Sujet A.3.7 Pgcd, ppcm
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Exercice a
\\(\def \t{\!\times\!}\def\a{\alpha}\def\b{\beta}\\)
Déterminer toutes les paires d'entiers naturels $a$ et $b$ admettant $\,180\,$ pour pgcd et $\,10800\,$ pour ppcm.
pgcd de deux entiers
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,(a,b)\neq(0,0)\,;\,$ leur pgcd est leur plus grand diviseur commun dans $\,\bb N:\,$
$\displaystyle{}a\land b=\max\ens{d\app\bb N}{\sp{1.5}d\op{|}a\!\txt{et}\!d\op{|}b\sp{1.5}}$
ppcm de deux entiers
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,a\sp{1.5}b\neq0\,;\,$ leur ppcm est leur plus petit multiple commun dans $\,\bb N^{\ast}\!:\,$
$\displaystyle{}a\lor b=\min\ens{m\app\bb N^{\ast}\!}{\sp{1.5}a\op{|}m\!\txt{et}\!b\op{|}m\sp{1.5}}$
pgcd, ppcm et facteurs premiers
Soient $\,p_1,\dots,p_r\,$ des nombres premiers distincts, et $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que :
$\displaystyle{}a=p_{1}^{\alpha_1}\dots p_{r}^{\alpha_r}\txt{et}b=p_1^{\beta_1}\dots p_r^{\beta_r}\,\txt{pour} \alpha_k,\beta_k\app\bb N$
- on a alors : $\,a\land b=\smh{0}{p_{1}^{\delta_1}\dots p_{r}^{\delta_r}}\,$ pour $\,\delta_k=\min(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5},\,$
- ainsi que : $\,a\lor b=\smh{0}{p_{1}^{\mu_1}\dots p_{r}^{\mu_r}}\,$ pour $\,\mu_k=\max(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5}.\,$
principe de l'algorithme d'Euclide
Pour tous $\,a,\sp{.75}b\app\bb Z\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a : $\,a\land b=b\land(a-b\sp{1.5}k)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
indication
Commencer par décomposer $\,180\,$ et $\,10800\,$ en facteurs premiers.
réponse
On obtient comme solutions les quatre paires suivantes :
$\displaystyle{}\{\sp{1.5}180,\,10800\sp{1.5}\},\ \{\sp{1.5}540,\,3600\sp{1.5}\},\ \{\sp{1.5}900,\,2160\sp{1.5}\},\ \{\sp{1.5}2700,\,720\sp{1.5}\}$
correction
On commence par
Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :
décomposer
$\,180\,$ et $\,10800\,$ en facteurs
$\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$
où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$
Un nombre premier est un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$
L'ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.
premiers :
$\eqalign{ 180&=10\t18=2\t5\t2\t9=2^2\t3^2\t5\\
10800&=100\t108=4\t25\t4\t27=2^4\t3^3\t5^2}$
Le
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,(a,b)\neq(0,0)\,;\,$ leur pgcd est leur plus grand diviseur commun dans $\,\bb N:\,$
pgcd
$\,a\land b\,$ et le
$\displaystyle{}a\land b=\max\ens{d\app\bb N}{\sp{1.5}d\op{|}a\!\txt{et}\!d\op{|}b\sp{1.5}}$
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,a\sp{1.5}b\neq0\,;\,$ leur ppcm est leur plus petit multiple commun dans $\,\bb N^{\ast}\!:\,$
ppcm
$\,a\lor b\,$ s'expriment en fonction des
$\displaystyle{}a\lor b=\min\ens{m\app\bb N^{\ast}\!}{\sp{1.5}a\op{|}m\!\txt{et}\!b\op{|}m\sp{1.5}}$
Soient $\,p_1,\dots,p_r\,$ des nombres premiers distincts, et $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que :
décompositions
de $\,a\,$ et $\,b\,$ en facteurs premiers, d'où :
$\displaystyle{}a=p_{1}^{\alpha_1}\dots p_{r}^{\alpha_r}\txt{et}b=p_1^{\beta_1}\dots p_r^{\beta_r}\,\txt{pour} \alpha_k,\beta_k\app\bb N$
- on a alors : $\,a\land b=\smh{0}{p_{1}^{\delta_1}\dots p_{r}^{\delta_r}}\,$ pour $\,\delta_k=\min(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5},\,$
- ainsi que : $\,a\lor b=\smh{0}{p_{1}^{\mu_1}\dots p_{r}^{\mu_r}}\,$ pour $\,\mu_k=\max(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{ a=&2^{\a_1}\t3^{\a_2}\t5^{\a_3}\txt{et}b=2^{\b_1}\t3^{\b_2}\t5^{\b_3}, \txt{avec :}\\
180=&a\land b=2^{\min(\a_1,\b_1)}\t3^{\min(\a_2,\b_2)}\t5^{\min(\a_3,\b_3)}\\
10800=&a\lor b=2^{\max(\a_1,\b_1)}\t3^{\max(\a_2,\b_2)}\t5^{\max(\a_3,\b_3)}}$
Toute paire de réels distincts contient exactement deux éléments : son
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est un minorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$
Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$ $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$
minimum
et son
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
maximum.
