exercices de mathématiques - prépa et université

Il s'agit d'une

Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$

série de terme général : $\,u_n=(-1)^nv_n\sp{1.5},\,$ de signe alterné et de valeur absolue :

• Par décroissance de la
  Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance  $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :

  • continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
  • continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$
  fonction $\,x\mapsto x^{-1/2}\sp{1.5},\,$ la suite $\,(v_n)_{n\geq2}\,$ est
  Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone  ssi  elle est :

  • soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
  • soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$

  $(u_n)_{n\geq n_0}$ est strictement monotone, avec des inégalités strictes.
  décroissante :
  $\displaystyle{}v_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{\smh{.15}{(n+1)\sp{1.5}n}}}\leq\dfrac{1}{\sqrt{\smh{.15}{n\sp{1.5}(n-1)}}}=v_n$

• Avec : $\,n\sp{1.5}(n-1)\geq (n-1)^2\sp{1.5},\,$ on a aussi par
  Soient $\,(u_n)\sp{1.5},\,$ $\,(v_n)\sp{1.5},\,$ $\,(w_n)\,$ des suites réelles et $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$

  Si  on a,  à partir d'un certain rang $N:$ $\,\sp{1.5}u_n\leq v_n\leq w_n\sp{1.5},\,$ alors :

  $\displaystyle{}\big(\,\lim n{+\I}\!u_n =\!\!\lim n{+\I}\!w_n =\ell\ \big) \Imp \lim n{+\I}\!v_n =\ell$
  encadrement : $\,\lim n{+\I}v_n=0\sp{1.5},\,$ car :
  $\displaystyle{}0\leq\frac{1}{\sqrt{\smh{.35}{n\sp{1.5}(n-1)}}}\leq \frac{1}{\sqrt{\smh{.35}{(n-1)^2}}}=\frac 1{n-1}\,\tend n{+\I}\,0$

En vertu du théorème spécial des séries

Soit $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ une suite réelle décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5}.\,$

Alors  pour $\,u_n=(-1)^n\sp{1.5}v_n\sp{1.5},\,$ la série alternée $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$  est  convergente.

Son reste d'ordre $\,n\,$ vérifie : $\,|R_n|\leq|u_{n+1}|\sp{1.5};\,$ il est du signe de $u_{n+1}\sp{1.5}.$

alternées,  il s'ensuit que la série  $\,\dsum_{n\geq2}\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{\sth{.35}n^2-n}}\,$ est

Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$

Cette série  est  convergente de somme $S$  ssi  les $S_n$ convergent vers $S:$

$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$

convergente.

La valeur absolue du

Soit $\,\sum u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $S_n\sp{1.5}.$

Si  cette série est convergente de somme $S\sp{1.5},$ son reste d'ordre $\,n\,$ est :

$\displaystyle{}R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\I}u_k\sp{1.5},\txt{et alors :}\lim n{+\I}R_n=0$

reste $\,R_n\,$ de cette série vérifie alors :

Cela signifie que l'approximation  $\,S\simeq S_n\sp{1.5},\,$ de la somme $S$ par la somme partielle $S_n\sp{1.5},$ se fait à la précision $\,\dfrac1n\!\cdot\,$

Il s'agit d'une

Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$

série de terme général : $\,u_n=(-1)^nv_n\sp{1.5},\,$ de signe alterné et de valeur absolue :

• On a d'une part, par
  Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

  $\displaystyle{}(\ln n)^\beta\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(n^\alpha)\sp{1.5},\ \,n^\alpha\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,n})\,\txt{et}\,\e{\gamma\,n}\dl n{+\I}o\big(n\sp{1.5}!\big) $
  croissances comparées, la convergence de la suite $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ vers $\,0:\,$
  $\displaystyle{}\lim n{+\I}v_n=\lim n{+\I}\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}=0$
• Cependant, la suite $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ n'est pas
  Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone  ssi  elle est :

  • soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
  • soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$

  $(u_n)_{n\geq n_0}$ est strictement monotone, avec des inégalités strictes.
  décroissante car :  $\,v_1=0 < {\ln 2}/\!{\sqrt 2}=v_2\sp{1.5}.\,$
  On va néanmoins montrer qu'elle est décroissante à partir d'un certain rang.
  La fonction $\,f:x\mapsto\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\,$ est
  Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$

  Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :

  • $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$

  • $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$
  dérivable sur $\,]\sp{1.5}0,+\infty[\,$ comme produit du
  La fonction logarithme est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\,]0,\sp{-1.5}+\I[\sp{1.5},\,$ avec :

  $\displaystyle{}\ptt x > 0,\ \ln^{\sp{1.5}\prime}(x)=\smh{1.25}{\dfrac1x}$
  logarithme par la
  Soit $\,\alpha\app\bb R\,$ et la fonction puissance $\,p_\alpha:x\mapsto x^{\alpha}.\,$

  Alors  $\,p_\alpha\app\sc C^\I(\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\bb R)\,$ et : $\, \ptt x >0,\ p_\alpha'(x)=\alpha\sp{1.5}x^{\alpha -1}\sp{1.5}.\,$

  Si $\,\alpha \geq n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a de plus : $\,p_\alpha\app\sc C^n([\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$
  fonction $\,x\mapsto x^{-1/2}:\,$
  $\displaystyle{}f'(x)=\frac1x\!\cdot\!\frac1{\sqrt{x}}+\ln x\cdot\frac1{2\sp{1.5}x\sqrt{x}}=\frac{2-\ln x}{2\sp{1.5}x\sqrt{x}}$
  Par croissance du
  Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
  logarithme, cette dérivée est négative sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}\e2,+\infty[\,$ où $f$ est donc
  Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

  • $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
  • avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

  Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.
  décroissante.
  Il s'ensuit que la suite $\,(v_n)\,$ est
  Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone  ssi  elle est :

  • soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
  • soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$

  $(u_n)_{n\geq n_0}$ est strictement monotone, avec des inégalités strictes.
  décroissante à partir du rang $\,N=8 > \e2=7,38\dots\,$

En vertu du théorème spécial des séries

Soit $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ une suite réelle décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5}.\,$

Alors  pour $\,u_n=(-1)^n\sp{1.5}v_n\sp{1.5},\,$ la série alternée $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$  est  convergente.

Son reste d'ordre $\,n\,$ vérifie : $\,|R_n|\leq|u_{n+1}|\sp{1.5};\,$ il est du signe de $u_{n+1}\sp{1.5}.$

alternées,  la série  $\,\dsum_{n\geq8}(-1)^n\sp{1.5}\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}\,$ est donc

Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$

Cette série  est  convergente de somme $S$  ssi  les $S_n$ convergent vers $S:$

$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$

convergente.

On en déduit la convergence de la série  $\,\dsum_{n\geq1}(-1)^n\sp{1.5}\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}\,$ qui n'en diffère que par une somme finie.

Il s'agit d'une

Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$

série de terme général : $\,u_n=(-1)^nv_n\sp{1.5},\,$ et de signe alterné.

Le théorème spécial des séries

Soit $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ une suite réelle décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5}.\,$

Alors  pour $\,u_n=(-1)^n\sp{1.5}v_n\sp{1.5},\,$ la série alternée $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$  est  convergente.

