Sujet B.3.3 Changement de base
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Exercice a
\\(\OPEL\\)Soient, dans un plan vectoriel réel $\,E,\,$ deux bases $\,\sc B=\big(\sp{1.5}\vec \imath,\vec \jmath\sp{1.5}\big)\,$ et $\,\sc B\sp{1.5}'=\big(\sp{1.5}\Vec I,\Vec J\sp{1.5}\big)\sp{1.5}.\,$
On suppose que tout $\,\vec u\app E\,$ de coordonnées $(x,\,y)$ dans la base $\,\sc B\,$ a pour coordonnés $\,(x+y,\,x+2\sp{1.5}y)\,$ dans $\,\sc B\sp{1.5}'.\,$
Déterminer les expressions de $\Vec I$ et $\Vec J$ en fonction de $\vec \imath$ et $\vec \jmath\sp{1.5}.$
matrice de passage
Soient $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
La matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B'$ est la matrice :
$\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$
Cette matrice $P$ est inversible, et $P^{-1}$ est la matrice de passage de $\sc B'$ à $\sc B:$
$\displaystyle{}P^{-1}=\op M_{\sc B'}(\sc B)$
changement de base d'un vecteur
Soient $\sc B$ et $\sc B\sp{1.5}'$ deux bases d'un espace vectoriel $E,$ et $P$ la matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B\sp{1.5}'.$
Pour tout $u\app E,$ les matrices-colonnes $\,U=\op M_{\sc B}(u)\,$ et $\,U'=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)\,$
vérifient :
$\displaystyle{}U=P\,U',\txt{soit :}\op M_{\sc B}(u)=\op M_{\sc B}(\sc B\sp{1.5}')\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)$
changement de base d'un endomorphisme
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases de $E$ et $\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$ Pour $f\app\sc L(E),$ les matrices $A=\op M_{\sc B}(f)$ et $A'=\op M_{\sc B'}(f)$ sont semblables, avec :
$\displaystyle{}A'=P^{-1}\!A\sp{1.5}P,\!\txt{soit :}\op M_{\sc B'}(f)=\op M_{\sc B'}(\sc B)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(f)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.$
relation de similitude dans ${\scr M}_n{\rm(}\bb K\rm)$
$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ et $\,B\app\sc M_n(\bb K)\,$ sont semblables ssi il existe $\,P\app\op{GL}_n(\bb K)\,$ telle que :
$\displaystyle{}B=P^{-1}\!A\,P$
indication
1
Identifier la matrice de passage de $\,\sc B\sp{1.5}'\,$ à $\,\sc B:\,$ $\,Q=\op M_{\sc B'}(\sc B)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Résoudre le système d'équations vectorielles correspondant à cette matrice de passage $\,Q\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient les expressions suivantes : $\,\big(\sp{1.5}\Vec I,\,\Vec J\sp{1.5}\big) =\big(\sp{1.5}2\sp{1.5}\vec\imath-\vec\jmath,\,-\vec\imath+\vec\jmath\,\big).\,$
correction
Soient $\,X=\op M_{\sc B}\big(\vec u\big)\,$ et $\,X'=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}\big(\vec u\big)\,$ les
Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel de base $\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)$ et $u\app E\sp{1.5}.$
La matrice de $\,u\,$ relativement à $\sc{B}$ est $\,X=\op M_{\sc B}(u)\app\bb K^n\,$ tel que :
matrices
de $\,\vec u\,$ relativement à $\,\sc B\,$ et $\,\sc B\sp{1.5}'\,;\,$ on a alors :
$\displaystyle{}u=x_1\sp{1.5}e_1+\cdots+x_n\sp{1.5}e_n$
On identifie le vecteur $\,X\app\bb K^n\,$ à une matrice-colonne de $\,\sc M_{n,1}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}X=\matr{x\\y}\ \txt{et}\ X'=\matc{x+y\\ x+2\sp{1.5}y}=\matr{1&1\\1&2}\!\!\matr{x\\y}=Q\sp{1.5}X$
D'après la
Soient $\sc B$ et $\sc B\sp{1.5}'$ deux bases d'un espace vectoriel $E,$ et $P$ la matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B\sp{1.5}'.$
Pour tout $u\app E,$ les matrices-colonnes $\,U=\op M_{\sc B}(u)\,$ et $\,U'=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)\,$
