Sujet C.3.2 Distances et angles
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Exercice a
Soient, dans un plan euclidien $P,\sp{1.5}$ un triangle $(A,B,C)$ et
les milieux respectifs $A',B\sp{1.5}'$ et $C'$ de $(B,C),$ $(C,A)$ et $(A,B).$
Exprimer la distance $\,AA'\,$ en fonction des distances $AB\sp{1.5},$ $AC$ et $BC\sp{1.5}.$
En déduire que $\,AB=AC\,$ si et seulement si $\,BB\sp{1.5}'=CC'.\,$
projeté orthogonal d'un point sur une droite affine
Soit, dans un espace euclidien $E,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc D$ est le seul point $H$ tel que :
$\displaystyle{}H\app\sc D\txt{et}\Vec{MH}\perp\vec u$
angle de deux vecteurs dans un plan euclidien orienté
Soient $\,\vec u\neq\vecc0\,$ et $\,\vec v\neq\vecc0\,$ dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5}.$ Une mesure de l'angle orienté de $\vec u$ et $\vec v$ est un réel $\,\theta\,$ tel que :
$\displaystyle{}\cos\theta=\frac{\ps{\vec u}{\vec v}}{\big\|\vec u\big\|\|\vec v\|}\txt{et}\sin\theta=\frac{\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$
Ce réel est unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5},$ et on écrit : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
propriétés de l'angle orienté de deux vecteurs
Soient dans un plan euclidien orienté $P,$ $\,\vec u,\vec v,\vec w\,$ non nuls ; alors :
- $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec v,\vec w)\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec w)\ [2\sp{1.5}\pi]:\,$ relation de Chasles ;
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv0\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5};\,$
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont orthogonaux ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac{\pi}2\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
indication
Commencer par développer $\,\big\|\Vec{AB}\big\|^2+ \big\|\Vec{AC}\big\|^2\,$ à l'aide des vecteurs $\Vec{AA'}\sp{1.5},$ $\Vec{A'B}$ et $\Vec{A'C}\sp{1.5}.$
réponse
On obtient la formule : $\,\smb0{\smh0{AA'=\dfrac12\,\sqrt{\smh{.5}{2\sp{1.5}AB^2+2\sp{1.5}AC^2-BC^2}}}}\sp{1.5},\,$ et on en déduit bien que :
$\displaystyle{}AB=AC\Ssi BB\sp{1.5}'=CC'.$
correction
On utilise ici l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien ;
$\,A'\,$ étant le
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ deux points $\,A\,$ et $\,B\sp{1.5}.\,$
Le milieu du couple de points $(A,B)$ est le point :
milieu
de $(B,C)\sp{1.5},$ on a d'abord :
$\displaystyle{}m(A,B)={\dfrac12(A+B)=A+\dfrac12\,\Vec{AB}}$
$\displaystyle{}\Vec{A'B}=-\dfrac12\,\Vec{BC}\,\txt{et}\,\Vec{A'C}=-\Vec{A'B}$
Par relation de Chasles et
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a les identités suivantes :
identité
remarquable, on en déduit :
- $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2+2\sp{1.5}\ps uv\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt u,v\app E,\ \|u\|^2-\|v\|^2=\ps{u-v}{\sp{1.5}u+v}\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&\big\|\Vec{AB}\big\|^2+ \big\|\Vec{AC}\big\|^2\\=&\big\|\Vec{AA'}+ \Vec{A'B}\big\|^2+\big\|\Vec {AA'}+ \Vec{A'C}\big\|^2\\
=&2\big\|\Vec{AA'}\big\|^2\!+2\sp{1.5}\ps{\Vec{AA'}\sp{-1.5}}{\Vec{A'B}\!+\sp{-1.5}\Vec{A'C}}+\sp{-1.5}\big\|\Vec{A'B}\big\|^2\!+\sp{-1.5}\big\|\Vec{A'C}\big\|^2\!}$
Ceci nous donne la relation : $\,AB\sp{1.5}^2+AC^2=2\,AA'\sp{1.5}^2+\dfrac12\,BC^2,\,$ d'où finalement :
$\displaystyle{}AA'=\frac12\,\sqrt{2\sp{1.5}AB^2+2\sp{1.5}AC^2-BC^2}$
Cette relation $\,AB\sp{1.5}^2+AC^2=2\,AA'\sp{1.5}^2+\dfrac12\,BC^2\,$ est connue sous le nom de théorème de la médiane.