On déduit alors de l'unicité des décompositions de $\,180\,$ et $\,10800\,$ les trois paires suivantes :
$\displaystyle{}\{\a_1,\b_1\}=\{2,4\},\ \{\a_2,\b_2\}=\{2,3\},\ \{\a_3,\b_3\}=\{1,2\}$
Chaque élément de $\,\{2,4\}\t\{2,3\}\t\{1,2\}\,$ détermine une valeur de $a\sp{1.5},$ et par complémentation une valeur de $b\sp{1.5}.$
On en déduit huit couples $(a\sp{1.5},b)$ avec $\,a\neq b\sp{1.5},\,$ d'où quatre paires $\{a,b\}$ seulement, car $a$ et $b$ sont interchangeables :
$\eqalign{\{a,b\}&=\big\{2^2\t3^2\t5\sp{1.5},\,2^4\t3^3\t5^2\big\}=\{\,180,\,10800\,\}\\
\{a,b\}&=\big\{2^2\t3^3\t5\sp{1.5},\,2^4\t3^2\t5^2\big\}=\{\,540,\,3600\,\}\\
\{a,b\}&=\big\{2^2\t3^2\t5^2\sp{1.5},\,2^4\t3^3\t5\big\}=\{\,900,\,2160\,\}\\
\{a,b\}&=\big\{2^2\t3^3\t5^2\sp{1.5},\,2^4\t3^2\t5\big\}=\{\,2700,\,720\,\}}$
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Exercice b
Pour $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ calculer le pgcd et le ppcm de $\,3\sp{1.5}n+5\,$ et $\,2\sp{1.5}n+4\,.\,$
pgcd de deux entiers
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,(a,b)\neq(0,0)\,;\,$ leur pgcd est leur plus grand diviseur commun dans $\,\bb N:\,$
$\displaystyle{}a\land b=\max\ens{d\app\bb N}{\sp{1.5}d\op{|}a\!\txt{et}\!d\op{|}b\sp{1.5}}$
ppcm de deux entiers
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,a\sp{1.5}b\neq0\,;\,$ leur ppcm est leur plus petit multiple commun dans $\,\bb N^{\ast}\!:\,$
$\displaystyle{}a\lor b=\min\ens{m\app\bb N^{\ast}\!}{\sp{1.5}a\op{|}m\!\txt{et}\!b\op{|}m\sp{1.5}}$
pgcd, ppcm et facteurs premiers
Soient $\,p_1,\dots,p_r\,$ des nombres premiers distincts, et $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que :
$\displaystyle{}a=p_{1}^{\alpha_1}\dots p_{r}^{\alpha_r}\txt{et}b=p_1^{\beta_1}\dots p_r^{\beta_r}\,\txt{pour} \alpha_k,\beta_k\app\bb N$
- on a alors : $\,a\land b=\smh{0}{p_{1}^{\delta_1}\dots p_{r}^{\delta_r}}\,$ pour $\,\delta_k=\min(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5},\,$
- ainsi que : $\,a\lor b=\smh{0}{p_{1}^{\mu_1}\dots p_{r}^{\mu_r}}\,$ pour $\,\mu_k=\max(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5}.\,$
principe de l'algorithme d'Euclide
Pour tous $\,a,\sp{.75}b\app\bb Z\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a : $\,a\land b=b\land(a-b\sp{1.5}k)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
indication
Utiliser le principe de l'algorithme d'Euclide.
