Sujet F.2.1 Applications continues
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Exercice a
Soient $\,E\,$ un espace vectoriel normé et $f$ une application définie sur $\,E\,$ par :
$\displaystyle{}f:x\mapsto\frac x{1+\|x\|}$
Démontrer que $f$ est une bijection de $\,E\,$ vers une partie de $\,E\,$ à préciser.
Établir ensuite la continuité de $f$ et de sa réciproque.
continuité d'une fonction dans un espace vectoriel normé
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
La fonction $f$ est continue $\,a\app A\,$ ssi elle admet une limite en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a} f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(A,F)$ est l'ensemble des $\,f:A\to F\,$ continues en tout $x\app A\sp{1.5}.$
fonction lipschitzienne sur un espace vectoriel normé
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
Pour $\,k > 0\sp{1.5},\,$ l'application $f$ est lipschitzienne de rapport $\,k\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt x\sp{.75}, y\sp{.75}\app \sp{.75}A\sp{1.5},\ \ \|f(x)-f(y)\|\leq k\,\|\sp{.75}x-y\sp{.75}\|$
L'application $f$ est alors continue, et même uniformément continue.
caractérisation séquentielle de la continuité
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
$f$ est continue en $\,a\app A\,$ ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp \lim n{+\I}\,f(x_n)=f(a)$
fonctions vectorielles continues et opérations
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,A\subset E\sp{1.5};\,$ alors :
- $\,\sc C(A\sp{.75},F)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(A,F)\,;\,$
- pour $\,f\app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$ $\,\phi\app\sc C(A\sp{.75},\bb K)\sp{1.5},\,$ on a : $\,\phi f \app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$
- ainsi que $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\phi\app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app A\sp{1.5},\ \phi(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
indication
Lorsque $\,y=f(x),\,$ exprimer $\,\|x\|\,$ en fonction de $\,\|y\|,\,$ puis en déduire $\,x\,$ en fonction de $\,y.\,$
réponse
L'application $f$ est une bijection de $\,E\,$ vers la boule ouverte $\,B,\,$ de centre $\,0\,$ et de rayon $\,1\sp{1.5}.\,$
$f$ est continue sur $\,E\sp{1.5},\,$ de réciproque $\,f^{-1}:B\to \ E\,$ continue sur $\,B\,$ et définie par :
$\displaystyle{}f^{-1}:y\mapsto \dfrac y{1-\|y\sp{1.5}\|}$
correction
On remarque d'abord que $f$ applique $\,E\,$ dans la
Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule ouverte de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :
boule
ouverte $\,B\sp{1.5},\,$ de centre $\,0\,$ et de rayon $\,1\sp{1.5},\,$ car :
$\displaystyle{}\smh0{\interieur B}\sp{1.5}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| < r}$
Les boules « ouvertes » de $E$ sont des parties ouvertes de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\ptt x\app E\sp{1.5},\ \|f(x)\|=\frac{\|x\|}{1+\|x\|}=1-\frac1{1+\|x\|} < 1$
Considérons un $\,y\app B\,$ ayant un
Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$
antécédent
$\,x\app E\,$ par $\,f\,;\,$ on a alors $\,\|y\|=\|f(x)\| <1\,$ et :
- Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
- si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}1-\|y\sp{1.5}\|=1-\frac{\|x\|}{1+\|x\|}=\frac1{1+\|x\|}$
Avec $\,y=f(x)=\dfrac x{1+\|x\|}\sp{1.5},\,$ tout élément $\,y\,$ de $\,B\,$ a au plus un antécédent dans $\,E\sp{1.5},\,$ à savoir :
$\displaystyle{}x=(1+\|x\|)\,y=\dfrac y{1-\|y\sp{1.5}\|}$
Réciproquement, on vérifie que tout $\,y\app B\,$ a bien pour antécédent $\,x=\dfrac y{1-\|y\sp{1.5}\|}\sp{1.5},\,$ car :
$\eqalign{&1+\|x\|=1+\frac{\|y\sp{1.5}\|}{1-\|y\sp{1.5}\|}=\dfrac1{1-\|y\sp{1.5}\|}\\& \txt{d'où :} f(x)=\frac{x}{1+\|x\|}=y}$
Il s'ensuit que $\,f:E\to B\,$ est bien
une
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
bijection,
de réciproque : $\,f^{-1}:B\to \ E\sp{1.5},\,$ définie par :
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
$\displaystyle{}f^{-1}:y\mapsto \dfrac y{1-\|y\sp{1.5}\|}$
$\,\phi:x\mapsto1+\|x\|\,$ et $\,\psi:y\mapsto1-\|y\sp{1.5}\|\,$ sont
Sur un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ l'application $\,x\mapsto\|x\|\,$ est continue.
