exercices de mathématiques - prépa et université

La

Soient $\,(\Omega,P)\,$ un espace probabilisé fini et $E$ un ensemble.

$\,X:\Omega\to E\,$ est une variable aléatoire à valeurs dans $E\sp{1.5}.$

Pour $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ on désigne par $\,(X\app A)\,$ l'événement :

$\displaystyle{}X^{-1}(A)=\ens{\omega\app\Omega}{X(\omega)\app A}$

variable aléatoire $X$ est à valeurs dans l'ensemble $\,\{0,1,2\}\!\cdot\,$

La

Soit $\,X:\Omega\to E\,$ sur un espace probabilisé fini $\,(\Omega,P)\sp{1.5}.\,$

La loi de probabilité de $\,X\,$ sur $E$ est la probabilité :

$\displaystyle{}P_X:\syst{\,\sc P\big(X(\Omega)\big)\to&\ [\sp{1.5}0\sp{1.5},1]\\[-1ex]A\sp{12}\mapsto& P(X\app A)}$

Elle est caractérisée par les $\,P(X=x)\,$ pour tout $\,x\app X(\Omega)\sp{1.5}.\,$

loi de probabilité de $X$ sera donc caractérisée par les $\,p_k=P(X=k)\,$ pour $\,0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}k\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}2\sp{1.5}.\,$

Par

Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.

Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :

$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$

équiprobabilité, chaque bille arrive dans une des trois cases avec la probabilité $1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3\sp{1.5}.$

• L'événement $\,(X=2)\,$ correspond aux cas où toutes les billes vont dans une même case.
  Chaque bille étant
  Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.

  Les $A_i$ sont indépendants  ssi  pour tout $J\subset I$ fini :

  $\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$

  Alors,  lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
  indépendante des autres, la probabilité qu'elles arrivent toutes dans cette case vaut $\,(1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3)^n.\,$
  Avec des cases qui sont au nombre de trois, on a trois éventualités deux à deux incompatibles, si bien que :
  $\displaystyle{}p_2=P(X=2)=3\Big(\frac13\Big)^{\!n}=\frac1{3^{\sp{1.5}n-1}}$
• L'événement $\,(X=1)\,$ correspond aux cas où les billes se répartissent dans exactement deux cases.
  Toujours par indépendance, toutes les billes arrivent dans ces deux cases avec la probabilité $\,(2\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3)^n.\,$
  On doit cependant en
  Pour deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé, tels que $\,B\subset A\sp{1.5},\,$ on a :

  $\eqalign{P(A\!\setminus\! B)&=P(A)-P(B)\\ \txt{d'où :} P(\adher{A})&= 1-P(A)}$
  soustraire $\,2\sp{1.5}(1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3)^n\,$ pour les deux cas où elles arrivent toutes dans une seule case.
  La probabilité qui en résulte est enfin à multiplier par le
  Une $p\tiret$combinaison d'un ensemble $E$ est une partie de $E$ à $\,p\,$ éléments.

  Si $E$ est de cardinal $n\sp{1.5},$ leur ensemble $\sc P_p(E)$  est  fini avec :

  $\displaystyle{}\op{card}(\sc P_p(E))=\smh{1.5}{\binome{\,n\,\\p}}$
  nombre de choix pour ces deux cases, d'où :
  $\displaystyle{} p_1=P(X=1)=\binome{3\\[-.5ex]2}\Big(\frac{2^n}{3^n}-\frac2{3^n}\Big)=\frac{2^n-2}{3^{n-1}}$
• L'événement $\,(X=0)\,$ est enfin le
  Pour deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé, tels que $\,B\subset A\sp{1.5},\,$ on a :

  $\eqalign{P(A\!\setminus\! B)&=P(A)-P(B)\\ \txt{d'où :} P(\adher{A})&= 1-P(A)}$
  complémentaire de la réunion disjointe des deux autres, et donc :
  $\displaystyle{}p_0=P(X=0)=1-p_2-p_1=1-\frac{2^n\!-1}{3^{n-1}}$

L'espérance d'une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to \bb K\,$ est :

$\displaystyle{}E(X)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!x\sp{1.5}P(X=x)$

L'espérance $E(X)$ du nombre de cases restées vides vaut donc :

On obtient ainsi la

Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente  ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$

• $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
• $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,q\app\bb R\,$ avec $\,q > 1\sp{1.5},\,$ alors  au contraire : $\lim n{+\I}q^n=+\I\sp{1.5}.$

limite d'une suite géométrique :

Une boule, noire ou blanche, étant rajoutée à chaque tirage, l'urne contient à la fin $\,n+2\,$ boules.

Du fait de la composition initiale de l'urne, la

Soient $\,(\Omega,P)\,$ un espace probabilisé fini et $E$ un ensemble.