vérifient :
formule
de changement de base, $\,Q\,$ correspond à la matrice
$\displaystyle{}U=P\,U',\txt{soit :}\op M_{\sc B}(u)=\op M_{\sc B}(\sc B\sp{1.5}')\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)$
Soient $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
La matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B'$ est la matrice :
$\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$
Cette matrice $P$ est inversible, et $P^{-1}$ est la matrice de passage de $\sc B'$ à $\sc B:$
de passage
de $\,\sc B\sp{1.5}'\,$ à $\,\sc B\sp{1.5}.\,$
En substituant à $\,X\,$ les vecteurs de la base canonique de $\,\bb R^2,\,$ les
$\displaystyle{}P^{-1}=\op M_{\sc B'}(\sc B)$
Soit $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$
La matrice de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ relativement à $\sc{B}$ est :
colonnes
de
$\,Q\,$ fournissent les coordonnées de $\,\vec \imath\,$ et $\,\vec \jmath\,$ dans la base $\,\sc B\sp{1.5}':\,$
$\eqalign{&\op M_{\sc B}(\sc U)=[X_1,\dots,X_p]\app\sc M_{n,p}(\bb K)\\ &\txt{avec :}\ptt j\app\,[\![1,n]\!],\ X_j=\op{M}_{\sc B}(u_j)}$
$\displaystyle{}(\sc E):\ \Syst{\Vec I+\Vec J&=\vec \imath\\ \Vec I+2\Vec J&=\vec \jmath}$
On résout alors directement ce système d'équations vectorielles par
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires:
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{(\sc E)&\ \ss{\sc E_2\ot \sc E_2-\sc E_1}&
\Syst{ \Vec I+\Vec J&=\vec \imath\\ \Vec J&=-\vec\imath+\vec\jmath}\\[1ex]&\ \ \ss{\sc E_1\ot \sc E_1-\sc E_2}&
\Syst{\Vec I&=\,2\sp{1.5}\vec\imath-\vec\jmath\\ \Vec J&=-\vec\imath+\vec\jmath}}$
On obtient donc finalement : $\,\sth{2}\big(\sp{1.5}\Vec I,\,\Vec J\sp{1.5}\big) =\big(\sp{1.5}2\sp{1.5}\vec\imath-\vec\jmath,\,-\vec\imath+\vec\jmath\,\big).\,$
On pouvait aussi
Soient $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
La matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B'$ est la matrice :
$\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$
Cette matrice $P$ est inversible, et $P^{-1}$ est la matrice de passage de $\sc B'$ à $\sc B:$
inverser
directement la matrice $\,Q\,$ et obtenir $\,Q^{-1}=\smb{1.5}{\op M_{\sc B}(\sc B')=\matr{2&-1\\ -1&1}}\,$ par la
$\displaystyle{}P^{-1}=\op M_{\sc B'}(\sc B)$
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
formule
:
$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
$\displaystyle{}\matr{a&b\\c&d}^{-1}=\frac1{a\sp{1.5}d-b\sp{1.5}c}\matr{d&\!\!\!-b\\ -c&\!\!\!a}$
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Exercice b
\\(\OPEL\\)Soient, dans un espace vectoriel réel $\,E\,$ de dimension $\,3,\,$ deux bases $\,\sc B=\big(\,\vec \imath,\vec \jmath,\vec k\sp{1.5}\big)\,$ et $\,\sc B\sp{1.5}'=\big(\sp{1.5}\Vec I,\Vec J,\Vec K\sp{1.5}\big)\sp{1.5}.\,$
On suppose que tout $\,\vec u\app E\,$ de coordonnées $(x,\,y,\,z)$ dans la base $\,\sc B\,$ a pour coordonnés $\,(x-y+z,\,x+z, \,y-z)\,$ dans la base $\,\sc B\sp{1.5}'.\,$
Déterminer les expressions de $\,\Vec I,\sp{1.5}\Vec J,\sp{1.5}\Vec K\,$ en fonction de $\,\vec \imath,\sp{1.5}\vec \jmath,\sp{1.5}\vec k.\,$
matrice de passage
Soient $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
La matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B'$ est la matrice :
$\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$
Cette matrice $P$ est inversible, et $P^{-1}$ est la matrice de passage de $\sc B'$ à $\sc B:$
$\displaystyle{}P^{-1}=\op M_{\sc B'}(\sc B)$
changement de base d'un vecteur
Soient $\sc B$ et $\sc B\sp{1.5}'$ deux bases d'un espace vectoriel $E,$ et $P$ la matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B\sp{1.5}'.$