continues
sur $\,E\,$ et $\,B\,$ respectivement, et ne s'annulent pas.
Par
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,A\subset E\sp{1.5};\,$ alors :
quotients,
les fonctions $\,f=\op{Id}_E\!/\sp{-1.5}\phi\,$ et $\,f^{-1}=\op{Id}_B\!/\sp{-1.5}\psi\,$ sont donc
- $\,\sc C(A\sp{.75},F)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(A,F)\,;\,$
- pour $\,f\app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$ $\,\phi\app\sc C(A\sp{.75},\bb K)\sp{1.5},\,$ on a : $\,\phi f \app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$
- ainsi que $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\phi\app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app A\sp{1.5},\ \phi(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
La fonction $f$ est continue $\,a\app A\,$ ssi elle admet une limite en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a} f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(A,F)$ est l'ensemble des $\,f:A\to F\,$ continues en tout $x\app A\sp{1.5}.$
continues
sur ces mêmes ensembles.
$f$ est ainsi un homéomorphisme, c'est-à-dire d'une bijection continue de réciproque continue, entre $E$ et une boule ouverte.
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Exercice b
Soient $\,[\sp{.75}a,b\sp{1.5}]\,$ un segment de $\,\bb R\,$ et $I$ un intervalle non vide inclus dans $\,[\sp{.75}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
On munit l'espace $\,E=\sc C([\sp{.75}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ des fonctions continues sur $\,[\sp{.75}a,b\sp{1.5}]\,$ de la norme de la convergence uniforme.
Démontrer la continuité sur $\,E\,$ de l'application $\,\mu,\,$ qui à toute $\,f\app E\,$ associe : $\,\mu(f)=\Op{\sup}_{x\app I}f(x).\,$
continuité d'une fonction dans un espace vectoriel normé
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
La fonction $f$ est continue $\,a\app A\,$ ssi elle admet une limite en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a} f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(A,F)$ est l'ensemble des $\,f:A\to F\,$ continues en tout $x\app A\sp{1.5}.$
fonction lipschitzienne sur un espace vectoriel normé
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
Pour $\,k > 0\sp{1.5},\,$ l'application $f$ est lipschitzienne de rapport $\,k\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt x\sp{.75}, y\sp{.75}\app \sp{.75}A\sp{1.5},\ \ \|f(x)-f(y)\|\leq k\,\|\sp{.75}x-y\sp{.75}\|$
L'application $f$ est alors continue, et même uniformément continue.
caractérisation séquentielle de la continuité
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
$f$ est continue en $\,a\app A\,$ ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp \lim n{+\I}\,f(x_n)=f(a)$
fonctions vectorielles continues et opérations
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,A\subset E\sp{1.5};\,$ alors :
- $\,\sc C(A\sp{.75},F)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(A,F)\,;\,$
- pour $\,f\app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$ $\,\phi\app\sc C(A\sp{.75},\bb K)\sp{1.5},\,$ on a : $\,\phi f \app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$
- ainsi que $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\phi\app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app A\sp{1.5},\ \phi(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
indication
Montrer que l'application $\,\mu\,$ est lipschitzienne.
