Sujet E.2.4 Comparaison à une intégrale
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Exercice a
Soient $\,S\,$ la somme et $\,S_n\,$ la somme partielle d'ordre $\,n\,$ de la série : $\,\dsum_{n\geq1}\frac{1}{n\sp{1.5}\sqrt{n}}\!\cdot\,$
Déterminer un majorant de l'erreur commise dans l'approximation de $\,S\,$ par $\,S_n\sp{1.5}.\,$
comparaison d'une série à une intégrale
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,+\I[\,\to\bb R_+\,$ continue et décroissante.
$\!\dint_a^{+\I}\sp{-21}f(t)\sp{-1.5}\d t$ et $\dsum_{n\geq a}\sp{-3}f(n)$ sont alors de même nature.
reste d'une série convergente
Soit $\,\sum u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $S_n\sp{1.5}.$
Si cette série est convergente de somme $S\sp{1.5},$ son reste d'ordre $\,n\,$ est :
$\displaystyle{}R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\I}u_k\sp{1.5},\txt{et alors :}\lim n{+\I}R_n=0$
indication
Majorer le reste $\,R_n=S-S_n\,$ de cette série par une intégrale.
réponse
Dans l'approximation $\,S\simeq S_n\sp{1.5},\,$ l'erreur est :
$\,|S-S_n|\leq\dfrac{2}{\sqrt{n}}\!\cdot\,$
correction
Cette
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
est une série de
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann
convergente.
L'erreur commise dans l'approximation de $\,S\,$ par $\,S_n\,$ est donc : $\,|S-S_n|\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire le
Soit $\,\sum u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $S_n\sp{1.5}.$
Si cette série est convergente de somme $S\sp{1.5},$ son reste d'ordre $\,n\,$ est :
reste
d'ordre $\,n\,$ de cette série :
$\displaystyle{}R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\I}u_k\sp{1.5},\txt{et alors :}\lim n{+\I}R_n=0$
$\displaystyle{}0\leq R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k\,\sqrt{k}}$
La
Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :
fonction
$\,x\mapsto\dfrac{1}{x\sp{1.5}\sqrt{x}}=x^{-3/2}\,$ est continue et décroissante sur
$\,]0,+\infty[\sp{1.5}.\,$
Cette série peut donc être
- continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
- continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,+\I[\,\to\bb R_+\,$ continue et décroissante.
$\!\dint_a^{+\I}\sp{-21}f(t)\sp{-1.5}\d t$ et $\dsum_{n\geq a}\sp{-3}f(n)$ sont alors de même nature.
comparée
à l'intégrale
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :
convergente :
$\,\dint_1^{+\I}\!\!\frac{\d x}{x\sp{1.5}\sqrt{x}}\!\cdot\,$
Plus précisément, avec un entier $\,k\geq2\sp{1.5},\,$ on a pour tout $\,x\,$ appartenant au segment $\,[\sp{1.5}k-1,k\sp{1.5}]:\,$
- intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$ ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
- intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$ ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
$\eqalign{&\dfrac{1}{k\sp{1.5}\sqrt{k}}\leq\frac{1}{x\sp{1.5}\sqrt{x}}\\
\txt{d'où :}\ &\dfrac{1}{k\sp{1.5}\sqrt{k}} \leq\int_{k-1}^{k}\frac{\d x}{x\sp{1.5}\sqrt{x}}}$
En sommant cette inégalité, pour $\,k\,$ de $\,n+1\,$ à $\,\,N\geq n\,,\,$ on obtient par relation de
Pour $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ ou $\,f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ avec $a,\sp{1.5}b,\,c\app I$ on a :
Chasles :
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\int_a^c\!f(x)\d x+\int_c^b\!f(x)\d x$
$\displaystyle{}\sum_{k=n+1}^N\frac{1}{k\,\sqrt{k}}\leq\sum_{k=n+1}^N\int_{k-1}^{k}\frac{\d x}{x\sp{1.5}\sqrt{x}}=\int_n^{N}\!\frac{\d x}{x\sp{1.5}\sqrt{x}}$
Par passage à la
Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ admettant des limites.
