Sujet A.3.2 Coefficients binomiaux
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Exercice a
Démontrer que, quel que soit $\,n\app \bb{N}\sp{1.5},\,$ le nombre $\,P_n=\dprod_{k=1}^{n+1}\Big(1+\frac{n}{k}\Big)\,$ est un entier naturel.
factorielle
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
coefficients binomiaux
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
symétrie des coefficients binomiaux
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
triangle de Pascal
Pour tous $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ et $\,k\app\bb Z\,$ on a les formules :
$\displaystyle{}\binome{\sp{1.5}n\sp{1.5}\\0}=1\txt{et}\binome{\,n\,\\k}=\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k}+\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k-1}$
Les coefficients binomiaux appartiennent tous à $\bb N\sp{1.5}.$
On en déduit ligne par ligne le triangle de Pascal.
indication
1
Exprimer le produit $P_n$ à l'aide de factorielles.
indication
2
Les coefficients binomiaux sont des entiers naturels.
réponse
Ce nombre est l'entier naturel : $\,P_n=\binome{\sp{.75}2\sp{1.5}n+1\sp{.75}\\n}\!\cdot\,$
correction
On remarque d'abord que :
$\displaystyle{}P_n=\prod_{k=1}^{n+1}\Big(1+\frac{n}{k}\Big)=
\prod_{k=1}^{n+1}\frac{k+n}{k}=
\smh0{\frac{\textstyle\prod\limits_{k=1}^{n+1}(k+n)}{\textstyle\prod\limits_{k=1}^{n+1}k}}$
Selon la définition de la
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
factorielle,
on obtient alors, en
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
Dans un produit indexé par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
translatant
les indices par $\,h=k+n:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\prod_{k=m}^{n}x_k=\prod_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
$\displaystyle{}P_n=\frac{\textstyle\prod\limits_{h=n+1}^{2\sp{1.5}n+1}h}{(n+1)\sp{1.5}!}=
\frac{\textstyle\prod\limits_{h=1}^{2\sp{1.5}n+1}h}{(n+1)\sp{1.5}!\textstyle\prod\limits_{h=1}^{n}h}=
\frac{(2\sp{1.5}n+1)\sp{1.5}!}{(n+1)\sp{1.5}!\,n\sp{1.5}!}$
On reconnaît un coefficient
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
binomial ;
$\,P_n\,$ est donc un
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
Pour tous $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ et $\,k\app\bb Z\,$ on a les formules :
entier
naturel, pouvant s'écrire sous deux
$\displaystyle{}\binome{\sp{1.5}n\sp{1.5}\\0}=1\txt{et}\binome{\,n\,\\k}=\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k}+\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k-1}$
Les coefficients binomiaux appartiennent tous à $\bb N\sp{1.5}.$
On en déduit ligne par ligne le triangle de Pascal.
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
formes :
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
$\displaystyle{}P_n=\binome{2\sp{.75}n+1\\n+1}=\binome{2\sp{.75}n+1\\n}$
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Exercice b
Démontrer que, quel que soit $\,n\app \bb{N}^{\ast},\,$ le nombre $\,P_n=\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{\!n}\dprod_{k=1}^{n}\,\frac{9\sp{1.5}k^2-1}{2\sp{1.5}k^2-k}\,$ est un entier naturel.
factorielle
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
coefficients binomiaux
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
symétrie des coefficients binomiaux
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
triangle de Pascal
Pour tous $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ et $\,k\app\bb Z\,$ on a les formules :
$\displaystyle{}\binome{\sp{1.5}n\sp{1.5}\\0}=1\txt{et}\binome{\,n\,\\k}=\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k}+\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k-1}$
Les coefficients binomiaux appartiennent tous à $\bb N\sp{1.5}.$
On en déduit ligne par ligne le triangle de Pascal.
indication
1
Exprimer le produit $P_n$ à l'aide de factorielles.
indication
2
Les coefficients binomiaux sont des entiers naturels.
