Sujet B.3.4 Polynôme annulateur et inversion
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Exercice a
Soit la matrice : $\,A=\matr{4&0&6\,\\3&\!\!-2&3\,\\-3&0&\!\!-5\,}\!\sp{-1.5}\cdot\,$
Calculer $A^2$ pour montrer que la matrice $A$ est inversible et pour trouver son inverse.
polynôme annulateur d'une matrice carrée
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
inverse d'une matrice carrée
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
indication
Déterminer une relation simple entre $A^2$ et $A\sp{1.5}.$
réponse
$A$ est bien inversible, avec : $\,A^{-1}=\dfrac12\,(A+I_3)=\dfrac12\,\matr{5&0&6\,\\3&\!\!-1&3\,\\-3&0&\!\!-4\,}\!\cdot\,$
correction
On obtient d'abord par
Pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb{K})\,$ et $\,B\app\sc M_{n,p}(\bb{K})\sp{1.5},\,$ le produit $A\sp{1.5}B$ est $\,C\app\sc M_{m,p}(\bb{K})\,$ définie par :
produit
matriciel : $\,A^2=\matr{-2&\ \,0&\!\!-6\,\\-3&4&\!\!-3\,\\3&0&7\,}\!\sp{-1.5}\cdot\,$
On observe alors que : $\,A^2+A=\matr{\,2&\ 0&\ 0\,\\0&2&0\,\\0&0&2\,}=2\sp{1.5}I_3\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit que le polynôme $X^2+X-2$ est un polynôme
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,m]\!],\ \ptt j\app\,[\![1,p\sp{.75}]\!],\ c_{i,\sp{1.5}j}=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n}a_{i,\sp{1.5}k}\,b_{k,\sp{1.5}j}$
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
annulateur
de la matrice $A\sp{1.5}.$
On écrit alors cette relation sous la forme : $\,A\sp{1.5}(A+I_3)=(A+I_3)A=2\sp{1.5}I_3\,.\,$
Après division par $2\sp{1.5},$ on obtient la définition de
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
l'inverse
de $A\sp{1.5},$ si bien que
$A$ est inversible, avec :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
$\displaystyle{}A^{-1}=\frac12\,(A+I_3)= \frac12\,\matr{5&0&6\,\\3&\!\!-1&3\,\\-3&0&\!\!-4\,}$
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Exercice b
Soit la matrice $\,A=\matr{\,1&\!\!-1&\!\!-3\sp{1.5}\\1&0&\!\!-6\sp{1.5}\\0&1&\!\!-4\sp{1.5}}\!\sp{-1.5}\cdot\,$
Calculer $\,(A+I_3)^3\,$ pour montrer que la matrice $A$ est inversible et pour trouver son inverse.
polynôme annulateur d'une matrice carrée
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
inverse d'une matrice carrée
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
indication
Utiliser la formule du binôme de Newton.
réponse
$A$ est bien inversible, avec : $\,A^{-1}=\matr{-6&\ \,7&\!\!-6\sp{1.5}\\-4&4&\!\!-3\sp{1.5}\\-1&1&\!\!-1\sp{1.5}}\!\sp{-1.5}\cdot\,$
correction
On obtient, en effectuant deux
Pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb{K})\,$ et $\,B\app\sc M_{n,p}(\bb{K})\sp{1.5},\,$ le produit $A\sp{1.5}B$ est $\,C\app\sc M_{m,p}(\bb{K})\,$ définie par :
produits
matriciels successifs :
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,m]\!],\ \ptt j\app\,[\![1,p\sp{.75}]\!],\ c_{i,\sp{1.5}j}=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n}a_{i,\sp{1.5}k}\,b_{k,\sp{1.5}j}$
$\eqalign{(A+I_3)^{\sp{-1.5}2}\!&=\!\matr{\sp{1.5}2&\!\!-1&\!\!-3\sp{1.5}\\1&1&\!\!-6\sp{1.5}\\0&1&\!\!-3\sp{1.5}}^{\!\!2}\!=\sp{-1.5}\matr{\,3&\!\!-6&\ \sp{1.5}9\sp{1.5}\\3&\!\!-6&9\sp{1.5}\\1&\!\!-2&3\sp{1.5}}\\[1ex]
(A+I_3)^{\sp{-1.5}3}\!&=\!\matr{\sp{1.5}2&\!\!-1&\!\!-3\sp{1.5}\\1&1&\!\!-6\sp{1.5}\\0&1&\!\!-3\sp{1.5}}\!\matr{\,3&\!\!-6&\ \sp{1.5}9\sp{1.5}\\3&\!\!-6&9\sp{1.5}\\1&\!\!-2&3\sp{1.5}}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\matc{\,0&\ 0\ &0\sp{1.5}\\\,0&0&0\sp{1.5}\\\,0&0&0\sp{1.5}}}$
Avec $\,(A+I_3) ^3=0\sp{1.5},\,$ le polynôme $(X+1)^3$ est donc un polynôme
Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :
annulateur
de la matrice $A\sp{1.5}.$
La matrice $A$ commutant avec $I_3,$ on peut utiliser la formule du
$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$
Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$ ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,A,B\app\sc M_n(\bb K)\,$ telles que $\,A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A\,$ et $p\app\bb N,$ on a :
binôme :
$\displaystyle{}(A+B)^p=\sum_{k=0}^{p}\binome{p\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}A^k\sp{1.5}B^{\,p-k}$
On en déduit en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}(A+B)^2&=A^2+2\sp{1.5}A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2}\\[-.75ex](A+B)^3&=A^3+3\sp{1.5}A^2\sp{-1.5}B+3\sp{1.5}A\sp{1.5}B^{\sp{1.5}2}+B^{\sp{1.5}3}}$
$\displaystyle{}(A+I_3) ^3=A^3+3\sp{1.5}A^2+3\sp{1.5}A+I_3=0$
En redistribuant les termes de cette formule, on fait apparaître la définition de
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
l'inverse
de $A:$
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
$\displaystyle{}A\sp{1.5}(-A^2-3\sp{1.5}A-3\sp{1.5}I_3)=(-A^2-3\sp{1.5}A-3\sp{1.5}I_3)\sp{1.5}A=I_3$
On a ainsi établi que $A$ est inversible, avec pour inverse : $\,A^{-1}=-A^2-3\sp{1.5}A-3\sp{1.5}I_3\sp{1.5}.\,$
Pour expliciter $A^{-1},$ on s'épargne un nouveau produit matriciel en utilisant les résultats précédents :
$\eqalign{-A^2-3\sp{1.5}A-3\sp{1.5}I_3&=-(A^2+2A+I_3)-A-2\sp{1.5}I_3\\&=-(A+I_3)^2-(A+2\sp{1.5}I_3)\\&=-\matr{3&-6&9\\3&-6&9\\ 1&-2&\ph{+}3}-\matr{3&-1&-3\\1&2&-6\\0&1&-2}}$
On obtient donc finalement pour inverse de $A$ la matrice : $\,A^{-1}= \matr{-6&\ph{+}7&-6\\-4&4&-3\\-1&1&-1}\!\cdot\,$