exercices de mathématiques - prépa et université

L'entier

Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :

$\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$

où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$

décomposé $\,n=p_1^{\alpha_1}\dots \sp{1.5}p_r^{\alpha_r}\,$ a pour

Soient $\,p_1,\dots,p_r\,$ des nombres premiers distincts, et $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que :

$\displaystyle{}a=p_{1}^{\alpha_1}\dots p_{r}^{\alpha_r}\txt{et}b=p_1^{\beta_1}\dots p_r^{\beta_r}\,\txt{pour} \alpha_k,\beta_k\app\bb N$

Alors $\,a\,$ est  un diviseur de $\,b\,$ ssi :  $\,\ptt k\app\,[\![1,r]\!]\sp{1.5},\ \alpha_k\leq\beta_k\,.\,$

diviseurs dans $\bb N$ les nombres suivants :

Chacun des diviseurs de $\,n\,$ est donc caractérisé par une $r\tiret$liste de la forme :

L'ensemble des diviseurs de $\,n\,$ dans $\bb N$ est donc fini avec pour

Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est  fini, avec :

$\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$

$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$

cardinal celui de ce produit cartésien :

On désigne par $\sc P$ l'ensemble infini des nombres

Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.

premiers :  $\,\sc P=\big\{\,2\sp{1.5},\,3\sp{1.5},\,5\sp{1.5},\,7\sp{1.5},\,11\sp{1.5},\ \dots\ \big\}\!\cdot\,$

Soit, pour $\,m\geq2\sp{1.5},\,$ l'ensemble des entiers naturels $\,n\,$ ayant $\,m\,$ diviseurs dans $\bb N:$

Lorsque $\,m\,$ est un nombre

Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.

premier, il ne peut pas être le produit de plusieurs $\,1\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\alpha_i\geq2\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que, dans ce cas, on a :  $\,r=1\,$ et $\,m=1+\alpha_1\sp{1.5},\,$  avec :  $\,n=p_1^{\alpha_1}\,;\,$ en particulier :

• si $\,m=2,\,$ $\,n\,$ est un nombre premier : $\,n=p\sp{1.5}\app\sc P\,;\,$
• si $\,m=3,\,$ $\,n\,$ est le carré d'un nombre premier : $\,n=p^2,\,$ avec $\,p\app\sc P\sp{1.5}.\,$

Réciproquement :

• pour $p\app\sc P,$ on a par définition d'un nombre premier : $\,\sc D_{p}=\{1,\,p\}\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\op{card}(\sc D_p)=2\,;\,$
• pour $\,n=p^2\,$ avec $p\app\sc P,$ on a par ailleurs : $\,\sc D_{p^2}=\{1,\,p,\,p^2\}\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\op{card}\big(\sc D_{p^2}\sp{-1.5}\big)=3\,.\,$

On a finalement établi que :  $\,\Omega_2=\sc P\,$  et  $\,\Omega_3=\ens{p^2}{p\app\sc P}\!\cdot\,$

Ces arguments s'appliquent toujours lorsque $\,m\,$ est un nombre premier quelconque, avec :  $\,\Omega_m=\ens{p^{m-1}}{p\app\sc P}\!\cdot\,$

En revanche, cela n'est plus vrai lorsque $\,m\,$ n'est pas un nombre premier ; on peut par exemple vérifier que :

Pour toute partie $\,A\,$ de $\,\Omega,\,$ on considère l'ensemble $\,\sc C_{A}\,$ ainsi défini :

Si l'ensemble $\,A\,$ est vide, il ne contient aucune partie stricte $B\sp{1.5},$ et on a alors : $\,\sc C_\vide=\vide\,.\,$

Sinon, avec $\,\op{card}(A)=p\geq1,\,$ l'ensemble $\sc P(A)$ des parties de $A$ est fini, et de

L'ensemble $\sc P(E)$ des parties d'un ensemble $E$ fini de cardinal $\,n\,$ est  fini, avec :

$\displaystyle{}\op{card}\big(\sc P(E)\big)=2^n$

cardinal : $\,2^{\sp{1.5}p}\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que l'ensemble $\,\sc P(A)\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{A,\vide\}\,$ de ses parties propres $B$  est alors fini, et de