Pour tout $u\app E,$ les matrices-colonnes $\,U=\op M_{\sc B}(u)\,$ et $\,U'=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)\,$
vérifient :
$\displaystyle{}U=P\,U',\txt{soit :}\op M_{\sc B}(u)=\op M_{\sc B}(\sc B\sp{1.5}')\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)$
changement de base d'un endomorphisme
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases de $E$ et $\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$ Pour $f\app\sc L(E),$ les matrices $A=\op M_{\sc B}(f)$ et $A'=\op M_{\sc B'}(f)$ sont semblables, avec :
$\displaystyle{}A'=P^{-1}\!A\sp{1.5}P,\!\txt{soit :}\op M_{\sc B'}(f)=\op M_{\sc B'}(\sc B)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(f)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.$
relation de similitude dans ${\scr M}_n{\rm(}\bb K\rm)$
$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ et $\,B\app\sc M_n(\bb K)\,$ sont semblables ssi il existe $\,P\app\op{GL}_n(\bb K)\,$ telle que :
$\displaystyle{}B=P^{-1}\!A\,P$
indication
1
Identifier la matrice de passage de $\,\sc B\sp{1.5}'\,$ à $\,\sc B:\,$ $\,Q=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(\sc B)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Résoudre le système d'équations vectorielles correspondant à cette matrice de passage $\,Q\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient les expressions suivantes : $\,\big(\sp{1.5}\Vec I,\,\Vec J,\,\Vec K\sp{1.5}\big)=\big(\,\vec\imath-\vec\jmath-\vec k,\,\vec\jmath+\vec k,\,\vec\imath-\vec k\sp{1.5}\big).\,$
correction
Soient $\,X=\op M_{\sc B}\big(\vec u\big)\,$ et $\,X'=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}\big(\vec u\big)\,$ les
Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel de base $\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)$ et $u\app E\sp{1.5}.$
La matrice de $\,u\,$ relativement à $\sc{B}$ est $\,X=\op M_{\sc B}(u)\app\bb K^n\,$ tel que :
matrices
de $\,\vec u\,$ relativement à $\,\sc B\,$ et $\,\sc B'\,;\,$ on a alors :
$\displaystyle{}u=x_1\sp{1.5}e_1+\cdots+x_n\sp{1.5}e_n$
On identifie le vecteur $\,X\app\bb K^n\,$ à une matrice-colonne de $\,\sc M_{n,1}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}X'=\matc{x-y+z\\[-.5ex] x+z\\[-.5ex] y-z}=
\matr{1&\!\!-1&1\\[-.5ex]1&0&1\\[-.5ex] 0&1&\!\!-1}\!\!\matr{x\\[-.5ex]y\\[-.5ex] z}=Q\sp{1.5}X$
D'après la
Soient $\sc B$ et $\sc B\sp{1.5}'$ deux bases d'un espace vectoriel $E,$ et $P$ la matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B\sp{1.5}'.$
Pour tout $u\app E,$ les matrices-colonnes $\,U=\op M_{\sc B}(u)\,$ et $\,U'=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)\,$
vérifient :
formule
de changement de base, $\,Q\,$ correspond à la matrice
$\displaystyle{}U=P\,U',\txt{soit :}\op M_{\sc B}(u)=\op M_{\sc B}(\sc B\sp{1.5}')\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)$
Soient $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
La matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B'$ est la matrice :
$\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$
Cette matrice $P$ est inversible, et $P^{-1}$ est la matrice de passage de $\sc B'$ à $\sc B:$
de passage
de $\,\sc B\sp{1.5}'\,$ à $\,\sc B\sp{1.5}.\,$
En substituant à $\,X\,$ les vecteurs de la base canonique de $\,\bb R^3,\,$ les
$\displaystyle{}P^{-1}=\op M_{\sc B'}(\sc B)$
Soit $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$
La matrice de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ relativement à $\sc{B}$ est :
colonnes
de
