Sujet B.3.6 Produits par blocs
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Exercice a
Pour $\,n,p,q\app \bb{N}^{\ast}\,$ tels que $\,n=p+q\sp{1.5}\,$ soient
$\,A\app \op{GL}_p(\bb{R}),\,$ $\,B\app \sc{M}_{p,q}(\bb{R}),\,$ $\,D\app \op{GL}_q(\bb{R})\,$ et $\,M=\matr{A&B\\0&D}\!\cdot\,$
Montrer que cette matrice $M$ définie par blocs est inversible et calculer son inverse.
produit par blocs
Soient $A$ et $B$ deux matrices décomposées en blocs $\,A_{i,k}\,$ et $\,B_{k,j}\sp{1.5}.\,$
Si les formats de ces blocs sont compatibles avec les produits $\,A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}\sp{1.5},\,$ alors :
- le produit $\,C=A\sp{1.5}B\,$ se décompose en blocs $C_{i,j}\,,$
- et chaque $C_{i,j}$ est la somme des produits $A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}$ correspondants.
propriétés du produit matriciel
Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
- $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$ le produit matriciel est associatif ;
- $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$ le produit matriciel est bilinéaire.
caractérisation de l'inverse d'une matrice
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
indication
Déterminer la matrice $\,M'=\matr{A'\!&B\sp{1.5}'\\ C'\!&D\sp{1.5}'},\,$ de même format que $M,$ et telle que : $\,M\sp{1.5}M'=I_n\sp{1.5}.\,$
réponse
La matrice $M$ est bien inversible, avec :
$\,M^{-1}=\matc{A^{-1}\sp{-12}&-A^{-1}\sp{-1.5}B\sp{.75}D^{-1}\\0&\ \ D^{-1}}\!\cdot\,$
correction
Considérons une matrice $\,M'\app \sc{M}_n(\bb{R})\sp{1.5},\,$ décomposée en blocs de formats identiques à ceux de $M:$
$\displaystyle{}M'=\matr{A'\!&B'\\ C'\!&D'}$
Par caractérisation unilatérale de
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
l'inverse
d'une matrice, on cherche $\,A',\,B\sp{1.5}',\,C',\,D\sp{1.5}'\,$ telles que $\,M\sp{1.5}M'=I_n\,.\,$
Avec un produit
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
Soient $A$ et $B$ deux matrices décomposées en blocs $\,A_{i,k}\,$ et $\,B_{k,j}\sp{1.5}.\,$
Si les formats de ces blocs sont compatibles avec les produits $\,A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}\sp{1.5},\,$ alors :
par blocs,
cette relation s'écrit :
- le produit $\,C=A\sp{1.5}B\,$ se décompose en blocs $C_{i,j}\,,$
- et chaque $C_{i,j}$ est la somme des produits $A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}$ correspondants.
$\eqalign{M\sp{1.5}M'&=\matr{A&B\\0&D}\matr{A'\!&B\sp{1.5}'\\ C'\!&D\sp{1.5}'}\\&= \matc{A\sp{.75}A'+B\sp{1.5}C'&A\sp{.75}B\sp{1.5}'+B\sp{.75}D\sp{1.5}'\!\\DC'\!&DD\sp{1.5}'}= \matr{I_p&0\\0&I_q}}$
Si on suppose que $\,M\sp{1.5}M'=I_n\,,\,$ $A$ et $D$ étant
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
inversibles,
on obtient par
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
propriétés
du produit matriciel :
- $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$ le produit matriciel est associatif ;
- $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$ le produit matriciel est bilinéaire.