Si on a $\,u_n\leq v_n\,$ à partir d'un certain rang, alors :
limite
dans des inégalités pour $\,N\to+\infty,\,$ on trouve une intégrale de
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\sp{1.5}u_n\leq \lim n{+\I}\sp{1.5}v_n$
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :
Riemann :
- intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$ ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
- intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$ ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
$\displaystyle{}R_n=\dsum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k\,\sqrt{k}} \leq\int_n^{+\infty}\dfrac{\op{d\!}x}{x\,\sqrt{x}}$
On calcule cette intégrale en
Soit $F$ une primitive de $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to \bb K\,$ continue et intégrable ; alors :
primitivant
la fonction $\,x\mapsto x^{-3/2}\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x =\big[F(x)\big]_a^b=\lim xb F(x)-F(a)$
On a le même résultat sur l'intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ avec : $\,F(b)-\lim xa F(x)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}0\leq R_n\leq \bigg[-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\bigg]_{n}^{+\infty}= \dfrac{2}{\sqrt{n}}$
Avec la majoration de l'erreur : $\,|S-S_n|\leq\dfrac{2}{\sqrt{n}}\sp{1.5},\,$ l'approximation $\,S\simeq S_n\,$ se fait donc à la précision : $\,\dfrac{2}{\sqrt{n}}\!\cdot\,$
On peut améliorer un peu cette approximation de $S$ en écrivant : $\,S\simeq S_n+\dfrac1{\sqrt n}\,$ à la précision $\,\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sp{1.5},\,$ d'après l'encadrement :
$\displaystyle{}-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq S-\Big(S_n+\frac{1}{\sqrt{n}}\Big)\leq\frac{1}{\sqrt{n}}$
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Exercice b
Soit $\,S_n\,$ la somme partielle d'ordre $\,n\,$ de la série : $\,\dsum_{n\geq1}\frac{1}{\sqrt{n}}\!\cdot\,$
Déterminer un équivalent de $\,S_n\,$ lorsque $\,n\,$ tend vers $\,+\I.\,$
comparaison d'une série à une intégrale
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,+\I[\,\to\bb R_+\,$ continue et décroissante.
$\!\dint_a^{+\I}\sp{-21}f(t)\sp{-1.5}\d t$ et $\dsum_{n\geq a}\sp{-3}f(n)$ sont alors de même nature.
reste d'une série convergente
Soit $\,\sum u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $S_n\sp{1.5}.$
Si cette série est convergente de somme $S\sp{1.5},$ son reste d'ordre $\,n\,$ est :
$\displaystyle{}R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\I}u_k\sp{1.5},\txt{et alors :}\lim n{+\I}R_n=0$
indication
Encadrer la somme partielle $\,S_n\,$ de cette série par deux intégrales.
réponse
On obtient comme équivalent de $\,S_n=\dsum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}} :\,$ $\,S_n\eq n{+\I}2\,\sqrt{n}\,.\,$
correction
Cette
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
est une série de
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann
divergente.
La
Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :
fonction
$\,x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}\,$ est continue et décroissante sur
$\,]0,+\infty[\sp{1.5}.\,$
Cette série peut donc être
- continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
- continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,+\I[\,\to\bb R_+\,$ continue et décroissante.
$\!\dint_a^{+\I}\sp{-21}f(t)\sp{-1.5}\d t$ et $\dsum_{n\geq a}\sp{-3}f(n)$ sont alors de même nature.
