Sujet F.2.2 Ouverts et fermés
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Exercice a
Soit $\,\Omega\,$ la partie de $\,\bb R^2\,$ formée des couples $\,(x,y)\,$ tels que :
$\displaystyle{}x^2+y^ 2+1 < 2\sp{1.5}(x+y) < 5$
Cet ensemble $\,\Omega\,$ est-il ouvert, ou fermé, ou ni l'un ni l'autre ?
Préciser les contours de cet ensemble et le représenter.
parties ouvertes et fermées d'un espace vectoriel normé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
réunions et intersections d'ouverts
Dans un espace vectoriel normé $E:$
- toute réunion d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5};$
- toute intersection finie d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
réunions et intersections de fermés
Dans un espace vectoriel normé $E:$
- toute intersection de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5};$
- toute réunion finie de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5}.$
caractérisation séquentielle des parties fermées
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est fermée ssi : $\,\sth{1}A=\adher A\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, $A$ est fermée ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp a\app A$
images réciproques d'ouverts et de fermés
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$
- pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
- pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
indication
Identifier l'ensemble $\,\Omega\,$ comme intersection d'un disque et d'un demi-plan, tous deux ouverts.
figure
Représentation de l'ouvert $\,\Omega=\Delta\cap\Pi\,$
réponse
$\,\Omega\,$ est une partie ouverte de $\,\bb R^2,\,$ qui n'est pas fermée.
$\,\Omega\,$ est l'intersection d'un disque ouvert et d'un demi-plan ouvert.
correction
La première des deux inégalités définissant $\,\Omega\,$ peut s'écrire :
$\eqalign{x^2+y^2-2\sp{1.5}x-2\sp{1.5}y+1 < 0&\\\txt{soit :}(x-1)^2+(y-1)^2 <1&}$
Cela caractérise, pour la norme euclidienne, une
Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule ouverte de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :
boule
ouverte dans le plan $\,\bb R^2\sp{1.5}.\,$ Il s'agit, plus précisément, d'un disque ouvert, de centre $\,a=(1,1)\,$ et de rayon $\,1:\,$ $\,\Delta=D(a,1).\,$
L'autre inégalité s'écrit : $\,x+y < 5\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5},\,$ et elle caractérise un demi-plan $\,\Pi\,$ délimité par la droite d'équation $\,x+y=5\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}.\,$ $\,\Pi\,$ est un ouvert de $\,\bb R^2\sp{1.5},\,$ image
$\displaystyle{}\smh0{\interieur B}\sp{1.5}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| < r}$
Les boules « ouvertes » de $E$ sont des parties ouvertes de $E\sp{1.5}.$
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$
réciproque
de l'intervalle ouvert $\,]\!-\sp{-1.5}\I\sp{.75},5\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}[\,$ par la forme
- pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
- pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $E$ de dimension finie. Alors toute
$\,f\app\sc L(E,F)\,$ est lipschitzienne, et donc continue.
linéaire :
$\,(x,y)\mapsto x+y\sp{1.5}.\,$
On a donc : $\,\Omega=\Delta\cap\Pi\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire un ensemble ouvert, en tant qu'
Dans un espace vectoriel normé $E:$
intersection
de deux
- toute réunion d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5};$
- toute intersection finie d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
ouverts.
Pour tout $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ on considère les points : $\,b_n=(1,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n)\,;\,$ ils appartiennent tous à $\,\Omega=\Delta\cap\Pi\sp{1.5},\,$ car :
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\|b_n-a\|=1-\frac1n < 1\ \txt{et}\ 1+\frac1n < \frac52$
Cependant, lorsque $\,n\,$ tend vers $\,+\I\sp{1.5},\,$ les $\,b_n\,$ tendent vers $\,b=(1,0)\sp{1.5},\,$ qui n'appartient pas à $\,\Omega\sp{1.5}.\,$ Selon la caractérisation
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est fermée ssi : $\,\sth{1}A=\adher A\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, $A$ est fermée ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
séquentielle
des fermés, $\,\Omega\,$ n'est donc pas un ensemble
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp a\app A$
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
fermé.
