arc de cercle, privé de ses extrémités $A$ et $B:$
$\eqalign{\sc P_+=\ens{M\app P}{\smh{1}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\geq0}\\
\sc P_-=\ens{M\app P}{\smh{0}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\leq0}}$
|
L'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'où l'on voit $(A,B)$ sous l'angle orienté de mesure $\,\pi\sp{-1.5}/3\,$
|
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Exercice b
Soient, dans un plan euclidien $P,$ un cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et rayon $R >0\sp{1.5},$ et un point $A$ tel que $\,\Omega A> R\sp{1.5}.\,$
Déterminer le nombre de tangentes à $\,\sc C\,$ issues de $A,$ et indiquer comment on peut les construire.
cercle dans un plan euclidien
Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$ Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$
caractérisation d'un cercle dont un diamètre est fixé
Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un plan euclidien $P\sp{1.5}.$
L'ensemble des points $M\sp{-1.5}\app\sp{-1.5} P$ tels que $\,\Vec{AM}\perp\Vec{BM}\,$ est le cercle de diamètre $(A,B)\sp{1.5}.$ Il s'agit du cercle centré au milieu $I$ de $\sth{.7}(A,B)$ et de rayon $\,R=AB\sp{-1.5}/2\,.\,$
tangente à un cercle d'un plan euclidien
Soit, dans un plan euclidien $P,$ un point $M$ appartenant à un cercle $\sc C\sp{1.5}.$
$\,\sc C\,$ admet pour tangente au point $M$ la normale à $\Vec{\Omega M}$ issue de $M\sp{1.5}.$
équation d'un cercle dans un plan euclidien
Soit $P$ un plan euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\sp{1.5})\sp{1.5}.$
le cercle $\sc C$ de centre $\,\Omega(a,b)\,$ et de rayon $R\!>\!0$ est caractérisé par :
$\displaystyle{}M(x,y)\app\sc C\Ssi(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
indication
1
Montrer d'abord qu'un point $M$ de $\sc C$ appartient à une tangente issue de $A$ si et seulement si il appartient au cercle $\,\Gamma\,$ de diamètre $(A,\Omega)\sp{1.5}.$
indication
2
Démontrer ensuite que les cercles $\,\sc C\,$ et $\,\Gamma\,$ ont exactement deux points d'intersection.
figure
Les deux tangentes à $\sc C$ issues de $A$
réponse
Il existe exactement deux tangentes au cercle $\,\sc C\,$ issues du point $A\sp{1.5}.$
Ce sont les droites $(AM),$ lorsque $M$ est à l'intersection de $\,\sc C\,$ et du cercle $\,\Gamma\,$ de diamètre $(A,\Omega)\sp{1.5}.$
correction
On utilise ici l'interprétation
Il nous reste à justifier que ces points d'intersection existent et sont bien au nombre de deux :
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien.
En
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ toute famille orthonormale peut être complétée en une base orthonormale.
complétant
le vecteur $\,\veci=\Vec{\Omega A}\!/\sp{-1.5}\Omega A\sp{1.5},\,$ on définit une base orthonormale $(\sp{1.5}\veci,\vecj\sp{1.5})$ de $P.$
Le
Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$ Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
cercle
$\sc C$ admet alors une
$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$
Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.
Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$ est définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$
paramétrisation
$\,M:\theta\mapsto M(\theta)\,$ de classe $\sc C^1\sp{-1.5},$ avec :
- L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
- l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{M(\theta)\,&=\Omega+ R\sp{1.5}\smh0{\big(\!\cos\theta\ \veci+\sin\theta\ \vecj\sp{1.5}\big)}\\[-.5ex]
\Vec{M'(\theta)\!}&=R\sp{1.5}\big(\!-\sin\theta\,\veci+\cos\theta\,\vecj\,\big)\perp \Vec{\Omega M(\theta)}}$
La
Soient $E$ un espace vectoriel normé et une courbe $\,\Gamma\,$ paramétrisée par $M\app\sc C^1(I,E)\sp{1.5}.$
Si $\,\Vec{M'}(t_0)\neq\vecc0\sp{1.5},\,$
alors la droite $\,\sth1M_0\!+\!\op{Vect}\!\big(\Vec{M'}(t_0)\big)\,$ est tangente en $\,M_0\,$ à la courbe $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
tangente
au cercle $\sc C$ en un point $M\app\sc C$ est donc la
Soit, dans un plan euclidien $P,$ un point $M$ appartenant à un cercle $\sc C\sp{1.5}.$
$\,\sc C\,$ admet pour tangente au point $M$ la normale à $\Vec{\Omega M}$ issue de $M\sp{1.5}.$
normale
au vecteur $\smh{1}{\Vec{\Omega M}}$ issue de ce point $M\sp{1.5}.$
Cette tangente passe par le point $A$ si et seulement si le point $M$ appartient à l'ensemble : $\displaystyle{}
\Gamma=\ens{M\app P}{\Vec{AM}\!\perp\!\Vec{\Omega M}}$
On sait que cet ensemble $\,\Gamma\,$ est le
Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un plan euclidien $P\sp{1.5}.$
L'ensemble des points $M\sp{-1.5}\app\sp{-1.5} P$ tels que $\,\Vec{AM}\perp\Vec{BM}\,$ est le cercle de diamètre $(A,B)\sp{1.5}.$ Il s'agit du cercle centré au milieu $I$ de $\sth{.7}(A,B)$ et de rayon $\,R=AB\sp{-1.5}/2\,.\,$
cercle
de diamètre $(A,\Omega)\sp{1.5},$ centré au milieu $I$ de $(A,\Omega)$ et de rayon $\,A\Omega\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\,.\,$
Ce résultat classique résulte de l'équivalence : $\,\Vec{AM}\perp\Vec{\Omega M}\Ssi IM=I\Omega\sp{1.5},\,$ obtenue par
La droite $(AM)$ est donc tangente à $\sc C$ en $M$ si et seulement si : $\,M\app\sc C\cap\Gamma\sp{1.5}.\,$ On construit donc ces tangentes en traçant les droites $(AM)$ à partir de chacun des points $M$ d'intersection de $\sc C$ et $\Gamma:$
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a les identités suivantes :
identité
remarquable :
- $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2+2\sp{1.5}\ps uv\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt u,v\app E,\ \|u\|^2-\|v\|^2=\ps{u-v}{\sp{1.5}u+v}\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\ps{\Vec{AM}}{\Vec{\Omega M}}&=\ps{\Vec{AI}+\Vec{IM}}{\Vec{\Omega I}+\Vec{IM}}\\[-.5ex]&=
\ps{\Vec{IM}+\Vec{I\Omega}}{\Vec{IM}-\Vec{I\Omega}}=IM^2-I\Omega^2}$
|
Les deux tangentes à $\sc C$ issues de $A$
|
