Sujet G.2.2 Variables indépendantes
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Exercice a
Soient trois variables aléatoires $\,X_1,\sp{1.5}X_2\,$ et $\,Y\sp{-1.5},\,$ mutuellement indépendantes.
$\,X_1\,$ et $\,X_2\,$ étant de loi uniforme sur $\,[\![\sp{1.5}0,n\sp{.75}]\!]\,$ pour $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ quelle est la loi de probabilité de $\,(X_1+X_2)\,?\,$
La variable $\,Y\,$ étant de loi uniforme sur $\,[\![\sp{1.5}0,2\sp{.75}n\sp{.75}]\!]\sp{1.5},\,$ déterminer la probabilité : $\,P(X_1+X_2=Y).\,$
indépendance de variables aléatoires
Soient $n$ variables aléatoires discrètes $X_i$ sur un univers $\,\Omega.\,$
Les $X_i$ sont indépendantes ssi pour tous $\,x_i \app X_i(\Omega):\,$
$\displaystyle{}P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\dots P(X_n=x_n)$
fonctions de variables aléatoires indépendantes
Soient $\,n\,$ variables aléatoires indépendantes $\,X_i:\Omega\to E_{\sp{1.5}i}\,.\,$
Alors, pour toutes fonctions $\,f_i:E_{\sp{1.5}i}\to F_i\sp{1.5},\,$ les variables $\,f_i(X_i)\,$ sont indépendantes.
lemme des coalitions
Soient $\,n\,$ variables aléatoires indépendantes $\,X_i:\Omega\to E_{\sp{1.5}i}\,$ et :
$\displaystyle{}f:E_1\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_p \to F\,\txt{et}\,g:E_{p+1}\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_n \to G$
Alors, $\,f(X_1,\dots,X_p)\,$ et $\,g(X_{p+1},\dots,X_n)\,$ sont indépendantes.
indication
Dénombrer les ensembles suivants, en distinguant les cas $\,0\leq k\leq n\,$ et $\,n < k\leq 2\sp{.75}n:\,$
$\displaystyle{}(X_1+X_2=k)=\ens{(i,j)\app\,[\![\sp{1.5}0,n]\!]^{\sp{1.5}2}}{i+j=k}$
réponse
Pour $\,k\app\,[\![\sp{1.5}0,\sp{1.5}2\sp{.75}n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ la loi de de probabilité de la variable $\,(X_1+X_2)\,$ est définie par :
$\displaystyle{}P(X_1+X_2=k)=\frac{\op{min}(k+1,\sp{1.5}2\sp{.75}n+1-k)}{(n+1)^2}$
On obtient alors la probabilité : $\,P(X_1+X_2=Y)=\dfrac1{2\sp{.75}n+1}\!\cdot\,$
correction
$\,X_1\,$ et $\,X_2\,$ étant de loi
Soit $\,X\,$ une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini $\,E\sp{1.5}.\,$
Alors $\,X\,$ suit une loi uniforme $\,\sc U(E)\,$ ssi pour tout $\,x\app E:\,$
uniforme
sur $[\![\sp{1.5}0,n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},$ $\,X=(X_1,X_2)\,$ est une
$\displaystyle{}P(X=x)=\frac1{\op{card}(E)}$
Soient $\,(\Omega,P)\,$ un espace probabilisé fini et $E$ un ensemble.
$\,X:\Omega\to E\,$ est une variable aléatoire à valeurs dans $E\sp{1.5}.$
Pour $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ on désigne par $\,(X\app A)\,$ l'événement :
variable
aléatoire à valeurs dans $\,[\![\sp{1.5}0,n]\!]^{\sp{1.5}2}.\,$
Ces deux variables étant
$\displaystyle{}X^{-1}(A)=\ens{\omega\app\Omega}{X(\omega)\app A}$
Soient $n$ variables aléatoires discrètes $X_i$ sur un univers $\,\Omega.\,$
Les $X_i$ sont indépendantes ssi pour tous $\,x_i \app X_i(\Omega):\,$
indépendantes,
les éventualités $\,(i,j)\app\,[\![\sp{1.5}0,n]\!]^{\sp{1.5}2}\,$ sont
$\displaystyle{}P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\dots P(X_n=x_n)$
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.
Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :
équiprobables
puisque :
$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$
$\displaystyle{}P(X_1=i\sp{1.5},X_2=j)=P(X_1=i)\,P(X_2=j)=\smh{1}{\frac1{(n+1)^2}}$
On va donc dénombrer les événements suivants, pour $\,0\leq k\leq 2\sp{.75}n\!:\,$
$\displaystyle{} A_k=(X_1+X_2=k)=\ens{(i,j)\app\,[\![\sp{1.5}0,n]\!]^{\sp{1.5}2}}{i+j=k}$
En posant $\,j=k-i\sp{1.5},\,$ on a alors l'équivalence :
$\eqalign{0\leq k-i\leq n&\Ssi k-n\leq i\leq k\sp{1.5},\ \txt{d'où :}\\
(i,j)\app A_k&\Ssi \op{max}(0,\sp{1.5}k-n)\leq i\leq\op{min}(n,\sp{1.5}k)}$
On distingue alors les deux cas $\,0\leq k\leq n\,$ et $\,n < k\leq 2\sp{.75}n:\,$
$\eqalign{\txt{si}0\leq k\leq n:\ &A_k=\ens{(i,\sp{1.5}k-i)}{\sp{1.5}0\leq i\leq k}\\[-.5ex]
\txt{si}n < k\leq 2\sp{.75}n:\ &A_k=\ens{(i,\sp{1.5}k-i)}{\sp{1.5}k-n\leq i\leq n}}$
La
Soit $\,X:\Omega\to E\,$ sur un espace probabilisé fini $\,(\Omega,P)\sp{1.5}.\,$
La loi de probabilité de $\,X\,$ sur $E$ est la probabilité :
loi
de probabilité de $\,(X_1+X_2)\,$ est donc caractérisée par :
$\displaystyle{}P_X:\syst{\,\sc P\big(X(\Omega)\big)\to&\ [\sp{1.5}0\sp{1.5},1]\\[-1ex]A\sp{12}\mapsto& P(X\app A)}$
Elle est caractérisée par les $\,P(X=x)\,$ pour tout $\,x\app X(\Omega)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}P(X_1+X_2=k)=\frac{\op{card}(A_k)}{(n+1)^2}=\frac{\op{min}(k+1,\sp{1.5}2\sp{.75}n+1-k)}{(n+1)^2}$
Les événements $\,(Y=k)\,$ forment un système
Soit, sur un espace probabilisable $\,(\Omega,\sc A)\sp{1.5},\,$une famille au plus dénombrable d'événements $\,(A_i)_{i\app I}\sp{1.5}.\,$ $\,(A_i)_{i\app I}\,$ est un système complet d'événements ssi :
complet
d'événements d'où, par probabilité d'une
- $\,i\neq j\Imp A_i\cap A_j=\vide\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{0}{\Op{\Large\cup}_{i\app I}}\,A_i=\Omega\sp{1.5}.\,$
Soient $\,A_1,\dots,A_n\,$ des événements deux à deux disjoints sur un même espace probabilisé ; alors :
réunion
disjointe :
$\displaystyle{}\smh{2}{ P\Big(\bigcup_{k=1}^n A_k\Big)=\sum_{k=1}^n P(A_k)}$
$\eqalign{P(X_1+X_2=Y)&=\sum_{k=0}^{2\sp{.75}n}P(X_1+X_2=Y\sp{-1.5}\txt{et}\sp{-1.5}Y=k)\\[-1ex]
&=\sum_{k=0}^{2\sp{.75}n}P(X_1+X_2=k\sp{-1.5}\txt{et}\sp{-1.5}Y=k)}$
En vertu du lemme des
Soient $\,n\,$ variables aléatoires indépendantes $\,X_i:\Omega\to E_{\sp{1.5}i}\,$ et :
coalitions,
les deux variables $\,(X_1+X_2)\,$ et $\,Y\,$ sont
$\displaystyle{}f:E_1\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_p \to F\,\txt{et}\,g:E_{p+1}\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_n \to G$
Alors, $\,f(X_1,\dots,X_p)\,$ et $\,g(X_{p+1},\dots,X_n)\,$ sont indépendantes.
Soient $n$ variables aléatoires discrètes $X_i$ sur un univers $\,\Omega.\,$
Les $X_i$ sont indépendantes ssi pour tous $\,x_i \app X_i(\Omega):\,$
indépendantes.
