exercices de mathématiques - prépa et université

$\,X\subset E\,$ est

Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est connexe par arcs  ssi :

$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app A^2,\ \iex\gamma\app\sc C\big([0,1],A\big),\ (\sp{1.5}\gamma(0)=x\txt{et}\gamma(1)=y\sp{1.5}) $

Tout partie de $E$ étoilée, ou a fortiori convexe,  est  connexe par arcs.

connexe par arcs si et seulement si on peut relier $a\app X$ et $b\app X$ par un

Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$ et $\,x,y\app A\sp{1.5}.\,$

Un chemin joignant $x$ et $y$ dans $A$  est  une application continue $\,\gamma:[0,1]\to A\sp{1.5},\,$ telle que :

$\displaystyle{}\gamma(0)=x\txt{et}\gamma(1)=y$

chemin inclus dans $\,X\sp{1.5}.\,$

$\,A\,$ et $\,B\,$ étant connexes par arcs, on se demande ce qu''il en est pour $\,A\cup B\,$ lorsque $\,A\cap B\neq\vide\sp{1.5}.\,$

Considérons alors deux éléments $\,a\,$ et $\,b\,$ de $\,A\cup B\,$ et un élément $\,c\,$ de $\,A\cap B\sp{1.5}.\,$

• Si on a $\,a\sp{.75},b\app A\!\setminus\!\sp{-1.5}B\,$ ou $\,a\sp{.75},b\app B\!\setminus\!\sp{-1.5}A\sp{1.5},\,$ ils sont reliés dans $\,A\cup B\,$ du fait de la connexité par arcs de $A\sp{1.5},$ ou de $B\sp{1.5}.$

• Si on a au contraire $\,a\app A\,$ et $\,b\app B\sp{1.5},\,$ il existe alors deux chemins, l'un dans $A\sp{1.5},$ l'autre dans $B:$
  $\eqalign{&\gamma_1:[0,1]\to A\sp{1.5},\txt{tel que}\gamma_1(0)=a\txt{et}\gamma_1(1)=c\\ &\gamma_2:[0,1]\to B\sp{1.5},\txt{tel que}\gamma_2(0)=c\txt{et}\gamma_2(1)=b}$
  On construit alors le chemin suivant $\,\gamma:[0,1]\to A\cup B\sp{1.5},\,$ défini par :
  $\displaystyle{}\gamma:t\mapsto\Big\{\eqalign{\gamma_1(2\sp{1.5}t)\ \ \ &\txt{si}\ t\leq1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\\[-.5ex] \ \gamma_2(2\sp{1.5}t-1)&\txt{si}\ t\geq1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2}$
  Cette application définit bien un chemin
  Pour un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ $\,f:I\to\bb E\,$ est continue en $\,\alpha\stb{.75}\,$ intérieur à $I$  ssi :

  $\displaystyle{}\lim t{\alpha^-}f(t)=f(\alpha)=\!\lim t{\alpha^+}f(t)$
  continu reliant $\,a\,$ à $\,b\,$ dans $\,A\cup B\sp{1.5},\,$ puisque :
  $\eqalign{&\sp{18} \gamma(0)=\gamma_1(0)=a\ \txt{et}\ \gamma(1)=\gamma_2(1)=b\\ &\lim t{(1/2)^-}\!\gamma(t)=\gamma_1(1)=c=\gamma_2(0)=\!\lim t{(1/2)^+}\!\gamma(t)}$
• Le cas $\,a\app B\,$ et $\,b\app A\,$ se traite de la même manière en permutant les rôles de $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5}.\,$

On a ainsi bien démontré que $\,A\cup B\,$ est connexe par arcs lorsque $\,A\cap B\neq\vide\sp{1.5}.\,$

Pour $\,u\,$ et $\,v\,$ appartenant à la

Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la sphère de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :

$\displaystyle{}S(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| = r}$

Les sphères de $E$  sont  des parties fermées de $E\sp{1.5}.$

sphère $S,$ on considère un plan vectoriel $P$ contenant $\,u\,$ et $\,v\sp{1.5},\,$ à savoir :

• le plan $\,P=\op{Vect}(u,v)\sp{1.5},\,$ si le couple $\,(u,v)\,$ est
  Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

  $\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

  $\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

  Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

  • Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
  • Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
  libre,
• ou tout plan vectoriel contenant $\,\op{Vect}(u)\,$ sinon ; il en existe puisque $\,\dim(E)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} 2\sp{1.5}. \,$

Dans ces conditions, $\,S\cap P\,$ est le

Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$

Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$

cercle $\,C\,$ du plan $\,P,\,$ de centre $\,0\,$ et rayon $\,1\sp{1.5},\,$ contenant $\,u\,$ et $\,v\sp{1.5}.\,$

Les points $\,u\,$ et $\,v\,$ de $\,C\,$ sont alors reliés par un arc de cercle inclus dans $\,S,\,$ ce qui prouve que $\,S\,$ est

Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est connexe par arcs  ssi :

$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app A^2,\ \iex\gamma\app\sc C\big([0,1],A\big),\ (\sp{1.5}\gamma(0)=x\txt{et}\gamma(1)=y\sp{1.5}) $

Tout partie de $E$ étoilée, ou a fortiori convexe,  est  connexe par arcs.

connexe par arcs.