Par les permutations circulaires $\,(A,B,C)\!\ot\!(B,C,A)\,$ et $\,(A,B,C)\!\ot\!(C,A,B),\,$ on obtient aussi :
$\eqalign{BB'&=\frac12\,\sqrt{2\sp{1.5}BC^2+2\sp{1.5}BA^2-CA^2}\\ CC'&=\frac12\,\sqrt{2\sp{1.5}CA^2+2\sp{1.5}CB\sp{1.5}^2-AB\sp{1.5}^2}}$
L'égalité $\,BB\sp{1.5}'=CC'\,$ équivaut donc à : $\,2\sp{1.5}BA^2-CA^2=2\sp{1.5}CA^2-AB^2,\,$ d'où l'équivalence :
$\displaystyle{}AB=AC\Ssi BB\sp{1.5}'=CC'$
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Exercice b
\\(\def\v#1#2{\smh{0}{\sp{1.5}\Vec{\!#1#2\sp{-1.5}}}} \def\de#1#2{\big[#1\sp{-1.5},#2\sp{1.5}\big]}\\)
Dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5},$ on note $\de{\vec u}{\vec v}$ le produit mixte de $\smh0{\vec u}$ et $\smh0{\vec v},$ c'est-à-dire leur déterminant dans toute base orthonormale directe.
Étant donné un triangle $(A,B,C)$ de $P\sp{1.5},$ démontrer que pour $\,M\app P\sp{1.5},\,$ la somme suivante ne dépend pas du point $\,M:\,$
$\displaystyle{}s(M)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\de{\v AB}{\v AM}\!+\sp{-1.5}\de{\v BC}{\v BM}\!+\sp{-1.5}\de{\v CA}{\v CM}$
En déduire que la somme des distances de $M$
aux côtés d'un triangle équilatéral reste constante, tant que $M$ est à « l'intérieur » du triangle.
projeté orthogonal d'un point sur une droite affine
Soit, dans un espace euclidien $E,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc D$ est le seul point $H$ tel que :
$\displaystyle{}H\app\sc D\txt{et}\Vec{MH}\perp\vec u$
angle de deux vecteurs dans un plan euclidien orienté
Soient $\,\vec u\neq\vecc0\,$ et $\,\vec v\neq\vecc0\,$ dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5}.$ Une mesure de l'angle orienté de $\vec u$ et $\vec v$ est un réel $\,\theta\,$ tel que :
$\displaystyle{}\cos\theta=\frac{\ps{\vec u}{\vec v}}{\big\|\vec u\big\|\|\vec v\|}\txt{et}\sin\theta=\frac{\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$
Ce réel est unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5},$ et on écrit : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
propriétés de l'angle orienté de deux vecteurs
Soient dans un plan euclidien orienté $P,$ $\,\vec u,\vec v,\vec w\,$ non nuls ; alors :
- $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec v,\vec w)\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec w)\ [2\sp{1.5}\pi]:\,$ relation de Chasles ;
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv0\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5};\,$
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont orthogonaux ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac{\pi}2\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
indication
1
Utiliser la relation de Chasles et la bilinéarité du déterminant pour simplifier la somme $s(M)\sp{1.5}.$
indication
2
Montrer que pour tout point $M$ « intérieur » au triangle, les trois déterminants de la somme $s(M)$ sont de même signe.
figure
$H_1M+H_2M+H_3M=\smh{1.5}{\dfrac{AB\,\sqrt3}2}$
réponse
On obtient l'expression suivante de la somme $s(M):$ $\,\ptt M\app P,\ s(M)=\de{\v AB}{\v AC}.\,$
Soient $H_1M,$ $H_2M,$ $H_3M,$ les distances d'un point $M$ aux côtés d'un triangle équilatéral $(A,B,C)\sp{1.5}.$
Tant que ce point $M$ est « intérieur » au triangle, la somme de ces distances reste constante et vaut :
$\displaystyle{}H_1M+H_2M+H_3M=\smh{1.5}{\dfrac{AB\,\sqrt3}2}$
correction
On utilise ici l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soit $E$ un $\bb R\tiret$espace vectoriel de dimension finie.
