Sujet G.2.3 Loi binomiale
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Exercice a
\\(\TV\\)Pour $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ fixé, on sait qu'une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\sc B(n,p)$ de paramètre $\,p\,$ inconnu.
Pour un $\,k\app\,[\![\sp{1.5}0,n\sp{.75}]\!]\,$ donné, déterminer la valeur de $\,p\,$ pour laquelle la probabilité $\,P(X=k)\,$ est maximale.
loi de Bernoulli
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{0,1\}$ suit une loi de Bernoulli $\,\sc B(p)\,$ ssi :
$\displaystyle{}P(X=1)=p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=0)=1-p$
On a alors : $\,E(X)=p\txt{et}V(X)=p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
loi binomiale
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\,[\![0,n]\!]\,$ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\,$ ssi :
$\displaystyle{}p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=k)=\smh{1.5}{\binome{n\\k}}\sp{1.5}p^k\sp{1.5}(1-p)^{n-k}$
On a alors : $\,E(X)=n\sp{1.5}p\txt{et}V(X)=n\sp{1.5}p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
schéma binomial
Soit $X$ la somme de $n$ variables de Bernoulli $\sc B(p)$ indépendantes.
Alors la variable aléatoire $X $ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\sp{1.5}.\,$
formule de transfert
Soient une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to F\,$ et $\,f:F\to\bb K\sp{1.5}.\,$
Alors la variable aléatoire $\,f(X)\,$ a pour espérance :
$\displaystyle{}E\big(f(X)\big)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!f(x)\,P(X=x)$
indication
Étudier les variations de la fonction : $\,f: p\mapsto p^k\,(1-p)^{n-k}.\,$
réponse
La probabilité $\,P(X=k)\,$ est maximale pour la valeur : $\,p=\dfrac kn\!\cdot\,$
correction
Par définition d'une loi
La probabilité $\,P(X=k)\,$ est donc maximale pour la valeur : $\,p=\dfrac kn\!\cdot\,$
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\,[\![0,n]\!]\,$ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\,$ ssi :
binomiale,
la probabilité de l'éventualité $\,(X=k)\,$ vaut, en fonction de $\,p:\,$
$\displaystyle{}p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=k)=\smh{1.5}{\binome{n\\k}}\sp{1.5}p^k\sp{1.5}(1-p)^{n-k}$
On a alors : $\,E(X)=n\sp{1.5}p\txt{et}V(X)=n\sp{1.5}p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}P(X=k)=\binome{n\\[-.5ex]k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$
$\,P(X=k)\,$ est donc un multiple par une constante positive de la fonction $\,f:[\sp{1.5}0,1]\to\bb R\,$ définie par : $\displaystyle{}f(p)=p^k\,(1-p)^{n-k}$
Ce produit de fonctions
Soit $\,k\app\bb Z\,$ et la fonction puissance $\,p_k:x\mapsto x^k.\,$ Alors $\,p_k\app\sc C^\I(\bb R^{\ast},\bb R)\,$ et : $\,\ptt x \neq0\sp{1.5},\ p_k'(x)=k\,x^{k -1}\sp{1.5}.\,$
Si $\,k\app\bb N,\,$ $\,p_k\app\sc C^\I(\bb R,\bb R)\,$ avec $\,p_k'(0)=0\txt{si}k\neq1\,$ et $\,p_1'(0)=1\sp{1.5}.\,$
puissances
est dérivable, avec pour
Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$
Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :
dérivée :
- $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$
- $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{ f'(p)&=k\,p^{k-1}\sp{1.5}(1-p)^{n-k}-(n-k)\sp{1.5}p^k\sp{1.5}(1-p)^{n-k-1}\\
&=p^{k-1}\sp{1.5}(1-p)^{n-k-1}\big(\sp{1.5}k\sp{1.5}(1-p)-(n-k)\sp{1.5}p\sp{1.5}\big)\\&=p^{k-1}\sp{1.5}(1-p)^{n-k-1}\sp{1.5}(k-n\sp{.75}p)}$
On en déduit le tableau des
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$
variations
de $f:$
- $f$ est croissante sur $I$ ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
- avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tv{p&0&&\ k\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n\ &&1\hl & &&f(k\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n)&& \sl f(p)&&\cr&&\dec&\sl &0&&&&0}$}$ |
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Exercice b
Les $50$ membres d'une association sont réunis pour élire leur président au cours d'un vote à bulletin secret.
Deux candidats, $A$ et $B\sp{1.5},$ aussi populaires l'un que l'autre, s'affrontent dans ce scrutin où personne ne s'abstient.