- Soit on sait que deux cercles $\sc C(\Omega,R)$ et $\sc C(I,R\sp{1.5}')$ se coupent en deux points si et seulement si : $\displaystyle{}|R-R\sp{1.5}'|<\Omega I < R+R\sp{1.5}'$Alors, sachant qu'on a ici $\,R\sp{1.5}'=\Omega I,\,$ cette condition est bien satisfaite du fait de l'hypothèse $\,\Omega A> R\sp{1.5},\,$ car :$\eqalign{&(\sp{1.5}R < \Omega A=2\sp{1.5}\Omega I=2\sp{1.5}R\sp{1.5}'\sp{1.5})\Imp R -R\sp{1.5}' < R\sp{1.5}'\\ &\txt{avec de plus :}R\sp{1.5}'-R < R\sp{1.5}'= \Omega I\sp{1.5},\txt{on a enfin :}\\ &\!\!|R-R\sp{1.5}'|\!=\!\max\sp{1.5}(R-R\sp{1.5}',R\sp{1.5}'-R)\! <\sp{-1.5} \Omega I\sp{-1.5}=\sp{-1.5}R\sp{1.5}'\! <\! R\sp{-1.5}+\sp{-1.5}R\sp{1.5}'}$
- Soit on utilise la paramétrisation du cercle $\sc C$ déja utilisé ci-dessus : $\,\theta\mapsto M(\theta)\sp{1.5}.\,$
Avec $\,\Omega A=d\sp{1.5},\,$ on recherche alors les réels $\,\theta\,$ tels que $\,\Vec{AM(\theta)}\!\perp\!\Vec{\Omega M(\theta)},\,$ ce qui s'écrit :
$\eqalign{\ps{\sp{-1.5}\Vec{AM(\theta)}\!}{\Vec{\Omega M(\theta)}\sp{-1.5}}&\!=\!(R\sp{1.5}\cos\theta-d)\sp{1.5}R\sp{1.5}\cos\theta\!+\!R^2\sp{1.5}\sin^2\theta\\[-.5ex]&=R\sp{1.5}(R-d\sp{1.5}\cos\theta)=0}$Pour $\,d > R\sp{1.5},\,$ cettePour tous réels $x$ et $y\sp{1.5},$ on a les équivalences suivantes :équation nous fournit exactement deux points $\,M(\theta)\,$ pour : $\,\theta\equiv\pm\op{Arccos}(R/d)\,[2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
- $\,\cos x\sp{1.5}=\sp{1.5}\cos y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\sin x\,=\,\sp{.75}\sin y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv\pi-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\tan x=\tan y\Ssi\!\ \sp{1.5}x\equiv y\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,x,\,y\non{\equiv}\smh{.7}{\dfrac\pi2}\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
Soient, dans un plan euclidien $P,$ deux cercles $\sc C$ et $\sc C\sp{1.5}',$ de centres respectifs $\Omega\app P$ et $\Omega\sp{1.5}'\app P,$ et de rayons respectifs $R >0$ et $R\sp{1.5}'>0.$
Déterminer, selon $\,d=\Omega\sp{1.5}\Omega\sp{1.5}',\,$ $R$ et $R\sp{1.5}',$ le nombre et la position éventuelle des points de $\sc C\cap\sc C\sp{1.5}'.$
cercle dans un plan euclidien
Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$ Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$
caractérisation d'un cercle dont un diamètre est fixé
Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un plan euclidien $P\sp{1.5}.$
L'ensemble des points $M\sp{-1.5}\app\sp{-1.5} P$ tels que $\,\Vec{AM}\perp\Vec{BM}\,$ est le cercle de diamètre $(A,B)\sp{1.5}.$ Il s'agit du cercle centré au milieu $I$ de $\sth{.7}(A,B)$ et de rayon $\,R=AB\sp{-1.5}/2\,.\,$
tangente à un cercle d'un plan euclidien
Soit, dans un plan euclidien $P,$ un point $M$ appartenant à un cercle $\sc C\sp{1.5}.$
$\,\sc C\,$ admet pour tangente au point $M$ la normale à $\Vec{\Omega M}$ issue de $M\sp{1.5}.$
équation d'un cercle dans un plan euclidien
Soit $P$ un plan euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\sp{1.5})\sp{1.5}.$
le cercle $\sc C$ de centre $\,\Omega(a,b)\,$ et de rayon $R\!>\!0$ est caractérisé par :
$\displaystyle{}M(x,y)\app\sc C\Ssi(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
indication
1
Lorsque $\,\Omega\neq\Omega\sp{1.5}',\,$ considérer un repère orthonormal d'origine $\,\Omega\sp{1.5},\,$ ayant $\,(\Omega\sp{1.5}\Omega\sp{1.5}')\,$ pour axe des abscisses.