$\,X:\Omega\to E\,$ est une variable aléatoire à valeurs dans $E\sp{1.5}.$

Pour $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ on désigne par $\,(X\app A)\,$ l'événement :

$\displaystyle{}X^{-1}(A)=\ens{\omega\app\Omega}{X(\omega)\app A}$

variable aléatoire $\,X_n\,$ prend donc ses valeurs entre $1$ et $\,n+1\sp{1.5}.\,$

On va alors montrer par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence sur $\,n\app\bb N\,$ que la

Soit $\,X:\Omega\to E\,$ sur un espace probabilisé fini $\,(\Omega,P)\sp{1.5}.\,$

La loi de probabilité de $\,X\,$ sur $E$ est la probabilité :

$\displaystyle{}P_X:\syst{\,\sc P\big(X(\Omega)\big)\to&\ [\sp{1.5}0\sp{1.5},1]\\[-1ex]A\sp{12}\mapsto& P(X\app A)}$

Elle est caractérisée par les $\,P(X=x)\,$ pour tout $\,x\app X(\Omega)\sp{1.5}.\,$

loi de probabilité de $\,X_n\,$ est

Soit $\,X\,$ une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini $\,E\sp{1.5}.\,$

Alors $\,X\,$ suit une loi uniforme $\,\sc U(E)\,$ ssi  pour tout $\,x\app E:\,$

$\displaystyle{}P(X=x)=\frac1{\op{card}(E)}$

uniforme sur $\,[\![\sp{1.5}1,\sp{1.5}n+1\sp{1.5}]\!]:\,$

• Avant tout tirage, c'est-à-dire pour $\,n=0\sp{1.5},\,$ on a avec certitude $\,X_0=1\sp{1.5},\,$ soit : $\,X_0\sim\sc U(\{1\})\sp{1.5}.\,$

• Supposons que pour $\,1\leq\ell\leq n\sp{1.5},\,$ on ait : $\,P(X_{n-1}=\ell)=1/n\sp{1.5},\,$ soit : $\,X_{n-1}\sp{-1.5}\sim\sp{-1.5}\sc U\big([\![\sp{1.5}1,\sp{1.5}n\sp{1.5}]\!]\big)\sp{1.5}.\,$
  • Pour $\,k\app\,[\![\sp{1.5}1,n+1\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ l'événement $\,(X_n=k)\,$ ne se produit que lorsque $\,X_{n-1}\app\,\{\sp{1.5}k-1,\sp{1.5}k\sp{1.5}\}\!\cdot\,$

  • Lorsque $\,X_{n-1}=\ell\app\,\{\sp{1.5}k-1,\sp{1.5}k\sp{1.5}\}\sp{1.5},\,$ l'urne contient $\,\ell\,$ boules blanches et $\,n+1-\ell\,$ boules noires.
  Les tirages de chaque boule étant
  Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.

  Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :

  $\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$
  équiprobables, on a alors :
  $\eqalign{&P(X_n=k\sp{1.5}\big|\sp{1.5}X_{n-1}=k-1)=\frac{k-1}{n+1}\\ &P(X_n=k\sp{1.5}\big|\sp{1.5}X_{n-1}=k)=\frac{n+1-k}{n+1}}$
  Avec $\,P(X_{n-1}=k-1)=P(X_{n-1}=k)=1/n\sp{1.5},\,$ on a donc par la formule des probabilités
  Pour des événements $A$ et $B_i\sp{1.5},$ formant un système complet avec $\,P(B_i)\neq0:\,$

  $\displaystyle{}P(A)=\sum_{i\app I}P(A\cap B_i)=\sum_{i\app I}P(A|B_i)\sp{1.5}P(B_i)$
  totales :
  $\eqalign{P(X_n=k)=\frac{k-1}{n+1}\!\cdot\!\frac1n+ \frac{n+1-k}{n+1}\!\cdot\!\frac1n=\frac1{n+1}}$

On a ainsi démontré par récurrence que $\,X_n\,$ suit bien une loi uniforme :  $\,X_n\sim\sc U\big([\![\sp{1.5}1,\sp{1.5}n+1\sp{1.5}]\!]\big)\sp{1.5}.\,$

On en déduit

L'espérance d'une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to \bb K\,$ est :

$\displaystyle{}E(X)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!x\sp{1.5}P(X=x)$

l'espérance de $\,X_n\,$ par une

La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels  est :

$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$

somme d'entiers consécutifs :

Par définition de la partie

Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$

Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$  est  caractérisé par l'encadrement :

$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$

entière et par croissance stricte de la

La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

racine carrée, on encadre les valeurs de $Y:$ La

Soient $\,(\Omega,P)\,$ un espace probabilisé fini et $E$ un ensemble.