Avec $\,P(Y=k)=\smb{1.5}{\dfrac1{2\sp{.75}n+1}}\sp{1.5},\,$ les $\,(X_1+X_2=k)\,$ formant aussi un système complet d'événements,
on obtient :
$\displaystyle{}P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\dots P(X_n=x_n)$
$\eqalign{P(X_1+X_2=Y)&=\sum_{k=0}^{2\sp{.75}n}P(X_1+X_2=k)\,P(Y=k)\\[-.5ex]
&=\sum_{k=0}^{2\sp{.75}n}\frac{P(X_1+X_2=k)}{2\sp{.75}n+1}=\frac1{2\sp{.75}n+1}}$
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Exercice b
Soient, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ des variables aléatoires $X_1,\dots,\sp{-1.5}X_p$ indépendantes, de même loi uniforme sur $[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5}.$
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire : $\,Y=\op{max}(X_1,\dots,\sp{-1.5}X_p)\sp{1.5}.\,$
Déterminer un équivalent de l'espérance $E(Y)$ lorsque $n$ tend vers $+\I\sp{1.5},$ pour $p$ fixé.
indépendance de variables aléatoires
Soient $n$ variables aléatoires discrètes $X_i$ sur un univers $\,\Omega.\,$
Les $X_i$ sont indépendantes ssi pour tous $\,x_i \app X_i(\Omega):\,$
$\displaystyle{}P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\dots P(X_n=x_n)$
fonctions de variables aléatoires indépendantes
Soient $\,n\,$ variables aléatoires indépendantes $\,X_i:\Omega\to E_{\sp{1.5}i}\,.\,$
Alors, pour toutes fonctions $\,f_i:E_{\sp{1.5}i}\to F_i\sp{1.5},\,$ les variables $\,f_i(X_i)\,$ sont indépendantes.
lemme des coalitions
Soient $\,n\,$ variables aléatoires indépendantes $\,X_i:\Omega\to E_{\sp{1.5}i}\,$ et :
$\displaystyle{}f:E_1\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_p \to F\,\txt{et}\,g:E_{p+1}\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_n \to G$
Alors, $\,f(X_1,\dots,X_p)\,$ et $\,g(X_{p+1},\dots,X_n)\,$ sont indépendantes.
indication
1
Pour $\,k\app\,[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ déterminer le complémentaire dans $\,[\![\sp{1.5}1,k\sp{1.5}]\!]^{\sp{1.5}p}\,$ de l'événement :
$\displaystyle{}(Y=k)=\ens{(x_1,\dots,x_p)\app\,[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]^{\sp{1.5}p}}{\op{max}(x_1,\dots,x_p)=k}$
indication
2
Faire apparaître dans l'expression de $\,E(Y)\,$ une somme de Riemann.
réponse
Pour $\,k\app\,[\![\sp{1.5}1,\sp{1.5}n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ la loi de de probabilité de la variable $Y$ est définie par :
$\displaystyle{}P(Y=k)=\frac{k^p-(k-1)^p}{n^p}$
On obtient alors pour équivalent de l'espérance lorsque $\,n\,$ tend vers $\,+\I:\,$ $\displaystyle{}E(Y)\eq n{+\I}\,\dfrac{n\sp{1.5}p}{p+1}$
correction
Les $X_i$ étant de loi
Soit $\,X\,$ une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini $\,E\sp{1.5}.\,$
Alors $\,X\,$ suit une loi uniforme $\,\sc U(E)\,$ ssi pour tout $\,x\app E:\,$
uniforme
sur $[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},$ $\,X=(X_1,\dots,\sp{-1.5}X_p)\,$ est une
$\displaystyle{}P(X=x)=\frac1{\op{card}(E)}$
Soient $\,(\Omega,P)\,$ un espace probabilisé fini et $E$ un ensemble.
