Sujet B.3.2 Inversion des matrices
Choisir
un exercice, puis le résoudre
:
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Exercice a
\\(\OPEL\\)Inverser $\,A={\matr{\sp{-1.5}-3&1\\1&\!\!\!-2}}\,$ en résolvant un système linéaire.
inverse d'une matrice carrée
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
caractérisation de l'inverse d'une matrice
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
méthode d'inversion d'une matrice
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
inversion d'une matrice $2\times2$
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
indication
Résoudre un système linéaire de matrice $A$ et de second membre indéterminé.
réponse
La matrice $\,A\,$ est bien inversible avec : $\,A^{-1}=\dfrac15\,\matr{-2&-1\\ -1&-3}\!\cdot\,$
correction
Pour $\,(u,v)\app\bb R^2,\,$ on considère le
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire $\,AX=Y:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
$\displaystyle{}(\sc E)\Syst{-3\sp{1.5}x+y&=u\\x-2\sp{1.5}y&=v}$
La matrice carrée $A$ est
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
inversible
si et seulement si ce système admet une solution unique : $\,X=A^{-1}Y\sp{-1.5}.\,$
On résout ce système par
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires, après avoir permuté les deux premières équations pour simplifier :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{\sth3(\sc E)\sp{15}\ss{\sc E_1\,\leftrightarrow\, \sc E_2}\sp{23} &\Syst{x-2\sp{1.5}y&=v\\\ -3\sp{1.5}x+y&=u}\sth2\\[1ex] \ \ss{\sc E_2\ot \sc E_2+3\sp{1.5}\sc E_1}\ &\Syst{\,x-2\sp{1.5}y&=v\\ -5\sp{1.5}y&=u+3\sp{1.5}v}\\[1ex] \ \ss{ \sc E_1\ot \sc E_1-2/5\sp{1.5}\sc E_2}&\Syst{x&=(-2\sp{1.5}u-v)/5\\-5\sp{1.5}y&=u+3\sp{1.5}v}
\\[1ex] \ \ss{\sc E_2\ot -1/5\sp{1.5}\sc E_2}\ &\Syst{\,x&=(-2\sp{1.5}u-v)/5\\y&= (-u-3\sp{1.5}v)/5}}$
Avec une solution unique, la matrice $A$ est bien inversible, et
les coefficients de $A^{-1}$ sont alors les coefficients de $u$ et $v$ dans les expressions de $x$ et $y:$
$\displaystyle{}A^{-1}=\smb2{\dfrac15\,\matr{-2&-1\\ -1&-3}}$
On peut aussi inverser $A$ en transformant la matrice augmentée
$(A|I_2)$ en $(I_2|B)$ par des opérations sur les lignes, d'où $\,A^{-1}=B\sp{1.5}.\,$ Cette méthode, utile en programmation, est pourtant moins souple et moins concrète pour un calcul manuel.
Quoi qu'il en soit, il est vraiment préférable de savoir
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
inverser
directement une matrice $\,2\times2\,$ par :$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
- interversion des termes diagonaux,
- changement des signes des deux autres termes,
- puis division par le déterminant.
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Exercice b
\\(\OPEL\\) Soit $\,A=\matr{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb C)\,$ telle que $\,\Delta=a\sp{1.5}d-b\sp{1.5}c\neq0\sp{1.5}.\,$
Lorsque $\,a\neq0,\,$ inverser $A$ en résolvant un système linéaire.
Montrer ensuite que la formule obtenue vaut encore si $\,a=0\sp{1.5}.\,$
inverse d'une matrice carrée
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
caractérisation de l'inverse d'une matrice
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
méthode d'inversion d'une matrice
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
inversion d'une matrice $2\times2$
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
indication
Résoudre un système linéaire de matrice $A$ et de second membre indéterminé.
réponse
On obtient : $\,A^{-1}=\dfrac1{\Delta}\,\matr{d&\!\!-b\,\\ \!-c&a\,}\,$ dans tous les cas où $\,\Delta=a\sp{1.5}d-b\sp{1.5}c\,$ est non nul.