On définit une orientation de $E$ en fixant une base de référence $\sc B_0:$
orienté
et son
- une base $\sc B$ de $E$ est directe ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)>0\,;\,$
- une base $\sc B$ de $E$ est indirecte ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)<0\sp{1.5}.\,$
Soient ${\vec u}$ et ${\vec v}$ deux vecteurs dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5};$ alors :
$\det_{\sc B}(\vec u,\vec v)$ reste invariant dans toute base $\sc B$ orthonormale directe.
C'est le produit mixte de $({\vec u},{\vec v})\sp{1.5},$ noté : $\,\det(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,$ ou $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big].\,$
produit mixte,
noté $\de{\vec u}{\vec v}.$
Par relation de Chasles et
Dans un plan euclidien orienté, le produit mixte a pour propriétés :
bilinéarité
du produit mixte, on décompose comme suit les deux premiers termes de la somme $s(M):$
- $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=\big\|\vec u\big\|\sp{1.5}\big\|\vec v\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$ pour $\,\alpha\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,[\sp{1.5}2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\de{\v AB}{\v AM}=\de{\v AB}{\v AC}+\de{\v AB}{\v CM}\\
\de{\v BC}{\v BM}=\de{\v BC}{\v BC}+\de{\v BC}{\v CM}}$
On a alors, d'une part : $\,\de{\v BC}{\v BC}=0\sp{1.5},\,$ ainsi que :
$\eqalign{&\de{\v AB}{\v CM}\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\de{\v BC}{\v CM}\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\de{\v CA}{\v CM}\\
&\!=\de{\v AB + \v BC +\v CA}{\v CM}\sp{-1.5}=\de{\v AA}{\v CM}\sp{-1.5}=0}$
Il ne reste plus qu'un seul terme dans $s(M),$ indépendant de $M:$
$\displaystyle{}\ptt M\app P,\ s(M)=\de{\v AB}{\v AC}$
On suppose maintenant que le triangle $(A,B,C)$ est équilatéral, avec : $\,AB=BC=CA > 0\sp{1.5}.\,$
La distance de $M$ à $(AB)$ est la distance de $M$ à son
Soit, dans un espace euclidien $E,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc D$ est le seul point $H$ tel que :
projeté
orthogonal $H_1\app(AB)\sp{1.5},$ tel que $\,\v {H_1}M\perp\v AB\sp{1.5}.\,$
Compte tenu du produit
$\displaystyle{}H\app\sc D\txt{et}\Vec{MH}\perp\vec u$
Dans un plan euclidien orienté, le produit mixte a pour propriétés :
mixte
de deux vecteurs colinéaires et de deux vecteurs orthogonaux, on a alors :
- $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=\big\|\vec u\big\|\sp{1.5}\big\|\vec v\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$ pour $\,\alpha\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,[\sp{1.5}2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\Big|\de{\v AB}{\v AM}\Big|&=\Big|\de{\v AB}{\v A{H_1\!}+\v {H_1}M}\Big|\\[-.5ex]
&=\Big|\de{\v AB}{\v {H_1}M}\Big|=AB\times H_1M}$
On a de même pour les projetés $H_2$ et $H_3$ de $M$ sur $(BC)$ et $(CA):$
$\eqalign{\Big|\de{\v BC}{\v BM}\Big|= BC\times H_2M=AB\times H_2M\\[-.5ex]
\Big|\de{\v CA}{\v CM}\Big|= CA\times H_3M=AB\times H_3M}$
Pour chaque sommet du triangle $(A,B,C),$ on considère le
Soient, dans un plan vectoriel réel $P$ muni d'une base $\sc B,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Les demi-plans délimités par la droite $\,\sc D\,$ sont les deux ensembles :
demi-plan
délimité par le côté opposé et contenant ce sommet.