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
|
Représentation de l'ouvert $\,\Omega=\Delta\cap\Pi\,$
|
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Exercice b
Soit $\,\Omega\,$ la partie de $\,\bb R^2\,$ formée des couples $\,(x,y)\,$ tels que :
$\displaystyle{}\sqrt{x+y}+\sqrt{y-x}<2$
Cet ensemble $\,\Omega\,$ est-il ouvert, ou fermé, ou ni l'un ni l'autre ?
Préciser les contours de cet ensemble et le représenter.
parties ouvertes et fermées d'un espace vectoriel normé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
réunions et intersections d'ouverts
Dans un espace vectoriel normé $E:$
- toute réunion d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5};$
- toute intersection finie d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
réunions et intersections de fermés
Dans un espace vectoriel normé $E:$
- toute intersection de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5};$
- toute réunion finie de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5}.$
caractérisation séquentielle des parties fermées
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est fermée ssi : $\,\sth{1}A=\adher A\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, $A$ est fermée ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp a\app A$
images réciproques d'ouverts et de fermés
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$
- pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
- pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
indication
1
Tester le caractère ouvert ou fermé de $\,\Omega,\,$ avec par exemple $\,\omega=(0,0)\,$ et $\,a=(0,1).\,$
indication
2
Transformer la formule définissant $\,\Omega,\,$ pour le caractériser par des relations plus simples.
figure
Représentation de l'ensemble $\,\Omega\,$
réponse
$\,\Omega\,$ est une partie $\,\bb R^2\,$ qui n'est ni ouverte, ni fermée.
$\,\Omega\,$ est la partie du plan $\,\bb R^2,\,$ incluse dans le produit $\,]-2,2\sp{1.5}[\sp{1.5}\times\sp{1.5}[\sp{1.5}0,2\sp{1.5}[\,,\,$ et délimitée :
- inférieurement par les demi-droites d'équations : $\,|x|=y\sp{1.5},\,$
- et supérieurement par la parabole d'équation : $\,y=1+\smh0{x^2\sp{-1.5}/\sp{-1.5}4}\sp{1.5}.\,$
correction
L'inégalité stricte dans la définition de $\,\Omega\,$ peut laisser penser qu'il s'agit d'un
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
ouvert.
Cependant, $\,\Omega\,$ n'est pas ouvert, car la formule le définissant suppose que : $\,-y\leq x\leq y,\,$ soit : $\,|x|\leq y\sp{1.5}.\,$ En effet, on a : $\,\omega=(0,0)\app\Omega\sp{1.5},\,$ tandis qu'aucune
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule ouverte de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :
boule
$B$ de centre $\,\omega\,$ et rayon $\,r\sp{-1.5} > \sp{-1.5} 0\,$ n'est incluse dans $\,\Omega,\,$ puisque :
$\displaystyle{}\smh0{\interieur B}\sp{1.5}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| < r}$
Les boules « ouvertes » de $E$ sont des parties ouvertes de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}(0,-r\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2)\app B\txt{et}(0,-r\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2)\non\app\Omega$
D'autre part, les points $\,a_n=(0\sp{.75},1-1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n),\,$ appartiennent à $\,\Omega\,$ et convergent vers $\,a=(0,1)\,$ qui n'appartient pas à $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
Selon la caractérisation
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est fermée ssi : $\,\sth{1}A=\adher A\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, $A$ est fermée ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
séquentielle
des fermés, l'ensemble $\,\Omega\,$ n'est pas non plus un ensemble
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp a\app A$
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
fermé.