réponse
Ce nombre est l'entier naturel : $\,P_n=\binome{\sp{.75}3\sp{1.5}n+1\sp{.75}\\n}\!\cdot\,$
correction
On remarque d'abord que :
$\displaystyle{}P_n=\smh{1.5}{\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{\!n}\dprod_{k=1}^{n}\,\frac{9\sp{1.5}k^2-1}{2\sp{1.5}k^2-k}=
\prod_{k=1}^{n}\,\frac{3\sp{1.5}(3\sp{1.5}k-1)\sp{1.5}(3\sp{1.5}k+1)}{(2\sp{1.5}k-1)\sp{1.5}2\sp{1.5}k}}$
Tout entier $\,h\,$ de $\,1\,$ à $\,2\sp{1.5}n\,$ est soit
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
impair
de la forme $\,h=2\sp{1.5}k-1\sp{.75},\,$ soit
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
pair
de la forme $\,h=2\sp{1.5}k\sp{1.5}.\,$
De même, par
Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :
division
euclidienne, tout entier $\,h\,$ de $\,2\,$ à $\,3\sp{1.5}n+1\,$ prend une seule des formes
$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$
$q$ et $r$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}h=3\sp{1.5}k-1,\ \ h=3\sp{1.5}k\ \txt{ou}\ h=3\sp{1.5}k+1$
En multipliant haut et bas par $\,k\sp{1.5},\,$ on obtient des produits d'entiers consécutifs, c'est-à-dire des
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
factorielles :
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
$\displaystyle{}P_n=\prod_{k=1}^{n}\,\frac{(3\sp{1.5}k-1)\,3\sp{1.5}k\,(3\sp{1.5}k+1)}{(2\sp{1.5}k-1)\,2\sp{1.5}k}\!\cdot\!\frac1k
=\frac{(3\sp{1.5}n+1)\sp{1.5}!}{(2\sp{1.5}n+1)\sp{1.5}!\,n\sp{1.5}!}$
On reconnaît un coefficient
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
binomial ;
$\,P_n\,$ est donc un
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
Pour tous $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ et $\,k\app\bb Z\,$ on a les formules :
entier
naturel, pouvant s'écrire sous deux
$\displaystyle{}\binome{\sp{1.5}n\sp{1.5}\\0}=1\txt{et}\binome{\,n\,\\k}=\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k}+\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k-1}$
Les coefficients binomiaux appartiennent tous à $\bb N\sp{1.5}.$
On en déduit ligne par ligne le triangle de Pascal.
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
formes :
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
$\displaystyle{}P_n=\binome{3\sp{1.5}n+1\\2\sp{1.5}n+1}=\binome{3\sp{1.5}n+1\\n}$
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Exercice c
Démontrer que, quel que soit $\,n\app \bb{N}^{\ast},\,$ le nombre $\,P_n=2^{\sp{.75}n}\dprod_{k=1}^{n}\,\frac{16\sp{.75}k^2-1}{2\sp{.75}k^2+k}\,$ est un entier naturel.
factorielle
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
coefficients binomiaux
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
symétrie des coefficients binomiaux
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
triangle de Pascal
Pour tous $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ et $\,k\app\bb Z\,$ on a les formules :
$\displaystyle{}\binome{\sp{1.5}n\sp{1.5}\\0}=1\txt{et}\binome{\,n\,\\k}=\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k}+\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k-1}$
Les coefficients binomiaux appartiennent tous à $\bb N\sp{1.5}.$
On en déduit ligne par ligne le triangle de Pascal.
indication
1
Exprimer le produit $\,P_n\,$ à l'aide de factorielles.
indication
2
Faire apparaître un coefficient binomial et montrer que c'est un nombre pair.
réponse
Ce nombre $\,P_n\,$ est la moitié de l'entier naturel $\,\binome{\sp{.75}4\sp{.75}n+2\sp{.75}\\2\sp{.75}n+1}\,$ qui est un nombre pair.
correction
On remarque d'abord que :
$\displaystyle{}P_n=\smh{1.5}{2^{\sp{.75}n}\prod_{k=1}^{n}\frac{16\sp{1.5}k^2-1}{2\sp{1.5}k^2+k}=
\prod_{k=1}^{n}\frac{2\,(4\sp{1.5}k-1)(4\sp{1.5}k+1)}{k\,(2\sp{1.5}k+1)}}$
Tout entier $\,h\,$ de 2 à $\,2\sp{1.5}n+1\,$ s'écrit $\,h=2\sp{1.5}k\,$ ou $\,h=2\sp{1.5}k+1\sp{1.5},\,$ selon sa
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parité.