« L'intérieur » du triangle $(A,B,C)$ est alors l'intersection de ces trois demi-plans,
caractérisés par :
$\eqalign{\sc P_+=\ens{M\app P}{\smh{1}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\geq0}\\
\sc P_-=\ens{M\app P}{\smh{0}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\leq0}}$
$\displaystyle{}\Syst{&\de{\v AB}{\v AM}\!\txt{du signe de}\!\de{\v AB}{\v AC}\\
&\de{\v BC}{\v BM}\!\txt{du signe de}\!\de{\v BC}{\v BA}\\
&\de{\v CA}{\v CM}\!\txt{du signe de}\!\de{\v CA}{\v CB}}$
Les trois termes de $s(M)$ sont alors de même signe car :
$\eqalign{\de{\v AB}{\v BC}&=\de{\v AB}{\,\v BA\!+\sp{-1.5} \v BC}= \de{\v BC}{\sp{1.5}\v BA}\\
&=\de{\v AC\!+\sp{-1.5}\v CB}{\,\v BC}=\de{\v CA}{\sp{1.5}\v CB}}$
Pour tout point $M$ « intérieur » au triangle, la
Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
somme
des valeurs absolues des termes de $s(M)$ est alors la valeur absolue de $s(M):$
$\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.
$\displaystyle{} AB\sp{1.5}\big(H_1M+H_2M+H_3M\big)=|s(M)|=\Big|\de{\v AB}{\v AC}\Big|$
Sachant que dans un triangle équilatéral, les
Soient, dans un espace préhilbertien réel, deux vecteurs $u\neq0$ et $v\neq0\sp{1.5}.$
La mesure de l'angle non orienté de
est l'unique réel $\,\smh0{\widehat{u,\sp{-1.5}v\sth0}}\sp{1.5}\app\,[0,\pi]\,$ tel que :
angles
non orientés ont pour mesure$\,\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\smb1{\dfrac\pi3}\sp{1.5},\,$ on obtient finalement :
$\displaystyle{}\cos\sp{1.5}\widehat{u,\sp{-1.5}v\sth0}=\ps {u_1}{v_1}\sp{1.5},\txt{pour} u_1=u/\|u\|\txt{et}v_1=v/\|v\|$
- $u$ et $v$ sont colinéaires ssi : $\,\smh0{\widehat{u,v\sth0}}\app\big\{0,\pi\big\}\sp{1.5};\,$
- $u$ et $v$ sont orthogonaux ssi : $\,\smh0{\widehat{u,v\sth0}}={\pi}\sp{-1.5}/2\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}H_1M+H_2M+H_3M=AB\sp{1.5}\sin\!\Big(\frac\pi3\Big)=\frac{AB\,\sqrt3}2$
Cette notion « d'intérieur » d'un triangle doit être distinguée de la notion d'intérieur d'un ensemble utilisée en topologie.
|
$H_1M+H_2M+H_3M=\smh{1.5}{\dfrac{AB\,\sqrt3}2}$
|
On peut interpréter très simplement ce résultat en décomposant le triangle $(A,B,C)$ en trois triangles $(A,B,M),$ $(B,C,M)$ et $(C,A,M)\sp{1.5}.$
Een admettant que lorsque $M$ est « intérieur » à $(A,B,C),$ leurs aires s'additionnent pour former
Soient, dans un plan euclidien $P\sp{1.5},$ trois points $A,B,C,$ et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)\sp{1.5}.$
Si $\sc B$ est une base orthonormale de $P\sp{1.5},$ l'aire délimitée par le triangle $(A,B,C)$ a pour mesure :
l'aire
$\,\sc A(A,B,C)\,$ du triangle $(A,B,C),$ on obtient :
$\displaystyle{}\sc A(A,B,C)=\frac12\smh1{\Big|\sp{-1.5}\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AB},\Vec{AC}\big)\Big|}=\frac{AB\times AH}2$
$\eqalign{&\sc A(A,B,M)+\sc A(B,C,M)+\sc A(C,A,M)=\sc A(A,B,C)\\
&\txt{d'où :}AB\sp{1.5}\big(H_1M+H_2M+H_3M\big)=\Big|\de{\v AB}{\v AC}\Big|}$
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Exercice c
Soient dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5},$ trois droites affines $\sc D,$ $\sc D\sp{1.5}',$ $\sc D\sp{1.5}''$ dirigées par des vecteurs unitaires $\vec u,$ $\vec v,$ $\vec w\sp{1.5}.$
On suppose que ces droites sont deux à deux sécantes en trois points distincts $A,$ $B,$ $C$ tels que :
$\displaystyle{}\sc D\cap \sc D\sp{1.5}'=\{A\}\sp{1.5},\ \ \sc D\sp{1.5}'\cap \sc D\sp{1.5}''=\{B\}\sp{1.5},\ \ \sc D\sp{1.5}''\cap \sc D=\{C\}$
Déterminer l'ensemble des points de $P$ équidistants des droites $\sc D$ et $\sc D\sp{1.5}'\sp{-1.5}.$
À l'aide d'une relation entre les angles $(\sp{1.5}\vec u,\vec u\pm\vec v\sp{1.5})$ et $(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\sp{1.5},$