On peut écrire les équivalences suivantes, en élevant deux fois au carré :
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
$\eqalign{(x,y)\app\Omega&\Ssi \sqrt{x+y}+\sqrt{y-x}<2\\[.5ex]
&\Ssi \Syst{&|x|\leq y\\[-.5ex]& (x+y)+(y-x)+2\sp{1.5}\sqrt{y^2-x^2}<4}\\[.5ex]
&\Ssi \Syst{&|x|\leq y\\[-.5ex]&\sqrt{y^2-x^2}<2-y}\\[.5ex]
&\Ssi\Syst{&|x|\leq y < 2\\&4\sp{1.5}y < 4+x^2}}$
Selon les
L'ensemble $\,\Omega\,$ est donc la partie du plan $\,\bb R^2,\,$ incluse dans le produit $\,]\!-\sp{-1.5}2\sp{.75},2\sp{1.5}[\times[\sp{1.5}0\sp{.75},2\sp{1.5}[\,,\,$ et délimitée :
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
variations
de la fonction racine carrée, l'élévation au carré de $\,\sqrt A < B\,$ s'écrit :
$\displaystyle{}\sqrt A < B\Ssi\big(A\geq 0\txt{et} B > 0\txt{et} A < B^2\sp{1.5}\big)$
- inférieurement par les
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La demi-droite affine $\sc D\sp{-1.5}_+$ issue du point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :demi-droites caractérisées par $\,|x|=y\sp{1.5},\,$$\displaystyle{}\sc D\sp{-1.5}_+=A+\bb R_+\sp{-1.5}\vec u=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}}$
- et supérieurement par la parabole d'équation $\,\smh0{y=1+x^2\sp{-1.5}/\sp{-1.5}4}\sp{1.5}.\,$
|
Représentation de l'ensemble $\,\Omega\,$
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Exercice c
Soit $\,E\,$ l'espace vectoriel des fonctions réelles bornées sur un intervalle $\,I.\,$
On munit $\,E\,$ de la norme de la convergence uniforme.
Démontrer que l'ensemble $\sc M$ des fonctions $\,f\app E\,$ monotones sur $\,I,\,$ est une partie fermée de $\,E\sp{1.5}.\,$
parties ouvertes et fermées d'un espace vectoriel normé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
réunions et intersections d'ouverts
Dans un espace vectoriel normé $E:$
- toute réunion d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5};$
- toute intersection finie d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
réunions et intersections de fermés
Dans un espace vectoriel normé $E:$
- toute intersection de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5};$
- toute réunion finie de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5}.$
caractérisation séquentielle des parties fermées
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est fermée ssi : $\,\sth{1}A=\adher A\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, $A$ est fermée ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp a\app A$
images réciproques d'ouverts et de fermés
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$
- pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
- pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
indication
1
Montrer d'abord que l'ensemble des fonctions croissantes de $\,E\,$ est une partie fermée de $\,E\sp{1.5}.\,$
indication
2
Utiliser l'application de $\,E\,$ vers $\,E:\,$ $\,f\mapsto-f,\,$ pour conclure que $\,\sc M\,$ est fermé dans $\,E\sp{1.5}.\,$
réponse
L'ensemble $\sc M$ des fonctions $\,f\app E\sp{1.5},\,$ monotones sur $\,I,\,$ est bien une partie fermée de $\,E\sp{1.5}.\,$
correction
Si $\,\sc C\,$ et $\,\sc D\,$ désignent les ensembles des fonctions de $\,E\sp{1.5},\,$ respectivement croissantes et décroissantes, on a alors : $\,\sc M=\sc C\cup\sc D.\,$
Soit une suite de fonctions $\,f_n\app\sc C,\,$ convergeant
Soit $\,E=\sc B(\Omega\sp{1.5},\bb K)\,$ le $\bb K\tiret$espace vectoriel des fonctions bornées sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$ La norme de la convergence uniforme sur $\,\Omega\,$ est définie par :
uniformément
vers une fonction $\,f\app E\sp{1.5}.\,$
La convergence uniforme implique la convergence simple ; on considère alors un $\,(x,y)\app I^2\,$ tel que $\,x\leq y\sp{1.5}.\,$
Par définition des fonctions