$\,X:\Omega\to E\,$ est une variable aléatoire à valeurs dans $E\sp{1.5}.$
Pour $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ on désigne par $\,(X\app A)\,$ l'événement :
variable
aléatoire à valeurs dans $\,[\![\sp{1.5}1,n]\!]^{\sp{1.5}p}.\,$
Du fait de
$\displaystyle{}X^{-1}(A)=\ens{\omega\app\Omega}{X(\omega)\app A}$
Soient $n$ variables aléatoires discrètes $X_i$ sur un univers $\,\Omega.\,$
Les $X_i$ sont indépendantes ssi pour tous $\,x_i \app X_i(\Omega):\,$
l'indépendance
des $X_i\sp{1.5},$ on a pour tout $\,(x_1,\dots,x_p\big)\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}1,n]\!]^{\sp{1.5}p}:\,$
$\displaystyle{}P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\dots P(X_n=x_n)$
$\displaystyle{}P\big(X=(x_1,\dots,x_p)\big)=\smh{1.5}{\prod_{i=1}^p P(X_i=x_i)=\frac1{n^p}}$
Pour $\,k\app\,[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ par définition du
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
maximum,
l'événement $\,(Y=k)\,$ est la partie suivante de $\,[\![\sp{1.5}1,k\sp{1.5}]\!]^{\sp{1.5}p}\!:\,$
$\displaystyle{}(Y=k)=\ens{(x_1,\dots,x_p)\app\,[\![\sp{1.5}1,k\sp{1.5}]\!]^{\sp{1.5}p}}{\iex i\app\,[\![\sp{1.5}1,p\sp{1.5}]\!],\ x_i=k}$
Le complémentaire de l'événement $\,(Y=k)\,$ dans $\,[\![\sp{1.5}1,k\sp{1.5}]\!]^{\sp{1.5}p}\,$ est caractérisé par la
Soient $\Omega$ un ensemble et $\sc P(x)$ une proposition portant sur $x\app\Omega:$
négation :
- $\,\op{non}\big(\ptt x\app\Omega\sp{1.5},\,\sc P(x)\big)\,$ ssi $\,\big(\iex x\app\Omega\sp{1.5},\ \op{non}\sc P(x)\big)\sp{1.5};\,$
- $\,\op{non}\big(\iex x\app\Omega\sp{1.5},\ \sc P(x)\big)\,$ ssi $\,\big(\ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \op{non}\sc P(x)\big)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\op{non}\big(\iex i\app\,[\![\sp{1.5}1,p\sp{1.5}]\!],\ x_i=k\big)\Ssi\big(\ptt i\app\,[\![\sp{1.5}1,p\sp{1.5}]\!],\ x_i < k\big)$
$\,(Y=k)\,$ est donc l'ensemble : $\,[\![\sp{1.5}1,k\sp{1.5}]\!]^{\sp{1.5}p}\big\\[\![\sp{1.5}1,k-1]\!]^{\sp{1.5}p},\,$ de
Si $\,A\,$ est une partie d'un ensemble $\,E\,$ de cardinal $\,n\sp{1.5},\,$ alors :
cardinal :
$\,k^p-(k-1)^p.\,$
Compte tenu de
$\displaystyle{}\op{card}(E\!\setminus\!\sp{-1.5}A)=n-\op{card}(A)$
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.
Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :
l'équiprobabilité
des éventualités $\,X=(x_1,\dots,x_p),\,$ on obtient pour la
$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$
Soit $\,X:\Omega\to E\,$ sur un espace probabilisé fini $\,(\Omega,P)\sp{1.5}.\,$
La loi de probabilité de $\,X\,$ sur $E$ est la probabilité :
loi
de $\,Y:\,$
$\displaystyle{}P_X:\syst{\,\sc P\big(X(\Omega)\big)\to&\ [\sp{1.5}0\sp{1.5},1]\\[-1ex]A\sp{12}\mapsto& P(X\app A)}$
Elle est caractérisée par les $\,P(X=x)\,$ pour tout $\,x\app X(\Omega)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}P(Y=k)=\frac{k^p-(k-1)^p}{n^p}$
On peut faire apparaître dans l'expression de
L'espérance d'une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to \bb K\,$ est :
l'espérance
de $Y$ une somme
$\displaystyle{}E(X)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!x\sp{1.5}P(X=x)$
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :
télescopique :
$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$
On a alors :
$\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$
$\eqalign{E(Y)&=\frac1{n^p}\sum_{k=1}^n\big(k^{p+1}-k\sp{1.5}(k-1)^p\big)\\[-.5ex]
&=\frac1{n^p}\sum_{k=1}^n\big(k^{p+1}-(k-1)^{p+1}\big)-\frac1{n^p}\sum_{k=1}^n(k-1)^p}$
Le dernier terme de cette expression est une somme de
Pour $\,f:[a,b]\to\bb K\,\,$ ses sommes de Riemann à gauche sont les :
Riemann
$\,S_n(f)\,$ de la fonction continue $\,f:x\mapsto x^p\,$ sur $\,[0,1]\sp{-1.5}:\,$
$\displaystyle{}S_n(f)=\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\Big(a+k\,\frac {b-a}n\Big)$
Ses sommes de Riemann à droite sont celles indexées de $\,k=1\,$ à $\,n\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}E(Y)=\frac{n^{p+1}-0^{p+1}}{n^p}-\sum_{k=1}^n\Big(\sp{-1.5}\frac{k-1}n\sp{-1.5}\Big)^{\!p}=n-n\,S_n(f)$
Avec la
Les sommes de Riemann de $\,f\app\sc C([a,b],\bb K)\,$ convergent vers son intégrale :
convergence
des $\,S_n(f)\sp{1.5},\,$ on obtient finalement :
$\displaystyle{}S_n(f)\tend n{+\I}\int_a^bf(x)\d x$
Les $\,S_n(f)\,$ sont les approximations de l'intégrale par la méthode des rectangles.