Après dépouillement des $10$ premiers bulletins, $A$ n'a obtenu que $3$ voix, contre $7$ pour son adversaire $B\sp{1.5}.$
Quelles sont alors les chances pour $A$ de remporter l'élection sachant qu'étant le plus âgé, il gagnerait en cas d'égalité ?
loi de Bernoulli
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{0,1\}$ suit une loi de Bernoulli $\,\sc B(p)\,$ ssi :
$\displaystyle{}P(X=1)=p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=0)=1-p$
On a alors : $\,E(X)=p\txt{et}V(X)=p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
loi binomiale
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\,[\![0,n]\!]\,$ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\,$ ssi :
$\displaystyle{}p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=k)=\smh{1.5}{\binome{n\\k}}\sp{1.5}p^k\sp{1.5}(1-p)^{n-k}$
On a alors : $\,E(X)=n\sp{1.5}p\txt{et}V(X)=n\sp{1.5}p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
schéma binomial
Soit $X$ la somme de $n$ variables de Bernoulli $\sc B(p)$ indépendantes.
Alors la variable aléatoire $X $ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\sp{1.5}.\,$
formule de transfert
Soient une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to F\,$ et $\,f:F\to\bb K\sp{1.5}.\,$
Alors la variable aléatoire $\,f(X)\,$ a pour espérance :
$\displaystyle{}E\big(f(X)\big)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!f(x)\,P(X=x)$
indication
Le nombre de votes en faveur de $A$ parmi les $40$ bulletins non dépouillés suit une loi binomiale.
réponse
$A$ a moins d'une chance sur trois de remporter l'élection, avec pour probabilité :
$\displaystyle{}\!\sum_{k=22}^{40}\!\binome{40\sp{1.5}\\k}\frac1{2^{40}\!}=\frac12-\frac{61}{42} \binome{40\sp{1.5}\\20}\frac1{2^{40}\!}\simeq0,318\dots$
correction
Compte tenu des hypothèses, chacun des $\,40\,$ bulletins restant à dépouiller a une chance sur deux d'être en faveur de $\,A\sp{1.5}.\,$
En les indexant de $\,i=1\,$ à $40\sp{1.5},$ on note $X_i$ la variable aléatoire valant $1$ si c'est un vote pour $\,A\sp{1.5},\,$ et $0$ si c'est un vote pour $\,B\sp{1.5}.\,$
Les $X_i$ sont donc des variables de
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{0,1\}$ suit une loi de Bernoulli $\,\sc B(p)\,$ ssi :
Bernoulli
de paramètre $\,1\sp{-1.5}/2\sp{1.5},\,$
$\displaystyle{}P(X=1)=p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=0)=1-p$
On a alors : $\,E(X)=p\txt{et}V(X)=p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
Soient $n$ variables aléatoires discrètes $X_i$ sur un univers $\,\Omega.\,$
Les $X_i$ sont indépendantes ssi pour tous $\,x_i \app X_i(\Omega):\,$
indépendantes.
$\displaystyle{}P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\dots P(X_n=x_n)$
Soit $X$ la somme de $n$ variables de Bernoulli $\sc B(p)$ indépendantes.
Alors la variable aléatoire $X $ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit
que le nombre $Y$ de voix en faveur de $\,A\,$ sur ces $\,40\,$ bulletins suit une loi
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\,[\![0,n]\!]\,$ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\,$ ssi :
binomiale :
$\displaystyle{}p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=k)=\smh{1.5}{\binome{n\\k}}\sp{1.5}p^k\sp{1.5}(1-p)^{n-k}$
On a alors : $\,E(X)=n\sp{1.5}p\txt{et}V(X)=n\sp{1.5}p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}Y=(X_1+\cdots +X_{40})\sim\sc B(40\sp{1.5},1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2)$
Étant donnés le privilège de l'âge et les trois voix déjà obtenues, la probabilité que $A$ remporte l'élection vaut donc :
$\displaystyle{}P(Y\geq 22)=\sum_{k=22}^{40}\binome{40\sp{1.5}\\k}\frac1{2^{40}}$
D'après la
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
symétrie
des coefficients binomiaux on obtient, en
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
retournant
les indices avec $\,h=40-k:\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
$\displaystyle{}\sum_{k=21}^{40}\binome{40\sp{1.5}\\k}=\sum_{h=0}^{19}\binome{40\sp{1.5}\\h}$
La formule du
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
binôme
permet ensuite de simplifier cette somme avec :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
$\eqalign{&\sum_{k=21}^{40}\binome{40\sp{1.5}\\k}=\frac12\Big(\!(1+1)^{40}-\binome{40\sp{1.5}\\20}\!\Big),\txt{puis :}\\[-.5ex]
&\sum_{k=22}^{40}\binome{40\sp{1.5}\\k}=\frac{2^{40}\!}2-\Big(\frac12\binome{40\sp{1.5}\\20}+\binome{40\sp{1.5}\\21}\sp{-1.5}\Big)}$
Selon la définition des coefficients
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
binomiaux
en termes de factorielles on peut alors écrire :
