exercices de mathématiques - prépa et université

Par

Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$

• $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
• $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires, le déterminant $\Delta$ s'écrit : En

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

• suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
• ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développant ce déterminant selon sa dernière ligne, on obtient alors :

Selon l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

géométrique d'un plan vectoriel, on reconnait

Un repère d'un plan vectoriel réel $P, $  est un triplet $(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ formé :

• d'un point $O\app P\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
• d'une base $(\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ du plan vectoriel $P.$

Pour $(x,y)\app\bb R^2,$ $\,M=O+x\sp{1.5}\vec{\imath}+y\sp{1.5}\vec{\jmath}\,$ est le point de coordonnées $(x,y)\sp{1.5},$ noté $M(x,y)\sp{1.5}.$

Pour des points $M(x,y)$ et $N(x',y'),$ on a : $\,\smh{1}{\Vec{MN}}=(x'-x)\sp{1.5}\vec{\imath}+(y'-y)\sp{1.5}\vec{\jmath}\sp{1.5}.\,$

les coordonnées des vecteurs $\wec{M_1M_2}$ et $\wec{M_1M_3}\sp{1.5},$ si bien que : Il s'ensuit que $\,\Delta=0\,$ si et seulement si les vecteurs $\wec{M_1M_2}$ et $\wec{M_1M_3}$ ne forment pas une

Soit $\sc B$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de dimension $\,n\geq1\,.\,$

Alors, une famille $\,\sc U\app E^n\,$ est une base de $E$  ssi : $\,\det_{\sc B}(\sc U)\neq0\sp{1.5}.\,$

base du plan, c'est-à-dire qu'ils sont

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

• Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.

colinéaires.

• Si les points $M_1,$ $M_2,$ $M_3$ sont
  Dans un espace vectoriel réel $E:$

  • des points sont alignés  ssi  ils appartiennent à une même droite affine ;
  • trois points non alignés $A\sp{1.5},B\sp{1.5},C$ déteminent un plan affine unique :
    $\displaystyle{}(ABC)=A+\op{Vect}(\Vec{AB\!},\Vec{AC\!})$
  alignés c'est qu'il existe une
  Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

  La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

  $\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$
  droite affine $\sc D$ qui les contient tous :
  $\displaystyle{}M_1,M_2,M_3\app \sc D\sp{-1.5}=\sp{-1.5}A\sp{-1.5}+\!\op{Vect}(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}),\txt{pour}A\app P,\vec u\neq\vec 0\sp{1.5}$
  Dans ces conditions, on a bien $\,\Delta=0\,$ car $\wec{M_1M_2}$ et $\wec{M_1M_3}$ sont colinéaires, avec :
  $\displaystyle{}\wec{M_1M_k}=\wec{AM_k}-\wec{AM_1}\app\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5},\txt{pour}k\app\,\{2,3\}$
• Réciproquement, si $\,\Delta=0\sp{1.5},\,$ $\wec{M_1M_2}$ et $\wec{M_1M_3}$ sont colinéaires ; deux cas se présentent alors :
  • soit $\,M_1=M_2=M_3,\,$ et ce point unique appartient à toute les droites $M_1+\op{Vect}(\vec u),$ pour $\,\vec u\neq\vecc 0\sp{1.5};\,$
  • soit deux de ces points sont distincts ; si par exemple $\,M_1\neq M_2\sp{1.5},\,$ alors : $\,\wec{M_1M_3}\app\op{Vect}\!\big(\wec{M_1M_2}\sp{1.5}\big)\,$ et $M_3$ appartient à la droite $(M_1M_2)\sp{1.5}.$
  Dans chacun de ces cas, $M_1,$ $M_2$ et $M_3$ sont
  Dans un espace vectoriel réel $E:$

  • des points sont alignés  ssi  ils appartiennent à une même droite affine ;
  • trois points non alignés $A\sp{1.5},B\sp{1.5},C$ déteminent un plan affine unique :
    $\displaystyle{}(ABC)=A+\op{Vect}(\Vec{AB\!},\Vec{AC\!})$
  alignés.

