Sujet E.2.3 Comparaison aux séries de Riemann
Choisir
un exercice, puis le résoudre
:
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice a
Étudier la convergence de la série $\,\dsum_{\sth{.2}n\geq1}u_n\,,\,$ de terme général : $\,u_n=1-\cos\Big(\dfrac{\ln n}{n}\Big)\!\cdot\,$
convergence des séries à termes positifs équivalents
Soient $\,(u_n)\,$ et $\,(v_n)\,$ deux suites à termes positifs.
Si $\,u_n\eq n{+\I}v_n\sp{1.5},\,$ les séries $\,\sum u_n\,$ et $\,\sum v_n\,$ sont de même nature.
comparaison d'une série avec une série à termes positifs
Soient $\,(u_n)\,$ une suite numérique et $\,(v_n)\,$ une suite à termes positifs.
Lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!O\big(v_n\big)\sp{1.5},\,$ et a fortiori lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!o\big(v_n\big):\,$
$\displaystyle{}\tst{\sum} v_n\!\txt{converge}\!\Imp\tst{\sum} u_n\!\txt{converge absolument}$
séries de Riemann
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
indication
1
Comparer cette série à une série de Riemann.
indication
2
Utiliser la relation : $\,\big(\cos(x)-1\big)\eq x0-\dfrac{1}{2\,x^2}\,$ pour trouver un équivalent de $\,u_n\sp{1.5}.\,$
réponse
Cette série à termes positifs est convergente car : $\,u_n\dl n{+\I}o\Big(\dfrac{1}{n^{3/2}}\Big)\!\cdot\,$
correction
Il s'agit d'une
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
à termes positifs car, par propriété du
Pour tout $x\app\bb R,$ on a les majorations suivantes :
cosinus :
$\displaystyle{}|\cos x|\leq 1\sp{1.5},\ \ |\sin x|\leq 1\,\txt{et} \,|\sin x|\leq |x|$
$\displaystyle{}\ptt n\geq 1\sp{1.5},\ \, u_n=1-\cos\Big(\dfrac{\ln n}{n}\Big)\geq0$
Par
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :
croissances
comparées, on a : $\,\lim n{+\I}\dfrac{\ln n}{n}=0\sp{1.5},\,$ d'où un
$\displaystyle{}(\ln n)^\beta\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(n^\alpha)\sp{1.5},\ \,n^\alpha\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,n})\,\txt{et}\,\e{\gamma\,n}\dl n{+\I}o\big(n\sp{1.5}!\big) $
Les fonctions cosinus et sinus vérifient :
équivalent
de $\,u_n\sp{1.5},\,$ puis de $\,n^{3/2}\sp{.75}u_n:\,$
$\displaystyle{}(\cos x-1)\,\eq x0-\smh{1.5}{\dfrac{x^2}2}\ \txt{et}\,\sin x\,\eq x0\,x$
$\eqalign{u_n=1-\cos\Big(\dfrac{\ln n}{n}\Big)&\eq n{+\I}\,\dfrac{(\ln n)^2}{2\sp{1.5}n^2}\\
\txt{d'où ensuite :}\ n^{3/2}u_n&\eq n{+\I}\,\dfrac{(\ln n)^2}{2\sp{1.5}\sqrt{n}}}$
Par
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :
croissances
comparées $\,n^{3/2}u_n\,$ tend donc vers $\,0\sp{1.5},\,$ d'où : $\,u_n\dl n{+\I}o\Big(\dfrac{1}{n^{3/2}}\Big)\!\cdot\,$
La série $\,\dsum\limits_{\sth{.2}n\geq1}u_n\,$ est donc
$\displaystyle{}(\ln n)^\beta\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(n^\alpha)\sp{1.5},\ \,n^\alpha\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,n})\,\txt{et}\,\e{\gamma\,n}\dl n{+\I}o\big(n\sp{1.5}!\big) $
Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$
Cette série est convergente de somme $S$ ssi les $S_n$ convergent vers $S:$
convergente,
par
$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$
Soient $\,(u_n)\,$ une suite numérique et $\,(v_n)\,$ une suite à termes positifs.
Lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!O\big(v_n\big)\sp{1.5},\,$ et a fortiori lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!o\big(v_n\big):\,$
comparaison
à une série de
$\displaystyle{}\tst{\sum} v_n\!\txt{converge}\!\Imp\tst{\sum} u_n\!\txt{converge absolument}$
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann.
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice b
Étudier la convergence de la série $\,\dsum_{\sth{.2}n\geq2}u_n\,,\,$ de terme général : $\,u_n=\ln\Big(\dfrac{n^2-\sqrt{n}}{n^2+1}\Big)\!\cdot\,$
convergence des séries à termes positifs équivalents
Soient $\,(u_n)\,$ et $\,(v_n)\,$ deux suites à termes positifs.
Si $\,u_n\eq n{+\I}v_n\sp{1.5},\,$ les séries $\,\sum u_n\,$ et $\,\sum v_n\,$ sont de même nature.
comparaison d'une série avec une série à termes positifs
Soient $\,(u_n)\,$ une suite numérique et $\,(v_n)\,$ une suite à termes positifs.
Lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!O\big(v_n\big)\sp{1.5},\,$ et a fortiori lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!o\big(v_n\big):\,$
$\displaystyle{}\tst{\sum} v_n\!\txt{converge}\!\Imp\tst{\sum} u_n\!\txt{converge absolument}$
séries de Riemann
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
indication
1
Comparer cette série à une série de Riemann.
indication
2
Utiliser la relation : $\,\ln(1+x)\eq x0x\,$ pour trouver un équivalent de $\,u_n\sp{1.5}.\,$
réponse
Cette série à termes négatifs est absolument convergente car : $\,u_n\eq n{+\I}-\dfrac{1}{n^{3/2}}\!\cdot\,$
correction
Il s'agit d'une
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
à termes strictement négatifs car, par
Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
croissance
du logarithme :
$\displaystyle{} n^2-\sqrt{n} < n^2+1\Imp u_n=\ln\Big(\dfrac{n^2-\sqrt{n}}{n^2+1}\Big) < \ln 1=0$
Avec les
Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :
équivalents :
$\,\sqrt n+1\eq n{+\I}\sqrt n\,$ et $\,\sqrt n^2+1\eq n{+\I} n^2,\,$ on a d'autre part :
$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$
$\displaystyle{}\frac{\sqrt{n}+1}{n^2+1}\,\eq n{+\I}\,\frac{\sqrt{n}}{n^2}=\frac1{n\sp{1.5}\sqrt n}\ \tend n{+\I}\ 0$
On peut alors obtenir un
La fonction logarithme vérifie :
équivalent
du terme général $\,u_n\sp{1.5},\,$ puis de sa valeur absolue :
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x0\sp{1.5}\ln x=-\I\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\ln x=+\I\ \txt{et}\,\ln(1+x)\sp{1.5}\eq x0 \,x$
$\eqalign{&\ u_n \sp{1.5}=\,\ln\Big(1-\dfrac{\sqrt{n}+1}{n^2+1}\Big)\,\eq n{+\I}-\dfrac{\sqrt{n}+1}{n^2+1}\\
\txt{d'où :}\ &|u_n|\ \eq n{+\I}\ \dfrac{\sqrt{n}+1}{n^2+1} \eq n{+\I}\,\dfrac{\sqrt{n}}{n^2}=\dfrac{1}{n^{3/2}}}$
La série $\,\dsum\limits_{\sth{.2}n\geq2}u_n\,$ est donc
La série numérique $\,\sum u_n\,$ converge absolument ssi $\,\sum |u_n|\,$ converge.
absolument
convergente, par
- Toute série absolument convergente est convergente.
- Une série convergente qui ne converge pas absolument est semi-convergente.
Soient $\,(u_n)\,$ et $\,(v_n)\,$ deux suites à termes positifs.
Si $\,u_n\eq n{+\I}v_n\sp{1.5},\,$ les séries $\,\sum u_n\,$ et $\,\sum v_n\,$ sont de même nature.
comparaison
à une série de
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann.
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice c
Étudier la convergence de la série $\,\dsum_{\sth{.2}n\geq2}u_n\,,\,$ de terme général : $\,u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n(n-1)}}-\dfrac{1}{n}\!\cdot\,$
convergence des séries à termes positifs équivalents
Soient $\,(u_n)\,$ et $\,(v_n)\,$ deux suites à termes positifs.