réponse
On obtient deux cas selon la parité de $\,n:\,$
- lorsque $\,n\,$ est pair : $\,\tabl{[t]{l}&(3\sp{1.5}n+5)\land(2\sp{1.5}n+4)=1\\[-.25ex]&(3\sp{1.5}n+5)\lor(2\sp{1.5}n+4)=2\sp{1.5}(3\sp{1.5}n+5)\sp{1.5}(n+2)}\,$
- lorsque $\,n\,$ est impair : $\,\tabl{[t]{l}&(3\sp{1.5}n+5)\land(2\sp{1.5}n+4)=2\\&(3\sp{1.5}n+5)\lor(2\sp{1.5}n+4)=(3\sp{1.5}n+5)\sp{1.5}(n+2)}\,$
correction
Pour tous $\,a,b\app\bb N^{\ast}\!,\,$ on note : $\,a\land b\,$ le
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,(a,b)\neq(0,0)\,;\,$ leur pgcd est leur plus grand diviseur commun dans $\,\bb N:\,$
pgcd
de $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5},\,$ et : $\,a\lor b\,$ leur
$\displaystyle{}a\land b=\max\ens{d\app\bb N}{\sp{1.5}d\op{|}a\!\txt{et}\!d\op{|}b\sp{1.5}}$
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,a\sp{1.5}b\neq0\,;\,$ leur ppcm est leur plus petit multiple commun dans $\,\bb N^{\ast}\!:\,$
ppcm.
D'après le
$\displaystyle{}a\lor b=\min\ens{m\app\bb N^{\ast}\!}{\sp{1.5}a\op{|}m\!\txt{et}\!b\op{|}m\sp{1.5}}$
Pour tous $\,a,\sp{.75}b\app\bb Z\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a : $\,a\land b=b\land(a-b\sp{1.5}k)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
principe
de l'algorithme d'Euclide, on a :
$\eqalign{ (3\sp{1.5}n+5)\land(2\sp{1.5}n+4)&=(2\sp{1.5}n+4)\land\big((3\sp{1.5}n+5)-(2\sp{1.5}n+4)\big)\\ &=(2\sp{1.5}n+4)\land(n+1)\\
&=(n+1)\land\big((2\sp{1.5}n+4)-2\sp{1.5}(n+1)\big)\\ &=(n+1)\land 2}$
On obtient alors la valeur de $\,(3\sp{1.5}n+5)\land(2\sp{1.5}n+4)\sp{1.5},\,$ en distinguant deux cas selon la parité de $\,n:\,$
- Si $\,n\,$ est
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$ Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$pair, le nombre $\,2\,$ ne$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :divise pas $\,(n+1)\,$ et donc, $\,2\,$ étant un nombre$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$Un nombre premier est un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$ L'ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.premier :$\displaystyle{}(3\sp{1.5}n+5)\land(2\sp{1.5}n+4)=1$
- si $\,n\,$ est
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$ Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$impair, le nombre $\,2\,$ étant un$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :diviseur commun à $\,(n+1)\,$ et $\,2\sp{1.5},\,$ on a :$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$$\displaystyle{}(3\sp{1.5}n+5)\land(2\sp{1.5}n+4)=2$
Pour deux entiers relatifs non nuls $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5},\,$ on a alors la relation :
relation
suivante entre le pgcd et le ppcm :
$\displaystyle{}(a\land b)\sp{1.5}(a\lor b)=\big|\sp{.75}a\sp{1.5}b\sp{.75}\big|$
