Sujet F.2.3 Parties denses
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Exercice a
Montrer que tout hyperplan $H$ d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel normé $\,E\,$ est soit fermé, soit dense dans $E\sp{1.5}.$
partie dense dans un espace vectoriel normé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
$A$ est une partie dense dans $E$ ssi l'adhérence de $A$ est égale à $E\sp{1.5},$ soit : $\,\adher A=E\sp{1.5}.\,$
point adhérent à une partie d'un espace vectoriel normé
Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$
Le point $\,a\,$ est adhérent à $A$ ssi toute boule de centre $\,a\,$ contient un point de $A\sp{1.5}.$
L'adhérence de $A$ est l'ensemble fermé $\,\adher A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ adhérents à $A:$
$\displaystyle{}a\app\sp{1.5}\adher A\Ssi\big(\ptt r > 0\sp{1.5},\ B(a,r)\cap A\neq\vide\big)$
caractérisation séquentielle des points adhérents
Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
$\,a\app E\,$ est adhérent à $A$ ssi il existe une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\,a\sp{1.5}.\,$
indication
Montrer que si $H$ n'est pas fermé, il existe une suite d'éléments de $H$ convergeant vers un $\,a\non\app H.\,$
réponse
On montre bien que tout hyperplan de $E$ est soit un fermé de $E\sp{1.5},$ soit une partie dense dans $E\sp{1.5}.$
correction
Considérons un
Un hyperplan d'un espace vectoriel $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle sur $E\sp{1.5}.$
hyperplan
$\,H\,$ d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel normé $\,E:\,$ - Si l'hyperplan $H$ est une partie
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est fermée ssi : $\,\sth{1}A=\adher A\sp{1.5}.\,$ En d'autres termes, $A$ est fermée ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$fermée de $E\sp{1.5},$ il coincide avec son$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp a\app A$Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$ $\,a\app E\,$ est adhérent à $A$ ssi il existe une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\,a\sp{1.5}.\,$adhérence : $\,\surl{H}=H.\,$ Tout hyperplan étant distinct de l'espace $E\sp{1.5},$ $H$ n'est donc pas une partieSoit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$ $A$ est une partie dense dans $E$ ssi l'adhérence de $A$ est égale à $E\sp{1.5},$ soit : $\,\adher A=E\sp{1.5}.\,$dense dans $E\sp{1.5}.$
- Si au contraire, $H$ n'est pas une partie fermée de $E\sp{1.5},$ il existe une suite de $\,a_n\app H\,$ qui converge vers un $\,a\non\app H.\,$
Alors, la droite vectorielle engendrée par $\,a\sp{1.5},\,$ non incluse dans $H,$ est
Soient $H$ un hyperplan et $D$ une droite d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$ Alors $H$ et $D$ sont supplémentaires ssi $D$ n'est pas incluse dans $H.$supplémentaire de $H.$ Avec : $\,E=H\oplus\op{Vect}(a)\sp{1.5},\,$ tout $\,x\app E\,$ s'écrit : $\,x=y+\lambda\sp{1.5}a,\,$ pour un $\,y\app H\,$ et un $\,\lambda\app\bb K\sp{1.5}.\,$ La suite des $\,x_n=y+\lambda\sp{1.5}a_n\,$ est donc une suite d'éléments de $\,H\,$ qui converge vers $\,x=y+\lambda\sp{1.5}a\sp{1.5}.\,$ Tout $\,x\app E\,$ étant la limite de ces $\,x_n\app H,\,$ on a ainsi laSoient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$ $\,a\app E\,$ est adhérent à $A$ ssi il existe une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\,a\sp{1.5}.\,$preuve que : $\,\surl{H}=E:\,$ $\,H\,$ est une partie dense dans $E\sp{1.5}.$
Si $\,E\,$ est de dimension finie, tout hyperplan $\,H\,$ est le noyau d'une forme linéaire $\,\phi\,$
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $E$ de dimension finie. Alors toute
$\,f\app\sc L(E,F)\,$ est lipschitzienne, et donc continue.