Son reste d'ordre $\,n\,$ vérifie : $\,|R_n|\leq|u_{n+1}|\sp{1.5};\,$ il est du signe de $u_{n+1}\sp{1.5}.$

alternées ne s'applique pas car la suite $(v_n)_{n\geq1}$ n'est pas décroissante :

• on a en effet la
  Soient deux suites numériques ; $(u_n)$  est  négligeable devant $(v_n)$  ssi  à partir d'un rang $\,n_0:\,$

  $\displaystyle{}u_n=v_n\,\omega_n\sp{1.5},\txt{avec :}\lim n{+\I}\omega_n=0$

  On écrit :  $\,u_n\,\dl n{+\I}o\big(v_n\big)\sp{1.5},\,$ et  si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ alors :

  $\displaystyle{}u_n\,\dl n{+\I}\,o\big(v_n\big)\Ssi\lim n{+\I}\,\smh{0}{\frac{u_n}{v_n}}=0$
  relation : $\,v_{2\sp{1.5}p-1}\dl p{+\I}o(v_{2\sp{1.5}p})\,$ puisque, par
  Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$

  En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :

  $\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
  équivalents :
  $\displaystyle{}\dfrac{v_{2\sp{1.5}p-1}}{v_{2\sp{1.5}p}}=\dfrac{\sqrt{\sth{.1}2\sp{1.5}p}}{2\sp{1.5}p-1}\ \eq p{+\I}\,\dfrac{\sqrt{\sth{.1}2\sp{1.5}p}}{2\sp{1.5}p}=\frac1{\sqrt{\sth{.1}2\sp{1.5}p}}\ \tend p{+\I}\,0$
• et cela contredit la
  Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone  ssi  elle est :

  • soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
  • soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$

  $(u_n)_{n\geq n_0}$ est strictement monotone, avec des inégalités strictes.
  décroissance de $(v_n)_{n\geq1}\sp{1.5},$ étant donné qu'on a alors, à partir d'un certain rang :  $\,\dfrac{v_{2p-1}}{v_{2p}} < 1\sp{1.5}.\,$

On

Soit $S$ une somme de $x_k$ pour un entier $k$ variant de $m$ à $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$

Alors on peut y dissocier les termes d'indices pairs de ceux d'indices impairs :

$\displaystyle{}\dsum_{k=m}^{n}x_k=\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h\leq n}\!\!x_{2\sp{.75}h}\ +\!\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h+1\leq n}\!\!\!x_{2\sp{.75}h+1}$

réunit dans la somme partielle $\,S_{2p}=\smb2{\dsum_{k=1}^{2p}(-1)^kv_k}\,$ les indices  $\,k=2\sp{1.5}q-1\,$ et  $\,k=2\sp{1.5}q:\,$ $S_{2p}$ est la somme partielle d'une série de termes $(-v_{2\sp{1.5}q-1}+v_{2\sp{1.5}q})\sp{1.5},$ positifs à partir d'un certain rang, et

Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :

$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$

équivalents à : $\,\dfrac{1}{\sqrt{\sth{.1}2\sp{1.5}q}}\cdot\,$

Par

Soient $\,(u_n)\,$ et $\,(v_n)\,$ deux suites à termes positifs.

Si $\,u_n\eq n{+\I}v_n\sp{1.5},\,$ les séries $\,\sum u_n\,$ et $\,\sum v_n\,$ sont  de même nature.

comparaison à une série de

Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge  ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$

Riemann, la série $\,\dsum_{q\geq1}(-v_{2q-1}+v_{2q})\,$ est donc divergente.

On a ainsi $\,\lim p{+\I}S_{2\sp{1.5}p}=+\infty\sp{1.5},\,$ ce qui prouve la

Soit $(u_{n_p})$ une suite extraite d'une suite numérique $(u_n)\sp{1.5};$  pour $\,\ell\app\bb C\,$ ou $\,\ell=\pm\I\sp{1.5},\,$ on a  alors :

$\displaystyle{}\lim n{+\I}u_n=\ell\Imp\!\!\lim p{+\I}u_{n_p}=\ell$

divergence de la suite $(S_n)_{n\geq 1}\sp{1.5}.$

On a donc ainsi établi la divergence de la série $\,\dsum_{n\geq1}(-1)^nv_n\sp{1.5}.\,$