$\,X:\Omega\to E\,$ est une variable aléatoire à valeurs dans $E\sp{1.5}.$

Pour $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ on désigne par $\,(X\app A)\,$ l'événement :

$\displaystyle{}X^{-1}(A)=\ens{\omega\app\Omega}{X(\omega)\app A}$

variable aléatoire $\,Y=\lfloor\sqrt X\rfloor\,$ est donc à valeurs dans $\,[\![\sp{1.5}0,\sp{1.5}n-1\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ avec pour  $\,0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} k\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} n-1:\,$ La

Soit $\,X:\Omega\to E\,$ sur un espace probabilisé fini $\,(\Omega,P)\sp{1.5}.\,$

La loi de probabilité de $\,X\,$ sur $E$ est la probabilité :

$\displaystyle{}P_X:\syst{\,\sc P\big(X(\Omega)\big)\to&\ [\sp{1.5}0\sp{1.5},1]\\[-1ex]A\sp{12}\mapsto& P(X\app A)}$

Elle est caractérisée par les $\,P(X=x)\,$ pour tout $\,x\app X(\Omega)\sp{1.5}.\,$

loi de probabilité de $\,X\,$ étant

Soit $\,X\,$ une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini $\,E\sp{1.5}.\,$

Alors $\,X\,$ suit une loi uniforme $\,\sc U(E)\,$ ssi  pour tout $\,x\app E:\,$

$\displaystyle{}P(X=x)=\frac1{\op{card}(E)}$

uniforme sur $\,\Omega=[\![\sp{1.5}0,\sp{1.5}n^2-1\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ on obtient par

Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.

Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :

$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$

équiprobabilité :

On peut alors calculer

L'espérance d'une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to \bb K\,$ est :

$\displaystyle{}E(X)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!x\sp{1.5}P(X=x)$

l'espérance de $Y$ par une

La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels  est :

$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$

somme d'entiers consécutifs et une

La somme des $\,n+1\,$ premiers carrés d'entiers naturels  est :

$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2\sp{1.5}n+1)}6$

somme de carrés :

Selon les hypothèses, $N$ est une

Soient $\,(\Omega,P)\,$ un espace probabilisé fini et $E$ un ensemble.

$\,X:\Omega\to E\,$ est une variable aléatoire à valeurs dans $E\sp{1.5}.$

Pour $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ on désigne par $\,(X\app A)\,$ l'événement :

$\displaystyle{}X^{-1}(A)=\ens{\omega\app\Omega}{X(\omega)\app A}$

variable aléatoire de loi

Soit $\,X\,$ une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini $\,E\sp{1.5}.\,$

Alors $\,X\,$ suit une loi uniforme $\,\sc U(E)\,$ ssi  pour tout $\,x\app E:\,$

$\displaystyle{}P(X=x)=\frac1{\op{card}(E)}$

uniforme :  $\,N\sim\sc U\big([\![\sp{1.5}1,\sp{1.5}n\sp{1.5}]\!]\big).\,$

La

Soit $\,X:\Omega\to E\,$ sur un espace probabilisé fini $\,(\Omega,P)\sp{1.5}.\,$

La loi de probabilité de $\,X\,$ sur $E$ est la probabilité :

$\displaystyle{}P_X:\syst{\,\sc P\big(X(\Omega)\big)\to&\ [\sp{1.5}0\sp{1.5},1]\\[-1ex]A\sp{12}\mapsto& P(X\app A)}$

Elle est caractérisée par les $\,P(X=x)\,$ pour tout $\,x\app X(\Omega)\sp{1.5}.\,$

loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ à valeurs $\,k\app\,[\![\sp{1.5}1,\sp{1.5}n\sp{1.5}]\!]\,$ est caractérisée par les $\,P(X=k)\sp{1.5}.\,$

Lorsque $N$ prend une valeur $\,1\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} \ell\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} n\sp{1.5},\,$ les valeurs de $X$ sont uniformément réparties entre $1$ et $\ell:$

Les événements $(N=\ell)$ forment un système

Soit, sur un espace probabilisable $\,(\Omega,\sc A)\sp{1.5},\,$une famille au plus dénombrable d'événements $\,(A_i)_{i\app I}\sp{1.5}.\,$

$\,(A_i)_{i\app I}\,$ est  un système complet d'événements  ssi :

• $\,i\neq j\Imp A_i\cap A_j=\vide\sp{1.5};\,$
• $\,\smh{0}{\Op{\Large\cup}_{i\app I}}\,A_i=\Omega\sp{1.5}.\,$

complet d'événements d'où, par la formule des probabilités

Pour des événements $A$ et $B_i\sp{1.5},$ formant un système complet avec $\,P(B_i)\neq0:\,$

$\displaystyle{}P(A)=\sum_{i\app I}P(A\cap B_i)=\sum_{i\app I}P(A|B_i)\sp{1.5}P(B_i)$

totales :

On ne peut pas expliciter cette somme d'inverses, mais on peut néanmoins calculer

L'espérance d'une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to \bb K\,$ est :

$\displaystyle{}E(X)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!x\sp{1.5}P(X=x)$

l'espérance de $X:$ Cette double somme est la somme par

Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :

$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$

paquets des $\,\dfrac k\ell\,$ pour un ensemble $\,T\,$ de couples $\,(k,\ell):\,$

On peut alors calculer cette espérance avec des

La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels  est :

$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$

sommes d'entiers et une

Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$

$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$

translation d'indice par $\,h=\ell+1:\,$