Sujet B.3.5 Polynôme annulateur et puissance
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Exercice a
\\(\OPEL\\)Soient $\,n\app \bb{N}^{\ast}\,$ et $\,A\app \sc{M}_n(\bb{R}),\,$ telle que : $\,A^2=2\sp{1.5}A+3I_n\sp{1.5}.\,$
Pour $k\app \bb{N}\sp{1.5},$ écrire $A^k$ comme une combinaison linéaire de $A$ et $I_n\sp{1.5}.$
polynôme annulateur d'une matrice carrée
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
division euclidienne dans $\bb K[X]$
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
indication
Calculer le reste de la division euclidienne de $\,X^k\,$ par $\,X^2-2\,X-3\sp{1.5}.\,$
réponse
Les puissances de $A$ s'expriment, pour tout $\, k\app\bb N\sp{1.5},\,$ par :
$\displaystyle{}A^k=\frac{3^k-(-1)^k}4\,A+\frac{3^k+3\sp{1.5}(-1)^k}4\sp{1.5}I_n$
correction
Avec $\,A^2-2\sp{1.5}A-3I_n=0\sp{1.5},\,$ le polynôme $\,X^2-2X-3\,$ est un polynôme
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
annulateur
de $A\sp{1.5}.$
Considérons alors, pour $\,k\app \bb{N}\sp{1.5},\,$ la
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
division
euclidienne de $\,X^k\,$ par $\,X^2-2X-3\,$ dans $\,\bb R[X]\!:\,$
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}X^k=(X^2-2\,X-3)\sp{1.5}Q+R_k\,,\txt{où}R_k=a_kX+b_k$
Le diviseur admet $\,-1\,$ comme
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racine
évidente ; on peut donc le factoriser facilement : $\displaystyle{}X^2-2X-3=(X+1)(X-3)$
En spécifiant $\,X\,$ en $\,-1\,$ et $\,3\,$ dans la relation de division euclidienne,
on obtient un
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire $(\sc E)$ d'inconnues $\,a_k\,$ et $\,b_k:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
$\displaystyle{}(\sc E)\,:\, \Syst{\smh0{(-1)^k}&=-a_k+b_k\\3^k\ \ &=\,3\sp{1.5}a_k+b_k}$
On détermine les solutions de ce système par la double
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opération
$\,(\sc E_1,\,\sc E_2)\leftarrow(-\sc E_1+\sc E_2,\,3\,\sc E_1+\sc E_2)\sp{-1.5}:\,$
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\displaystyle{}\Syst{\smh0{(-1)^k}&=-a_k+b_k\\3^k\ \ &=\,3\sp{1.5}a_k+b_k}\Imp\Syst{\,4\sp{.75}a_k&=\smh0{3^k-(-1)^k}\\ 4\sp{1.5}b_k&=3^k+3\sp{1.5}(-1)^k}$
Lorsqu'on applique ainsi simultanément plusieurs opérations à un système, la réciproque n'est pas garantie a priori.
Réciproquement, l'existence et l'unicité de $\,R_k=a_kX+b_k\,$ étant assurées, ces valeurs correspondent nécessairement au reste :
$\displaystyle{}R_k=\smb0{\frac{3^k-(-1)^k}4\,X+\frac{3^k+3\sp{1.5}(-1)^k}4}$
En
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
substituant
$A$ à $X$ dans la relation de division euclidienne, on obtient finalement :
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}A^k=\frac{3^k-(-1)^k}4\,A+\frac{3^k+3\sp{1.5}(-1)^k}4\sp{1.5}I_n$
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Exercice b
\\(\OPEL\\)Soient $\,n\app \bb{N}^{\ast}\,$ et $\,A\app \sc{M}_n(\bb{R}),\,$ telle que : $\,A^2+A+I_n=0\sp{1.5}.\,$
Pour $k\app \bb{N}\sp{1.5},$ écrire $A^k$ comme une combinaison linéaire de $A$ et $I_n\sp{1.5}.$
polynôme annulateur d'une matrice carrée
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
division euclidienne dans $\bb K[X]$
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
indication
1
Calculer le reste de la division euclidienne de $\,X^k\,$ par $\,X^2+X+1\sp{1.5}.\,$
indication
2