continue :
$\,H=\phi^{-1}(\{0\})\!\cdot\,$ L'hyperplan $\,H\,$ est alors toujours un
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$
fermé
de $\,E\sp{1.5},\,$ en tant qu'image réciproque par $\,\phi\,$ du fermé $\,\{0\}\!\cdot\,$- pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
- pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
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Exercice b
Pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ démontrer que $\,\op{GL}_n(\bb{R})\,$ est un ouvert dense de l'espace vectoriel normé $\,\sc M_n(\bb R)\sp{1.5}.\,$
partie dense dans un espace vectoriel normé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
$A$ est une partie dense dans $E$ ssi l'adhérence de $A$ est égale à $E\sp{1.5},$ soit : $\,\adher A=E\sp{1.5}.\,$
point adhérent à une partie d'un espace vectoriel normé
Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$
Le point $\,a\,$ est adhérent à $A$ ssi toute boule de centre $\,a\,$ contient un point de $A\sp{1.5}.$
L'adhérence de $A$ est l'ensemble fermé $\,\adher A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ adhérents à $A:$
$\displaystyle{}a\app\sp{1.5}\adher A\Ssi\big(\ptt r > 0\sp{1.5},\ B(a,r)\cap A\neq\vide\big)$
caractérisation séquentielle des points adhérents
Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
$\,a\app E\,$ est adhérent à $A$ ssi il existe une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\,a\sp{1.5}.\,$
indication
1
Commencer par montrer que l'application $\,A\mapsto\det(A)\,$ est continue sur $\,\sc M_n(\bb R)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Démontrer que toute boule de centre $\,A\app\sc M_n(\bb R)\,$ contient des matrices inversibles de la forme $\,A+\lambda\sp{1.5}I_n\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\app\bb R\sp{1.5}.\,$
réponse
On démontre bien que $\,\op{GL}_n(\bb{R})\,$ est un ouvert de $\,\sc M_n(\bb R)\sp{1.5},\,$ et qu'il est dense dans $\,\sc M_n(\bb R)\sp{1.5}.\,$
correction
Avec $\,E=\bb R^n,\,$ l'application $\Phi$ suivante constitue définit un
$\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ forme un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel pour les opérations :
isomorphisme
entre $\sc M_n(\bb R)$ et $E^n:$
$\eqalign{(A,B)&\mapsto A+B=[\sp{1.5}a_{i,j}+b_{i,j}\sp{1.5}]\\[-.5ex](\lambda,A)&\mapsto\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}A=[\sp{1.5}\lambda\,a_{i,j}\sp{1.5}]}$
On identifie les matrices-colonnes de $\sc M_{n,1}(\bb K)$ aux vecteurs de $\bb K^n.$
$\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ est ainsi un espace vectoriel isomorphe à $(\bb K^n)^p$ et à $\bb K^{n\sp{1.5}p}.$
$\displaystyle{}\Phi:\,A=[\sp{.75}C_1,\dots,C_n\sp{1.5}]\mapsto(C_1,\dots,C_n)$
De plus, cet isomorphisme est
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $E$ de dimension finie. Alors toute
$\,f\app\sc L(E,F)\,$ est lipschitzienne, et donc continue.
continu,
car ces espaces vectoriels sont de
L'espace vectoriel $\sc M_{n,p}(\bb K)$ est de dimension $\,n\sp{.75}p\sp{1.5},\,$ de base canonique $\,\sc B_c=(E_{1,1},\dots,E_{n,p})\sp{1.5},\,$ avec :
dimension
finie $\,n^2.\,$
D'autre part, étant donnée la base canonique $\,\sc C\,$ de $\,E=\bb R^n,\,$ on considère
$\displaystyle{}E_{k,\ell}=[\sp{1.5}e_{i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}\,,\txt{pour}\syst{&{e_{k,\sp{1.5}\ell}}=1\\[-.5ex] &{e_{i,\sp{1.5}j}}=0\txt{si}(i,j)\neq(k,\ell)}$
Soit $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de dimension finie et de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$
Le déterminant dans la base $\sc B$ est l'unique application $\,\det_{\sc B}:E^n\to\bb K\,$ étant :
l'application
de $E^n$ vers $\bb R\sp{-1.5}:$
- multilinéaire, c'est-à-dire que les $\,u_j\mapsto\det_{\sc B}(u_1,\dots,u_n)\,$ sont linéaires,
- alternée, c'est-à-dire que si $\,u_i=u_j\,$ avec $i\neq j,$ alors $\,\det_{\sc B}(u_1,\dots,u_n)=0\sp{1.5},\,$
- et telle que : $\det_{\sc B}(e_1,\dots,e_n)=1\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\op{\det}_{\sc C}:\,(C_1,\dots,C_n)\longmapsto\op{\det}_{\sc C}(C_1,\dots,C_n)$
Cette application étant multilinéaire, est donc
Soient $E_1,\dots,E_p$ et $F$ des espaces vectoriels normés, avec $E_1,\dots,E_p$ de dimensions finies. Alors, toute $\,f:E_1\times\cdots\times E_p\to F\,$ multilinéaire est continue.