indication
2
Dans le repère $\,(\Omega,\vec{\imath},\vec{\jmath}\,)\sp{1.5},\,$ écrire puis discuter le système formé des équations des cercles $\,\sc C\,$ et $\,\sc C'.\,$
figure
1
$\,\,R+R\sp{1.5}'< d\ \,$
figure
2
$\,\ d < |R-R\sp{1.5}'|\,$
figure
3
$\,\,R+R\sp{1.5}'= d\ \,$
figure
4
$\,\ d = |R-R\sp{1.5}'|\,$
figure
5
$\,\,|R-R\sp{1.5}'| < d < R+R\,$
réponse
L'intersection $\sc C\cap\sc C'$ contient exactement :
- tous les points de $\,\sc C=\sc C\sp{1.5}'\sp{1.5},\,$ si $\,d=0\,$ et $\,R=R\sp{1.5}':\,$ $\sc C$ et $\sc C'$ sont confondus ;
- aucun point, si $\,d < |R-R\sp{1.5}'|\,$ ou $\,R+R\sp{1.5}'< d:\,$ $\sc C$ et $\sc C'$ sont disjoints ;
- un seul point sur $(\Omega\sp{1.5}\Omega'),$ si $\,|R-R\sp{1.5}'|=d\,$ ou $\,d=R+R\sp{1.5}':\,$ $\sc C$ et $\sc C'$ sont tangents ;
- deux points distincts si $\,|R-R\sp{1.5}'| < d < R+R\sp{1.5}'\sp{1.5}:\,$ $\sc C$ et $\sc C'$ sont sécants ;
ces deux points sont alors disposés symétriquement par rapport à l'axe des centres $\sth{.75}(\Omega\sp{1.5}\Omega').$
correction
On considère l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien et la définition d'un
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$ Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
cercle.
Lorsque $\,\Omega=\Omega',\,$ on a alors : $\,\sc C\cap\sc C\sp{1.5}'=\vide\,$ si $\,R\neq R\sp{1.5}',\,$ et : $\,\sc C\cap\sc C'=\sc C=\sc C\sp{1.5}'\,$ si $\,R=R\sp{1.5}'.\,$
Sinon, on pose $\,\vec{\imath}=\Vec{\Omega\sp{1.5}\Omega'}/d\,$ que l'on
$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$
Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ toute famille orthonormale peut être complétée en une base orthonormale.
complète
en une base
Soit $\,\sc B=(\veci,\vecj)\,$ une base orthonormale d'un plan euclidien $P\sp{1.5}.$
Pour tous vecteurs $\,\vec u=x\sp{1.5}\veci+y\sp{1.5}\vecj\,$ et $\,\vec v=x'\sp{1.5}\veci+y'\sp{1.5}\vecj\,$ de $P\sp{1.5},$ on a :
orthonormale
$\,(\,\vec{\imath},\vec{\jmath}\,)\,$ de $P.$
On se place alors dans le
- $\,x=\ps{\veci}{\vec u}\,$ et $\,y=\ps{\vecj}{\vec u}\sp{1.5};\,$
- $\,\ps{\vec u}{\vec v}=x\sp{1.5}x'+y\sp{1.5}y'\,;\,$
- $\,\|\vec u\|=\smh{.5}{\sqrt{\smh{.2}{x^2+y^2}}\,.}\,$
Un repère d'un plan vectoriel réel $P, $ est un triplet $(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ formé :
repère
$\,(\Omega,\vec{\imath},\vec{\jmath}\,)\,$ où les cercles $\sc C$ et $\sc C'$ ont pour
- d'un point $O\app P\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
- d'une base $(\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ du plan vectoriel $P.$
Soit $P$ un plan euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\sp{1.5})\sp{1.5}.$
le cercle $\sc C$ de centre $\,\Omega(a,b)\,$ et de rayon $R\!>\!0$ est caractérisé par :
équations :