De même, par
Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :
division
euclidienne, tout entier $\,h\,$ de 3 à $\,4\sp{.75}n+2\,$ prend une
seule des formes :
$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$
$q$ et $r$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}h=4\sp{1.5}k-1\sp{1.5},\ \ h=4\sp{1.5}k,\ \ h=4\sp{1.5}k+1\ \txt{ou}\ h=4\sp{1.5}k+2$
En multipliant haut et bas par $\,2\sp{1.5}k\sp{1.5}(4\sp{1.5}k+2)\sp{1.5},\,$ on obtient des produits d'entiers consécutifs, c'est-à-dire des
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
factorielles :
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
$\eqalign{&\!P_n\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\prod_{k=1}^{n}\sp{1.5}\frac{(4\sp{1.5}k-1)\,4\sp{1.5}k\,(4\sp{1.5}k+1)(4\sp{1.5}k+2)}{k\,(2\sp{1.5}k+1)}\!\cdot\!\frac1{2\sp{1.5}k\sp{.75}(4\sp{1.5}k+2)}\\
\!&\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\frac12\sp{1.5}\prod_{k=1}^{n}\sp{1.5}\frac{(4\sp{1.5}k-1)\,4\sp{1.5}k\,(4\sp{1.5}k+1)(4\sp{1.5}k+2)\!}{(2\sp{1.5}k)\sp{1.5}(2\sp{1.5}k+1)\sp{1.5}.\sp{-1.5}(2\sp{1.5}k)\sp{1.5}(2\sp{1.5}k+1)}
\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\frac12\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\frac{(4\sp{1.5}n+2)\sp{1.5}!}{\big(\sp{-1.5}(2\sp{1.5}n+1)\sp{1.5}!\big)^{\!2}}}$
On reconnaît alors dans ce résultat la moitié d'un coefficient
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
binomial :
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}P_n=\dfrac12\binome{4\sp{1.5}n+2\\2\sp{1.5}n+1}$
Ce coefficient binomial correspond au
Une $p\tiret$combinaison d'un ensemble $E$ est une partie de $E$ à $\,p\,$ éléments.
Si $E$ est de cardinal $n\sp{1.5},$ leur ensemble $\sc P_p(E)$ est fini avec :
nombre
de parties à $\,2\sp{1.5}n+1\,$ éléments dans un ensemble de $\,4\sp{1.5}n+2\,$ éléments. Dans un tel ensemble, toute partie de cardinal $\,2\sp{1.5}n+1\,$ est associée de manière exclusive à son
$\displaystyle{}\op{card}(\sc P_p(E))=\smh{1.5}{\binome{\,n\,\\p}}$
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La différence entre $A$ et $B$ est l'ensemble des $\,x\app A\,$ n'appartenant pas à $\,B:\,$
complémentaire.
Ce complémentaire ayant le même
$\displaystyle{}A\!\setminus\! B=\ens{x\app A}{x\notin B}$
Le complémentaire de $A$ dans l'ensemble $E$ est l'ensemble : $\displaystyle{}\complement_EA=E\!\setminus\!A=\ens{x\app E}{x\notin A}$
Si $\,A\,$ est une partie d'un ensemble $\,E\,$ de cardinal $\,n\sp{1.5},\,$ alors :
cardinal
$\,2\sp{1.5}n+1\sp{1.5},\,$ ces parties
groupées deux par deux sont donc en nombre
$\displaystyle{}\op{card}(E\!\setminus\!\sp{-1.5}A)=n-\op{card}(A)$
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
pair.
On a ainsi établi que $\,\binome{4\sp{1.5}n+2\\2\sp{1.5}n+1}\,$ est un entier pair, et cela nous prouve que $\,P_n\,$ est bien un entier naturel.