correction
Pour $\,a\neq 0\,$ et $(u,v)\app\bb R^2,$ on considère le
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire $\,AX=Y:\,$
$\,\,(\sc E)\,\Syst{a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y&=u\sp{1.5},\\c\sp{1.5}x+d\sp{1.5}y&=v\sp{1.5}.}\,$
La matrice carrée $A$ est
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
inversible
si et seulement si ce système admet une solution unique : $\,X=A^{-1}Y.\,$
Sachant que $\,\Delta=a\sp{1.5}d-b\sp{1.5}c\neq0\sp{1.5},\,$ on résout ce système par
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires combinées :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{\sth3(\sc E)\sp{5}\ss{\sc E_2\ot a\sp{1.5}\sc E_2-c\sp{1.5}\sc E_1\stb1} \ &\Syst{\sp{1.5}a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y&=\ph{-c}u \\ \Delta\sp{1.5}y&=-c\sp{1.5}u+a\sp{1.5}v}\\[1.2ex]
\ss{\sc E_1\,\ot\, \Delta\sp{1.5}\sc E_1-b\sp{1.5}\sc E_2\stb{1}}&\Syst{a\sp{1.5}\Delta\sp{1.5}x&=\Delta\sp{1.5}u+b\sp{.75}c\,u-a\sp{.75}b\,v=a\sp{1.5}(d\,u\sp{-1.5}-\sp{-1.5}b\,v)\\ \Delta\sp{1.5}y&=-c\sp{1.5}u+a\sp{1.5}v}\\[-.5ex]
\ss{\sc E_1\ot \sc E_1/(a\sp{.75}\Delta\sp{-1.5})\stb{1}\\[-.75ex]\sc E_2\ot\sc E_2/\sp{-1.5}\Delta}\sp{6}&\Syst{\sp{1.5}x&=(d\sp{1.5}u-b\sp{1.5}v)/\sp{-1.5}\Delta\\ \sp{1.5}y&= (-c\sp{1.5}u+a\sp{1.5}v)/\sp{-1.5}\Delta}}$
On en conclut que la matrice $A$ est bien
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
inversible,
avec pour inverse : $\,A^{-1}=\dfrac1{\Delta}\matr{d&\!\!\!-b\\ \sp{-1.5}-c&a}\!\cdot\,$
Lorsque $\,a=0\sp{1.5},\,$ avec $\,\Delta=-b\sp{1.5}c\neq0\sp{1.5},\,$ on a $\,c\neq0\,$ et on pourrait faire de même en échangeant d'abord $\sc E_1$ et $\,\sc E_2\sp{1.5}.\,$
Il est cependant plus direct de multiplier la matrice $A$ par $\,B=\dfrac1{-b\sp{1.5}c}\matr{d&\!\!\!-b\\ \sp{-1.5}-c&0}:\,$
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}AB=-\frac1{b\sp{1.5}c}\matr{0&b\\ c&d}\!\matr{d&\!\!\!-b\\ \sp{-1.5}-c&0}=\matr{1&0\\0&1}$
Selon la
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
caractérisation
des matrices inverses par un produit unilatéral, on en conclut : $\,B=A^{-1}.\,$
Finalement, quel que soit $\,(a,b,c,d)\app\bb C^4\,$ tel que $\,\Delta=a\sp{1.5}d-b\sp{1.5}c\neq0\sp{1.5},\,$ on a bien : $\,A^{-1}=\dfrac1{\Delta}\matr{d&\!\!\!-b\\ \sp{-1.5}-c&a}\!\cdot\,$
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
On peut aussi inverser $A$ en transformant la matrice augmentée
$(A|I_2)$ en $(I_2|B)$ par des opérations sur les lignes, d'où $\,A^{-1}=B\sp{1.5}.\,$
Cette méthode, utile en programmation, est pourtant moins souple et moins concrète pour un calcul manuel.
Quoi qu'il en soit, il faut retenir qu'on peut s'épargner tous ces calculs en
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
inversant
directement une matrice $\,2\times2\,$ par :$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
- interversion des termes diagonaux,
- changement des signes des deux autres termes,
- puis division par le déterminant.
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Exercice c
\\(\OPEL\\) Inverser la matrice $\,A=\matr{\,0&\!\!-1&\!\!-1\,\\[-.5ex]1&4&5\,\\[-.5ex]1&\!\!-1&\!\!-2\,}\!\cdot\,$
inverse d'une matrice carrée
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
caractérisation de l'inverse d'une matrice
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
méthode d'inversion d'une matrice
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
inversion d'une matrice $2\times2$
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
indication
Résoudre un système linéaire de matrice $A$ et de second membre indéterminé.