$\displaystyle{}M(x,y)\app\sc C\Ssi(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
$\displaystyle{}x^2+y^2=R^2\txt{et}(x-d)^2+y^2=R'^2$
Par
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
l'opération
élémentaire $\sc E_2\ot \sc E_2-\sc E_1,$ le système de ces équations équivaut à :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\displaystyle{}\Syst{x^2+y^2\ &=R^2\\[-.5ex]\,d^2-2\sp{1.5}d\sp{1.5}x&=R'^2-R^2} \txt{soit :}\!\Syst{\,y^2&=R^2-x^2\\[-.5ex]x&=(d^2+R^2-R'^2)/2\sp{1.5}d}$
Le nombre de points de $\sc C\cap\sc C'$ est donc exactement le nombre de réels $\,y\,$ tels que :
$\displaystyle{}4\sp{1.5}d^2y^2=4\sp{1.5}d^2\big(R^2-x^2\big)=\big(2\sp{1.5}d\sp{1.5}R\big)^2-\big(d^2+R^2-{R\sp{1.5}}'^{\sp{1.5}2}\big)^2$
On factorise cette
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
différence
de carrés, et on fait apparaître des
$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
carrés
dans chacun des facteurs obtenus :
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
$\eqalign{4\sp{1.5}d^2y^2&=\big(2\sp{1.5}d\sp{1.5}R-d^2-R^2+{R\sp{1.5}}'^{\sp{1.5}2}\big)\big(2\sp{1.5}d\sp{1.5}R+d^2+R^2-{R\sp{1.5}}'^{\sp{1.5}2}\big)\\
&=\big({R\sp{1.5}}'^{\sp{1.5}2}-(d-R)^2\big)\big((d+R)^2-{R\sp{1.5}}'^{\sp{1.5}2}\big)}$
Le nombre de solutions dépend donc du signe de ce produit, avec :
- aucune aucune solution si ce produit est strictement négatif ;
- une solution unique $\,y=0\,$ si ce produit est nul ;
- deux solutions $\,y\,$ opposées s'il est strictement positif.
$\displaystyle{}\sc C\cap\sc C'\neq\vide\Ssi|R-R\sp{1.5}'|\leq d\leq R+R\sp{1.5}'$
En définitive, on peut dire plus précisément que $\sc C\cap\sc C'$ contient exactement : - tous les points de $\,\sc C=\sc C\sp{1.5}'\,$ si $\,d=0\,$ et $\,R=R\sp{1.5}':\,$ $\sc C$ et $\sc C'$ sont confondus ;
- aucun point si $\,d < |R-R\sp{1.5}'|\,$ ou $\,R+R\sp{1.5}'< d:\,$ $\sc C$ et $\sc C'$ sont disjoints ;
- un point $\,I\app\,(\Omega\sp{1.5}\Omega')\,$ si $\,|R-R\sp{1.5}'|=d\,$ ou $\,d=R+R\sp{1.5}':\,$ $\sc C$ et $\sc C'$ sont tangents ;
- deux points distincts $I$ et $J$ si $\,|R-R\sp{1.5}'| < d < R+R\sp{1.5}'\sp{1.5}:\,$ $\sc C$ et $\sc C'$ sont sécants ; ces deux points sont alors disposés symétriquement par rapport à la droite $\sth{.75}(\Omega\sp{1.5}\Omega').$
On peut donc visualiser comme suit les cinq configurations principales du couple des cercles $\sc C$ et $\sc C':$
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$\,\,R+R\sp{1.5}'< d\ \,$
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$\,\ d < |R-R\sp{1.5}'|\,$
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$\,\,R+R\sp{1.5}'= d\ \,$
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$\,\ d = |R-R\sp{1.5}'|\,$
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$\,\,|R-R\sp{1.5}'| < d < R+R\,$
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