$\eqalign{\txt{ d'abord :}&\Syst{&C'=D^{-1}\,0\,=\,0\\[-.5ex]&D\sp{1.5}'=D^{-1}I_q=D^{-1}}\\[.5ex]
\txt{et ensuite :}&\Syst{&A'=A^{-1}(I_p-B\sp{1.5}C')=A^{-1}\\[-.5ex]&B\sp{1.5}'=A^{-1}(-B\sp{.75}D\sp{1.5}')=-A^{-1}\sp{-1.5}B\sp{.75}D^{-1}}}$
Réciproquement, on vérifie qu'avec ces valeurs de $\,A',\,B\sp{1.5}',\sp{1.5}C'\sp{1.5},\sp{1.5}D\sp{1.5}'\,$ on a bien :
$\displaystyle{}M\sp{1.5}M'=\matr{A&B\\0&D}\matc{A^{-1}\sp{-12}&-A^{-1}\sp{-1.5}B\sp{.75}D^{-1}\\0&\ \ D^{-1}}=\matr{I_p&0\\0&I_q}$
On a ainsi démontré que $M$ est
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
inversible,
avec :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
$\displaystyle{}M^{-1}=\matc{A^{-1}\sp{-12}&-A^{-1}\sp{-1.5}B\sp{.75}D^{-1}\\0&\ \ D^{-1}}$
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Exercice b
Pour $n,p,q\app \bb{N}^{\ast}$ tels que $\,n=p+q\sp{1.5}\,$ soient
$\,A\app \sc{M}_{p,q}(\bb{R}),\,$ $\,B\app \op{GL}_p(\bb{R}),\,$ $\,C\app \op{GL}_q(\bb{R})\,$ et
$\,M=\matr{A&B\\ C&0}\!\cdot\,$
Montrer que cette matrice $M$ définie par blocs est inversible et calculer son inverse.
produit par blocs
Soient $A$ et $B$ deux matrices décomposées en blocs $\,A_{i,k}\,$ et $\,B_{k,j}\sp{1.5}.\,$
Si les formats de ces blocs sont compatibles avec les produits $\,A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}\sp{1.5},\,$ alors :
- le produit $\,C=A\sp{1.5}B\,$ se décompose en blocs $C_{i,j}\,,$
- et chaque $C_{i,j}$ est la somme des produits $A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}$ correspondants.
propriétés du produit matriciel
Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
- $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$ le produit matriciel est associatif ;
- $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$ le produit matriciel est bilinéaire.
caractérisation de l'inverse d'une matrice
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
indication
Déterminer la matrice $\,M'=\matr{A'\!&B\sp{1.5}'\\ C'\!&D\sp{1.5}'},\,$ par blocs de même format que dans la transposée de $M,$ et telle que : $\,M\sp{1.5}M'=I_n\,.\,$
réponse
La matrice $M$ est bien inversible, avec :
$\,M^{-1}=\matc{\,0&\ C^{-1}\\ B^{-1}\sp{-9}&-B^{-1}\sp{-1.5}A\sp{1.5}C^{-1}\!}\!\cdot\,$
correction
Considérons une matrice $\,M'\app \sc{M}_n(\bb{R})\sp{1.5},\,$ décomposée en blocs de formats symétriques de ceux de $M:$
$\displaystyle{}M'=\matr{A'\!&B\sp{1.5}'\\ C'\!&D\sp{1.5}'}$
En d'autres termes : $\,A'\app \sc{M}_{q,p}(\bb{R}),\,$ $\,B\sp{1.5}'\app \sc{M}_q(\bb{R}),\,$ $\,C'\app \sc{M}_p(\bb{R})\,$ et $\,D\sp{1.5}'\app \sc{M}_{p,q}(\bb{R}),\,$ comme dans la
La transposée de $\,A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ est $\,A^T\app\sc M_{p,n}(\bb K)\,$ telle que :
transposée
$M^{\sp{1.5}T}\!.$
Par caractérisation unilatérale de
$\eqalign{&A=\smb{1}{[\sp{1.5}a_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} i\sp{1.5}\leq\sp{1.5} n}{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} j\sp{1.5}\leq\sp{1.5} p}}\txt{et}A^T=\smb1{[\sp{1.5}b_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} i\sp{1.5}\leq\sp{1.5} p}{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} j\sp{1.5}\leq\sp{1.5} n}}\\
&\!\!\txt{avec :}\ptt (i,j)\app\,[\![1,p]\!]\!\times\![\![1,n]\!],\ b_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}}$
- $A\mapsto A^T$ est un isomorphisme entre $\sc M_{n,p}(\bb K)$ et $\sc M_{p,n}(\bb K)\sp{1.5}.$
- On a de plus : $\,\ptt A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},\ (A^T)^T=A\sp{1.5}.\,$
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
l'inverse
d'une matrice, on cherche $\,A',\,B\sp{1.5}',\,C',\,D\sp{1.5}'\,$ telles que $\,M\sp{1.5}M'=I_n\,.\,$
Avec un produit
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
Soient $A$ et $B$ deux matrices décomposées en blocs $\,A_{i,k}\,$ et $\,B_{k,j}\sp{1.5}.\,$
Si les formats de ces blocs sont compatibles avec les produits $\,A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}\sp{1.5},\,$ alors :
par blocs,
cette relation s'écrit :
- le produit $\,C=A\sp{1.5}B\,$ se décompose en blocs $C_{i,j}\,,$
- et chaque $C_{i,j}$ est la somme des produits $A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}$ correspondants.