$\displaystyle{}(3\sp{1.5}n+5)\lor(2\sp{1.5}n+4)=\frac{(3\sp{1.5}n+5)\sp{1.5}(2\sp{1.5}n+4)}{(3\sp{1.5}n+5)\land(2\sp{1.5}n+4)}$
On en déduit la valeur de $\,(3\sp{1.5}n+5)\lor(2\sp{1.5}n+4)\sp{1.5},\,$ toujours selon la parité de $\,n:\,$
- si $n$ est pair : $\,(3\sp{1.5}n+5)\lor(2\sp{1.5}n+4)=2\sp{1.5}(3\sp{1.5}n+5)\sp{1.5}(n+2)\,;\,$
- si $n$ est impair : $\,(3\sp{1.5}n+5)\lor(2\sp{1.5}n+4)=(3\sp{1.5}n+5)\sp{1.5}(n+2)\,.\,$
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Exercice c
Étant donnés deux entiers naturels $\,d\,$ et $\,m\sp{1.5},\,$ déterminer le nombre de couples $\,(a,b)\app(\bb N^{\ast}\!\sp{1.5})^2\,$ tels que :
$\displaystyle{}a\land b=d\,\txt{et}\,a\lor b=m$
où $\,a\land b\,$ et $\,a\lor b\,$ désignent respectivement le pgcd et le ppcm de $a$ et $b\sp{1.5}.$
pgcd de deux entiers
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,(a,b)\neq(0,0)\,;\,$ leur pgcd est leur plus grand diviseur commun dans $\,\bb N:\,$
$\displaystyle{}a\land b=\max\ens{d\app\bb N}{\sp{1.5}d\op{|}a\!\txt{et}\!d\op{|}b\sp{1.5}}$
ppcm de deux entiers
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,a\sp{1.5}b\neq0\,;\,$ leur ppcm est leur plus petit multiple commun dans $\,\bb N^{\ast}\!:\,$
$\displaystyle{}a\lor b=\min\ens{m\app\bb N^{\ast}\!}{\sp{1.5}a\op{|}m\!\txt{et}\!b\op{|}m\sp{1.5}}$
pgcd, ppcm et facteurs premiers
Soient $\,p_1,\dots,p_r\,$ des nombres premiers distincts, et $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que :
$\displaystyle{}a=p_{1}^{\alpha_1}\dots p_{r}^{\alpha_r}\txt{et}b=p_1^{\beta_1}\dots p_r^{\beta_r}\,\txt{pour} \alpha_k,\beta_k\app\bb N$
- on a alors : $\,a\land b=\smh{0}{p_{1}^{\delta_1}\dots p_{r}^{\delta_r}}\,$ pour $\,\delta_k=\min(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5},\,$
- ainsi que : $\,a\lor b=\smh{0}{p_{1}^{\mu_1}\dots p_{r}^{\mu_r}}\,$ pour $\,\mu_k=\max(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5}.\,$
principe de l'algorithme d'Euclide
Pour tous $\,a,\sp{.75}b\app\bb Z\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a : $\,a\land b=b\land(a-b\sp{1.5}k)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
indication
Partir a priori des décompositions de $\,a\,$ et $\,b\,$ en facteurs premiers.
réponse
Le nombre de couples $\,(a,b)\app(\bb N^{\ast}\!\sp{1.5})^2\,$ tels que
$\,\,a\land b=d\txt{et}a\lor b=m\,$ est :
- $\,0\,$ si $\,d\,$ ne divise pas $\,m\,;\,$
- $\,2^q\,$ si $\,d\,$ divise $\,m\sp{1.5},\,$ en notant $\,q\,$ le nombre des facteurs premiers de l'entier $\,m\!\sp{1.5}/\!\sp{1.5}d\sp{1.5}.\,$
correction
On suppose qu'il existe un couple $\,(a,b)\,$ d'entiers naturels non nuls tels que : $\,a\land b=d\,$ et $\,a\lor b=m\sp{1.5}.\,$
On considère alors les nombres
Un nombre premier est un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$
L'ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.