$\,Q\,$ fournissent les coordonnées de $\,\vec \imath,\,$ $\,\vec \jmath,\,$ $\,\vec k\,$ dans la base $\,\sc B\sp{1.5}':\,$
$\eqalign{&\op M_{\sc B}(\sc U)=[X_1,\dots,X_p]\app\sc M_{n,p}(\bb K)\\ &\txt{avec :}\ptt j\app\,[\![1,n]\!],\ X_j=\op{M}_{\sc B}(u_j)}$
$\displaystyle{}(\sc E):\ \Syst{\ph{-}\Vec I+\Vec J\ph{+\Vec K\ \,}&=\vec \imath\\[-.5ex] -\Vec I\ph{+\Vec J\ \,}+\Vec K&=\vec \jmath\\[-.5ex] \ph{-}\Vec I+\Vec J-\Vec K&=\vec k}$
On résout alors directement ce système d'équations vectorielles par
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires combinées :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{(\sc E) \
&\ss{\sc E_2\ot \sc E_2\sp{1.5}+\sp{1.5}\sc E_1\\[-.5ex]\sc E_3\ot -\sc E_3\sp{1.5}+\sp{1.5}\sc E_1\stb1}
&\Syst{\ph{-}\Vec I+\Vec J\ph{+\Vec K\ \,}&=\vec \imath\\[-.5ex] \Vec J+\Vec K&=\vec \imath+\vec \jmath\\[-.5ex] \Vec K&=\vec\imath-\vec k}\\[1ex]
&\ \ss{\sc E_2\ot \sc E_2\sp{1.5}-\sp{1.5}\sc E_3\stb1}
&\Syst{\ph{-}\Vec I+\Vec J\ph{+\Vec K}&=\vec \imath\\[-.5ex] \Vec J\ph{+\Vec K}&=\vec\jmath+\vec k\\[-.5ex] \Vec K&=\vec\imath-\vec k}\\[1ex]
&\ \ss{\sc E_1\ot \sc E_1\sp{1.5}-\sp{1.5}\sc E_2\stb1}
&\Syst{\Vec I&=\vec\imath-\vec\jmath-\vec k\\[-.5ex] \Vec J&=\vec\jmath+\vec k\\[-.5ex] \Vec K&= \vec\imath-\vec k}}$
On obtient donc finalement : $\,\sth{2}\big(\sp{1.5}\Vec I,\,\Vec J,\,\Vec K\sp{1.5}\big)=\big(\,\vec\imath-\vec\jmath-\vec k,\,\vec\jmath+\vec k,\,\vec\imath-\vec k\sp{1.5}\big).\,$
On pouvait aussi
Soient $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
La matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B'$ est la matrice :
$\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$
Cette matrice $P$ est inversible, et $P^{-1}$ est la matrice de passage de $\sc B'$ à $\sc B:$
inverser
la matrice $\,Q\,$ pour obtenir : $\,Q^{-1}=\op M_{\sc B}(\sc B')=\matr{1&\ \,0&1\\[-.5ex] -1&1&0\\[-.5ex]-1&1&\!\!\sp{-1.5}-1}\sp{1.5},\,$ mais le calcul n'est pas plus rapide.$\displaystyle{}P^{-1}=\op M_{\sc B'}(\sc B)$
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Exercice c
Soit dans un espace vectoriel réel $E$ de base $\,\sc B=\big(\,\vec \imath,\vec \jmath,\vec k\sp{1.5}\big),\,$ l'endomorphisme $f$ ayant pour matrice :
$\displaystyle{}A=\op M_\sc B(f)=\matc{\,a&\sp{-1.5}b-2\sp{1.5}a\!\!\!&\!\!2\sp{1.5}a\\[-.5ex]\,0&\ b-a&\!\!2\sp{1.5}a\\[-.5ex]\,0&-a&\!\!a+b\,},\txt{avec}\!(a,b)\app\bb R^2$
Pour $\,\Vec I=\vec \imath\sp{1.5},\,$ $\,\Vec J=\vec \imath+\vec \jmath\,$ et $\,\Vec K=\vec \imath+\vec \jmath+\vec k\sp{1.5},\,$ déterminer la matrice de $f$ relativement à la base $\,\sc B\sp{1.5}'=\big(\sp{1.5}\Vec I,\Vec J,\Vec K\sp{1.5}\big).\,$
matrice de passage
Soient $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
La matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B'$ est la matrice :
$\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$
Cette matrice $P$ est inversible, et $P^{-1}$ est la matrice de passage de $\sc B'$ à $\sc B:$
$\displaystyle{}P^{-1}=\op M_{\sc B'}(\sc B)$
changement de base d'un vecteur
Soient $\sc B$ et $\sc B\sp{1.5}'$ deux bases d'un espace vectoriel $E,$ et $P$ la matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B\sp{1.5}'.$
Pour tout $u\app E,$ les matrices-colonnes $\,U=\op M_{\sc B}(u)\,$ et $\,U'=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)\,$
vérifient :
$\displaystyle{}U=P\,U',\txt{soit :}\op M_{\sc B}(u)=\op M_{\sc B}(\sc B\sp{1.5}')\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)$
changement de base d'un endomorphisme
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases de $E$ et $\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$ Pour $f\app\sc L(E),$ les matrices $A=\op M_{\sc B}(f)$ et $A'=\op M_{\sc B'}(f)$ sont semblables, avec :