Distinguer trois cas selon le reste de la division de $\,k\,$ par $\,3\sp{1.5}.\,$
réponse
Pour les puissances de $A\sp{1.5},$ on obtient une suite $\,(A^k)_{k\app\bb N}\,$ de période $\,3\sp{1.5},\,$ avec pour tout $\,q\app \bb{N}:\,$
$\displaystyle{}A^{3\sp{.75}q}=I_n\,,\ \,A^{3\sp{.75}q+1}=A\,\txt{et}\,A^{3\sp{.75}q+2}=-A-I_n$
correction
Avec $\,A^2+A+I_n=0\sp{1.5},\,$ le polynôme $\,X^2+X+1\,$ est un polynôme
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
annulateur
de $A\sp{1.5}.$
Considérons alors, pour $\,k\app \bb{N}\sp{1.5},\,$ la
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
division
euclidienne de $X^k$ par $\,X^2+X+1\,$ dans $\,\bb R[X]\!:\,$
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}X^k=(X^2+X+1)\sp{1.5}Q+R_k\,,\txt{où}R_k=a_kX+b_k$
En considérant la
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racine
cubique de $\,1:\,$ $\,j=\e{2i\pi/3},\,$ on a : $\,j^3=1\,$ et $\,j^2+j+1=0\sp{1.5}.\,$
On spécifie alors $X$ en $\,j\,$ dans la relation de division euclidienne, et on obtient : $\,j\sp{1.5}a_k+b_k=j^{\sp{1.5}k}.\,$
Compte tenu de la relation $\,j^3=1\sp{1.5}\,$, on considère la division euclidienne de $\,k\,$ par $\,3:\,$
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
$\displaystyle{}k=3\sp{.75}q+r\sp{1.5},\txt{avec} p\app\bb N\txt{et} r\app\,\{\sp{.75}0\sp{1.5},1\,,2\sp{.75}\}$
Pour $\,k=3\sp{.75}q\sp{1.5},\,$ on a : $\,j\sp{1.5}a_{3\sp{.75}q}+b_{3\sp{.75}q}=j^{\sp{1.5}3\sp{.75}q}=(j^{\sp{1.5}3})^{\sp{-1.5}q}=1\,;\,$ sachant que $\,a_{3\sp{.75}q}\,$ et $\,b_{3\sp{.75}q}\,$ sont réels, on en déduit :
$\eqalign{&\ \op{Im}(j\sp{1.5}a_{3\sp{.75}q}+b_{3\sp{.75}q})=\smh{1.5}{\frac{\sqrt3}2}\,a_{3\sp{.75}q}=0\\[-.5ex]
&\txt{d'où :}a_{3\sp{.75}q}=0\txt{et}b_{3\sp{.75}q}=1}$
Par
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
substitution
de $A$ à $X$ dans la relation de division euclidienne, on a donc : $\,A^{3\sp{.75}q}=a_{3\sp{.75}q}\sp{1.5}A+b_{3\sp{.75}q}\sp{1.5}I_n=I_n\sp{1.5}.\,$
Par
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
associativité
du produit matriciel, la suite $\,(A^k)_{k\app\bb N}\,$ est donc de période $\,3\,$ et de valeurs successives :
- $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$ le produit matriciel est associatif ;
- $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$ le produit matriciel est bilinéaire.
$\displaystyle{}\Syst{&\smh0{A^{3\sp{.75}q}}=I_n\\[-.5ex] &A^{3\sp{.75}q+1}=(A^{3\sp{.75}q})A=I_n\sp{1.5}A=A\\[-.5ex] &A^{3\sp{.75}q+2}=(A^{3\sp{.75}q})A^2=I_n\sp{1.5}A^2=-A-I_n}$
Ces résultats s'obtiennent beaucoup plus rapidement en
Pour $A,B\app\bb K[X]$ et $n\app\bb N^{\ast},$ on a la formule :
remarquant
que $\,X^2+X+1\,$ est un diviseur de $\,X^3-1:\,$
$\displaystyle{}A^n-B^{\sp{1.5}n}=(A-B)\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}A^k\sp{1.5}B^{\,n-1-k}\bigg)$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B)\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
$\eqalign{&X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)\\\Imp& A^3-I_n=(A-I_n)(A^2+A+I_n)=0}$
On en déduit alors que $\,A^3=I_n\,,\,$ d'où les valeurs successives de $A^k$ pour $\,k=3\sp{1.5}q+r:\,$ $\,A^k=A^r\sp{1.5},\,$ avec : $\,A^r\app\,\{I_n\sp{1.5},\sp{1.5}A\sp{1.5},\sp{1.5}-A-I_n\}\!\cdot\,$
Cependant, la méthode par division euclidienne suivie ci-dessus s'applique à un beaucoup plus grand nombre de situations.