$\eqalign{M\sp{1.5}M'&=\matr{A&B\\ C&0}\matr{A'\!&B\sp{1.5}'\\ C'\!&D\sp{1.5}'}\\&= \matc{AA'+B\sp{1.5}C'&A\sp{.75}B\sp{1.5}'+B\sp{.75}D\sp{1.5}'\!\\ CA'\!&CB\sp{1.5}'}=\matr{I_p&0\\0&I_q}}$
Si on suppose que $\,M\sp{1.5}M'=I_n\,,\,$ $B$ et $C$ étant
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
inversibles,
on obtient par
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
propriétés
du produit matriciel :
- $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$ le produit matriciel est associatif ;
- $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$ le produit matriciel est bilinéaire.
$\eqalign{\txt{ d'abord :}&\Syst{&A'=C^{-1}\,0\,=\,0\\[-.5ex]&B\sp{1.5}'=C^{-1}I_q=C^{-1}}\\[.5ex]
\txt{et ensuite :}&\Syst{&C'=B^{-1}(I_p-AA'\sp{1.5})=B^{-1}\\[-.5ex]&D\sp{1.5}'=B^{-1}(-A\sp{.75}B\sp{1.5}')=-B^{-1}\sp{-1.5}A\sp{1.5}C^{-1}}}$
Réciproquement, on vérifie qu'avec ces valeurs de $\,A',\,B\sp{1.5}',\sp{1.5}C'\sp{1.5},\sp{1.5}D\sp{1.5}'\,$ on a bien :
$\displaystyle{}M\sp{1.5}M'=\matr{A&B\\ C&0}\matc{\,0&\ C^{-1}\\ B^{-1}\sp{-9}&-B^{-1}\sp{-1.5}A\sp{1.5}C^{-1}\!}=\matr{I_p&0\\0&I_q}$
On a ainsi démontré que $M$ est
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
inversible,
avec :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
$\displaystyle{} M^{-1}=\matc{\,0&\ C^{-1}\\ B^{-1}\sp{-9}&-B^{-1}\sp{-1.5}A\sp{1.5}C^{-1}\!}$
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Exercice c
Pour $n,p,q\app \bb{N}^{\ast}$ tels que $n=p+q,$ soient
$\,B\app \sc{M}_{p,q}(\bb{R}),\,$ $\,C\app \sc{M}_{q,p}(\bb{R})\,$ et
$\,M=\matr{0&B\\ C&0}\!\cdot\,$
Déterminer, pour tout $\,k\app \bb{N}\sp{1.5},\,$ des expressions définies par blocs des matrices $\,M^k\sp{1.5}.\,$
produit par blocs
Soient $A$ et $B$ deux matrices décomposées en blocs $\,A_{i,k}\,$ et $\,B_{k,j}\sp{1.5}.\,$
Si les formats de ces blocs sont compatibles avec les produits $\,A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}\sp{1.5},\,$ alors :
- le produit $\,C=A\sp{1.5}B\,$ se décompose en blocs $C_{i,j}\,,$
- et chaque $C_{i,j}$ est la somme des produits $A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}$ correspondants.
propriétés du produit matriciel
Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
- $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$ le produit matriciel est associatif ;
- $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$ le produit matriciel est bilinéaire.