On a finalement bien démontré que $\,\Delta=0\,$ si et seulement si les points $M_1,$ $M_2$ et $M_3$ sont alignés.

Notons $C_1,$ $C_2,$ $C_3$ les trois colonnes de la matrice : $\,M=\matc{\,a_1&b_1&c_1\\\,a_2&b_2&c_2\\\,a_3&b_3&c_3}\!\!\cdot\,$

Alors, le déterminant $\Delta$ de $M$ est nul si et seulement si $(C_1,C_2,C_3)$ n'est pas

Soit $\sc B$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de dimension $\,n\geq1\,.\,$

Alors, une famille $\,\sc U\app E^n\,$ est une base de $E$  ssi : $\,\det_{\sc B}(\sc U)\neq0\sp{1.5}.\,$

une base de $\bb R^3.$

On utilise ici l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

géométrique d'un plan vectoriel réel.

Les

Soit un plan vectoriel réel $P$ muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\sp{1.5})\sp{1.5}.$

Pour toute droite affine $\sc D,$ il existe $\,(a,b,c)\app\bb R^3,\,$ $\,(a,b)\neq(0,0)\sp{1.5},\,$ tel que :

$\displaystyle{}M(x,y)\app\sc D\Ssi a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y+c=0$

• La droite affine $\sc D$ est alors dirigée par : $\,\vec u=-b\sp{1.5}\veci+a\sp{1.5}\vecj\sp{1.5}.\,$
• Si $P$ est euclidien avec $(\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ orthonormale, $\sc D$ est normale à : $\,\vec n=a\sp{1.5}\veci+b\sp{1.5}\vecj\sp{1.5}.\,$

droites affines $\sc D_k$ sont dirigées par les vecteurs $\,\vec{u_k}=-b_k\,\veci+a_k\,\vecj\sp{1.5},\,$ qui sont non nuls et ont pour

Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :

• le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
• le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
  $\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$

rang :

Le rang d'une matrice étant

Le rang de $A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ de lignes $L_i$ et colonnes $C_j\sp{1.5},$  est à la fois :

• le nombre maximal des $C_j$ linéairement indépendantes
• et le nombre maximal des $L_i$ linéairement indépendantes :

$\displaystyle{}\op{rg}(A)=\op{rg}(C_1,\dots,C_p)=\op{rg}(L_1,\dots,L_n)$

Le rang est donc invariant par transposition : $\,\op{rg}(A^T)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$

invariant par transposition, on a aussi :

• Si on suppose $\,\Delta=0\sp{1.5},\,$ la famille $(C_1,C_2,C_3)$ de $\bb R^3$ n'est pas
  Soit $\sc B$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de dimension $\,n\geq1\,.\,$

  Alors, une famille $\,\sc U\app E^n\,$ est une base de $E$  ssi : $\,\det_{\sc B}(\sc U)\neq0\sp{1.5}.\,$
  libre, et on distingue deux cas :
  • Soit $(C_ 1,C_2)$ est
    Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

    $\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

    $\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

    Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

    • Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
    • Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
    libre et $\,C_3\app\op{Vect}(C_1,C_2),\,$ si bien qu'il existe un unique $(x,y)\app\bb R^2$ tel que :
    $\eqalign{&-C_3=x\sp{1.5}C_1+y\sp{1.5}C_2\sp{1.5},\txt{c'est-à-dire que :}\\&a_k\sp{1.5}x+b_k\sp{1.5}y+c_k=0\sp{1.5},\txt{pour}1\!\leq\!k\!\leq\!3}$
    Cela signifie que le point $M(x,y)\sp{1.5},$ vérifie les
    Soit un plan vectoriel réel $P$ muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\sp{1.5})\sp{1.5}.$

    Pour toute droite affine $\sc D,$ il existe $\,(a,b,c)\app\bb R^3,\,$ $\,(a,b)\neq(0,0)\sp{1.5},\,$ tel que :

    $\displaystyle{}M(x,y)\app\sc D\Ssi a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y+c=0$