$\displaystyle{}\!E(Y)\eq n{+\I}n\sp{1.5}\Big(1-\sp{-1.5}\!\int_0^1\!\! x^p\d x\Big)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}n\sp{1.5}\Big(1-\sp{-1.5}\Big[\frac{x^{p+1}}{p+1}\Big]_0^1\Big)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\frac{n\sp{1.5}p}{p+1}$
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Exercice c
Pour dénombrer les utilisateurs différents ayant visité un site internet, chacun est identifié par son adresse IP.
Chaque adresse IP est une suite de quatre octets, autrement dit quatre entiers entre $0$ et $255\sp{1.5},$ fixés au hasard.
Pour protéger les utilisateurs, on n'enregistre que leurs adresses IP tronquées, formées des trois premiers octets.
Le site a été visité par $n$ utilisateurs distincts dont les adresses $\,a_i\app\,[\![0,255]\!]^4,\,$ sont distinctes et indépendantes.
Déterminer alors, en fonction de $n\sp{1.5},$ l'espérance du nombre $N_n$ des adresses tronquées distinctes enregistrées.
indépendance de variables aléatoires
Soient $n$ variables aléatoires discrètes $X_i$ sur un univers $\,\Omega.\,$
Les $X_i$ sont indépendantes ssi pour tous $\,x_i \app X_i(\Omega):\,$
$\displaystyle{}P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\dots P(X_n=x_n)$
fonctions de variables aléatoires indépendantes
Soient $\,n\,$ variables aléatoires indépendantes $\,X_i:\Omega\to E_{\sp{1.5}i}\,.\,$
Alors, pour toutes fonctions $\,f_i:E_{\sp{1.5}i}\to F_i\sp{1.5},\,$ les variables $\,f_i(X_i)\,$ sont indépendantes.
lemme des coalitions
Soient $\,n\,$ variables aléatoires indépendantes $\,X_i:\Omega\to E_{\sp{1.5}i}\,$ et :
$\displaystyle{}f:E_1\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_p \to F\,\txt{et}\,g:E_{p+1}\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_n \to G$
Alors, $\,f(X_1,\dots,X_p)\,$ et $\,g(X_{p+1},\dots,X_n)\,$ sont indépendantes.
indication
1
Commencer par évaluer la probabilité que deux utilisateurs distincts aient la même adresse tronquée.
indication
2
On note $\,N_k\,$ le nombre d'adresses tronquées distinctes enregistrées pour les $k\geq2$ premiers utilisateurs. Déterminer alors la loi de la variable aléatoire $\,N_k-N_{k-1}\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient pour espérance : $\,E(N_{n})=\dfrac{1-p^n}{1-p}\sp{1.5},\,$ où on a posé : $\,p=1-\dfrac1{256^3}\!\cdot\,$
correction
À toute adresse IP : $\,a\app\sp{1.5}\sc A\!=\sp{-1.5}[\![0,255]\!]^4,\,$ on associe son adresse tronquée : $\,t=\tau(a)\app\sp{1.5}\sc T\!=\sp{-1.5}[\![0,255]\!]^3\,.\,$
On note $\,(a_1,\dots,a_n)\,$ la suite des $\,n\,$ adresses IP des visiteurs distincts s'étant connectés au site.