continue,
ainsi que la
Soient $\,E,\,F,\,G\,$ des espaces vectoriel normés, $\,A\!\subset\! E\,$ et $\,B\!\subset\! F:\,$
composée
$\,\det=(\det_{\sc C})\circ\Phi:\,A\mapsto\det(A)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\big(f\app\sc C(A,F)\sp{1.5}, g\app\sc C(B,G)\!\txt{et}\!f(A)\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}B\big)\!\Imp\! g\circ f\app\sc C(A,G)$
Ces considérations sont superflues si on sait que $\,\det(A)\,$ est une
$\,\op{GL}_n(\bb{R})\,$ est l'ensemble des $\,A\app\sc M_n(\bb R)\,$
Pour $n\app\bb N^{\ast}$ et $A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},$ le déterminant de la matrice carrée $A$ est le nombre défini par :
somme
de produits des coefficients $\,a_{i,j}\,$ de $A\sp{1.5}.$
En effet, on peut alors dire directement que $\,A\mapsto \det(A)\,$ est une fonction
$\displaystyle{}\det(A)=\smb{2.5}{\sum_{\sigma\app\cal{S}_n}}\eps(\sigma)\,a_{\sigma(1),\sp{1.5}1}\dots a_{\sigma(n),\sp{1.5}n}$
où $\cal{S}_n$ désigne l'ensemble des permutations de $\,[\![1,n]\!]\,$ et $\,\eps(\sigma)\,$ la signature de $\sigma\app\cal{S}_n\sp{1.5}.$
Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :
polynomiale
des coefficients $\,a_{i,j}\,.\,$$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$
Ces fonctions sont continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$
Les colonnes ou les lignes de $A\app\sc M_n(\bb K)$ sont liées ssi $\,\det(A)=0\sp{1.5},\,$ soit encore :
vérifiant
$\,\det(A)\neq0\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que $\,\op{GL}_n(\bb{R})=(\det)^{-1}(\bb R^{\ast})\sp{1.5}.\,$
$\,\bb R^{\ast}\,$ étant un ouvert comme
$\displaystyle{}A\app\op{GL}_n(\bb K)\Ssi\det(A)\neq0$
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
complémentaire
du fermé $\{0\}\sp{1.5},$ $\op{GL}_n(\bb{R})$ est donc un
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$
ouvert
de $\,\sc M_n(\bb R)\sp{1.5}.\,$
$\,A\app\sc M_n(\bb R)\,$ est
- pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
- pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$
Le point $\,a\,$ est adhérent à $A$ ssi toute boule de centre $\,a\,$ contient un point de $A\sp{1.5}.$
L'adhérence de $A$ est l'ensemble fermé $\,\adher A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ adhérents à $A:$
adhérente
à $\,\op{GL}_n(\bb{R})\,$ si et seulement si toute boule de centre $A$ contient une matrice de $\,\op{GL}_n(\bb{R})\sp{1.5}.\,$
On cherche une telle matrice sous la forme $\,A_{\lambda}=A+\lambda\sp{1.5}I_n\sp{1.5};\,$ $\,\chi\,$ désignant le
$\displaystyle{}a\app\sp{1.5}\adher A\Ssi\big(\ptt r > 0\sp{1.5},\ B(a,r)\cap A\neq\vide\big)$
$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$
Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$
polynôme
caractéristique de $-A\sp{1.5},$ on a :
- Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
- la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
$\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$
$\displaystyle{}\det(A_{\lambda})=\det(A+\lambda\sp{1.5}I_n)=\chi(\lambda)$
En notant $\,r\,$ la plus petite valeur absolue d'une racine non nulle de $\,\chi\sp{1.5},\,$ ou $\,r\sp{-1.5}=\sp{-1.5}1\,$ s'il n'en existe pas, on obtient :
$\displaystyle{}\ptt \lambda\app\,]\sp{1.5}0, r\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \chi(\lambda)=\det(A_{\lambda})\neq 0$
Il s'ensuit que toute boule de centre $A$ contient la matrice inversible : $\,A_{\sp{1.5}r\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2}=A+\dfrac r2\sp{1.5}I_n\app\op{GL}_n(\bb{R})\sp{1.5}.\,$
On a bien prouvé ainsi que $\,\adher{\,\op{GL}_n(\bb{R})\sp{-1.5}}=\sc M_n(\bb R)\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que l'ouvert $\,\op{GL}_n(\bb{R})\,$ est
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
$A$ est une partie dense dans $E$ ssi l'adhérence de $A$ est égale à $E\sp{1.5},$ soit : $\,\adher A=E\sp{1.5}.\,$
dense
dans $\,\sc M_n(\bb R)\sp{1.5}.\,$