    • La droite affine $\sc D$ est alors dirigée par : $\,\vec u=-b\sp{1.5}\veci+a\sp{1.5}\vecj\sp{1.5}.\,$
    • Si $P$ est euclidien avec $(\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ orthonormale, $\sc D$ est normale à : $\,\vec n=a\sp{1.5}\veci+b\sp{1.5}\vecj\sp{1.5}.\,$
    équations de $\sc D_1\sp{1.5},$ $\sc D_2$ et $\sc D_3\sp{1.5},$ et donc leur appartient : elles sont concourantes en $M\sp{1.5}.$

  • Soit $(C_ 1,C_2)$ est
    Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

    $\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

    $\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

    Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

    • Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
    • Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
    lié et $\,\op{rg}(C_1,C_2)=\op{rg}(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})\leq1\sp{1.5};\,$ les $\vec{u_k}$ sont donc non nuls et
    Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

    $u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

    • Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
    • en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.
    colinéaires :
    $\displaystyle{}\op{Vect}(\vec{u_1})=\op{Vect}(\vec{u_2})=\op{Vect}(\vec{u_3})\neq\{\sp{1.5}\vecc 0\sp{1.5}\}$
    En d'autre termes, les trois droites $\sc D_1,$ $\sc D_2$ et $\sc D_3$ ont même direction : elles sont deux à deux
    Soient deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$  d'un $\bb R\tiret$espace vectoriel dirigées par $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}\sp{-1.5}.$

    $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles  ssi  leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires :

    $\displaystyle{}\sc D_1\sp{1.5}/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\Ssi\op{Vect}\!\big(\vec{u_1}\!\big)=\op{Vect}\!\big(\vec{u_2}\!\big)$
    parallèles.
  On vient ainsi de montrer que si $\,\Delta=0\sp{1.5},\,$ alors $\sc D_1,$ $\sc D_2,$ $\sc D_3$  sont, soit concourantes, soit parallèles.

• Réciproquement, supposons que $\sc D_1,$ $\sc D_2,$ $\sc D_3$ sont, soit concourantes, soit parallèles :
  • Si les droites  $\sc D_1,$ $\sc D_2$ et $\sc D_3$ sont concourantes en un point $M(x,y)\sp{1.5},$ la famille $(C_1,C_2, C_3)$ est
    Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

    $\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

    $\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

    Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

    • Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
    • Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
    liée, car :
    $\eqalign{&a_k\sp{1.5}x+b_k\sp{1.5}y+c_k=0\sp{1.5},\txt{pour}1\!\leq\!k\!\leq\!3\\ &\!\!\sp{-1.5}\txt{c'est-à-dire que :}x\sp{1.5}C_1+y\sp{1.5}C_2+C_3=0}$

  • Si les droites  $\sc D_1,$ $\sc D_2$ et $\sc D_3$  sont parallèles, elles ont même direction et la famille $(C_1,C_2, C_3)$ est
    Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

    Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :

    • le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
    • le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
      $\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$
    liée, car :
    $\eqalign{&\op{rg}(C_1,C_2)=\op{rg}(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})\leq 1\\ \txt{et donc :}&\op{rg}(C_1,C_2, C_3)\leq\op{rg}(C_1,C_2) +1 < 3}$
  Dans chacun de ces cas, la famille $(C_1,C_2, C_3)$ étant liée, son déterminant est
  Soit $\sc B$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de dimension $\,n\geq1\,.\,$

  Alors, une famille $\,\sc U\app E^n\,$ est une base de $E$  ssi : $\,\det_{\sc B}(\sc U)\neq0\sp{1.5}.\,$
  nul : $\,\Delta=0\sp{1.5}.\,$

On a bien démontré que $\,\Delta=0\,$ si et seulement si $\sc D_1,$ $\sc D_2,$ $\sc D_3$  sont, soit concourantes en un point unique, soit deux à deux parallèles.