$\displaystyle{}A'=P^{-1}\!A\sp{1.5}P,\!\txt{soit :}\op M_{\sc B'}(f)=\op M_{\sc B'}(\sc B)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(f)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.$
relation de similitude dans ${\scr M}_n{\rm(}\bb K\rm)$
$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ et $\,B\app\sc M_n(\bb K)\,$ sont semblables ssi il existe $\,P\app\op{GL}_n(\bb K)\,$ telle que :
$\displaystyle{}B=P^{-1}\!A\,P$
indication
Exprimer les vecteurs $\,f\big(\sp{1.5}\Vec I\,\big)\sp{1.5},\,$ $\,f\big(\sp{.75}\Vec J\sp{1.5}\big)\sp{1.5},\,$ $\,f\big(\Vec K\sp{1.5}\big)\,$ en fonction des vecteurs $\Vec I,$ $\Vec J,$ $\Vec K$ de la base $\,\sc B\sp{1.5}'.\,$
réponse
On obtient la matrice diagonale par blocs : $\,B=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(f)={\matr{\,\sp{-1.5}a&0&\ \sp{1.5}0\,\\[-.5ex]0&b&a\,\\[-.5ex]0&\!\!\!-a&b\,}}\!\sp{-1.5}\cdot\,$
correction
La matrice
Soient $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
La matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B'$ est la matrice :
$\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$
Cette matrice $P$ est inversible, et $P^{-1}$ est la matrice de passage de $\sc B'$ à $\sc B:$
de passage
de $\,\sc B=\big(\,\vec \imath,\vec \jmath,\vec k\sp{1.5}\big)\,$ à $\,\sc B\sp{1.5}'=\big(\sp{1.5}\Vec I,\Vec J,\Vec K\sp{1.5}\big)\,$ est :
$\displaystyle{}P^{-1}=\op M_{\sc B'}(\sc B)$
$\displaystyle{}P=\op M_\sc B(\sc B\sp{1.5}')=\matr{1&\sp{1.5}1&\sp{1.5}1\\[-.5ex]0&1&1\\[-.5ex]0&0&1}$
$P$ étant
Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :
triangulaire
et sans $\,0\,$ sur sa diagonale, on a : $\,\det_\sc B(\sc B\sp{1.5}')\neq0\sp{1.5},\,$ si bien que $\,\sc B\sp{1.5}'=\big(\sp{1.5}\Vec I,\Vec J,\Vec K\sp{1.5}\big)\!\,$ est une
$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$
Soit $\sc B$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de dimension $\,n\geq1\,.\,$ Alors, une famille $\,\sc U\app E^n\,$ est une base de $E$ ssi : $\,\det_{\sc B}(\sc U)\neq0\sp{1.5}.\,$
base
de $E\sp{1.5}.$
Par
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
linéarité
de $f\sp{1.5},$ les vecteurs $f(\Vec I)\sp{1.5},$ $f(\Vec J)$ et $f(\Vec K)$ s'expriment en fonction de $f(\veci\,)\sp{1.5},$ $f(\vecj\,)$ et $f(\vec k):$
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
$\eqalign{ &f(\sp{1.5}\Vec I\sp{1.5})&=&f(\veci\,)\\[-.5ex]
&f(\Vec J\sp{1.5})&=&f(\veci\,)+f(\vecj\,)\\[-.5ex]
&f(\Vec K)&=&f(\veci\,)+f(\vecj\,)+f(\vec k)}$
$f(\Vec I)\sp{1.5},$ $f(\Vec J)$ et $f(\Vec K)$ sont donc des combinaisons linéaires des
Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$ La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :
colonnes
de $\,A=\op M_\sc B(f)\sp{1.5}.\,$
On en déduit leurs expressions, d'abord dans la base $\sc B\sp{1.5},$ puis dans la base $\sc B\sp{1.5}':$
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$
- $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
- $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&f(\sp{1.5}\Vec I\sp{1.5})&=&a\,\vec\imath=a\sp{1.5}\Vec I\\[-.5ex]
&f(\Vec J\sp{1.5})&=&(b-a)\,\vec\imath+(b-a)\,\vec\jmath-a\sp{1.5}\vec k&=&b\sp{1.5}\Vec J-a\sp{1.5}\Vec K\\[-.5ex]
&f(\Vec K)&=&(a+b)\,\vec\imath+(a+b)\,\vec\jmath+b\sp{1.5}\vec k&=&a\sp{1.5}\Vec J+b\sp{1.5}\Vec K}$
Ces expressions nous fournissent la
Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$ La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :
matrice
de $f$ relativement à la base $\,\sc B\sp{1.5}'\sp{1.5};\,$ c'est une matrice diagonale