comparée
à l'intégrale
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :
divergente :
$\,\dint_1^{+\I}\!\frac{\d x}{\sqrt{x}}\!\cdot\,$
Plus précisément, avec un entier $\,k\geq1\sp{1.5},\,$ on a pour tout $\,x\,$ appartenant au segment $\,[\sp{1.5}k,k+1\sp{1.5}]:\,$
- intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$ ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
- intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$ ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
$\eqalign{\frac{1}{\sqrt{k+1}}\leq&\frac{1}{\sqrt{x}}\leq\frac{1}{\sqrt{k}}\\
\txt{d'où :} \ \frac{1}{\sqrt{k+1}}\leq&\int_k^{k+1}\!\!\frac{\d x}{\sqrt{x}}\leq\frac{1}{\sqrt{k}}}$
En sommant l'inégalité de droite, pour $\,k\,$ de $\,1\,$ à $\,n\sp{1.5},\,$ on a par relation de
Pour $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ ou $\,f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ avec $a,\sp{1.5}b,\,c\app I$ on a :
Chasles :
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\int_a^c\!f(x)\d x+\int_c^b\!f(x)\d x$
$\displaystyle{}\int_1^{n+1}\dfrac{\d x}{\sqrt{x}}=\sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}\!\frac{\d x}{\sqrt{x}}\leq\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$
On somme de même l'inégalité de gauche, pour $\,k\,$ de $\,1\,$ à $\,n-1\sp{1.5},\,$ en
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
translatant
les indices avec $\,h=k+1:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
$\displaystyle{}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k+1}}=\sum_{h=2}^n\frac{1}{\sqrt{h}}\leq\sum_{h=2}^n\int_{h-1}^h\!\frac{\d x}{\sqrt{x}}=\int_1^{n}\dfrac{\d x}{\sqrt{x}}$
En rassemblant ces deux inégalités, on obtient l'encadrement suivant :
$\displaystyle{}\int_1^{n+1}\!\dfrac{\d x}{\sqrt{x}}\leq \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{k}}\leq 1+\int_1^{n}
\dfrac{\d x}{\sqrt{x}}$
En calculant les deux intégrales par
Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$
primitivation
de $\,x\mapsto x^{-1/2}\sp{1.5},\,$ on en déduit :
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
$\eqalign{&\!2\sp{1.5}\sqrt{n+1}-2=\!\Big[2\,\sqrt{x}\Big]_1^{n+1}\sp{-9}\leq S_n\!\leq1\sp{-1.5}+\!\Big[2\sp{1.5}\sqrt{x}\Big]_1^{n}\!=2\sp{1.5}\sqrt{n}-1\\
&\ \txt{d'où :}\ \sqrt{1+\dfrac1{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq \dfrac{S_n}{2\sp{1.5}\sqrt{n}}\leq1-\dfrac{1}{2\sp{1.5}\sqrt{n}}}$
Du fait de la
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
continuité
de la racine carrée et de sa
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ vérifie :
limite
en $\,+\I\sp{1.5}, \,$on a alors :
$\displaystyle{}\lim x{+\I}\sqrt x=+\I\ \txt{et}\,\big(\sqrt{1+x}-1\big)\eq x0 \,\frac x2$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\bigg(\sqrt{1+\dfrac1{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\bigg)=\lim n{+\I}\Big(1-\dfrac{1}{2\sp{1.5}\sqrt{n}}\Big)=1$
Il s'ensuit par
Soient $\,(u_n)\sp{1.5},\,$ $\,(v_n)\sp{1.5},\,$ $\,(w_n)\,$ des suites réelles et $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Si on a, à partir d'un certain rang $N:$ $\,\sp{1.5}u_n\leq v_n\leq w_n\sp{1.5},\,$ alors :
encadrement
de limites que : $\,\lim n{+\I}\,\dfrac{S_n}{2\sp{1.5}\sqrt{n}}=1\sp{1.5},\,$ d'où
$\displaystyle{}\big(\,\lim n{+\I}\!u_n =\!\!\lim n{+\I}\!w_n =\ell\ \big) \Imp \lim n{+\I}\!v_n =\ell$
Deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes ssi à partir d'un rang $\,n_0:\,$
l'équivalent :
$\,S_n\eq n{+\I}2\,\sqrt{n}\,.\,$
$\displaystyle{}u_n=v_n\,\delta_n\sp{1.5},\txt{avec :}\lim n{+\I}\delta_n=1$
On écrit : $\,u_n\,\eq n{+\I}\,v_n\sp{1.5},\,$ et si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}u_n\,\eq n{+\I}\,v_n\Ssi\lim n{+\I}\,\smh{.5}{\frac{u_n}{v_n}}=1$