Supposons maintenant que $\,E\,$ soit un espace vectoriel normé de dimension $\,n\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} 2\sp{1.5},\,$ a priori non

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

euclidien.

Étant donnés $\,u\app S\,$ et $\,v\app S,\,$ deux cas se présentent alors :

• Si le couple $\,(u,v)\,$ est
  Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

  $\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

  $\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

  Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

  • Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
  • Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
  libre,  la fonction $\,t\mapsto(1-t)\sp{1.5}u+t\sp{1.5}v\,$ ne s'annule pas sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
  On obtient un chemin
  Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,A\subset E\sp{1.5};\,$ alors :

  • $\,\sc C(A\sp{.75},F)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(A,F)\,;\,$
  • pour $\,f\app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$ $\,\phi\app\sc C(A\sp{.75},\bb K)\sp{1.5},\,$ on a : $\,\phi f \app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$
  • ainsi que $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\phi\app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app A\sp{1.5},\ \phi(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
  continu $\,\gamma:[0,1]\to S,\,$ reliant $\,u=\gamma(0)\,$ à $\,v=\gamma(1)\,$ en posant :
  $\displaystyle{}\gamma(t)=\smb1{\frac{(1-t)\sp{1.5}u+t\sp{1.5}v}{\|(1-t)\sp{1.5}u+t\sp{1.5}v\|}}$

• Si le couple $\,(u,v)\,$ est lié, on peut choisir un vecteur $\,w\,$ de norme $\,1\,$ n'appartenant pas à $\,\op{Vect}(u),\,$ car $\,\dim(E)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} 2\sp{1.5}.\,$
  On construit alors comme ci-dessus, un chemin $\,\gamma_1\,$ reliant $\,u\,$ à $\,w\,$ dans $S\sp{1.5},$ et un autre $\,\gamma_2\,$ reliant $\,w\,$ à $\,v \,$ dans $S.$
  On peut alors relier $\,u\,$ à $\,v\,$ par le chemin $\,\gamma:[0,1]\to S\,$ défini comme suit :
  $\displaystyle{}\gamma:t\mapsto\Big\{\eqalign{&\gamma_1(2\sp{1.5}t)&\txt{si}t\leq1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\\[-.5ex]&\gamma_2(2\sp{1.5}t-1)&\txt{si}t\geq1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2}$
  Avec $\,\lim t{(1/2)^-}\!\!\gamma(t)=w=\!\!\lim t{(1/2)^+}\!\!\gamma(t)\sp{1.5},\,$ $\,\gamma\,$ est donc
  Pour un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ $\,f:I\to\bb E\,$ est continue en $\,\alpha\stb{.75}\,$ intérieur à $I$  ssi :

  $\displaystyle{}\lim t{\alpha^-}f(t)=f(\alpha)=\!\lim t{\alpha^+}f(t)$
  continu, avec $\,u=\gamma(0)\,$ et $\,v=\gamma(1)\sp{1.5}.\,$

Ainsi, la sphère $\,S=\ens{x\app E}{\|x\|=1}\,$ est connexe par arcs dans tout espace vectoriel normé de dimension $\,n\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} 2\sp{1.5}.\,$

Le complémentaire du

Le graphe de $\,f:E\to F\,$ est  l'ensemble $\,\Gamma\subset E\times F\,$ défini par :

$\displaystyle{}\Gamma= \ens{\sp{1.5}(x,f(x))}{x\app E\,}$

graphe de $f:$  $\,\Omega=\ens{(x,y)\app\bb R^2}{y \neq f(x)}\sp{1.5},\,$ est la réunion disjointe de :

En

Soient $\,E,\,F,\,G\,$ des espaces vectoriel normés, $\,A\!\subset\! E\,$ et $\,B\!\subset\! F:\,$

$\displaystyle{}\big(f\app\sc C(A,F)\sp{1.5}, g\app\sc C(B,G)\!\txt{et}\!f(A)\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}B\big)\!\Imp\! g\circ f\app\sc C(A,G)$

composant par $f$ la forme

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $E$ de dimension finie.

Alors  toute $\,f\app\sc L(E,F)\,$ est  lipschitzienne, et donc continue.

linéaire $\,(x,y)\mapsto x\,$ on obtient une fonction réelle continue : $\,(x,y)\mapsto f(x)\sp{1.5}.\,$

En l'

Soient $E$ un espace vectoriel normé, ainsi que $\,f,g\app\sc C(A, \bb K):\,$

• les $\,\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g\,$ pour $(\alpha,\beta)\app\bb K^2$ sont continues sur $A\,;$
• le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ est continu sur $A\,;$
• le quotient $\,f/g\,$ est continu sur $A$  si  $g$ ne s'annule pas sur $A.$

$\,\sc C(A,\bb K)\,$ est  alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel, et même une $\bb K\tiret$algèbre.

