exercices de mathématiques - prépa et université

On remarque que, selon la formule du

Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$

binôme :

Cette expression, étant de la forme $\,a^3+b^3=a^3-(-b)^3,\,$ elle se

Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$

factorise comme suit :

L'expression $\,n^2-5\sp{1.5}n+13\sp{1.5},\,$ de coefficient dominant $\,1\,$ et de

Soit, pour $(a,b,c)\app\bb R^{\ast}\!\times\sp{-1.5}\bb R^2\sp{1.5},$ l'équation : $\,a\sp{1.5}x^2+b\sp{1.5}x+c=0\sp{1.5}.\,$

Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\bb R\sp{1.5}:$

• aucune racine si $\,\smh{.5}\Delta < 0\,;\,$
• une seule racine si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.7}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
• deux racines distinctes si $\,\Delta > 0\sp{1.5}:\,$  $\,x=\smh{0.2}{\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\sp{1.5}a}}\!\cdot\,$

discriminant négatif, est donc positive pour tout $\,n\app\bb N\sp{1.5}.\,$

Les deux facteurs de $A_n$ étant positifs, cela nous prouve que l'entier $A_n$ est bien un entier naturel.

Ce nombre $A_n$ est ainsi le produit de deux entiers naturels distincts de $\,1\sp{1.5},\,$ car d'une part : $\,n+2\geq2\sp{1.5},\,$ et d'autre part :

$A_n$ est donc un entier différent de $\,1\sp{1.5},\,$ admettant dans $\,\bb N\,$ un

$\,a\app\bb Z\,$ est  un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est  un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :

$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$

On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$

diviseur $\,d=n+2\,,\,$ distinct de $\,1\,$ et de $A_n$ lui-même.

Il s'ensuit, selon la définition d'un nombre

Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.

premier, que $A_n$ n'est pas premier.

Les nombres $\,A_0=2^0-1=0\,$ et $\,A_1=2^1-1=1\,$ n'étant pas

Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.

premiers, on a nécessairement $\,n\geq2\sp{1.5}.\,$

On suppose que l'entier $A_n$ est un nombre premier, et on va montrer par l'absurde que $\,n\,$ est lui aussi premier :

• Si $\,n\,$ n'était pas premier, il admettrait par définition un
  $\,a\app\bb Z\,$ est  un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est  un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :

  $\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$

  On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
  diviseur $\,d\app\bb N\,$ distinct de $\,1\,$ et de $\,n\sp{1.5}.\,$
  En d'autres termes, il existerait $\,(d,q)\app\bb N^2\,$ tel que $\,n=d\sp{1.5}q,\,$ avec $\,d > 1\,$ et $\,q > 1,\,$ et on aurait la
  Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ on a la formule :

  $\displaystyle{}a^n-b^n=(a-b){\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}a^k\sp{1.5}b^{n-1-k}\bigg)}$
  factorisation :
  $\displaystyle{}2^n-1=2^{\sp{.75}d\sp{1.5}q}-1=\big(2^d\big)^{\sp{-1.5}q}-1=\big(2^d-1\big)\,\smb{2.5}{\smh{2}{\sum_{k=0}^{q-1}\big(2^d\big)^{\sp{-1.5}k}}}$
  L'entier $\,A_n=2^n-1\,$ serait ainsi
  $\,a\app\bb Z\,$ est  un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est  un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :

  $\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$

  On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
  divisible par $\,D=2^d-1,\,$ avec :
  $\eqalign{&D\neq1&\!\txt{car :}d > 1\Imp2^d-1 > 2^1-1=1\\ &D\neq A_n&\!\txt{car :}q > 1\Imp2^d-1<2^{\sp{.75}d\sp{1.5}q}-1=A_n}$
  Le nombre $\,A_n=2^n-1\,$ admettrait donc dans $\,\bb N\,$ un diviseur $\,D\,$ distinct de $\,1\,$ et de $A_n$ lui-même.
  Cette conclusion est en contradiction avec l'hypothèse initiale selon laquelle $A_n$ est
  Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

  L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.
  premier.

• On a donc démontré par l'absurde que si $\,A_n=2^n-1\,$ est premier, alors $\,n\,$ est nécessairement premier.