Les adresses $a_i$ étant
Soient $n$ variables aléatoires discrètes $X_i$ sur un univers $\,\Omega.\,$
Les $X_i$ sont indépendantes ssi pour tous $\,x_i \app X_i(\Omega):\,$
indépendantes,
il s'ensuit que les adresses tronquée $\,t_i=\tau(a_i)\,$ sont
$\displaystyle{}P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\dots P(X_n=x_n)$
Soient $\,n\,$ variables aléatoires indépendantes $\,X_i:\Omega\to E_{\sp{1.5}i}\,.\,$
Alors, pour toutes fonctions $\,f_i:E_{\sp{1.5}i}\to F_i\sp{1.5},\,$ les variables $\,f_i(X_i)\,$ sont indépendantes.
indépendantes.
Chaque $a_i$ étant une
Soient $\,(\Omega,P)\,$ un espace probabilisé fini et $E$ un ensemble.
$\,X:\Omega\to E\,$ est une variable aléatoire à valeurs dans $E\sp{1.5}.$
Pour $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ on désigne par $\,(X\app A)\,$ l'événement :
variable
aléatoire
$\displaystyle{}X^{-1}(A)=\ens{\omega\app\Omega}{X(\omega)\app A}$
Soit $\,X\,$ une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini $\,E\sp{1.5}.\,$
Alors $\,X\,$ suit une loi uniforme $\,\sc U(E)\,$ ssi pour tout $\,x\app E:\,$
uniforme
sur $\,\sc A\!=\sp{-1.5}[\![0,255]\!]^4,\,$ ses valeurs sont
$\displaystyle{}P(X=x)=\frac1{\op{card}(E)}$
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.
Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :
équiprobables.
Il existe exactement $256$ adresse IP complétant chaque adresse tronquée $\,u\app\sc T=\sp{-1.5}[\![0,255]\!]^3,\,$ si bien que :
$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$
$\eqalign{&P(t_i=u)=\frac{\op{card}([\![0,255]\!])}{\op{card}(\sc A)}=\frac{256}{256^4}=\dfrac1{256^3}\\[-1ex]
\txt{d'où :}&P(t_i\neq u)=1-\dfrac1{256^3}=p}$
Pour tout $\,k\leq n\sp{1.5},\,$ on veut évaluer le cardinal $N_k$ de l'ensemble $\,\sc T_k=\{t_1,\dots,t_k\}\!\cdot\,$
On a d'abord $\,\sc T_1=\{t_1\}\,$ avec $\,N_1=1\sp{1.5};\,$
puis $\,\sc T_2=\{t_1, t_2\}\sp{1.5},\,$ avec $\,N_2=2\,$ si $\,t_2\neq t_1\,$ ou $\,N_2=1\,$ si $\,t_2= t_1\sp{1.5}.\,$
Avec $\,N_{k-1}=\op{card}(\sc T_{k-1})\sp{1.5},\,$ on a ensuite : $\,N_k=N_{k-1}+1\,$ si $\,t_k\non\app \sc T_{k-1}\sp{1.5},\,$ ou : $\,N_k=N_{k-1}\,$ si $\,t_k\app \sc T_{k-1}\sp{1.5}.\,$
Étant à valeurs dans $\,\{0,1\}\sp{1.5},\,$ les $(N_k-N_{k-1})$ sont des variables de
Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{0,1\}$ suit une loi de Bernoulli $\,\sc B(p)\,$ ssi :
Bernoulli
de paramètre $\,p_k=P(t_k\non\app \sc T_{k-1})\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}P(X=1)=p\app\,[\sp{1.5}0,1]\txt{et}P(X=0)=1-p$
On a alors : $\,E(X)=p\txt{et}V(X)=p\sp{1.5}(1-p)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}p_k\sp{-1.5}=\sp{-1.5}P(t_1\!\neq\!t_k\sp{1.5},\dots,t_{k-1}\!\neq\!t_k)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}P\Big(\sp{1.5}\smh{2}{\inter_{i=1}^{k-1}}(t_i\!\neq\! t_k)\!\Big)$
$\,(t_k=u)_{u\app \sc T}\,$ est un système
Soit, sur un espace probabilisable $\,(\Omega,\sc A)\sp{1.5},\,$une famille au plus dénombrable d'événements $\,(A_i)_{i\app I}\sp{1.5}.\,$ $\,(A_i)_{i\app I}\,$ est un système complet d'événements ssi :
complet
d'événements
- $\,i\neq j\Imp A_i\cap A_j=\vide\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{0}{\Op{\Large\cup}_{i\app I}}\,A_i=\Omega\sp{1.5}.\,$
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.