ajoutant à $\,(x,y)\mapsto y\sp{1.5},\,$ et en la

Soient $\,E\sp{1.5},F_1\sp{1.5},\dots,F_p\,$ des espaces vectoriels normés et $\,A\subset E\sp{1.5}.\,$

Si  les $\,f_i:A\to F_i\,$ sont continues,  alors  $f$ est continue pour :

$\displaystyle{}f:\Big\{\eqalign{\,A&\to\ \, F_1\!\times\!\cdots\!\times\! F_p\\[-7.5ex]\,x&\mapsto \big(f_1(x)\sp{.75},\dots,f_p(x)\big)}$

combinant avec $\,(x,y)\mapsto x\sp{1.5},\,$ on en déduit la fonction continue :

$\,\bb R^2\,$ est la réunion disjointe de la droite $\,\Delta=\ens{(x,0)}{x\app \bb R}\,$ et des deux

Soient, dans un plan vectoriel réel $P$ muni d'une base $\sc B,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$

Les demi-plans délimités par la droite $\,\sc D\,$ sont les deux ensembles :

$\eqalign{\sc P_+=\ens{M\app P}{\smh{1}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\geq0}\\ \sc P_-=\ens{M\app P}{\smh{0}{\op{\det}_{\sc B}\!\big(\Vec{AM},\vec{u}\big)}\leq0}}$

demi-plans :

Avec :  $\,f(x)+y > f(x)\,\Ssi\, y > 0\sp{1.5},\,$  on a alors :  $\,\Omega_+=\phi(\Pi_+)\sp{1.5},\,$ et on a de même :  $\,\Omega_-=\phi(\Pi_-)\sp{1.5}.\,$

Le demi-plan $\,\Pi_+\,$ est

Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est convexe  ssi :

$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app A^2,\ [\![\sp{1.5}x,y\,]\!]\subset A$

convexe ; en effet, pour $\,u=(x,y)\,$ et $\,u'=(x',y')\,$ appartenant à $\,\Pi_+\sp{1.5},\,$ on a $\,[\![\sp{.75}u,u'\sp{1.5}]\!]\subset\Pi_+\,$ car : On en déduit alors que $\,\Pi_+\,$ est

Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est connexe par arcs  ssi :

$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app A^2,\ \iex\gamma\app\sc C\big([0,1],A\big),\ (\sp{1.5}\gamma(0)=x\txt{et}\gamma(1)=y\sp{1.5}) $

Tout partie de $E$ étoilée, ou a fortiori convexe,  est  connexe par arcs.

connexe par arcs, ainsi que $\,\Pi_-\,$ par le même raisonnement.

$\,\Omega_+\,$ et $\,\Omega_-\,$ sont donc

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $A$ une partie de $E$ connexe par arcs.

Si $\,f:A\to F\,$ est continue,  alors  $f(A)$ est connexe par arcs.

connexes par arcs, en tant qu'images de $\,\Pi_+\,$ et $\,\Pi_-\,$ par l'application $\,\phi\,$ continue sur $\,\bb R^2.\,$

On peut donc en déduire que l'ensemble $\,\Omega=\Omega_+\cup\Omega_-\,$ a au plus deux

Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$ et $\,x,y\app A\sp{1.5}.\,$

L'existence d'un chemin joignant deux éléments de $A$ définit une relation d'équivalence sur $A\sp{1.5}.$

Les classes d'équivalence de cette relation  sont  les composantes connexes par arcs de $A\sp{1.5}.$

composantes connexes par arcs.

On va maintenant établir que $\,\Omega\,$ n'est pas connexe par arcs.

Soient $\,u=(x,y)\app\Omega_+\,,\,$ $\,u'=(x',y')\app\Omega_-\,$ et $\,\gamma:t\mapsto\big(x(t),y(t)\big)\,$ un

Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$ et $\,x,y\app A\sp{1.5}.\,$

Un chemin joignant $x$ et $y$ dans $A$  est  une application continue $\,\gamma:[0,1]\to A\sp{1.5},\,$ telle que :

$\displaystyle{}\gamma(0)=x\txt{et}\gamma(1)=y$

chemin dans $\,\Omega\sp{1.5},\,$ reliant $\,u=\gamma(0)\,$ et $\,u'=\gamma(1)\sp{1.5}.\,$

On applique alors le

Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ une fonction continue sur un segment.

Pour $y$ entre $f(a)$ et $f(b)\sp{1.5},$ il existe $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ tel que :  $\,y=f(x)\sp{1.5}.\,$

théorème des valeurs intermédiaires à la fonction continue : $\,t\mapsto y(t)-f(x(t))\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit qu'il existe un $\,t\app\,[0,1]\,$ tel que $\,\gamma(t)\app\Gamma\sp{1.5},\,$ ce qui contredit l'hypothèse : $\,\gamma\big([0,1]\big)\subset\Omega\sp{1.5}.\,$

$\,\Omega\,$ n'est donc pas connexe par arcs, si bien que $\,\Omega_+\,$ et $\,\Omega_-\,$ sont exactement les deux composantes connexes par arcs de $\,\Omega\sp{1.5}.\,$