Si $\,u_n\eq n{+\I}v_n\sp{1.5},\,$ les séries $\,\sum u_n\,$ et $\,\sum v_n\,$ sont de même nature.
comparaison d'une série avec une série à termes positifs
Soient $\,(u_n)\,$ une suite numérique et $\,(v_n)\,$ une suite à termes positifs.
Lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!O\big(v_n\big)\sp{1.5},\,$ et a fortiori lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!o\big(v_n\big):\,$
$\displaystyle{}\tst{\sum} v_n\!\txt{converge}\!\Imp\tst{\sum} u_n\!\txt{converge absolument}$
séries de Riemann
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
indication
1
Comparer cette série à une série de Riemann.
indication
2
Utiliser la quantité conjuguée de $\,\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\,$ pour trouver un équivalent de $\,u_n\sp{1.5}.\,$
réponse
Cette série à termes positifs est convergente car : $\,u_n\eq n{+\I}\dfrac{1}{2\,n^{2}}\!\cdot\,$
correction
Il s'agit d'une
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
à termes strictement positifs car, par
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
croissance
de la racine carrée et
L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :
inversion :
- $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
- $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$
$\displaystyle{}n\sp{1.5}(n-1) < n^2\Imp u_n=\frac{1}{\sqrt{n\sp{1.5}(n-1)}}-\frac{1}{\sqrt{n^2}}> 0 $
Avec la quantité conjuguée de $\,\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\sp{1.5},\,$ on obtient par
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
identité
remarquable :
$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$
$\eqalign{u_n&=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Big(\dfrac{1}{\sqrt{n-1}} -\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Big)=\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{n\sp{1.5}\sqrt{n-1}}\\&= \dfrac{1}{n\sp{1.5}\sqrt{n-1}\sp{1.5}\big(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\big)}}$
On peut alors écrire les
Deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes ssi à partir d'un rang $\,n_0:\,$
équivalents
suivants :
$\displaystyle{}u_n=v_n\,\delta_n\sp{1.5},\txt{avec :}\lim n{+\I}\delta_n=1$
On écrit : $\,u_n\,\eq n{+\I}\,v_n\sp{1.5},\,$ et si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}u_n\,\eq n{+\I}\,v_n\Ssi\lim n{+\I}\,\smh{.5}{\frac{u_n}{v_n}}=1$
$\eqalign{\sqrt{n-1}&=\sqrt{n\Big(1-\dfrac{1}{n}\Big)}\,\eq n{+\I}\,\sqrt{n}\\ \sqrt{n}+\sqrt{n-1}&=\sqrt{n}\sp{1.5}\bigg(1+\sqrt{1-\frac1n}\,\bigg)\ \eq n{+\I}\ 2\sp{1.5}\sqrt{n}}$
On en conclut, par produit et inverse
Soient des suites numériques avec $\,\smb0{u_n\eq n{+\I}x_n}\,$ et $\,\smb0{v_n\eq n{+\I}y_n}\sp{1.5};\,$ alors :
d'équivalents,
que : $\,u_n\eq n{+\I}\dfrac{1}{2\,n^2}\!\cdot\,$
La série $\,\dsum\limits_{\sth{.2}n\geq2}u_n\,$ est donc
- $\,u_n\,v_n\smb{1}{\eq n{+\I}}x_n\,y_n\sp{1.5};\,$
- $\,u_n/v_n\eq n{+\I}x_n/y_n\sp{1.5},\,$ lorsque $\,v_n\neq 0\sp{1.5}\,$ et $\,y_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\,.\,$
Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$
Cette série est convergente de somme $S$ ssi les $S_n$ convergent vers $S:$
convergente,
par
$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$
Soient $\,(u_n)\,$ et $\,(v_n)\,$ deux suites à termes positifs.
Si $\,u_n\eq n{+\I}v_n\sp{1.5},\,$ les séries $\,\sum u_n\,$ et $\,\sum v_n\,$ sont de même nature.
comparaison
à une série de
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann.