Si $\,A\,$ est une partie d'un ensemble $\,E\,$ de cardinal $\,n\sp{1.5},\,$ alors :

$\displaystyle{}\op{card}(E\!\setminus\!\sp{-1.5}A)=n-\op{card}(A)$

cardinal :

Pour $\,A\neq\vide\,$ fixé, chaque élément $\,(A,B)\,$ de $\,\sc C_A\,$ est caractérisé par $B\sp{1.5};$  on a donc :  $\,\op{card}(\sc C_A)=2^p-2\sp{1.5}.\,$

$\,\sc C\,$ est la

Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$  est  l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$

$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$

réunion des $\,\sc C_A\,$ pour $A\app\sc P(\Omega)$ et cette union est disjointe, car pour tous $\,(A_1,B_1),(A_2,B_2)\app \sc C:\,$

Les $\,\sc C_A\,$ forment donc une

Une partition d'un ensemble $E$  est  un ensemble $\sc U$ de parties de $\,E:\,$

• non vides : $\,\ptt A\app\sc U,\ A\neq\vide\sp{1.5},\,$
• deux à  deux disjointes : $\,\ptt A,B\app\sc U\sp{1.5},\ (A\neq B\Imp A\cap B=\vide)\sp{1.5},\,$
• et recouvrant $\,E:\,$ $\,\smh0{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}A=E\sp{1.5}.\,$

partition de $\,\sc C,\,$ et cette réunion disjointe est donc finie, et de

Toute réunion d'un nombre fini d'ensembles finis  est  finie.

Si  ces ensembles $\,E_1,\dots,E_p\,$ sont deux à deux disjoints, on a  alors :

$\displaystyle{}\op{card}\Big(\Op{\bigcup}_{k=1}^pE_k\Big)=\sum_{k=1}^p\op{card}(E_k)$

cardinal : En notant $\,\sc P_p(\Omega)\,$ l'ensemble des parties de $\,\Omega\,$ à $\,p\,$ éléments, et étant donné que $\,\sc C_{\vide}=\vide\sp{1.5},\,$ on obtient :

Connaissant l'expression du

Une $p\tiret$combinaison d'un ensemble $E$ est une partie de $E$ à $\,p\,$ éléments.

Si $E$ est de cardinal $n\sp{1.5},$ leur ensemble $\sc P_p(E)$  est  fini avec :

$\displaystyle{}\op{card}(\sc P_p(E))=\smh{1.5}{\binome{\,n\,\\p}}$

cardinal de $\,\sc P_p(\Omega)\sp{1.5},\,$ on obtient finalement par la formule du

Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :

$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$

binôme :

L'ensemble $\Omega$ étant fini, l'ensemble $\sc L$ est lui aussi

Si $\,E\,$ est un ensemble fini, avec $F\subset E\sp{1.5},$  alors $\,F\,$ est  fini et :

$\displaystyle{}\op{card}(F)\leq \op{card}(E)$

On a de plus : $\,\syst{\,F=\vide&\Ssi \op{card}(F)=0\,;\\[-.5ex]F=E&\Ssi \op{card}(F)= \op{card}(E)\sp{1.5}.}\,$

fini car c'est une partie du

Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est  fini, avec :

$\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$

$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$

produit cartésien $\,\Omega^{n+1}.\,$

Tout élément $\,x=(x_1,\dots,x_{n+1})\,$ appartenant à $\sc L,$ contient en double un unique élément que l'on notera $\,a_x\sp{1.5}.\,$

Si on note $\,\sc L_a\,$ l'ensemble des éléments de $\,\sc L\,$ où un $\,a\app\Omega\,$ donné figure deux fois, alors :

• $\,\sc L\,$ est la
  Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$  est  l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$

  $\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
  réunion des $\,\sc L_a,\,$ compte tenu de l'existence d'un $a_x$ en double dans tout $\,x\app \sc L\,;\,$
• les $\,\sc L_a\,$ sont deux à deux disjoints car, pour tout $\,x\app \sc L,\,$ cet élément $a_x$ est unique.