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Exercice c
\\(\OPEL\\)Soient $\,n\app \bb{N}^{\ast}\,$ et $\,A\app \sc{M}_n(\bb{R}),\,$ telle que : $\,A^3=3A-2\,I_n\sp{1.5}.\,$
Pour $k\app \bb{N}\sp{1.5},$ écrire $A^k$ comme une combinaison linéaire de $A^2,$ $A$ et $I_n\sp{1.5}.$
polynôme annulateur d'une matrice carrée
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
division euclidienne dans $\bb K[X]$
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
indication
1
Calculer le reste de la division euclidienne de $\,X^k\,$ par $\,X^3-3\sp{1.5}X+2\sp{1.5}.\,$
indication
2
Dériver la relation qui exprime la division euclidienne de $\,X^k\,$ par $\,X^3-3\sp{1.5}X+2\sp{1.5}.\,$
réponse
Les puissances de $A$ s'expriment, pour tout $\, k\app\bb N\sp{1.5},\,$ par :
$\eqalign{A^k=\frac{(-2)^k+3\sp{1.5}k-1}9\sp{1.5}A^2&+\frac{(-2)^{k+1}+3\sp{1.5}k+2}9\sp{1.5}A\\&+\frac{(-2)^k-6\sp{1.5}k+8}9\sp{1.5}I_n}$
correction
Avec $\,A^3-3\sp{.75}A+2\sp{.75}I_n=0\sp{1.5},\,$ le polynôme $\,X^3-3\sp{.75}X+2\,$ est un polynôme
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
annulateur
de $A\sp{1.5}.$
Considérons alors, pour $\,k\app \bb{N}\sp{1.5},\,$ la
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
division
euclidienne de $X^k$ par $\,X^3-3\sp{.75}X+2\,$ dans $\bb R[X]\sp{-1.5}:$
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\!X^k=\sp{-1.5}(X^3-3\sp{1.5}X+2)\sp{1.5}Q+R_k\,,\txt{où}R_k\sp{-1.5}=a_k\sp{1.5}X^2+b_k\sp{1.5}X+c_k$
Le diviseur admet $\,1\,$ comme
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racine
évidente ; on peut donc le factoriser facilement :
$\displaystyle{}\!X^3-3\sp{1.5}X+2=(X-1)\sp{.75}(X^2+X-2)=(X-1)^2(X+2)$
En spécifiant$\,X\,$ en $\,1\,$ et $\,-2\,$ dans la relation de division euclidienne,
on obtient deux équations :
$\displaystyle{}\Syst{1\ \ \ &=\,a_k\,+\,b_k\,+\,c_k\\[-.25ex](-2)^k&=4\sp{1.5}a_k-2\sp{1.5}b_k+c_k}$
D'autre part, $\,1\,$ est une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
double
du polynôme $\,B=X^3-3\sp{1.5}X+2\sp{1.5}.\,$
$\,1\,$ est alors aussi une
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
racine
de son polynôme
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
dérivé :
$\,B\sp{1.5}'=3\sp{1.5}X^2-3\,;\,$ on dérive donc la relation de division euclidienne :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
$\displaystyle{}k\sp{1.5}X^{k-1}=(3\sp{1.5}X^2-3)\sp{1.5}Q+\,(X^3-3\sp{1.5}X+2)\sp{1.5}Q'+\,2\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X+b_k$
En spécifiant $X$ en $\,1\,$ dans cette relation, on obtient alors une troisième équation : $\,k=2\sp{1.5}a_k+b_k\,.\,$
On obtient ainsi un
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire $(\sc E)$ dont on a permuté les inconnues pour en simplifier la résolution.
On résout alors ce système par une succession d'
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires combinées :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{(\sc E)\,:\,&\Syst{c_k\,+\,b_k\,+\ a_k\ &=\,\ 1\\[-.5ex] b_k+2\sp{1.5}a_k&=\,\ k\\[-.5ex] c_k-2\sp{1.5}b_k+4\sp{1.5}a_k&=\!(-2)^k}\\[1ex]
\ss{\sc E_3\ot \sc E_3\sp{1.5}-\sp{1.5}\sc E_1\sp{1.5}+\sp{1.5}3\sp{1.5}\sc E_2\stb{1}}\sp{2}&\Syst{c_k\,+\,b_k\,+\ a_k\ &=\,\ 1\\[-.5ex] b_k+2\sp{1.5}a_k&=\,\ k\\[-.5ex] 9\sp{1.5}a_k&=\!(-2)^k+3\sp{1.5}k-1}\\[1ex]
\ss{\sc E_2\ot 9\sp{1.5}\sc E_2\sp{1.5}-\sp{1.5}2\sp{1.5}\sc E_3\stb{1}}\sp{10}&\Syst{c_k\,+\,b_k\,+\ a_k\ &=\,\ 1\\[-.5ex] 9\sp{1.5}b_k
&=(-2)^{k+1}+3\sp{1.5}k+2\\[-.5ex] 9\sp{1.5}a_k&=\!(-2)^k+3\sp{1.5}k-1}\\[1ex]
\ss{\sc E_1\ot 9\sp{1.5}\sc E_1\sp{1.5}-\sp{1.5}\sc E_2\sp{1.5}-\sp{1.5}\sc E_3\stb{1}}\sp{-2}&\Syst{\ 9\sp{1.5}c_k&=(-2)^k-6\sp{1.5}k+8\\[-.5ex] \ 9\sp{1.5}b_k
&=(-2)^{k+1}+3\sp{1.5}k+2\\[-.5ex] \ 9\sp{1.5}a_k&=(-2)^k+3\sp{1.5}k-1}}$
En
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
substituant
$A$ à $X$ dans la relation de division euclidienne, on obtient finalement :
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{A^k=\frac{(-2)^k+3\sp{1.5}k-1}9\sp{1.5}A^2&+\frac{(-2)^{k+1}+3\sp{1.5}k+2}9\sp{1.5}A\\&+\frac{(-2)^k-6\sp{1.5}k+8}9\sp{1.5}I_n}$
Après de longs calculs, on peut certifier la formule obtenue en la vérifiant pour $\,k=0\sp{1.5},\,$ $\,k=1\,$ et $\,k=2\sp{1.5}.\,$