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$
- $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
- $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$
Une matrice carrée $A$ est diagonale par blocs ssi elle est formée de blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$
par blocs :
- tous carrés lorsqu'ils sont diagonaux, c'est-à-dire pour $\,i=j\,;\,$
- et tous nuls sinon, c'est-à-dire pour $\,i\neq j\,.\,$
$\displaystyle{}B=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(f)={\matr{\,\sp{-1.5}a&0&\ \sp{1.5}0\,\\[-.5ex]0&b&a\,\\[-.5ex]0&\!\!\!-a&b\,}}$
On aurait pu aussi
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
inverser
la matrice de passage $\,P=\matr{\,1&\ 1&\ 1\sp{1.5}\\0&1&1\sp{1.5}\\0&0&1\sp{1.5}},\,$ d'où : $\,P^{-1}=\matr{\,1&\!\!-1&0\sp{1.5}\\0&1&\!\!-1\sp{1.5}\\0&0&1\sp{1.5}}.\,$
On en aurait alors déduit l'expression de $\,B=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(f)\,$ par la
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases de $E$ et $\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$ Pour $f\app\sc L(E),$ les matrices $A=\op M_{\sc B}(f)$ et $A'=\op M_{\sc B'}(f)$ sont semblables, avec :
formule :
$\,B=P^{-1}\!A\sp{1.5}P\sp{1.5};\,$ mais ce calcul est nettement plus long.$\displaystyle{}A'=P^{-1}\!A\sp{1.5}P,\!\txt{soit :}\op M_{\sc B'}(f)=\op M_{\sc B'}(\sc B)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(f)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.$
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Exercice d
Soient, pour $\,a\app\bb R\,$ et $\,b\app\bb R:\,$ $\,A=\matc{1&a\\0&1}\,$ et $\,B=\matc{1&b\\0&1}.\,$
Déterminer, en fonction des réels $a$ et $b$ l'ensemble $\,\sc C\,$ des matrices $\,M\app\sc M_2(\bb R)\,$ telles que : $\,A\sp{1.5}M=MB\sp{1.5}.\,$
En déduire, sur $a$ et $b\sp{1.5},$ une condition nécessaire et suffisante pour que les matrices $A$ et $B$ soient semblables.
matrice de passage
Soient $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
La matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B'$ est la matrice :
$\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$
Cette matrice $P$ est inversible, et $P^{-1}$ est la matrice de passage de $\sc B'$ à $\sc B:$
$\displaystyle{}P^{-1}=\op M_{\sc B'}(\sc B)$
changement de base d'un vecteur
Soient $\sc B$ et $\sc B\sp{1.5}'$ deux bases d'un espace vectoriel $E,$ et $P$ la matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B\sp{1.5}'.$
Pour tout $u\app E,$ les matrices-colonnes $\,U=\op M_{\sc B}(u)\,$ et $\,U'=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)\,$
vérifient :
$\displaystyle{}U=P\,U',\txt{soit :}\op M_{\sc B}(u)=\op M_{\sc B}(\sc B\sp{1.5}')\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)$
changement de base d'un endomorphisme
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases de $E$ et $\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$ Pour $f\app\sc L(E),$ les matrices $A=\op M_{\sc B}(f)$ et $A'=\op M_{\sc B'}(f)$ sont semblables, avec :
$\displaystyle{}A'=P^{-1}\!A\sp{1.5}P,\!\txt{soit :}\op M_{\sc B'}(f)=\op M_{\sc B'}(\sc B)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(f)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.$
relation de similitude dans ${\scr M}_n{\rm(}\bb K\rm)$
$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ et $\,B\app\sc M_n(\bb K)\,$ sont semblables ssi il existe $\,P\app\op{GL}_n(\bb K)\,$ telle que :
$\displaystyle{}B=P^{-1}\!A\,P$
indication
1
Poser $\,M=\matc{x&y\\z&t}\,$ et transcrire la relation $\,A\sp{1.5}M=MB\,$ sous forme d'un système linéaire.
