exercices de mathématiques - prépa et université

Dans l'espace $\,\sc M_n(\bb R)\,$ de

L'espace vectoriel $\sc M_{n,p}(\bb K)$  est  de dimension $\,n\sp{.75}p\sp{1.5},\,$ de base canonique $\,\sc B_c=(E_{1,1},\dots,E_{n,p})\sp{1.5},\,$ avec :

$\displaystyle{}E_{k,\ell}=[\sp{1.5}e_{i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}\,,\txt{pour}\syst{&{e_{k,\sp{1.5}\ell}}=1\\[-.5ex] &{e_{i,\sp{1.5}j}}=0\txt{si}(i,j)\neq(k,\ell)}$

dimension $\,n^2\,$ finie, les

Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ tout compact  est  fermé et borné.

Dans $E$ de dimension finie, $K$ est compact  ssi  $K$ est fermé et borné.

compacts sont les parties fermées et bornées.

• Le
  Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :

  • $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$  le produit matriciel est associatif ;
  • $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$  le produit matriciel est bilinéaire.
  produit matriciel est bilinéaire et la
  La transposée de $\,A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\,$  est  $\,A^T\app\sc M_{p,n}(\bb K)\,$ telle que :

  $\eqalign{&A=\smb{1}{[\sp{1.5}a_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} i\sp{1.5}\leq\sp{1.5} n}{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} j\sp{1.5}\leq\sp{1.5} p}}\txt{et}A^T=\smb1{[\sp{1.5}b_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} i\sp{1.5}\leq\sp{1.5} p}{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} j\sp{1.5}\leq\sp{1.5} n}}\\ &\!\!\txt{avec :}\ptt (i,j)\app\,[\![1,p]\!]\!\times\![\![1,n]\!],\ b_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}}$

  • $A\mapsto A^T$ est un isomorphisme entre $\sc M_{n,p}(\bb K)$ et $\sc M_{p,n}(\bb K)\sp{1.5}.$
  • On a de plus :  $\,\ptt A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},\ (A^T)^T=A\sp{1.5}.\,$
  transposition est linéaire ; ce sont donc des applications
  Soient $E_1,\dots,E_p$ et $F$ des espaces vectoriels normés, avec $E_1,\dots,E_p$ de dimensions finies.

  Alors,  toute $\,f:E_1\times\cdots\times E_p\to F\,$ multilinéaire est continue.
  continues.
  Par
  Soient $\,E,\,F,\,G\,$ des espaces vectoriel normés, $\,A\!\subset\! E\,$ et $\,B\!\subset\! F:\,$

  $\displaystyle{}\big(f\app\sc C(A,F)\sp{1.5}, g\app\sc C(B,G)\!\txt{et}\!f(A)\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}B\big)\!\Imp\! g\circ f\app\sc C(A,G)$
  composition, l'application  $\,f:M\mapsto M^T\sp{-1.5}M,\,$ est alors continue de $\,\sc M_n(\bb R)\,$ dans $\,\sc M_n(\bb R)\sp{1.5}.\,$
  Par
  $A\app\sc M_n(\bb R)$ est orthogonale  ssi  ses colonnes (ou ses lignes) sont orthonormales :

  $\displaystyle{}A\app \op{O}(n)\Ssi A^T\!A=I_n$

  Ces matrices sont inversibles ; elles forment le groupe orthogonal : $(\op{O}(n),\times)\,.$
  définition du groupe orthogonal, on peut alors écrire que :
  $\displaystyle{}\sc O_n(\bb R)=\ens{M\app\sc M_n(\bb R)}{M^T\sp{-1.5}M=I_n}=f^{-1}(\{I_n\})$
  $\,\sc O_n(\bb R)\,$ étant l'image réciproque par $\,f\,$ du singleton fermé $\,\{I_n\}\sp{1.5},\,$ est donc une partie
  Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$

  • pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
  • pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
  fermée de $\,\sc M_n(\bb R)\sp{1.5}.\,$

• Dans l'espace
  Pour $n\app\bb N^{\ast}\!\!,$ $\,\sc M_n(\bb R)\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :

  $\displaystyle{}(A,B)\mapsto\ps AB=\op{tr}(A^T\sp{-1.5}B)=\sp{-18}\dsum_{(i,j)\app\,[\sp{-2.5}[1,n]\sp{-2.5}]^2}\sp{-12}a_{i,j}\,b_{i,j}$
  euclidien $\,\sc M_n(\bb R)\sp{1.5},\,$ toute matrice $\,M\app\sc O_n(\bb R)\,$ a pour carré de sa norme :
  $\displaystyle{}\|M\|^2=\op{tr}(M^T\sp{-1.5}M)=\op{tr}(I_n)=n$
  Il s'ensuit que l'ensemble $\sc O_n(\bb R)$ est inclus dans la
  Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la sphère de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :

  $\displaystyle{}S(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| = r}$

  Les sphères de $E$  sont  des parties fermées de $E\sp{1.5}.$
  sphère euclidienne de centre $\,0\,$ et rayon $\,\sqrt n\sp{1.5}.\,$
  Toutes les normes sur $\sc M_n(\bb R)$ étant
  Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
  équivalentes, $\,\sc O_n(\bb R)\,$ est donc une partie bornée de $\sc M_n(\bb R)\sp{1.5}.$

L'ensemble $\,\sc O_n(\bb R),\,$ étant fermé et borné, est donc bien une partie compacte de $\sc M_n(\bb R)\sp{1.5}.$

Par hypothèse, l'application $f$ est  

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$

Pour $\,k > 0\sp{1.5},\,$ l'application $f$  est  lipschitzienne de rapport $\,k\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt x\sp{.75}, y\sp{.75}\app \sp{.75}A\sp{1.5},\ \ \|f(x)-f(y)\|\leq k\,\|\sp{.75}x-y\sp{.75}\|$

L'application $f$  est  alors continue, et même uniformément continue.

lipschitzienne de rapport $\,1\sp{1.5},\,$ et donc continue sur $\,K.\,$

Par

Soient $E$ un espace vectoriel normé, ainsi que $\,f,g\app\sc C(A, \bb K):\,$

• les $\,\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g\,$ pour $(\alpha,\beta)\app\bb K^2$ sont continues sur $A\,;$
• le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ est continu sur $A\,;$
• le quotient $\,f/g\,$ est continu sur $A$  si  $g$ ne s'annule pas sur $A.$

$\,\sc C(A,\bb K)\,$ est  alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel, et même une $\bb K\tiret$algèbre.

combinaison linéaire, l'application : $\,x\mapsto f(x)-x\sp{1.5},\,$ de $K$ vers $E\sp{1.5},$ est elle aussi continue.

La

Sur un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ l'application $\,x\mapsto\|x\|\,$ est continue.

norme étant continue, l'application

Soient $\,E,\,F,\,G\,$ des espaces vectoriel normés, $\,A\!\subset\! E\,$ et $\,B\!\subset\! F:\,$

$\displaystyle{}\big(f\app\sc C(A,F)\sp{1.5}, g\app\sc C(B,G)\!\txt{et}\!f(A)\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}B\big)\!\Imp\! g\circ f\app\sc C(A,G)$

composée  $\,\delta:x\mapsto\|f(x)-x\|\,$  est continue sur $K.$

Alors,

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,K\,$ une partie compacte de $E\sp{1.5}.$

Si $\,f:K\to F\,$ est continue,  alors  $f(K)$ est une partie compacte de $F.$

l'image du compact $\,K\,$ par $\,\delta\,$ est un

Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ tout compact  est  fermé et borné.

Dans $E$ de dimension finie, $K$ est compact  ssi  $K$ est fermé et borné.

compact de $\bb R\sp{1.5},$ fermé et minoré, qui possède donc un

Soit $F$ une partie fermée de $\bb R:$

• si   $F$ est majoré,  alors,  il possède un maximum ;
• si   $F$ est minoré,  alors,  il possède un minimum.

minimum.