réponse
On démontre que l'application $\,\mu\,$ est lipschitzienne sur $\,E\sp{1.5},\,$ et donc continue sur $\,E\sp{1.5}.\,$
correction
Étant continue sur un segment, toute fonction $f$ de $\,E\,$ est
Soit $\,f:[a,b]\to\bb R\,$ continue ; alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
bornée
sur $\,[\sp{.75}a,b\sp{1.5}]\,$ et donc sur $\,I.\,$
L'ensemble $\,f(I)\,$ admet alors une borne
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus petit majorant :
supérieure
finie sur $\,I\neq\vide\sp{1.5},\,$ et l'application $\,\mu\,$ est bien définie sur $\,E\sp{1.5}.\,$
Par définition de la
$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$
C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$
Soit $\,E=\sc B(\Omega\sp{1.5},\bb K)\,$ le $\bb K\tiret$espace vectoriel des fonctions bornées sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$ La norme de la convergence uniforme sur $\,\Omega\,$ est définie par :
norme
de la convergence uniforme, on a pour toutes $\,f,g\app E:\,$
$\displaystyle{}\ptt f \app E,\ \|f\|_\I=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f(x)|$
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \,f(x)-g(x)\leq|f(x)-g(x)|\leq\|f-g\sp{1.5}\|_{\I}$
La borne supérieure $\,\mu(g)\,$ étant un
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
majorant
de $\,g(I)\sp{1.5},\,$ on peut donc écrire :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \,\big(\sp{1.5}f(x)\leq g(x)+\|f-g\sp{1.5}\|_{\I}\leq \mu(g)+\|f-g\sp{1.5}\|_{\I}\big)$
Le nombre $\,\mu(g)+\|f-g\sp{1.5}\|_{\I}\,$ est donc un majorant de $\,f(I)\sp{1.5},\,$ supérieur au plus petit d'entre eux, à savoir : $\,\mu(f)\sp{1.5}.\,$
Cela nous conduit à : $\,\mu(f)\leq \mu(g)+\|f-g\sp{1.5}\|_{\I},\,$ c'est-à-dire : $\,\mu(f)-\mu(g)\leq \|f-g\sp{1.5}\|_{\I}\,.\,$
En intervertissant les rôles de $f$ et $\,g,\,$ on trouve de même : $\,\mu(g)-\mu(f)\leq \|f-g\sp{1.5}\|_{\I}\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\ptt(f,g)\app E^2,\ \ |\mu(f)-\mu(g)|\leq\|f-g\sp{1.5}\|_{\I}$
La fonction $\,\mu\,$ étant ainsi
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
Pour $\,k > 0\sp{1.5},\,$ l'application $f$ est lipschitzienne de rapport $\,k\,$ ssi :
lipschitzienne
sur $\,E\,$ de rapport $\,k\sp{-1.5}=\sp{-1.5}1\sp{1.5},\,$ ce qui nous prouve qu'elle est
$\displaystyle{}\ptt x\sp{.75}, y\sp{.75}\app \sp{.75}A\sp{1.5},\ \ \|f(x)-f(y)\|\leq k\,\|\sp{.75}x-y\sp{.75}\|$
L'application $f$ est alors continue, et même uniformément continue.
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
La fonction $f$ est continue $\,a\app A\,$ ssi elle admet une limite en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a} f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(A,F)$ est l'ensemble des $\,f:A\to F\,$ continues en tout $x\app A\sp{1.5}.$
continue
sur $\,E\sp{1.5}.\,$
Si on connaît la notion de continuité uniforme, on peut même en conclure que $\,\mu\,$ est uniformément continue sur $\,E\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
Soient $\,E\,$ et $\,F\,$ deux espaces vectoriel normés, et $f$ une application de $\,E\,$ vers $\,F.\,$
Démontrer que $f$ est continue sur $\,E\,$ si et seulement si :
$\displaystyle{}\ptt A\subset E\sp{1.5},\ \, f\big(\sp{1.5}\adher{A}\sp{1.5}\big)\subset\adher{f(A)}$
continuité d'une fonction dans un espace vectoriel normé
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
La fonction $f$ est continue $\,a\app A\,$ ssi elle admet une limite en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a} f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(A,F)$ est l'ensemble des $\,f:A\to F\,$ continues en tout $x\app A\sp{1.5}.$
fonction lipschitzienne sur un espace vectoriel normé
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
Pour $\,k > 0\sp{1.5},\,$ l'application $f$ est lipschitzienne de rapport $\,k\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt x\sp{.75}, y\sp{.75}\app \sp{.75}A\sp{1.5},\ \ \|f(x)-f(y)\|\leq k\,\|\sp{.75}x-y\sp{.75}\|$
L'application $f$ est alors continue, et même uniformément continue.