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\binome{40\sp{1.5}\\21}=&\frac{40\sp{1.5}!}{21\sp{1.5}!\sp{1.5}19\sp{1.5}!}=\frac{20}{21}\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\frac{40\sp{1.5}!}{(20\sp{1.5}!)^2}=\frac{20}{21}\binome{40\sp{1.5}\\20}\\
\txt{d'où :}&\frac12\binome{40\sp{1.5}\\20}+\binome{40\sp{1.5}\\21}=\frac{61}{42}\binome{40\sp{1.5}\\20}}$
Cette simplification nous facilite alors un calcul approché du résultat :
$\displaystyle{}P(Y\geq 22)=\frac12-\frac{61}{42}\binome{40\sp{1.5}\\20}\frac1{2^{40}}\simeq0,318\dots$
le candidat $\,A\,$ a donc moins d'une chance sur trois de rattraper son retard sur son rival $\,B\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ une variable aléatoire $\,X\,$ suivant une loi binomiale $\,\sc B(n-1,p)\,$ de paramètre $\,p < 1\sp{1.5}.\,$
Montrer que la variable $\,\dfrac1{n-X}\,$ a pour espérance la moyenne des $\,p^k\,$ pour $\,0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}k\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}n-1\sp{1.5}.\,$
loi de Bernoulli
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{0,1\}$ suit une loi de Bernoulli $\,\sc B(p)\,$ ssi :
$\displaystyle{}P(X=1)=p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=0)=1-p$
On a alors : $\,E(X)=p\txt{et}V(X)=p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
loi binomiale
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\,[\![0,n]\!]\,$ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\,$ ssi :
$\displaystyle{}p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=k)=\smh{1.5}{\binome{n\\k}}\sp{1.5}p^k\sp{1.5}(1-p)^{n-k}$
On a alors : $\,E(X)=n\sp{1.5}p\txt{et}V(X)=n\sp{1.5}p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
schéma binomial
Soit $X$ la somme de $n$ variables de Bernoulli $\sc B(p)$ indépendantes.
Alors la variable aléatoire $X $ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\sp{1.5}.\,$
formule de transfert
Soient une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to F\,$ et $\,f:F\to\bb K\sp{1.5}.\,$
Alors la variable aléatoire $\,f(X)\,$ a pour espérance :
$\displaystyle{}E\big(f(X)\big)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!f(x)\,P(X=x)$
indication
1
Utiliser la formule de transfert pour développer l'espérance de $\,\dfrac1{n-X}\!\cdot\,$
indication
2
Simplifier ensuite l'expression obtenue à l'aide de la formule du binôme.
réponse
On obtient bien une expression de l'espérance de $\,\dfrac1{n-X}\,$ sous forme d'une moyenne :
$\displaystyle{}E\Big(\frac1{n-X}\Big)=\frac{1-p^n}{n\,(1-p)}=\frac1n\,\sum_{k=0}^{n-1}p^k$
correction
Par définition d'une loi
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\,[\![0,n]\!]\,$ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\,$ ssi :
binomiale,
on a les probabilités suivantes pour $\,0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}k\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}n-1:\,$
$\displaystyle{}p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=k)=\smh{1.5}{\binome{n\\k}}\sp{1.5}p^k\sp{1.5}(1-p)^{n-k}$
On a alors : $\,E(X)=n\sp{1.5}p\txt{et}V(X)=n\sp{1.5}p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}P(X=k)=\binome{n-1\\k}\,p^k\,(1-p)^{n-1-k}$
Par la formule de
Soient une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to F\,$ et $\,f:F\to\bb K\sp{1.5}.\,$
Alors la variable aléatoire $\,f(X)\,$ a pour espérance :
transfert,
on peut exprimer comme suit l'espérance de $\,\dfrac1{n-X}:\,$
$\displaystyle{}E\big(f(X)\big)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!f(x)\,P(X=x)$
$\displaystyle{}E\Big(\frac1{n-X}\Big)=\sum_{k=0}^{n-1}\sp{1.5}\frac1{n-k}\,\binome{n-1\\k}\,p^k\,(1-p)^{n-1-k}$
Par définition des coefficients
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
binomiaux
et des
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
factorielles,
on peut écrire :
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
$\displaystyle{}\frac1{n-k}\binome{n-1\\k}=\frac{(n-1)\sp{1.5}!}{(n-k)\sp{1.5}!\,k\sp{1.5}!}\\=\dfrac{1}{n}\binome{\sp{1.5}n\sp{1.5}\\k}$
On obtient alors :
$\eqalign{ E\Big(\frac1{n-X}\Big)&=\,\frac1n\,\sum_{k=0}^{n-1}\,\binome{\sp{1.5}n\sp{1.5}\\k}\,p^k\,(1-p)^{n-1-k}\\[-1ex]&=\frac1{n\,(1-p)}\bigg(\sum_{k=0}^{n}\binome{\sp{1.5}n\sp{1.5}\\k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}
-p^n\bigg)}$
Selon la formule du
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
binôme,
on trouve donc :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
$\displaystyle{}E\Big(\frac1{n-X}\Big)=\frac{\big(p+(1-p)\big)^n-p^n}{n\,(1-p)}=\frac{1-p^n}{n\,(1-p)}$
Par l'intermédiaire d'une somme
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
géométrique,
cette expression correspond finalement à une moyenne :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\displaystyle{}E\Big(\frac1{n-X}\Big)=\frac1n\,\sum_{k=0}^{n-1}p^k$