caractérisation de l'inverse d'une matrice
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
indication
1
Poser $\,M^k=\matr{A_k&\!B_k\\ C_k&\!D_k}\,$ et établir une relation de récurrence entre ces matrices.
indication
2
Distinguer les matrices $\,M^k,\,$ selon que $\,k\,$ est pair ou impair.
réponse
On obtient, pour tout $\,h\app\bb N\sp{1.5},\,$ les matrices :
$\displaystyle{}M^{2h}\!=\matc{(BC)^h\!\!\!&0\,\,\,\,\\\,\,0&\!\!\!(CB)^h}\txt{et}M^{2h+1}\!=\matc{\,\,0&\!\!\!(BC)^hB\\ (CB)^hC\!\!\!&0\,\,\,\,}$
correction
Considérons une décomposition de chaque $M^k$ en blocs de formats identiques à ceux de $M:$
$\displaystyle{}M^k=\left(\begin{array}{rr}A_k&\!B_k\\ C_k&\!D_k\end{array}\right)$
Par un produit
Soient $A$ et $B$ deux matrices décomposées en blocs $\,A_{i,k}\,$ et $\,B_{k,j}\sp{1.5}.\,$
Si les formats de ces blocs sont compatibles avec les produits $\,A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}\sp{1.5},\,$ alors :
par blocs,
$M^{k+1}$ se déduit de $M^k:$
- le produit $\,C=A\sp{1.5}B\,$ se décompose en blocs $C_{i,j}\,,$
- et chaque $C_{i,j}$ est la somme des produits $A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}$ correspondants.
$\eqalign{M^{k+1}&=\matr{A_{k+1}\!&B_{k+1}\\ C_{k+1}\!&D_{k+1}}\\&=\matc{A_k&B_k\\ C_k&D_k}\matc{0&B\\ C&0}=\matr{B_k\sp{1.5}C&\!A_k\sp{1.5}B\\ D_k\sp{1.5}C&\!C_k\sp{1.5}B}}$
En appliquant deux fois cette relation de récurrence, on obtient par
Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
associativité
du produit matriciel : - $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$ le produit matriciel est associatif ;
- $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$ le produit matriciel est bilinéaire.
$\displaystyle{}\Syst{A_{k+2}&=B_{k+1}C=(A_k\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A_k\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)\\
B_{k+2}&=A_{k+1}B=(B_k\sp{1.5}C)B=B_k\sp{1.5}(CB)\\ C_{k+2}&=D_{k+1}C=(C_k\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=C_k\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)\\ D_{k+2}&=C_{k+1}B=(D_k\sp{1.5}C)\sp{1.5}B=D_k\sp{1.5}(CB)}$
Avec $A_0=I_p,\,B_0=0,\,C_0=0,\,D_0=I_q,$ on en déduit, par
Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :
récurrence
sur $h\app\bb N\sp{1.5},$ que pour tout $k=2\sp{.75}h:$ - $P(n_0)$ soit vraie,
- et $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$
$\displaystyle{}A_{2\sp{.75}h}=(BC)^h,\,B_{2\sp{.75}h}=0,\,C_{2\sp{.75}h}=0,\,D_{2\sp{.75}h}=(CB)^h$
$\eqalign{ \txt{d'où :}M^{2h}\ \ &=\matc{(BC)^h\!\!\!&0\,\,\,\,\\\,\,0&\!\!\!(CB)^h}\\ \txt{et :}M^{2h+1}&=\matc{(BC)^h\!\!\!&0\,\,\,\,\\\,\,0&\!\!\!(CB)^h}\matr{0&B\,\\ C&0\,}\\&=\matc{\,\,0&\!\!\!(BC)^hB\sp{1.5}\\ (CB)^hC\!\!\!&0\,\,\,\,\sp{1.5}}}$
En effectuant les produits par $M$ à gauche et non à droite, on obtient les formules équivalentes :
$\displaystyle{}M^{2h}=\matc{(BC)^h\!\!\!&0\,\,\,\,\\\,\,0&\!\!\!(CB)^h} \txt{et}M^{2h+1}=\matc{\,\,0&\!\!\!B(CB)^h\sp{1.5}\\ C(BC)^h\!\!\!&0\,\,\,\,\sp{1.5}}$