caractérisation séquentielle de la continuité
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
$f$ est continue en $\,a\app A\,$ ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp \lim n{+\I}\,f(x_n)=f(a)$
fonctions vectorielles continues et opérations
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,A\subset E\sp{1.5};\,$ alors :
- $\,\sc C(A\sp{.75},F)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(A,F)\,;\,$
- pour $\,f\app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$ $\,\phi\app\sc C(A\sp{.75},\bb K)\sp{1.5},\,$ on a : $\,\phi f \app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$
- ainsi que $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\phi\app\sc C(A\sp{.75},F)\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app A\sp{1.5},\ \phi(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
indication
1
Montrer d'abord l'implication directe, par la caractérisation séquentielle des éléments de $\,\adher{A}\sp{1.5}.\,$
indication
2
Pour établir la réciproque, commencer par supposer que $\,f\big(\sp{1.5}\adher{A}\sp{1.5}\big)\subset\adher{f(A)}\,$ pour toute $\,A\subset E\sp{1.5}.\,$
Prouver alors par l'absurde la continuité de $f$ sur $\,E\,$ en écrivant la négation de $\,\lim xa\, f(x)=f(a)\,$ pour un $\,a\app E\sp{1.5}.\,$
réponse
On démontre bien que $f$ est continue sur $\,E\,$ si et seulement si :
$\displaystyle{}\ptt A\subset E\sp{1.5},\ \,f\big(\sp{1.5}\adher{A}\sp{1.5}\big)\subset\adher{f(A)}$
correction
- On suppose d'abord que $f$ est
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$ La fonction $f$ est continue $\,a\app A\,$ ssi elle admet une limite en $\,a\sp{1.5}.\,$ Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a} f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$ $\sc C(A,F)$ est l'ensemble des $\,f:A\to F\,$ continues en tout $x\app A\sp{1.5}.$continue sur $\,E\sp{1.5},\,$ et on considère $\,A\subset E\sp{1.5}.\,$ Pour tout $\,a\app\adher{A}\sp{1.5},\,$ par caractérisationSoient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$ $\,a\app E\,$ est adhérent à $A$ ssi il existe une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\,a\sp{1.5}.\,$séquentielle, il existe une suite $\,(x_n)\,$ d'éléments de $\,A\,$ convergeant vers $\,a\sp{1.5}.\,$ Alors, par continuité de $f,$ la suite $\,(f(x_n))\,$ d'éléments de $\,f(A)\,$Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$ $f$ est continue en $\,a\app A\,$ ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$converge vers $\,f(a)\,$ si bien que : $\,f(a)\app\smh0{\adher{f(A)}}\sp{1.5}.\,$ On a ainsi établi que si $f$ est continue sur $\,E\sp{1.5},\,$ alors : $\,\ptt A\subset E\sp{1.5},\ \ f\big(\sp{1.5}\adher{A}\sp{1.5}\big)\subset\adher{f(A)}\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp \lim n{+\I}\,f(x_n)=f(a)$
- On suppose réciproquement que : $\,\ptt A\subset E,\ f\big(\sp{1.5}\adher{A}\sp{1.5}\big)\subset\adher{f(A)}\sp{1.5},\,$ pour montrer par l'absurde que $f$ est continue sur $\,E\sp{1.5}.\,$
Si $f$ n'était pas continue, il existerait un $\,a\app E\,$ tel que $\,f(a)\,$ ne soit pas la limite de $f$ en $\,a\sp{1.5}.\,$
Par
Soient $\Omega$ un ensemble et $\sc P(x)$ une proposition portant sur $x\app\Omega:$négation de la définition des
- $\,\op{non}\big(\ptt x\app\Omega\sp{1.5},\,\sc P(x)\big)\,$ ssi $\,\big(\iex x\app\Omega\sp{1.5},\ \op{non}\sc P(x)\big)\sp{1.5};\,$