déterminer le nombre des points équidistants des trois droites $\sc D,$ $\sc D\sp{1.5}'$ et $\sc D\sp{1.5}''\sp{-1.5}.$
projeté orthogonal d'un point sur une droite affine
Soit, dans un espace euclidien $E,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc D$ est le seul point $H$ tel que :
$\displaystyle{}H\app\sc D\txt{et}\Vec{MH}\perp\vec u$
angle de deux vecteurs dans un plan euclidien orienté
Soient $\,\vec u\neq\vecc0\,$ et $\,\vec v\neq\vecc0\,$ dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5}.$ Une mesure de l'angle orienté de $\vec u$ et $\vec v$ est un réel $\,\theta\,$ tel que :
$\displaystyle{}\cos\theta=\frac{\ps{\vec u}{\vec v}}{\big\|\vec u\big\|\|\vec v\|}\txt{et}\sin\theta=\frac{\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$
Ce réel est unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5},$ et on écrit : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
propriétés de l'angle orienté de deux vecteurs
Soient dans un plan euclidien orienté $P,$ $\,\vec u,\vec v,\vec w\,$ non nuls ; alors :
- $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec v,\vec w)\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec w)\ [2\sp{1.5}\pi]:\,$ relation de Chasles ;
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv0\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5};\,$
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont orthogonaux ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac{\pi}2\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
indication
1
Commencer par montrer que : $\,d(M,\sc D)=\big|\det(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\Vec{AM})\big|\,$ et $\,d(M,\sc D\sp{1.5}')=\big|\det(\sp{1.5}\vec v,\sp{1.5}\Vec{AM})\big|.\,$
indication
2
Établir d'abord que : $\,(\sp{1.5}\vec u\pm\vec v,\sp{1.5}\vec v\pm\vec w\sp{1.5})\equiv\smh{.5}{\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec w\sp{1.5})\ \Big[\dfrac{\pi}2\Big]}\!\cdot\,$
En déduire que chacune des droites $\,\sth1A\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\op{Vect}(\vec u\pm\vec v\sp{1.5})\,$ coupe chacune des droites $\,B\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\op{Vect}(\vec v\pm\vec w\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$
figure
1
$(\sc D,\sc D\sp{1.5}')\sp{-1.5}$ et ses bissectrices $\,d_1\,$ et $\,d_2\,$
figure
2
Les cercles inscrit et exinscrits de $(A,B,C)$
réponse
L'ensemble des points $M$ équidistants de $\sc D$ et $\sc D\sp{1.5}'$ est la réunion des deux droites orthogonales
$\,A+\op{Vect}(\vec u+\vec v\sp{1.5})\,$ et $\,A+\op{Vect}(\vec u-\vec v\sp{1.5})\,.\,$
On obtient la relation : $\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec u\pm\vec v\sp{1.5})\equiv\smh{1.5}{\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})\ \Big[\dfrac{\pi}2\Big]}\!\cdot\,$ On en déduit qu'il existe exactement quatre points $\,I,J,K,L\,$ équidistants des droites $\sc D,$ $\sc D\sp{1.5}'$ et $\sc D\sp{1.5}''.$
correction
On utilise ici l'interprétation
On a ainsi établi que : $\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec u\pm\vec v\sp{1.5})\equiv\smh{.5}{\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})\ \Big[\dfrac{\pi}2\Big]},\,$ de même que : $\,(\sp{1.5}\vec v,\sp{1.5}\vec v\pm\vec w\sp{1.5})\equiv\smh{.5}{\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec v,\sp{1.5}\vec w\sp{1.5})\ \Big[\dfrac{\pi}2\Big]}\!\cdot\,$
On considère alors deux autres droites : $\,\delta_1=B+\op{Vect}(\vec v+\vec w\sp{1.5})\,$ et $\,\delta_2=B+\op{Vect}(\vec v-\vec w\sp{1.5})\sp{1.5},\,$ de telle sorte que :
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan euclidien
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soit $E$ un $\bb R\tiret$espace vectoriel de dimension finie.