$\displaystyle{}\ptt f \app E,\ \|f\|_\I=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f(x)|$
Soit $\,f:I\to\bb R\,;\,$ pour $x$ et $y$ appartenant à l' intervalle $I\sp{1.5}, $ $f$ est dite :
croissantes
et par
- croissante ssi : $\,\big(x\leq y\Imp f(x)\leq f(y)\big)\,;\,$
- strictement croissante ssi : $\,\big(x < y\Imp f(x) < f(y)\big)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{} \big(x\leq y\Imp f(x)\geq f(y)\big)\txt{ou}\big(x < y\Imp f(x) > f(y)\big)$
Soient $\,f,\sp{1.5}g:I\to\bb R\,$ admettant des limites, finies ou non, en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
Si $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$ alors : $\,\lim x a\sp{1.5}f(x)\leq\lim x a \sp{1.5}g(x)\sp{1.5}.\,$
passage
à la limite d'inégalités, on a alors :
$\eqalign{\ptt n\app\bb N,\ f_n(x)&\leq f_n(y)\\
\txt{d'où :}\,f(x)=\lim n{+\I}\,f_n(x)&\leq\lim n{+\I}\,f_n(y)=f(y)}$
On en déduit que : $\,f=\lim n{+\I}f_n\,$ est croissante, ce qui nous prouve que $\,\sc C\,$ est une partie
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est fermée ssi : $\,\sth{1}A=\adher A\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, $A$ est fermée ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
fermée
de $\,E\sp{1.5}.\,$
Soit d'autre part l'application
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp a\app A$
Une involution de $\,E\,$ est une $\,f:E\to E\,$ telle que : $\,f\circ f=\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$
involutive
$\,\phi\,$ de $\,E\sp{1.5},\,$ qui à toute $\,f\app E\,$ associe : $\,\phi(f)=-f\app E\sp{1.5}.\,$
Avec : $\,\ptt f\app E\sp{1.5},\ \|\phi(f)\|_\I=\|f\|_\I\,,\,$ cette application est continue car elle est
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
Pour $\,k > 0\sp{1.5},\,$ l'application $f$ est lipschitzienne de rapport $\,k\,$ ssi :
lipschitzienne
de rapport $\,1\,$ sur $\,E:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\sp{.75}, y\sp{.75}\app \sp{.75}A\sp{1.5},\ \ \|f(x)-f(y)\|\leq k\,\|\sp{.75}x-y\sp{.75}\|$
L'application $f$ est alors continue, et même uniformément continue.
$\displaystyle{}\ptt f,g\app E\sp{1.5},\ \|\phi(f)-\phi(g)\|_\I=\|-f+g\sp{1.5}\|_\I=\|f-g\sp{1.5}\|_\I$
Par ailleurs, elle
Les involutions de $\,E\,$ sont les bijections $\,f:E\to E\,$ telles que : $\,f^{-1}=f.\,$
vérifie
$\,\phi=\phi^{-1}\,$, et elle inverse le sens de variation des fonctions de $\,E\sp{1.5},\,$ d'où : $\displaystyle{}\sc D=\phi(\sc C)=\phi^{-1}(\sc C)$
$\,\sc D\,$ est donc une partie fermée de $\,E\sp{1.5},\,$ en tant qu'image
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$
réciproque
du fermé $\,\sc C\,$ par l'application $\,\phi\,$ continue sur $\,E\sp{1.5}.\,$
Finalement, l'ensemble $\,\sc M\,$ est fermé, en tant que
- pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
- pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
Dans un espace vectoriel normé $E:$
réunion
de deux parties fermées de $\,E\sp{1.5}.\,$
- toute intersection de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5};$
- toute réunion finie de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5}.$
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Exercice d
Soient $\,A\,$ et $\,B\,$ deux parties d'un espace vectoriel normé $\,E\sp{1.5}.\,$
Démontrer que si $\,A\,$ est un ouvert de $\,E\sp{1.5},\,$ alors l'ensemble $\,A+B\,$ est un ouvert de $\,E\sp{1.5}.\,$
Si $\,A\,$ est un fermé de $\,E\sp{1.5},\,$ peut-on dire de même que $\,A+B\,$ est un fermé de $\,E\ ?\,$
parties ouvertes et fermées d'un espace vectoriel normé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
réunions et intersections d'ouverts
Dans un espace vectoriel normé $E:$
- toute réunion d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5};$
- toute intersection finie d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
réunions et intersections de fermés
