Sujet E.2.2 Comparaison aux séries géométriques
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Exercice a
Étudier la convergence de la série : $\,\dsum_{\sth{.2}n\geq0}u_n\,,\,$ de terme général : $\,u_n= 1\!\Big/\!{\binome{2\sp{1.5}n\\n}}\!\cdot\,$
règle de 'Alembert des séries numériques
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
convergence absolue d'une série numérique
La série numérique $\,\sum u_n\,$ converge absolument ssi $\,\sum |u_n|\,$ converge.
- Toute série absolument convergente est convergente.
- Une série convergente qui ne converge pas absolument est semi-convergente.
limite du terme général d'une série convergente
Si une série $\,\sum u_n\,$ est convergente, alors : $\,\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$
Si $(u_n)$ ne tend pas vers $\,0\sp{1.5},\,$ la série est grossièrement divergente.
indication
Utiliser la règle de d'Alembert.
réponse
Cette série à termes strictement positifs est convergente car :
$\,\lim n{+\I}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{4}<1\sp{1.5}.\,$
correction
Il s'agit d'une
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
à termes strictement positifs, inverses d'un coefficient
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
binomial :
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}u_n=1\!\Big/\!{\binome{2\sp{1.5}n\\n}}=\dfrac{(n\sp{1.5}!)^2}{(2\sp{1.5}n)!} > 0$
On va comparer cette série à une série
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
géométrique
à l'aide du quotient de deux termes consécutifs :
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
$\eqalign{\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\frac{\big((n+1)!\big)^2}{(2\sp{1.5}n+2)!}\cdot\frac{(2\sp{1.5}n)!}{(n\sp{1.5}!)^2}\\&=\frac{(n+1)^2}{(2\sp{1.5}n+2)(2\sp{1.5}n+1)} \\&= \frac{n+1}{2\sp{1.5}(2\sp{1.5}n+1)}}$
On a alors par
Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$
En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :
équivalents
polynomiaux, puis
$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
Soient des suites numériques avec $\,\smb0{u_n\eq n{+\I}x_n}\,$ et $\,\smb0{v_n\eq n{+\I}y_n}\sp{1.5};\,$ alors :
quotient
d'équivalents :
- $\,u_n\,v_n\smb{1}{\eq n{+\I}}x_n\,y_n\sp{1.5};\,$
- $\,u_n/v_n\eq n{+\I}x_n/y_n\sp{1.5},\,$ lorsque $\,v_n\neq 0\sp{1.5}\,$ et $\,y_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\,.\,$
$\eqalign{&\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\eq n{+\I}\,\dfrac{n}{4\sp{1.5}n}=\dfrac{1}{4}\\
\txt{d'où :}&\lim n{+\I}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{4}<1}$
En vertu de la règle de
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
d'Alembert,
la série $\,\dsum_{n\geq0}u_n\,$ est donc
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$
Cette série est convergente de somme $S$ ssi les $S_n$ convergent vers $S:$
convergente.
$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$
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Exercice b
Etudier la convergence de la série : $\,\dsum_{\sth{.2}n\geq0}u_n\,,\,$ de terme général : $\,u_n=\binome{2\sp{1.5}n\\n}\!\Big/\!\binome{3\sp{1.5}n\\n}\!\cdot\,$
règle de 'Alembert des séries numériques
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
convergence absolue d'une série numérique
La série numérique $\,\sum u_n\,$ converge absolument ssi $\,\sum |u_n|\,$ converge.
- Toute série absolument convergente est convergente.
- Une série convergente qui ne converge pas absolument est semi-convergente.
limite du terme général d'une série convergente
Si une série $\,\sum u_n\,$ est convergente, alors : $\,\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$
Si $(u_n)$ ne tend pas vers $\,0\sp{1.5},\,$ la série est grossièrement divergente.
indication
Utiliser la règle de d'Alembert.