Les $A_i$ sont indépendants ssi pour tout $J\subset I$ fini :
indépendants,
d'où par probabilité d'une
$\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$
Alors, lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
Soient $\,A_1,\dots,A_n\,$ des événements deux à deux disjoints sur un même espace probabilisé ; alors :
réunion
disjointe :
$\displaystyle{}\smh{2}{ P\Big(\bigcup_{k=1}^n A_k\Big)=\sum_{k=1}^n P(A_k)}$
$\eqalign{ p_k=&\sum_{u\app \sc T}P\Big(\inter_{i=1}^{k-1}(t_i\neq t_k\sp{-1.5}\txt{et}\sp{-1.5}t_k=u)\sp{-1.5}\Big)\\[-2.5ex]
=&\sum_{u\app \sc T}P\Big(\inter_{i=1}^{k-1}(t_i\neq u\sp{-1.5}\txt{et}\sp{-1.5}t_k=u)\sp{-1.5}\Big)\\[-2.5ex]
=&\sum_{u\app \sc T}\Big(\tst{\prod}_{i=1}^{k-1}P(t_i\neq u)\sp{-1.5}\Big)\sp{1.5}P(t_k=u)\\[.5ex]
=&\sum_{u\app \sc T}\,p^{k-1}\sp{1.5}P(t_k=u)=p^{k-1}\\
\txt{d'où :}&E(N_k-N_{k-1})=p_k=p^{k-1}}$
Avec $\,N_{n}=N_1+\smb{1.5}{\Op{\sum}_{k=2}^n}(N_k-N_{k-1})\,$ on obtient enfin, par
Soient deux variables aléatoires $\,X,Y:\Omega\to\bb K\,$ et $\,\alpha\sp{1.5},\beta\app\bb K\sp{1.5}.\,$
Si $E(X)$ et $E(Y)$ sont finies, alors $\,E(\alpha\sp{1.5}X+\beta\sp{1.5}Y)\,$ est finie et :
linéarité
de l'espérance, une somme
$\displaystyle{}E(\alpha\sp{1.5}X+\beta\sp{1.5}Y)=\alpha\sp{1.5} E(X)+\beta\sp{1.5} E(Y)$
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
géométrique :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\eqalign{E(N_{n})&=E(N_1)+\smh{1.5}{\sum_{k=2}^n} E(N_k-N_{k-1})\\[-2ex]
&=1+\sum_{k=2}^n p^{k-1}=\sum_{h=0}^{n-1}p^h=\frac{1-p ^n}{1-p}}$
L'évaluation numérique de $\,E(N_n)\,$ pour $\,p=1-\dfrac1{256^3}\,$ donne les résultats suivants, pour quelques valeurs de $\,n:\,$
Ainsi, même avec $\,n=1\sp{1.5}000\sp{1.5}000\sp{1.5},\,$ le nonbre de visites n'est sous-estimé que d'environ $\,3\%\sp{1.5}.\,$
| $\require{color}\colorbox{white}{$\sp{-3}\eqalign{&\tabl{{|c|c|}\hline \sp{25}n\sp{30}&\sp{-2}n\sp{-1.5}-\sp{-1.5}E(N_n)\sp{-2}\\ \hline}\\[-.75ex] &\tabl{{|r|l|}\hline100&\sp{3.5}0,000295\sp{3.5}\\\hline 1\sp{1.5}000&0,029772\\\hline10\sp{1.5}000&2,979342\\\hline100\sp{1.5}000&297,4290\\\hline1\sp{1.5}000\sp{1.5}000&29218,89\\\hline}}$}$ |
Il faut cependant noter que l'hypothèse de distribution aléatoire des différentes adresses IP n'est pas très réaliste.Il pourrait arriver par exemple que les adresses IP d'un même sous-réseau ne se différencient que par leur dernier octet.