- $\,\op{non}\big(\iex x\app\Omega\sp{1.5},\ \sc P(x)\big)\,$ ssi $\,\big(\ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \op{non}\sc P(x)\big)\sp{1.5}.\,$
Soit $\,f:A\subset E\to F,\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F.$ La fonction $f$ admet le vecteur $\,\ell\app F\,$ pour limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}}\,$ ssi :limites et négation d'une$\displaystyle{}\!\!\ptt\eps\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,\iex\delta\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\sp{1.5}\ptt x\app A\sp{1.5},\sp{1.5}\big(\|x-a\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\delta\!\Imp\!\sp{-1.5}\|f(x)-\ell\sp{.75}\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\eps\big)$La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit : $\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$Pour deux propositions $\sc A$ et $\sc B\sp{1.5},$ on a l'implication définie par : $\,\sp{50}\big(\sp{1.5}\sc A\sp{-1.5}\Imp\sp{-1.5} \sc B\sp{1.5}\big)\,$ ssi $\,\big((\op{non}\sc A) \mathbin{\rm ou}\sc B\sp{1.5}\big)\,$ Sa négation : $\,\sth{.5}\!\op{non}\big(\sc A\!\Imp\!\sc B\big)\,$ équivaut à : $\,\!\big(\sc A\!\txt{et}\!(\op{non}\sc B)\big).\,$implication, il existerait alors un $\,\eps\sp{-1.5}>\sp{-1.5} 0\,$ tel que :$\displaystyle{}\ptt \delta > 0\sp{1.5},\ \iex x\app E\sp{1.5},\ \big(\|x-a\|\leq \delta\txt{et}\|f(x)-f(a)\| > \eps\big)$$\,B\big(f(a),\eps\big)\,$ désignant laDans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule fermée de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :boule fermée de centre $\,f(a)\,$ et rayon $\,\eps\sp{1.5},\,$ on a l'équivalence :$\displaystyle{}\smh0{\adher B}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| \leq r}$Les boules « fermées » de $E$ sont des parties fermées de $E\sp{1.5}.$$\displaystyle{}\|f(x)-f(a)\| > \eps\Ssi f(x)\non\app B\big(f(a),\eps\big)$En posant $\,\delta=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n\sp{1.5},\,$ on obtiendrait une suite $\,(x_n)\,$Soit une suite $(x_n)$ d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ $(\omega_n)$ une suite réelle et $\,\ell\app E\sp{1.5}.\,$Si on a, à partir d'un certain rang $N:$ $\,\big\|\sp{1.5}x_n-\ell\sp{1.5}\big\|\leq \omega_n\sp{1.5},\,$ alors :tendant vers $\,a\sp{1.5},\,$ car : $\,\|x_n-a\|\leq 1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n\sp{1.5},\,$ et telle que :$\displaystyle{}\lim n{+\I} \omega_n=0\Imp \lim n{+\I} x_n=\ell$$\displaystyle{}\ptt n\geq 1\sp{1.5},\ f(x_n)\non\app B\big(f(a),\eps\big)$Pour $\,A=\ens{x_n}{n\app\bb N^{\ast}}\sp{1.5},\,$ on aurait alors : $\,a\app\adher{A}\,$ et $\,f(A)\cap B\big(f(a),\eps\big)=\vide\sp{1.5}.\,$ ParSoient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$ Le point $\,a\,$ est adhérent à $A$ ssi toute boule de centre $\,a\,$ contient un point de $A\sp{1.5}.$ L'adhérence de $A$ est l'ensemble fermé $\,\adher A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ adhérents à $A:$définition de $\,\adher{f(A)}\sp{1.5}\,$ cela signifie : $\,f(a)\app f\big(\sp{1.5}\adher{A}\sp{1.5}\big)\,$ et $\,f(a)\non\app\adher{f(A)}\sp{1.5},\,$ ce qui contredit l'hypothèse. On a donc établi par l'absurde que l'hypothèse : $\,\ptt A\subset E,\ f\big(\sp{1.5}\adher{A}\sp{1.5}\big)\subset\adher{f(A)}\sp{1.5},\,$ implique la continuité de $f$ sur $\,E\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}a\app\sp{1.5}\adher A\Ssi\big(\ptt r > 0\sp{1.5},\ B(a,r)\cap A\neq\vide\big)$