Les $\,\sc L_a\,$ forment donc une

Une partition d'un ensemble $E$  est  un ensemble $\sc U$ de parties de $\,E:\,$

• non vides : $\,\ptt A\app\sc U,\ A\neq\vide\sp{1.5},\,$
• deux à  deux disjointes : $\,\ptt A,B\app\sc U\sp{1.5},\ (A\neq B\Imp A\cap B=\vide)\sp{1.5},\,$
• et recouvrant $\,E:\,$ $\,\smh0{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}A=E\sp{1.5}.\,$

partition de $\,\sc L,\,$ et cette réunion disjointe a pour

Toute réunion d'un nombre fini d'ensembles finis  est  finie.

Si  ces ensembles $\,E_1,\dots,E_p\,$ sont deux à deux disjoints, on a  alors :

$\displaystyle{}\op{card}\Big(\Op{\bigcup}_{k=1}^pE_k\Big)=\sum_{k=1}^p\op{card}(E_k)$

cardinal :

Soit un élément $\,a\app\Omega\,$ fixé ; tout élément $\,x\,$ de $\,\sc L_a\,$ est alors caractérisé par la donné conjointe de :

• la paire $\,\{i_1,i_2\}\,$ des places de $\,a\,$ dans la liste $\,x,\,$
• et la liste $\,x'\app\sp{1.5}\Omega^{n-1}\!\,$ extraite de $\,x\,$ par suppression de $\,a\sp{1.5}.\,$

L'ensemble $\sc L_a$ est donc en bijection avec le

Le produit cartésien $\,E_1\!\times\!\cdots\!\times\! E_p\,$ de $p$ ensembles $\,E_1,\dots,E_p\,$ est :

$\displaystyle{}E_1\!\times\!\cdots\!\times\!E_p=\ens{(x_1,\dots,x_p)}{x_1\app E_1,\dots,x_p\app E_p}$

produit cartésien $\,\sc P_2([\![\sp{1.5}1,n+1\sp{.75}]\!])\!\times\!\sc A_{n-1}(\Omega\!\setminus\!\sp{-1.5}\{a\})\sp{1.5},\,$ où :

• $\,\sc P_2([\![\sp{1.5}1,n+1\sp{.75}]\!])\,$ désigne l'ensemble des
  Une $p\tiret$combinaison d'un ensemble $E$ est une partie de $E$ à $\,p\,$ éléments.

  Si $E$ est de cardinal $n\sp{1.5},$ leur ensemble $\sc P_p(E)$  est  fini avec :

  $\displaystyle{}\op{card}(\sc P_p(E))=\smh{1.5}{\binome{\,n\,\\p}}$
  paires d'éléments de $\,[\![\sp{1.5}1,n+1\sp{.75}]\!]\sp{1.5};\,$
• $\,\sc A_{n-1}(\Omega\!\setminus\!\sp{-1.5}\{a\})\,$ désigne l'ensemble des $(n-1)\tiret$
  Un $p\tiret$arrangement d'un ensemble $E$ est une liste de $\,p\,$ éléments distincts de $E\sp{1.5}.$

  Si $E$ est de cardinal $n\sp{1.5},$ leur ensemble $\sc A_p(E)$  est  fini avec :

  $\displaystyle{}\op{card}\big(\sc A_p(E)\big)=n(n-1)\dots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$

  C'est le nombre de $f\sp{-1.5}:\sp{-1.5}F\to E\,$ injectives lorsque $\op{card}(F)\!=\!p\sp{1.5}.$
  listes d'éléments de $\Omega\!\setminus\!\sp{-1.5}\{a\}$ deux à deux distincts.

L'ensemble $\sc L_a$ a donc le même

Tout ensemble $E'$ en bijection avec un ensemble fini $E$  est  fini, et :

$\displaystyle{}\op{card}(E)=\op{card}(E')$

cardinal que ce

Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est  fini, avec :

$\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$

$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$

produit cartésien, c'est-à-dire :

On en déduit finalement le nombre des éléments de l'ensemble $\,\sc L:\,$