indication
2
Démontrer que $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si $\,\sc C\,$ contient une matrice inversible.
réponse
On obtient : $\,\sc C=\sc M_2(\bb R)\,$ lorsque $\,(a,b)=(0,0)\sp{1.5},\,$ et : $\,\sc C=\op{Vect}\!\bigg(\sp{-1.5}\!\!\matc{a&\!0\\[-.5ex]0&\!b},\matc{0&\!1\\[-.5ex]0&\!0}\!\sp{-1.5}\bigg)\,$ lorsque $\,(a,b)\neq(0,0)\sp{1.5}.\,$
Les matrices $\,A=\matc{1&\!a\\[-.5ex]0&\!1}\,$ et $\,B=\matc{1&\!b\\[-.5ex]0&\!1}\,$ sont semblables si et seulement si : $\,a=b=0\,$ ou $\,a\sp{1.5}b\neq0\sp{1.5}.\,$
correction
Pour une matrice quelconque $\,M=\matc{x&\!y\\[-.5ex]z&\!t}\sp{1.5},\,$ on calcule les
Pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb{K})\,$ et $\,B\app\sc M_{n,p}(\bb{K})\sp{1.5},\,$ le produit $A\sp{1.5}B$ est $\,C\app\sc M_{m,p}(\bb{K})\,$ définie par :
produits
$\,A\sp{1.5}M\sp{1.5},\,$ $\,MB\,$ et $\,A\sp{1.5}M\!-\!MB:\,$
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,m]\!],\ \ptt j\app\,[\![1,p\sp{.75}]\!],\ c_{i,\sp{1.5}j}=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n}a_{i,\sp{1.5}k}\,b_{k,\sp{1.5}j}$
$\eqalign{&A\sp{1.5}M=\matc{x+a\sp{1.5}z\!&\!y+a\sp{1.5}t\\z&\!t}\ \txt{et}\,MB=\matc{\,x\ &b\sp{1.5}x+y\\\,z\ &b\sp{1.5}z+t}\\
&\txt{d'où :}\ A\sp{1.5}M\!-\!MB=\matc{a\sp{1.5}z&a\sp{1.5}t-b\sp{1.5}x\\0&-b\sp{1.5}z}}$
Il s'ensuit que la relation $\,A\sp{1.5}M=MB\,$ équivaut au
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire : $\,\ (\sc E)\,\Syst{-b\sp{1.5}x+a\sp{1.5}t=0\sp{1.5},\\[-.5ex]a\sp{1.5}z\sp{18} =0\sp{1.5},\\[-.5ex]-b\sp{1.5}z\sp{18}=0\sp{1.5}.}\,$
$\sc E$ étant un système linéaire homogène de
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
Soit $(\sc E)$ un système linéaire : $\,A\,X=B\sp{1.5},\,$ et $(\sc E_0)$ le système homogène : $\,A\,X=0\sp{1.5}.\,$
Le rang de $(\sc E)$ est le nombre maximum d'équations de $(\sc E_0)$ linéairement indépendantes.