Dans un espace vectoriel normé $E:$
- toute intersection de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5};$
- toute réunion finie de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5}.$
caractérisation séquentielle des parties fermées
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est fermée ssi : $\,\sth{1}A=\adher A\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, $A$ est fermée ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp a\app A$
images réciproques d'ouverts et de fermés
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$
- pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
- pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
indication
1
Considérer, pour tout $\,y\app B,\,$ l'ensemble suivant :
$\displaystyle{}A+y=\ens{z\app E}{\iex x\app A\sp{1.5},\ z=x+y}$
Montrer alors que $\,A+y\,$ est l'image réciproque de l'ouvert $\,A\,$ par l'application $\,\tau_{-y}:\,z\mapsto z-y\,.\,$
indication
2
Considérer par exemple une boule fermée $\,A\,$ et une boule $\,B\,$ ouverte, toutes deux de centre $\,0\sp{1.5}.\,$
réponse
Lorsque $\,A\,$ est une partie ouverte de $\,E\sp{1.5},\,$ $\,A+B\,$ est bien un ouvert de $\,E\sp{1.5}.\,$
En revanche, si $\,A\,$ est une partie fermée de $\,E\sp{1.5},\,$ $\,A+B\,$ n'est pas toujours un fermé de $\,E\sp{1.5}.\,$
correction
La
La somme de deux parties $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace vectoriel $E$ est l'ensemble :
somme
$\,A+B\,$ est l'ensemble des $\,z\app E\,$ pour lesquels il existe $\,x\app A\,$ et $\,y\app B\,$ tels que $\,z=x+y\sp{1.5}.\,$
Cette somme est donc aussi la
$\displaystyle{}A+B=\ens{w\app E}{\iex u\app A\sp{1.5},\,\iex v\app B\sp{1.5},\ w=u+v\sp{1.5}}$
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
réunion,
pour $\,y\app B,\,$ des ensembles $\,A+y\,$ définis comme suit :
$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
$\displaystyle{}A+y=\ens{z\app E}{\iex x\app A,\ z=x+y}$
Si $\,A\,$ est un ouvert de $\,E,\,$ ces ensembles $\,A+y\,$ sont aussi des ouverts de $\,E\sp{1.5}.\,$
En effet, les translations $\,\tau_y:u\mapsto u+y\,$ sont des
Soient deux applications $\,f:E\to F\,$ et $\,g:F\to E\,$ telles que :
bijections
continues de $\,E\,$ vers $\,E\sp{1.5},\,$ de réciproques $\,\tau_{-y}\,.\,$ Il s'ensuit donc que $\,A+y\,$ est un
$\displaystyle{}g\circ f=\op{Id}_E \txt{et} f\circ g=\op{Id}_F$
Alors $f$ et $\,g\,$ sont bijectives, avec : $\,g=f^{-1}\,$ et $\,f=g^{-1}.\,$
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
ouvert
de $\,E,\,$ comme image
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(\Omega,F)\sp{1.5},\,$ avec $\,\Omega\subset E:\,$
réciproque
de $\,A\,$ par $\,\tau_{-y}:\,$
- pour $B$ ouvert de $F,$ il existe $A$ ouvert de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5};\,$
- pour $B$ fermé de $F, $ il existe $A$ fermé de $E$ tel que : $\,f^{-1}(B)=\Omega\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}A+y=\ens{z\app E}{z-y\app A}=(\tau_{-y})^{-1}(A)$
Par conséquent, la somme $\,A+B\,$ est un ouvert de $\,E,\,$ en tant que
Dans un espace vectoriel normé $E:$
réunion
d'ouverts :
- toute réunion d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5};$
- toute intersection finie d'ouverts de $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}A+B=\union_{y\app B}(A+y)$
Si $\,A\,$ est un
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$
fermé,
les mêmes arguments nous prouvent que les $\,A+y\,$ sont alors des fermés de $\,E\sp{1.5}.\,$
Cependant, une
- $A$ est un ouvert de $E$ ssi pour tout $\,a\app A\sp{1.5},\,$ il existe une boule de centre $\,a\,$ incluse dans $A\,;$
- $A$ est un fermé de $E$ ssi le complémentaire de $A$ dans $E$ est un ouvert de $E\sp{1.5}.$
Dans un espace vectoriel normé $E:$
réunion
non finie de fermés n'est pas nécessairement un ensemble fermé.