On définit une orientation de $E$ en fixant une base de référence $\sc B_0:$
orienté.
Pour $(\vec u,\vec v)\app P^2\sp{1.5},$ on note $\big[\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]$ leur
- une base $\sc B$ de $E$ est directe ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)>0\,;\,$
- une base $\sc B$ de $E$ est indirecte ssi $\,\det_{\sc B_0}(\sc B)<0\sp{1.5}.\,$
Soient ${\vec u}$ et ${\vec v}$ deux vecteurs dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5};$ alors :
$\det_{\sc B}(\vec u,\vec v)$ reste invariant dans toute base $\sc B$ orthonormale directe.
C'est le produit mixte de $({\vec u},{\vec v})\sp{1.5},$ noté : $\,\det(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,$ ou $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big].\,$
produit mixte,
c'est-à-dire leur déterminant dans toute base orthonormale directe.
Pour tout point $M\app P\sp{1.5},$ $\,H\,$ étant le
Soit, dans un espace euclidien $E,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc D$ est le seul point $H$ tel que :
projeté orthogonal
de $M$ sur la droite $\sc D,$ on a : $\,d(M,\sc D)=HM\sp{1.5}.\,$
Compte tenu du produit
$\displaystyle{}H\app\sc D\txt{et}\Vec{MH}\perp\vec u$
Dans un plan euclidien orienté, le produit mixte a pour propriétés :
mixte
de deux vecteurs
- $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=\big\|\vec u\big\|\sp{1.5}\big\|\vec v\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$ pour $\,\alpha\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,[\sp{1.5}2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Soient dans un plan euclidien orienté $P,$ $\,\vec u,\vec v,\vec w\,$ non nuls ; alors :
orthogonaux,
on obtient :
- $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec v,\vec w)\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec w)\ [2\sp{1.5}\pi]:\,$ relation de Chasles ;
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv0\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5};\,$
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont orthogonaux ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac{\pi}2\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\big[\sp{1.5}\vec u,\Vec{HM}\big]=\pm\,\|\vec u\|\,HM=\pm\,HM$
Par les
Dans un plan euclidien orienté, le produit mixte a pour propriétés :
propriétés
du produit mixte et sachant que : $\,\Vec{AH}\app\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5},\,$ on en déduit une expression de la distance de $M$ à $\sc D:$
- $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
- $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=\big\|\vec u\big\|\sp{1.5}\big\|\vec v\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$ pour $\,\alpha\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,[\sp{1.5}2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\Big|\sp{-1.5}\big[\sp{1.5}\vec u,\Vec{AM}\big]\sp{-1.5}\Big|&=\Big|\sp{-1.5}\big[\sp{1.5}\vec u,\Vec{AH}+\Vec{HM}\big]\sp{-1.5}\Big|\\[-.5ex]&=\Big|\sp{-1.5}\big[\sp{1.5}\vec u,\Vec{HM}\big]\sp{-1.5}\Big|=HM=d(M,\sc D)}$
Dans ces conditions, on peut caractériser l'ensemble des points équidistants de $\sc D$ et $\sc D\sp{1.5}'$ :
$\eqalign{d(M,\sc D)=d(M,\sc D\sp{1.5}')&\Ssi\big[\sp{1.5}\vec u,\Vec{AM}\big]=\pm\big[\sp{1.5}\vec v,\Vec{AM}\big]\\ &\Ssi\big[\sp{1.5}\vec u\mp\vec v,\sp{1.5}\Vec{AM}\big]=0}$
Par
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a les identités suivantes :
l'identité
remarquable : $\,\ps{\vec u+\vec v}{\sp{1.5}\vec u-\vec v}=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2=0\sp{1.5},\,$ on obtient : $\,(\vec u+\vec v)\perp(\vec u-\vec v)\sp{1.5}.\,$
Les deux