Ce rang coïncide avec celui de la matrice $A:$ $\,\op{rg}(\sc E)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$
rang
$\,r\sp{1.5},\,$ l'ensemble $\sc S$ de ses solutions est un
Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$ pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :
sous-espace
de $\bb R^4$ de dimension :
$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
$\displaystyle{} \dim(\sc S)=\dim(\bb R^4)-\op{rg}(\sc E)=4-r$
Selon
$\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ forme un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel pour les opérations :
l'isomorphisme
entre $\sc M_2(\bb R)$ et $\bb R^4\sp{1.5},$ $\sc C$ est donc un sous-espace de $\sc M_2(\bb R)$ de même dimension que $\sc S\sp{-1.5}.$
Avec pour matrice $\,\matr{-b&\sp{1.5}0&0&\sp{1.5}a\,\\[-.5ex]0&0&a&0\,\\[-.5ex]0&0&\!\!\!-b&0\,}\sp{-1.5},\,$ le système $\sc E$ est de
$\eqalign{(A,B)&\mapsto A+B=[\sp{1.5}a_{i,j}+b_{i,j}\sp{1.5}]\\[-.5ex](\lambda,A)&\mapsto\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}A=[\sp{1.5}\lambda\,a_{i,j}\sp{1.5}]}$
On identifie les matrices-colonnes de $\sc M_{n,1}(\bb K)$ aux vecteurs de $\bb K^n.$
$\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ est ainsi un espace vectoriel isomorphe à $(\bb K^n)^p$ et à $\bb K^{n\sp{1.5}p}.$
Le rang de $A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ de lignes $L_i$ et colonnes $C_j\sp{1.5},$ est à la fois :
rang
$\,r\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0\,$ ou $\,r\sp{-1.5}=\sp{-1.5}2\,\,$ selon que $\,(a,b)=(0,0)\,$ ou $\,(a,b)\neq(0,0):\,$
- le nombre maximal des $C_j$ linéairement indépendantes
- et le nombre maximal des $L_i$ linéairement indépendantes :
$\displaystyle{}\op{rg}(A)=\op{rg}(C_1,\dots,C_p)=\op{rg}(L_1,\dots,L_n)$
Le rang est donc invariant par transposition : $\,\op{rg}(A^T)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$
- lorsque $\,(a,b)=(0,0)\sp{1.5},\,$ on a $\,A=B=I_2\,$ d'où : $\,\ptt M\app\sc M_2(\bb R),\ A\sp{1.5}M=MB\,\,$ soit : $\,\sc C=\sc M_2(\bb R)\sp{1.5};\,$
- lorsque $\,(a,b)\neq(0,0)\sp{1.5},\,$ $\,\sc C\,$ est alors un
Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie. Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$ C'est la dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$plan vectoriel de $\sc M_2(\bb R)\sp{1.5},$ car : $\,\dim(\sc C)=\dim(\sc S)=4-r=2\sp{1.5};\,$ $\,D=\matc{a&\!0\\[-.5ex]0&\!b}\!\app\sc C\,$ et $\,N=\matc{0&\!1\\[-.5ex]0&\!0}\!\app\sc C\,$ n'étant pas
- lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$ est une droite vectorielle ;
- lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$ est un plan vectoriel.
Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$ $u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires ssi ils appartiennent à une même droite vectorielle.colinéaires, on obtient- Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
- en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.
Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$alors : $\,\sc C=\op{Vect}(D,N)\sp{1.5}.\,$- une famille libre de $E$ a au plus $\,n\,$ vecteurs ;
- une famille libre de $E$ est une base de $E$ ssi elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.
$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ et $\,B\app\sc M_n(\bb K)\,$ sont semblables ssi il existe $\,P\app\op{GL}_n(\bb K)\,$ telle que :
semblables
si et seulement si $\,\sc C\,$ contient une matrice $P$
$\displaystyle{}B=P^{-1}\!A\,P$
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
inversible
car on a alors :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
$\displaystyle{}A\sp{1.5}P=PB\Ssi B=P^{-1}\!A\,P$
- Lorsque $\,a=b=0:\,$ $\,A=B=I_2\,$ sont semblables ;
- lorsque $\,a\sp{1.5}b\neq0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\det(D)\neq0\sp{1.5},\,$ si bien que $D$ est
Les colonnes ou les lignes de $A\app\sc M_n(\bb K)$ sont liées ssi $\,\det(A)=0\sp{1.5},\,$ soit encore :inversible : $A$ et $B$ sont donc semblables ;$\displaystyle{}A\app\op{GL}_n(\bb K)\Ssi\det(A)\neq0$
- lorsque $\,(a,b)\neq(0,0)\,$ et $\,a\sp{1.5}b=0\sp{1.5},\,$ $A$ et $B$ ne sont pas semblables car aucune $\,M=\alpha\sp{1.5}D+\beta\sp{1.5}N\app\sc C\,$ n'est inversible : $\displaystyle{}\ptt(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\ \det(M)=\detc{\alpha\sp{1.5}a\!\!&\!\!\!\beta\\[-.5ex]0\!\!&\!\!\!\alpha\sp{1.5}b}=\alpha^2a\sp{1.5}b=0$
Les situations où $\,(a,b)\neq(0,0)\,$ et $\,a\sp{1.5}b=0\,$ montrent que l'égalité des traces et des déterminants ne garantit pas la similitude.