La fonction $\,\delta\,$ présente alors un

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

• un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
• un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$

minimum en un $\,\alpha\app K:\,$

Si on avait $\,\beta=f(\alpha)\neq\alpha\sp{1.5},\,$ on aurait, selon l'hypothèse faite sur $f:$

Cela signifierait : $\,\delta(\beta) < \delta(\alpha)\sp{1.5},\,$ ce qui contredirait le caractère minimal de $\,\delta(\alpha)\sp{1.5}.\,$

On a ainsi établi par l'absurde que $\,\alpha\,$ est un point fixe de $f,$ vérifiant : $\,f(\alpha)=\alpha\sp{1.5}.\,$

Enfin, si $\,f\,$ admettait dans $K$ un autre point fixe $\,\alpha'\neq\alpha\sp{1.5},\,$ on aurait alors contradictoirement :

On a finalement prouvé l'existence et l'unicité dans $K$ d'un point fixe de l'application $f.$

Soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $\,\Omega\sp{1.5};\,$ chaque $x_n$ appartient alors à une

Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule fermée de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :

$\displaystyle{}\smh0{\adher B}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| \leq r}$
Les boules « fermées » de $E$  sont  des parties fermées de $E\sp{1.5}.$

boule $\,\adher B(y_n\sp{1.5},r)\,$ pour un $\,y_n\app K\sp{-1.5}:\,$

Par définition, $\,\Omega\,$ est

Soit $K$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$

$K$ est compacte  ssi  de toute suite de $\,x_n\app K,\,$ on peut extraire une suite convergeant vers un $\,x\app K.\,$

compacte si et seulement si on peut

Une suite $(v_p)$ est extraite d'une suite $(u_n)$  ssi  il existe  $\,p\mapsto n_p\app\bb N\,$ strictement croissante telle que :

$\displaystyle{}\ptt p\app\bb N\sp{1.5},\ v_p=u_{n_p}$

extraire de $(x_n)$ une suite convergeant vers un $\,x\app\Omega\sp{1.5}.\,$

$K$ étant compact, on peut extraire de la suite des $\,y_n\app K,\,$ une suite $(y_{n_k})$ convergeant vers un $\,y\app K\sp{-1.5}:\,$ Tous les $\,z_k=x_{n_k}-y_{n_k}\,$ appartiennent donc à la boule $\,\adher B(0,r)\,$ qui est

Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ tout compact  est  fermé et borné.

Dans $E$ de dimension finie, $K$ est compact  ssi  $K$ est fermé et borné.

compacte, car fermée et bornée.

Il s'ensuit qu'on peut en extraire aussi une suite $(z_{k_\ell})$ convergeant vers un $\,z\app\adher B(0,r)\sp{1.5}.\,$

La suite des $\,y_{n_{k_\ell}}\,$ est une suite extraite de la suite extraite $(y_{n_k})\,;$  elle

Soit, dans un espace vectoriel normé $E,$ une suite $(u_{n_p})$ extraite d'une suite $(u_n)\sp{1.5};$  pour $\,\ell\app E\sp{1.5},\,$ on a  alors :

$\displaystyle{}\lim n{+\I}u_n=\ell\Imp\!\!\lim p{+\I}u_{n_p}=\ell$

converge donc vers $\,y\sp{1.5}.\,$

Par

L'ensemble des suites convergentes dans un $\bb K\tiret$espace vectoriel normé $E$  est  un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(\bb N,E)\sp{1.5}.\,$

Pour $(x_n)$ et $(y_n)$ de limites $\ell_1,\ell_2\app E\sp{1.5}$ et $\,(\alpha,\beta)\app\bb K^2\,$ on a  alors :

$\displaystyle{}\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}x_n+\beta\,y_n\big)=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2$

somme, la suite des $\,x_{n_{k_\ell}}=y_{n_{k_\ell}}+z_{k_\ell}\,$ converge alors vers : $\,\lim{\ell}{+\I}\,x_{n_{k_\ell}}=y+z=x\sp{1.5}.\,$

Avec l'inégalité : $\,\|x-y\|=\|z\|\leq r\sp{1.5},\,$ on a ainsi la preuve que : $\,x\app\adher B(y,r)\subset\Omega\sp{1.5}.\,$

$\,\Omega\,$ est donc bien compact, car on a trouvé une suite extraite de la suite $(x_n)$ convergeant vers un $\,x\app\Omega\sp{1.5}.\,$