On suppose que l'entier $A_n$ est un nombre premier et on va raisonner deux fois par l'absurde :

• Supposons que $\,a\,$ soit
  Un entier relatif $a$ est pair  ssi  il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire  ssi  il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$

  Les entiers non pairs  sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
  impair ; alors le nombre $\,a^n\,$ serait impair, ce qui se prouve :
  • soit en montrant que tout produit de nombres impairs est impair, car avec $\,q\sp{1.5},q'\app\bb N:\,$
    $\displaystyle{}(2\sp{1.5}q+1)(2\sp{1.5}q'+1)=2\sp{1.5}(2\sp{1.5}q\sp{.75}q'+q+q')+1$
  • soit par un
    La relation de congruence modulo $\,n\app\bb N\,$ sur $\bb Z$  est  compatible avec la somme et le produit :

    $\displaystyle{}\syst{\ a&\equiv a'\sp{-1.5}&[\sp{.75}n\sp{.75}]\ \\[-.5ex] b&\equiv b'\sp{-1.5}&[\sp{.75}n\sp{.75}]}\Imp \syst{\sp{1.5}a+b&\equiv a'+b'\ [\sp{.75}n\sp{.75}]\\[-.5ex] a\sp{1.5}b&\equiv a'\sp{1.5}b'\ [\sp{.75}n\sp{.75}]}$
    produit de congruences, avec :  $\,a\equiv1\ [\sp{.75}2\sp{.75}]\Imp a^n\equiv 1^n=1\ [\sp{.75}2\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
  Le nombre $\,A_n=a^n+1\,$ serait donc pair et distinct de $\,2,\,$ puisque :
  $\displaystyle{}(a\geq2\txt{et}n\geq1)\Imp A_n=a^n+1\geq 2^1+1=3$
  $A_n$ admettrait alors $\,2\,$ comme diviseur strict, en contradiction avec l'hypothèse que $A_n$ est
  Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

  L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.
  premier.
  On a ainsi démontré par l'absurde que si $\,A_n=a^n+1\,$ est premier, le nombre $\,a\,$ est pair.

• On suppose maintenant que $\,n\,$ ne soit pas une puissance de $\,2\sp{1.5};\,$ $\,n\,$ est alors distinct de $\,1=2^0\,$ et $\,2=2^1\sp{1.5}.\,$
  Il admet donc un facteur
  Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :

  $\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$

  où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$
  premier $\,p\geq3\sp{1.5},\,$ nécessairement impair puisque $\,2\,$ est le seul nombre premier pair.
  Dans ces conditions, il existerait $\,q\app\bb N\,$ tel que $\,n=p\sp{1.5}q\sp{1.5},\,$ d'où la
  Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ on a la formule :

  $\displaystyle{}a^n-b^n=(a-b){\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}a^k\sp{1.5}b^{n-1-k}\bigg)}$
  factorisation :
  $\eqalign{a^n+1&=(a^q)^p +1=(a^q)^p -(-1)^p\\&=(a^q -(-1))\sp{1.5}\sum_{k=0}^{p-1}(a^q)^k\sp{1.5}(-1)^{p-1-k}\\[-1ex] &=(a^q +1)\sp{1.5}\sum_{k=0}^{p-1}\,(-a^q)^k}$
  En effet, $\,p\,$ étant impair, on a : $\,(-1)^{p-1-k}=(-1)^{-k}=(-1)^k\sp{1.5}.\,$
  Dans ces conditions, le nombre $\,A_n=a^n+1\,$ serait
  $\,a\app\bb Z\,$ est  un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est  un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :

  $\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$

  On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
  divisible par $\,D=a^q+1\sp{1.5},\,$ avec :
  $\eqalign{ &D\neq1&\!\txt{car :}q\geq0\Imp a^q+1\geq a^0+1=2\\ &D\neq A_n&\!\txt{car :}p > 1\Imp a^q+1 < a^{p\sp{1.5}q}+1=A_n}$
  Le nombre $\,A_n=a^n+1\,$ admettrait ainsi dans $\,\bb N\,$ un diviseur $\,D\,$ distinct de $\,1\,$ et de lui-même.
  Cette conclusion contredit l'hypothèse initiale selon laquelle $A_n$ est
  Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

  L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.
  premier.
  On a ainsi démontré par l'absurde que si $\,A_n=a^n+1\,$ est premier, $\,n\,$ est une puissance de $\,2\sp{1.5}.\,$