réponse
La matrice $\,A\,$ est bien inversible avec : $\,A^{-1}=\dfrac12\matr{3&1&1\,\\ \!-7&\!-1&1\,\\5&1&\!-1\,}\!\sp{-1.5}\cdot\,$
correction
On considère le
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire $\,(\sc E):AX=Y\sp{-1.5},\,$ d'inconnues $\,x,y,z\,$ et de seconds membres indéterminés $\,u,v,w\sp{1.5}.\,$
La matrice carrée $A$ est
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
inversible
si et seulement si ce système admet une solution unique : $\,X=A^{-1}Y.\,$
On procède par
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires combinées, après permutation de $\,\sc E_1\,$ et $\,\sc E_2\,$ pour éviter le pivot nul :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{\sth3(\sc E)\sp{18}\ss{\sc E_1\,\leftrightarrow\, \sc E_2}\sp{33} &\Syst{x+4\sp{1.5}y+5\sp{1.5}z&=v\\[-.5ex] -y\,-\,z\,&=u\\[-.5ex]x-y-2\sp{1.5}z&=w}\\[1ex]
\ss{\sc E_3\ot \sc E_3-\sc E_1\stb{1}}\sp{20}&\Syst{x+4\sp{1.5}y+5\sp{1.5}z&=v\\[-.5ex] -y\,-\,z\,&=u\\[-.5ex] -5\sp{1.5}y-7\sp{1.5}z&=-v+w}\\[1ex]
\ss{\sc E_3\ot -\sc E_3+5\sp{1.5}\sc E_2\stb{1}} \sp{12}&\Syst{x+4\sp{1.5}y+5\sp{1.5}z&=v\\[-.5ex] -y\,-\,z\,&=u\\[-.5ex] 2\sp{1.5}z&=5\sp{1.5}u+v-w}\\[1ex]
\ss{\sc E_2\ot -2\sp{1.5}\sc E_2-\sc E_3\stb{1}} \sp{12}&\Syst{x+4\sp{1.5}y+5\sp{1.5}z&=v\\[-.5ex] 2\sp{1.5}y&=-7\sp{1.5}u-v+w\\[-.5ex] 2\sp{1.5}z&=\ph{-}5\sp{1.5}u+v-w}\\[1ex]
\ss{\sc E_1\ot 2\sp{1.5}\sc E_1-4\sp{1.5}\sc E_2-5\sc E_3\stb{1}} \!&\Syst{2\sp{1.5}x&=\ph{-}3\sp{1.5}u+v+w\\[-.5ex] 2\sp{1.5}y&=-7\sp{1.5}u-v+w\\[-.5ex] 2\sp{1.5}z&=\ph{-}5\sp{1.5}u+v-w}}$
On en conclut que la matrice $A$ est bien
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
inversible,
avec pour inverse :
$\,A^{-1}=\dfrac12\matr{3&1&1\,\\ \!-7&\!-1&1\,\\5&1&\!-1\,}\!\cdot\,$
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
On peut aussi inverser $A$ en transformant la matrice augmentée
$(A|I_2)$ en $(I_2|B)$ par des opérations sur les lignes, d'où $\,A^{-1}=B\sp{1.5}.\,$ Cette méthode, utile en programmation, est pourtant moins souple et moins concrète pour un calcul manuel.
D'autre part, si on connaît la notion de
La comatrice d'une matrice $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ est la matrice de ses cofacteurs :
comatrice
de $A,$ on peut encore utiliser la
$\displaystyle{}\smb1{\op{Com}(A)=\big[(-1)^{i+j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\big]\app\sc M_n(\bb K)}$
où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.
Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.
La comatrice d'une matrice $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ vérifie la relation :
formule :
$\,\det(A)\sp{1.5}A^{-1}=({\rm Com} (A))^T\!.\,$
Cependant cette formule, importante par ailleurs, n'est pas efficace pour inverser des matrices de plus grande taille.$\displaystyle{}A\sp{.75}\op{Com}(A)^T=\op{Com}(A)^T\sp{-1.5}A=\det(A)\sp{1.5}I_n$
Lorsque $A$ est inversible, on en déduit : $\,A^{-1}=\smh{1.5}{\dfrac1{\det(A)}}\,\op{Com}(A)^T.\,$
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Exercice d
\\(\MAT\\) \\(\OPEL\\) Pour $\,a\app \bb{C}\,$ et $\,n\geq 2\sp{1.5},\,$ calculer l'inverse de la matrice $\,n\times n:\,$
$\displaystyle{}A=\matc{1&a&0&\hh&0\\
0&\dd&\dd&\dd&\vv\\
\vv&\dd&\dd&\dd&0\\
\vv&&\dd&\dd&a\\
0&\hh&\hh&0&1}$
inverse d'une matrice carrée
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
caractérisation de l'inverse d'une matrice
Pour toutes matrices carrées $\,A,B\app\sc M_n(\bb{K}),\,$ on a :
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=I_n\Imp B\sp{1.5}A=I_n$
Les matrices $A$ et $B$ sont alors inversibles, avec : $\,B=A^{-1}\,$ et $\,A=B^{-1}.\,$
méthode d'inversion d'une matrice
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
inversion d'une matrice $2\times2$
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
indication
Résoudre un système linéaire de matrice $\,A,\,$ d'inconnue $\,X=[x_i]\,$ et de second membre indéterminé $\,Y=[y_j]\sp{1.5}.\,$
réponse
La matrice $\,A\,$ est bien inversible, avec : $\,A^{-1}=\matrice{}{{rrrrc}\sp{12}1&\llap{-}a\!&\!a^2\!&\hh&\!\!\!(-a)^{n-1}\sp{-18}\\
0&\dd&\dd&\dd&\vv\\
\vv&\dd&\dd&\dd&a^2\\
\vv&&\dd&\dd&\llap{-}a\\
0&\hh&\hh&0&1}{\ \ \ \ }\!\sp{-1.5}\cdot\,$
correction
On considère le
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire $\,(\sc E):AX=Y\sp{-1.5},\,$ d'inconnue $\,X=[x_i]\,$ et de second membre indéterminé $\,Y=[y_j]\sp{1.5}.\,$
La matrice carrée $A$ est
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$
inversible
si et seulement si ce système admet une solution unique : $\,X=A^{-1}Y.\,$
On procède par
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires successives, en modifiant chaque équation à partir de celle qui la suit.