premiers :
$\,p_1 < \cdots < p_r\sp{1.5},\,$ figurant dans leurs
Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :
décompositions
en facteurs premiers :
$\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$
où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$
$\eqalign{&a=p_{1}^{\alpha_1}\dots p_{r}^{\alpha_r} \txt{et} b=p_1^{\beta_1}\dots p_r^{\beta_r}\\
&\txt{pour :}(\alpha_1,\dots,\alpha_r),\,(\beta_1,\dots,\beta_r)\app\bb N^r}$
il résulte alors de
Soient $\,p_1,\dots,p_r\,$ des nombres premiers distincts, et $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que :
l'expression
du
$\displaystyle{}a=p_{1}^{\alpha_1}\dots p_{r}^{\alpha_r}\txt{et}b=p_1^{\beta_1}\dots p_r^{\beta_r}\,\txt{pour} \alpha_k,\beta_k\app\bb N$
- on a alors : $\,a\land b=\smh{0}{p_{1}^{\delta_1}\dots p_{r}^{\delta_r}}\,$ pour $\,\delta_k=\min(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5},\,$
- ainsi que : $\,a\lor b=\smh{0}{p_{1}^{\mu_1}\dots p_{r}^{\mu_r}}\,$ pour $\,\mu_k=\max(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5}.\,$
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,(a,b)\neq(0,0)\,;\,$ leur pgcd est leur plus grand diviseur commun dans $\,\bb N:\,$
pgcd
$\,a\land b\,$ et du
$\displaystyle{}a\land b=\max\ens{d\app\bb N}{\sp{1.5}d\op{|}a\!\txt{et}\!d\op{|}b\sp{1.5}}$
Soient $\,a\sp{1.5},b\app\bb Z\,$ tels que $\,a\sp{1.5}b\neq0\,;\,$ leur ppcm est leur plus petit multiple commun dans $\,\bb N^{\ast}\!:\,$
ppcm
$\,a\lor b\,$ en fonction de ces décompositions que :
$\displaystyle{}a\lor b=\min\ens{m\app\bb N^{\ast}\!}{\sp{1.5}a\op{|}m\!\txt{et}\!b\op{|}m\sp{1.5}}$
$\eqalign{d&=p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)}\!\dots \,p_r^{\min(\alpha_r,\beta_r)}\\
m&=p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}\!\dots \,p_r^{\max(\alpha_r,\beta_r)}}$
Il s'ensuit que $\,d\,$ est un
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
diviseur
de $\,m\sp{1.5},\,$ en vertu du critère de
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
Soient $\,p_1,\dots,p_r\,$ des nombres premiers distincts, et $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que :
divisibilité
relatif à ces expressions.
Réciproquement, considérons les décompositions de $\,d\,$ et $\,m\,$ sous la forme :
$\displaystyle{}a=p_{1}^{\alpha_1}\dots p_{r}^{\alpha_r}\txt{et}b=p_1^{\beta_1}\dots p_r^{\beta_r}\,\txt{pour} \alpha_k,\beta_k\app\bb N$
Alors $\,a\,$ est un diviseur de $\,b\,$ ssi : $\,\ptt k\app\,[\![1,r]\!]\sp{1.5},\ \alpha_k\leq\beta_k\,.\,$
$\eqalign{&d=p_1^{\delta_1}\dots p_r^{\delta_r}\ \txt{et}\ m=p_1^{\mu_1}\dots p_r^{\mu_r}\\
&\txt{avec :} \ \ptt k\app\,[\![\sp{.75}1,r\sp{.75}]\!]\sp{1.5},\ \delta_k\leq\mu_k}$
On peut alors en déduire les valeurs possibles de $\alpha_k$ et $\beta_k$ selon $\delta_k$ et $\mu_k:$
- $\,\alpha_k=\beta_k=\delta_k,\,$ lorsque : $\,\delta_k=\mu_k\,;\,$
- $\,(\alpha_k,\beta_k)=(\delta_k,\mu_k)\,$ ou $\,(\alpha_k,\beta_k)=(\mu_k, \delta_k),\,$ lorsque : $\,\delta_k\neq\mu_k\sp{1.5}.\,$
Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est fini, avec :
cardinal
de l'ensemble :
$\,\dprod_{k=1}^r\big\{(\delta_k,\mu_k),(\mu_k, \delta_k)\big\}\!\cdot\,$
Ce nombre vaut alors $\,2^q,\,$ où $\,q\,$ désigne le nombre des indices $\,k\app\sp{1.5}[\![\sp{.75}1,r\sp{.75}]\!]\,$ tels que : $\,\delta_k\neq\mu_k\sp{1.5}.\,$
Étant donné que :
$\,\dfrac md=p_1^{\,\mu_1-\delta_1}\!\dots \,p_r^{\,\mu_r-\delta_r},\,$
$\,q\,$ est le nombre des facteurs premiers de l'entier $\,\dfrac md\!\cdot\,$
Le nombre de couples $\,(a,b)\app(\bb N^{\ast}\!\sp{1.5})^2\,$ tels que
$\,a\land b=d\txt{et}a\lor b=m\,$ est donc : $\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$
$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$
- $\,0\,\,$ lorsque $\,d\,$ ne divise pas $\,m\sp{1.5},\,$
- $\,2^q\,$ lorsque $\,d\,$ divise $\,m\sp{1.5},\,$ en notant $\,q\,$ le nombre des facteurs premiers de l'entier $\,m\sp{-1.5}/\sp{-1.5}d\sp{1.5}.\,$