Soient par exemple, $\,A\,$ une
- toute intersection de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5};$
- toute réunion finie de fermés de $E$ est un fermé de $E\sp{1.5}.$
Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule fermée de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :
boule
fermée de centre $\,0\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,$ et $\,B\,$ une
$\displaystyle{}\smh0{\adher B}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| \leq r}$
Les boules « fermées » de $E$ sont des parties fermées de $E\sp{1.5}.$
Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule ouverte de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :
boule
ouverte de rayon $\,\rho\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\sp{1.5}.\,$
Avec : $\,A+B=B+A\sp{1.5},\,$ on sait par ce qui précède que $\,A+B\,$ est une partie ouverte de $\,E\,;\,$ mais est-ce une partie fermée ?
$\displaystyle{}\smh0{\interieur B}\sp{1.5}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| < r}$
Les boules « ouvertes » de $E$ sont des parties ouvertes de $E\sp{1.5}.$
Si on sait que les seules parties ouvertes et fermées de $\,E\,$ sont $\,E\,$ lui-même et l'ensemble vide, alors ce qui suit est superflu.
On peut néanmoins montrer en détail que $\,A+B\,$ n'est pas une partie fermée, car :
- D'une part, $\,A+B\,$ est inclus dans la boule ouverte de centre $\,0\,$ et rayon $\,r+\rho\sp{1.5}.\,$
En effet, avec $\,\|x\|\leq r\,$ et $\,\|y\| < \rho\sp{1.5},\,$ on a par
Dans un espace vectoriel normé $E,$ pour tous $\,x,\sp{1.5}y\app E,\,$ on a :inégalité triangulaire :$\eqalign{\|x+y\sp{.75}\|&\leq\|x\| + \|y\sp{.75}\|\\[-.5ex]\big|\|x\|-\|y\sp{.75}\|\big|&\leq\ \|x-y\sp{.75}\|}$Chacune est une égalité ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ sont colinéaires et de même sens.$\displaystyle{}\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\| < r+\rho$
- D'autre part, pour $\,u\,$ de norme $\,1\sp{1.5},\,$ on peut considérer la suite des vecteurs : $\,z_n=r\,u+\rho\sp{1.5}(1-1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n)\sp{1.5}u\sp{1.5}.\,$ Cette suite de vecteurs qui appartiennent à $\,A+B\sp{1.5},\,$ converge vers : $\,z=(r+\rho)\sp{1.5}u\non\app A+B\sp{1.5},\,$ car : $\,\|z\|=r+\rho\sp{1.5}.\,$
Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est fermée ssi : $\,\sth{1}A=\adher A\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, $A$ est fermée ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
séquentielle
des fermés, cet ensemble $\,A+B\,$ n'est donc pas fermé.
Finalement, lorsque $\,A\,$ est fermé, la somme $\,A+B\,$ n'est pas nécessairement fermée.
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp a\app A$