- $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2+2\sp{1.5}\ps uv\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt u,v\app E,\ \|u\|^2-\|v\|^2=\ps{u-v}{\sp{1.5}u+v}\sp{1.5}.\,$
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :
droites
affines
$\,d_1=A+\op{Vect}(\vec u+\vec v\sp{1.5})\,$ et $\,d_2=A+\op{Vect}(\vec u-\vec v\sp{1.5})\,$ sont donc
$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un espace préhilbertien réel $E\,.$
$A$ et $B$ sont orthogonales ssi $\,B\subset A^{\perp}\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que :
orthogonales,
et on a :
$\displaystyle{}A\perp B\Ssi\big(\ptt u\app A\sp{1.5},\ \ptt v\app B\sp{1.5},\ u\perp v\,\big)$
$\displaystyle{}\ens{M\app P}{d(M,\sc D)=d(M,\sc D\sp{1.5}')}=d_1\cup d_2$
On compare deux mesures d'angles orientés en les
Soient $\,\vec u\neq\vecc0\,$ et $\,\vec v\neq\vecc0\,$ dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5}.$ Une mesure de l'angle orienté de $\vec u$ et $\vec v$ est un réel $\,\theta\,$ tel que :
caractérisant
par leur produit scalaire et leur produit mixte :
$\displaystyle{}\cos\theta=\frac{\ps{\vec u}{\vec v}}{\big\|\vec u\big\|\|\vec v\|}\txt{et}\sin\theta=\frac{\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$
Ce réel est unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5},$ et on écrit : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\Syst{&\ps{\vec u}{\vec u+\vec v}=1+\ps{\vec u}{\vec v}=\ps{\vec u+\vec v}{\vec v}\\[-.5ex]
&\big[\sp{1.5}\vec u,\vec u+\vec v\sp{1.5}\big]=\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]=\big[\sp{1.5}\vec u+\vec v,\vec v\sp{1.5}\big]}$
Par égalité des cosinus et sinus, on obtient : $\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec u+\vec v\sp{1.5})\equiv(\sp{1.5}\vec u+\vec v,\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5},\,$ puis par relation de
Soient dans un plan euclidien orienté $P,$ $\,\vec u,\vec v,\vec w\,$ non nuls ; alors :
Chasles :
- $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec v,\vec w)\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec w)\ [2\sp{1.5}\pi]:\,$ relation de Chasles ;
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv0\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5};\,$
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont orthogonaux ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac{\pi}2\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec u\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\vec v\sp{1.5})\sp{-1.5}+\sp{-1.5}(\sp{1.5}\vec u\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\vec v,\vec v\sp{1.5})
\equiv2\sp{1.5}(\sp{1.5}\vec u,\vec u\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\vec v\sp{1.5})\ [2\sp{1.5}\pi]$
En
On peut multiplier les congruences modulo $\,T\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ par tout $\,\lambda\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0:\,$
divisant
cette relation par 2, on en déduit :
$\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec u+\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ et donc :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ \big(\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}]\Ssi \lambda\sp{.75}x\equiv \lambda\sp{.75}y\,[\sp{1.5}\lambda\sp{.75}T\sp{1.5}]\sp{1.5}\big)$
$\eqalign{(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec u-\vec v\sp{1.5})&\equiv(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec u+\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec u+\vec v,\sp{1.5}\vec u-\vec v\sp{1.5})\\ &\equiv\smh{.5}{\smb0{\dfrac{\pi}2+\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec u,-\vec v\sp{1.5})\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]}}}$
Compte tenu de ces relations angulaires, les droites $\,d_1\,$ et $\,d_2\,$ sont appelées les bissectrices du couple $(\sc D,\sc D\sp{1.5}'):$