Il importe alors de procéder régressivement de $\,\sc E_{n-1}\,$ à $\,\sc E_1\sp{1.5},\,$ pour utiliser chaque équation $\,\sc E_{i+1}\,$ avant sa modification :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{\sth6(\sc E)\ :&\Syst{x_1+a\sp{1.5}x_2&=y_1\stb{1}\\ \smash{\vdots}\ph{\ \ a\sp{1.5}x_2}&\ph{=}\ \ \smash{\vdots}\\[-.4ex] x_{n-1}+a\sp{1.5}x_n&=y_{n-1}\\ x_n&=y_n}\\[1.5ex]
\ss{\sc E_i\ot \sc E_i\,-\sp{1.5}a\sp{1.5}\sc E_{i+1}\\[-.5ex] {\rm pour} \ i \ {\rm de}\ \sp{1.5}n-1\ \sp{1.5}{\rm à }\ \sp{1.5}1\stb{1}}&\Syst{x_1\ \ &=\ \,y_1\ -\ a\sp{1.5}y_2+\cdots+(-1)^{n-1}a^{n-1}\sp{1.5}y_n\\[.5ex] \smash{\vdots}\ \ \ \ &\ph{=}\ \ \ \,\smash{\vdots}\\[-1ex]x_{n-1}&=y_{n-1}-a\sp{1.5}y_n\\ x_n\ \ &=\ \,y_n}}$
On obtient : $\,x_i=\smb{2}{\dsum_{j=i}^{n}(-a)^{j-i}\sp{1.5}y_{j}}\,,\,$ ce qu'on peut vérifier, directement pour $\,i=n\,$ et par
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :
télescopage
pour $\,i < n:\,$
$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$
On a alors :
$\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$
$\eqalign{x_i+a\sp{1.5}x_{i+1}&=\smh1{\sum_{j=i}^{n}(-a)^{j-i}\sp{1.5}y_{j}+
a\!\sum_{j=i+1}^{n}(-a)^{j-i-1}\sp{1.5}y_{j}}\\[-.5ex]
&=y_i+\smh1{\sum_{j=i+1}^{n}(-a)^{j-i}\sp{1.5}y_{j}-
\!\sum_{j=i+1}^{n}(-a)^{j-i}\sp{1.5}y_{j}}=y_i}$
$A$ est donc
$\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est inversible ssi il existe $\,B\app\sc M_n(\bb{K})\,$ telle que :
inversible
et $A^{-1}$ est la matrice
$\displaystyle{}A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A=I_n$
Cette matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A:$ $\,B=A^{-1}.\,$
Une matrice carrée $A$ de $\sc M_{n}(\bb{K})$ est triangulaire supérieure ssi :
triangulaire
supérieure, de coefficients $\,0\,$ pour $\,j < i\,$ et $\,(-a)^{j-i}\,$ pour $\,j\geq i:\,$
$\displaystyle{}\ptt\, i,j\app\, [\![1,n]\!],\ (\sp{1.5}i > j\,\Imp\,a_{i,j}=0\sp{1.5})$
Leur ensemble $\,\sc T_n^{+}(\bb K)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc M_n(\bb K)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}A^{-1}=\matrice{}{{rrrrc}\sp{12}1&\llap{-}a\!&\!a^2\!&\hh&\!\!\!(-a)^{n-1}\sp{-18}\\
0&\dd&\dd&\dd&\vv\\
\vv&\dd&\dd&\dd&a^2\\
\vv&&\dd&\dd&\llap{-}a\\
0&\hh&\hh&0&1}{\ \ \ \ }$