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice d
Étudier la convergence de la série $\,\dsum_{\sth{.2}n\geq1}u_n\,,\,$ de terme général : $\,u_n=\dfrac{\sqrt{n+1}}{n}-\sin\Big(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Big)\!\cdot\,$
convergence des séries à termes positifs équivalents
Soient $\,(u_n)\,$ et $\,(v_n)\,$ deux suites à termes positifs.
Si $\,u_n\eq n{+\I}v_n\sp{1.5},\,$ les séries $\,\sum u_n\,$ et $\,\sum v_n\,$ sont de même nature.
comparaison d'une série avec une série à termes positifs
Soient $\,(u_n)\,$ une suite numérique et $\,(v_n)\,$ une suite à termes positifs.
Lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!O\big(v_n\big)\sp{1.5},\,$ et a fortiori lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!o\big(v_n\big):\,$
$\displaystyle{}\tst{\sum} v_n\!\txt{converge}\!\Imp\tst{\sum} u_n\!\txt{converge absolument}$
séries de Riemann
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
indication
1
Comparer cette série à une série de Riemann.
indication
2
Utiliser des développements limités pour trouver un équivalent de $\,u_n\sp{1.5}.\,$
réponse
Cette série à termes positifs est divergente car : $\,u_n\eq n{+\I}\dfrac{1}{2\,n}\!\cdot\,$
correction
Il s'agit d'une
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
à termes positifs car, par propriété du
Pour tout $x\app\bb R,$ on a les majorations suivantes :
sinus :
$\displaystyle{}|\cos x|\leq 1\sp{1.5},\ \ |\sin x|\leq 1\,\txt{et} \,|\sin x|\leq |x|$
$\displaystyle{}\frac{\sqrt{n+1}}{n}\geq\frac1{\sqrt{n}}\Imp u_n\geq\frac1{\sqrt{n}}-\sin\Big(\frac{1}{\sqrt{n}}\Big)\geq 0$
Étant donné que : $\,\lim n{+\I}\dfrac1{\sqrt{n}}=0\sp{1.5},\,$ on utilise un développement limité du
La fonction sinus a pour développement limité en $\,0:\,$
sinus
en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,2:\,$
$\displaystyle{}\sin x\ \dl x0 \ x-\smh{1.75}{\frac{x^3}6+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}}+\o x{2p+2}$
$\displaystyle{}\smh{.5}{\sin\Big(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Big)\dl n{+\I}\dfrac{1}{\sqrt{n}}+o\Big(\dfrac{1}{n}\Big)}$
On écrit de même un développement limité en $\,x=0\,$ de la
La fonction $\,x\mapsto(1+x)^\alpha\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
puissance
$\,(1+x)^{1/2}\,$ à l'ordre $\,1:\,$
$\displaystyle{}(1+x)^\alpha\dl x0 \ 1+\alpha\sp{1.5}x+\cdots+\smh{1.75}{\frac{\alpha\dots(\alpha-n+1)}{n\sp{1.5}!}}\,x^n+\o xn$
$\eqalign{\dfrac{\sqrt{n+1}}{n}&\dl n{+\I}&\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sp{1.5}\Big(1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Big)^{\!1/2}\\& \ \ \,=&\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sp{1.5}\Big(1+\dfrac{1}{2\,\sqrt{n}} +o\Big(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Big)\sp{-1.5}\Big)}$
Par différence de développements, on a donc : $\,u_n\,\dl n{+\I}\,\dfrac{1}{2\,n}+o\Big(\dfrac{1}{n}\Big),\,$
Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :
c'est-à-dire :
$\,u_n\,\eq n{+\I}\,\dfrac{1}{2\,n}\!\cdot\,$
La série $\,\dsum\limits_{\sth{.2}n\geq1}u_n\,$ est donc divergente, par
$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$
Soient $\,(u_n)\,$ et $\,(v_n)\,$ deux suites à termes positifs.
Si $\,u_n\eq n{+\I}v_n\sp{1.5},\,$ les séries $\,\sum u_n\,$ et $\,\sum v_n\,$ sont de même nature.
comparaison
à une série de
La série harmonique diverge : $\,\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1n=+\I\sp{1.5}.\,$
harmonique.