Sujet A.3.4 Divisibilité
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Exercice a
Résoudre dans $\,\bb Z^2\,$ l'équation d'inconnue $\,(x,y):\,$
$\,\ 2\sp{.75}x^2+x\sp{.75}y+7=0\sp{1.5}.\,$
relation de divisibilité dans $\bb Z$
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
divisibilité et opérations
Soient $\,a\sp{1.5},\,$ $b$ et $\,d\,$ des entiers relatifs ; on a alors les implications :
- $\,\big(d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\txt{et}d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\big)\Imp d\ \big|(a+b)\sp{1.5};\,$
- $\,d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\Imp d\ \big|\sp{1.5}(a\sp{1.5}b)\sp{1.5}.\,$
division euclidienne dans $\bb Z$
Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$
$q$ et $r$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$
indication
Montrer d'abord que si $\,(x,y)\app\bb Z^2\,$ est une solution de cette équation, $|x|$ est un diviseur de $\,7\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient comme ensemble des solutions de l'équation
$\,\ 2\sp{.75}x^2+x\sp{.75}y+7=0:\,$
$\displaystyle{}\sc S=\big\{(-1,-15),\,(1,15)\,(-7,-19),\,(7,19)\big\}$
correction
Si $\,(x,y)\app\bb Z^2\,$ est solution, on a : $\,x\sp{.75}(2\sp{.75}x +y)=-7\sp{1.5},\,$
si bien que $|x|$ est un
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
diviseur
de $\,7\sp{1.5}.\,$
L'entier $\,7\,$ étant un nombre
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
Un nombre premier est un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$
L'ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.
premier,
il a pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,7\sp{1.5},\,$ si bien que :
$\displaystyle{}x\app\big\{-1,+1,-7,+7\big\}$
Dans le
Pour les opérations usuelles, $\,(\bb Q\sp{1.5},+\sp{1.5},\times)\,$ est un corps.
corps
$\,(\bb Q,+,\times)\sp{1.5},\,$ pour chacune de ces valeurs, l'équation proposée est équivalente à : $\displaystyle{}y=-\dfrac7x-2\sp{.75}x$
On en déduit l'ensemble des solutions $\,(x,y)\app\bb Z^2\,$ de l'équation
$\,2\sp{.75}x^2+x\sp{.75}y+7=0:\,$
$\displaystyle{}\sc S=\big\{(-1,9),\,(1,-9),\,(-7,15),\,(7,-15)\big\}$
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Exercice b
Démontrer que la somme des cubes de trois entiers naturels consécutifs est divisible par $\,9\sp{1.5}.\,$
relation de divisibilité dans $\bb Z$
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
divisibilité et opérations
Soient $\,a\sp{1.5},\,$ $b$ et $\,d\,$ des entiers relatifs ; on a alors les implications :
- $\,\big(d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\txt{et}d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\big)\Imp d\ \big|(a+b)\sp{1.5};\,$
- $\,d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\Imp d\ \big|\sp{1.5}(a\sp{1.5}b)\sp{1.5}.\,$
division euclidienne dans $\bb Z$
Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$
$q$ et $r$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$
indication
Écrire cette somme sous la forme $\,(k-1)^3+k^3+(k+1)^3\,$ pour un entier $\,k\geq1\sp{1.5}.\,$
réponse
La somme des cubes de trois entiers naturels consécutifs est bien divisible par $\,9\sp{1.5}.\,$
correction
Une telle somme s'écrit $\,S_k=(k-1)^3+k^3+(k+1)^3\,$ pour
$\,k\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ c'est-à-dire selon la formule du
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
binôme :
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
$\eqalign{S_k&=\big(k^3-3\sp{1.5}k^2+3\sp{.75}k-1\big)+k^3+\big(k^3+3\sp{1.5}k^2+3\sp{1.5}k+1\big)\\[-.5ex]
&=3\sp{1.5}k^3+6\sp{1.5}k=3\sp{1.5}k\big(k^2+2\big)}$
On est donc conduit à distinguer deux cas :
- si $\,k\,$ est un
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :multiple de 3, alors $\,3\sp{1.5}k\,$ est multiple de $\,9\sp{1.5},\,$ ainsi alors que le$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$Soient $\,a\sp{1.5},\,$ $b$ et $\,d\,$ des entiers relatifs ; on a alors les implications :produit $\,S_k=3\sp{1.5}k\big(k^2+2\big).\,$
- $\,\big(d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\txt{et}d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\big)\Imp d\ \big|(a+b)\sp{1.5};\,$
- $\,d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\Imp d\ \big|\sp{1.5}(a\sp{1.5}b)\sp{1.5}.\,$
- sinon, par
Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :division euclidienne, $\,k\,$ s'écrit $\,3\sp{1.5}q+1\,$ ou $\,3\sp{1.5}q+2\,$ d'où deux éventualités pour la valeur de $\,k^2+2:\,$$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$$q$ et $r$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$$\eqalign{&(3\sp{1.5}q+1)^2\sp{-1.5}+2=9\sp{1.5}q^2+6\sp{1.5}q+3=3\sp{1.5}(3\sp{1.5}q^2+2\sp{1.5}q+1)\\ &(3\sp{1.5}q+2)^2\sp{-1.5}+2=9\sp{1.5}q^2+6\sp{1.5}q+6=3\sp{1.5}(3\sp{1.5}q^2+2\sp{1.5}q+2)}$À chaque fois, $\,k^2+2\,$ est un multiple de $\,3\sp{1.5},\,$ et leSoient $\,a\sp{1.5},\,$ $b$ et $\,d\,$ des entiers relatifs ; on a alors les implications :produit $\,S_k=3\sp{1.5}k\big(k^2+2\big)\,$ est donc un multiple de $\,9\sp{1.5}.\,$
- $\,\big(d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\txt{et}d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\big)\Imp d\ \big|(a+b)\sp{1.5};\,$
- $\,d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\Imp d\ \big|\sp{1.5}(a\sp{1.5}b)\sp{1.5}.\,$
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
divisible
par $\,9\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
Les calculs sont similaires si on écrit $\,S_k\,$ sous la forme $\,S_k=k^3+(k+1)^3+(k+2)^3,\,$ pour $\,k\geq0\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
Démontrer que pour tout entier $\,n\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}3\sp{1.5},\,$ le nombre $\,2^{4\sp{1.5}n}-12\,.\sp{.75}5^n\,$ est un entier naturel divisible par $\,11\sp{1.5}.\,$
relation de divisibilité dans $\bb Z$
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
divisibilité et opérations
Soient $\,a\sp{1.5},\,$ $b$ et $\,d\,$ des entiers relatifs ; on a alors les implications :
- $\,\big(d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\txt{et}d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\big)\Imp d\ \big|(a+b)\sp{1.5};\,$
- $\,d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\Imp d\ \big|\sp{1.5}(a\sp{1.5}b)\sp{1.5}.\,$
division euclidienne dans $\bb Z$
Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$
$q$ et $r$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$
indication
1
Utiliser une factorisation de l'expression : $\,16^n-5^n\,.\,$
indication
2
Ce résultat peut aussi se montrer plus directement au moyen de congruences.
réponse
Pour tout entier $\,n\geq3\sp{1.5},\,$ le nombre $\,2^{4\sp{1.5}n}-12\,.\sp{.75}5^n\,$ est bien un entier naturel divisible par $\,11\sp{1.5}.\,$
correction
Ce nombre s'écrit $\,16^n-12\,.\sp{.75}5^n\sp{1.5};\,$ pour tout $\,n\geq3\sp{1.5},\,$
c'est bien un entier naturel car :
$\displaystyle{}16^n>15^n=3^n.\sp{.75}5^n\geq3^3.\sp{.75}5^n=27\,.\sp{.75}5^n>12\,.\sp{.75}5^n$
D'autre part, on peut écrire la décomposition suivante :
$\displaystyle{}16^n-12\,.\sp{.75}5^n=(16^n-5^n)-11 . 5^n$
On a alors, selon la
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ on a la formule :
factorisation
de $\,a^n-b^n:\,$
$\displaystyle{}a^n-b^n=(a-b){\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}a^k\sp{1.5}b^{n-1-k}\bigg)}$
$\displaystyle{}16^n-5^n=
11 \!\times\!\sum_{k=0}^{n-1}16^k \sp{.75}. 5^{n-1-k}$
La somme étant entière, comme somme de produits d'entiers, le nombre $\,16^n-5^n\,$ est
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
divisible
par $\,11\sp{1.5}.\,$
Le nombre $\,2^{4n}-12\,.\sp{.75} 5^n\,$ est donc bien divisible par $\,11,\,$ comme
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
Soient $\,a\sp{1.5},\,$ $b$ et $\,d\,$ des entiers relatifs ; on a alors les implications :
différence
de deux multiples de $\,11\sp{1.5}.\,$
- $\,\big(d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\txt{et}d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\big)\Imp d\ \big|(a+b)\sp{1.5};\,$
- $\,d\sp{1.5}\big|\sp{1.5}a\Imp d\ \big|\sp{1.5}(a\sp{1.5}b)\sp{1.5}.\,$
Ce résultat peut aussi se montrer par
Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :
récurrence
en écrivant :
- $P(n_0)$ soit vraie,
- et $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$
$\displaystyle{}16^{n+1}-12\,.\sp{.75} 5^{n+1}=5\,(16^{n}-12\,.\sp{.75} 5^{n})+11 . 16^n$
En utilisant les
La relation de congruence modulo $\,n\app\bb N\,$ sur $\bb Z$ est compatible avec la somme et le produit :
congruences,
on en a une preuve beaucoup plus directe, étant donné que $\,16\equiv5\ [\sp{.75}11\sp{.75}]\,$ et $\,12\equiv 1\ [\sp{.75}11\sp{.75}]:\,$
$\displaystyle{}\syst{\ a&\equiv a'\sp{-1.5}&[\sp{.75}n\sp{.75}]\ \\[-.5ex] b&\equiv b'\sp{-1.5}&[\sp{.75}n\sp{.75}]}\Imp \syst{\sp{1.5}a+b&\equiv a'+b'\ [\sp{.75}n\sp{.75}]\\[-.5ex]
a\sp{1.5}b&\equiv a'\sp{1.5}b'\ [\sp{.75}n\sp{.75}]}$
$\displaystyle{}2^{4\sp{1.5}n}-12\,.\sp{.75}5^n=16^n-12\,.\sp{.75}5^n\equiv5^n-5^n\equiv0\ [\sp{.75}11\sp{.75}]$