On utilise ici l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

La distance entre deux points $A$ et $B$  est  le nombre positif : $\,AB=\|\smh0{\Vec{AB}}\|\sp{1.5}.\,$

géométrique d'un plan euclidien ; par relation de Chasles et bilinéarité du

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

produit scalaire, on obtient :

Avec $\,\smh1{\ps{\v CA}{\v AB}=\ps{\v AB}{\v CA}=-\ps{\v BA}{\v CA}}\,\,$ et $\,\,\smh1{\v BC\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\v CA\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\v AB=\v 0{}}\sp{1.5},\,$ on en déduit que :

Les points $A,B$ et $C$ etant deux à deux

Soient deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Il existe une et une seule droite affine, notée $(AB),$ telle que $\,A\app\sp{1.5}(AB)\!\txt{et}\!B\app\sp{1.5}(AB):\,$

$\displaystyle{}(AB)=A+\op{Vect}(\Vec{AB})=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\Vec{AB}}{\lambda\app\bb R}$

distincts et non

Dans un espace vectoriel réel $E:$

• des points sont alignés  ssi  ils appartiennent à une même droite affine ;
• trois points non alignés $A\sp{1.5},B\sp{1.5},C$ déteminent un plan affine unique :
  $\displaystyle{}(ABC)=A+\op{Vect}(\Vec{AB\!},\Vec{AC\!})$

alignés, on a $\,(BC)\neq(CA)\sp{1.5},\,$ et donc :

Les hauteurs $h_A$ et $h_B\sp{1.5},$

Soit, dans un plan euclidien $P,$ un point $A$ et un vecteur $\,\vec n\neq\vecc0\sp{1.5}.\,$

La normale au vecteur $\vec n$ issue du point $A$  est  la droite affine :

$\displaystyle{}A+\op{Vect}(\vec n)^{\perp}=\ens{M\app P}{{\Vec{AM}}\perp \vec n}$

normales à $\,\v BC\!\,$ et $\,\v CA\!,\,$ sont alors non

Soient deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$  d'un $\bb R\tiret$espace vectoriel dirigées par $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}\sp{-1.5}.$

$\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles  ssi  leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires :

$\displaystyle{}\sc D_1\sp{1.5}/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\Ssi\op{Vect}\!\big(\vec{u_1}\!\big)=\op{Vect}\!\big(\vec{u_2}\!\big)$

parallèles, et donc

Dans un plan vectoriel réel $P,$ deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont :

• soit confondues, si $\,\sc D_1=\sc D_2\,;\,$
• soit strictement parallèles, si $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\vide\,;\,$
• soit sécantes, lorsqu'il existe $I\app P$ tel que : $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\{I\}\cdot\,$

Dans les deux premiers cas, $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles : $\,\sc D_1/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\sp{1.5}.\,$

sécantes en un point $H$ unique.

En appliquant en $\,M=H\,$ la relation établie initialement, on obtient :

c'est-à-dire que :  $\,H\app \sp{1.5}(h_A\cap h_B)\Imp H\app h_C\,;\,$  on en conclut que les trois hauteurs sont concourantes au point $H\sp{1.5}.$

Si $A',$ $B',$ $C'$ sont les

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ deux points $\,A\,$ et $\,B\sp{1.5}.\,$

Le milieu du couple de points $(A,B)$  est  le point :

$\displaystyle{}m(A,B)={\dfrac12(A+B)=A+\dfrac12\,\Vec{AB}}$

milieux de $(B,C),$ $(C,A),$ $(A,B)\sp{1.5},$ les

Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un plan euclidien $P\sp{1.5}.$

La médiatrice de $(A,B)$  est  la normale à $\smh0{\Vec{AB}}$ issue du milieu de $(A,B)\sp{1.5}.$

Cette médiatrice est l'ensemble des points $M\app P$ tels que : $\,AM=BM\sp{1.5}.\,$

médiatrices de $(A,B,C)$ sont par définition les hauteurs du triangle $(A',B\sp{1.5}',C')\sp{1.5}.$

À ce titre, ces droites $\,m_{B,C}\sp{1.5},\,$ $\,m_{C,A}\,\,$ $\,m_{A,B}\,$ sont à leur tour concourantes en un point $\,\Omega\,$ unique.

Les hauteurs et médiatrices de $(A,B,C)$