|
$(\sc D,\sc D\sp{1.5}')\sp{-1.5}$ et ses bissectrices $\,d_1\,$ et $\,d_2\,$
|
$\displaystyle{}\ens{M\app P}{d(M,\sc D\sp{1.5}')=d(M,\sc D\sp{1.5}'')}=\delta_1\cup \delta_2$
Par
Pour un ensemble $E$ et $\,A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C\subset E\sp{1.5},\,$ on a alors :
distributivité
de l'intersection par rapport à l'union, l'ensemble des points équidistants des droites $\sc D,$ $\sc D\sp{1.5}'$ et $\sc D\sp{1.5}'' $ est donc :
$\eqalign{A\cup(B\cap C)&=(A\cup B)\cap(A\cup C)\\[-.5ex]
A\cap(B\cup C)&=(A\cap B)\cup(A\cap C)}$
$\displaystyle{}(\sp{1.5}d_1\cup d_2\sp{1.5})\cap(\sp{1.5}\delta_1\cup\delta_2\sp{1.5})={\union_{(i,j)\app\sp{1.5}\{1,2\}^2}(\sp{1.5}d_i\cap\delta_j\sp{1.5})}$
Soit $\vec x$ un vecteur directeur de $d_1$ ou $d_2\sp{1.5},$ et $\vec y$ un vecteur directeur de $\delta_1$ ou $\delta_2\sp{1.5};$ ils vérifient alors :
$\displaystyle{}(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec x\sp{1.5})\equiv\smh{.5}{\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})\ \Big[\dfrac{\pi}2\Big]} \txt{et} (\sp{1.5}\vec v,\sp{1.5}\vec y\sp{1.5})\equiv\smh{.5}{\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec v,\sp{1.5}\vec w\sp{1.5})\ \Big[\dfrac{\pi}2\Big]}$
Par relation de Chasles, on compare leur angle à celui des vecteurs $\vec u$ et $\vec w:$
$\eqalign{&(\sp{1.5}\vec x,\sp{1.5}\vec y\sp{1.5})&\equiv(\sp{1.5}\vec x,\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec v,\sp{1.5}\vec y\sp{1.5})\\&&
\equiv\smh{1.5}{\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})+\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec v,\sp{1.5}\vec w\sp{1.5})\equiv
\dfrac12\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec w\sp{1.5})\ \Big[\dfrac{\pi}2\Big]}}$
$\sc D$ et $\sc D\sp{1.5}''$ n'étant pas
Dans un plan vectoriel réel $P,$ deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont :
parallèles,
$\vec u$ et $\vec w$ sont non colinéaires,
- soit confondues, si $\,\sc D_1=\sc D_2\,;\,$
- soit strictement parallèles, si $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\vide\,;\,$
- soit sécantes, lorsqu'il existe $I\app P$ tel que : $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\{I\}\cdot\,$
Soient dans un plan euclidien orienté $P,$ $\,\vec u,\vec v,\vec w\,$ non nuls ; alors :
d'où :
$\,(\sp{1.5}\vec u,\sp{1.5}\vec w\sp{1.5})\non\equiv 0\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ et donc : $\,(\sp{1.5}\vec x,\sp{1.5}\vec y\sp{1.5})\non\equiv 0\ \Big[\dfrac{\pi}2\Big]\!\cdot\,$
$\vec x$ et $\vec y$ sont donc eux aussi non colinéaires, si bien que chacune des droites $d_1$ et $d_2$ coupe chacune des droites $\delta_1$ et $\delta_2\sp{1.5}.$ Il existe donc exactement quatre points $\,I,J,K,L\,$ équidistants des droites $\sc D,$ $\sc D\sp{1.5}'$ et $\sc D\sp{1.5}''.$
- $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec v,\vec w)\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec w)\ [2\sp{1.5}\pi]:\,$ relation de Chasles ;
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv0\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5};\,$
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont orthogonaux ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac{\pi}2\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Ces quatre points $\,I,J,K,L\,$ sont les centres de quatre cercles tangents aux droites $\sc D\sp{1.5},$ $\sc D\sp{1.5}'$ et $\sc D\sp{1.5}''.$Il s'agit du cercle inscrit et des trois cercles exinscrits du triangle $(A,B,C):$
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Les cercles inscrit et exinscrits de $(A,B,C)$
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