réponse
Cette série à termes strictement positifs est convergente car :
$\,\lim n{+\I}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{16}{27}<1\sp{1.5}.\,$
correction
Il s'agit d'une
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
à termes strictement positifs, quotients de
coefficients
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
binomiaux :
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}u_n={\binome{2\sp{1.5}n\\n}}\!\Big/\!{\binome{3\sp{1.5}n\\n}}=
\dfrac{(2\sp{1.5}n)!}{(n\sp{1.5}!)^2}\cdot\dfrac{n\sp{1.5}!\sp{1.5}(2\sp{1.5}n)!}{(3\sp{1.5}n)!}=\dfrac{\big((2\sp{1.5}n)!\big)^2}{n\sp{1.5}!\sp{1.5}(3\sp{1.5}n)!} >0$
On va comparer cette série à une série
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
géométrique
à l'aide du quotient de deux termes consécutifs :
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
$\eqalign{\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{\big((2\sp{1.5}n+2)!\big)^2}{(n+1)!\sp{1.5}(3\sp{1.5}n+3)!}\cdot \dfrac{n\sp{1.5}!\sp{1.5}(3\sp{1.5}n)!}{\big((2\sp{1.5}n)!\big)^2}\\
&= \frac{(2n+2)^2\sp{1.5}(2\sp{1.5}n+1)^2}{(n+1)(3\sp{1.5}n+3)(3\sp{1.5}n+2)(3\sp{1.5}n+1)}\\[.5ex]
&= \frac{4(2\sp{1.5}n+1)^2}{3\sp{1.5}(3\sp{1.5}n+2)(3\sp{1.5}n+1)}}$
On a alors par
Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$
En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :
équivalents
polynomiaux, puis
$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
Soient des suites numériques avec $\,\smb0{u_n\eq n{+\I}x_n}\,$ et $\,\smb0{v_n\eq n{+\I}y_n}\sp{1.5};\,$ alors :
quotient
d'équivalents :
- $\,u_n\,v_n\smb{1}{\eq n{+\I}}x_n\,y_n\sp{1.5};\,$
- $\,u_n/v_n\eq n{+\I}x_n/y_n\sp{1.5},\,$ lorsque $\,v_n\neq 0\sp{1.5}\,$ et $\,y_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\,.\,$
$\eqalign{&\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\eq n{+\I}\
\dfrac{16\sp{1.5}n^2}{27\sp{1.5}n^2}=\dfrac{16}{27}\\
\txt{d'où :}&\lim n{+\I}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=
\dfrac{16}{27}<1}$
En vertu de la règle de
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
d'Alembert,
la série $\,\dsum_{n\geq0}u_n\,$ est donc
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$
Cette série est convergente de somme $S$ ssi les $S_n$ convergent vers $S:$
convergente.
$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$
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Exercice c
Étudier la convergence de la série : $\,\dsum_{\sth{.2}n\geq1}u_n\,,\,$ de terme général : $\,u_n=\dfrac{1}{n^{n/2}}\!\cdot\,$
règle de 'Alembert des séries numériques
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
convergence absolue d'une série numérique
La série numérique $\,\sum u_n\,$ converge absolument ssi $\,\sum |u_n|\,$ converge.
- Toute série absolument convergente est convergente.
- Une série convergente qui ne converge pas absolument est semi-convergente.
limite du terme général d'une série convergente
Si une série $\,\sum u_n\,$ est convergente, alors : $\,\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$
Si $(u_n)$ ne tend pas vers $\,0\sp{1.5},\,$ la série est grossièrement divergente.
indication
1
Utiliser la règle de d'Alembert.
indication
2
On n'a pas : $\,\lim n{+\I}\Big(\dfrac{n}{n+1}\!\Big)^{\!n/2}=1\sp{1.5},\,$ car il s'agit d'une forme indéterminée $\,1^{\infty}\sp{1.5}.\,$
réponse
Cette série à termes strictement positifs est convergente car :
$\,\lim n{+\I}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=0 < 1\sp{1.5}.\,$
correction
Il s'agit d'une
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
à termes strictement positifs : $\,u_n=\dfrac{1}{n^{n/2}} > 0\sp{1.5}.\,$
On va comparer cette série à une série
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
géométrique
à l'aide du quotient de deux termes consécutifs :
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
$\displaystyle{}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n^{n/2}}{(n+1)^{(n+1)/2}}= \frac{1}{\sqrt{n+1}}\Big(\frac{n}{n+1}\Big)^{\!n/2}$
Avec
Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$
En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :
l'équivalent :
$\,n+1\eq n{+\I}n\sp{1.5},\,$ on a : $\,\lim n{+\I}\dfrac{n}{n+1}=1\sp{1.5},\,$ mais en revanche :
$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
$\displaystyle{}\smh{1}{\lim n{+\I}\dfrac{n}{n+1}=1
\longnon{\Imp}\lim n{+\I}\Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{\!n/2}\!=1}$
En effet, on obtient là une forme indéterminée, que l'on peut noter $\,1^{\infty}\sp{1.5}.\,$
On le vérifie en écrivant formellement : $\,\ln\big(1^{\I}\big)=\I\times0\sp{1.5},\,$ ce qui est une
Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$ alors :
forme
indéterminée classique.
On pourrait lever cette indétermination avec un
- $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$ si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$ si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$
La fonction logarithme vérifie :
équivalent
du logarithme de $\,\Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{\!n/2}\!\!\!\cdot\,$
Il est cependant plus direct d'écrire, par
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x0\sp{1.5}\ln x=-\I\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\ln x=+\I\ \txt{et}\,\ln(1+x)\sp{1.5}\eq x0 \,x$
Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :
croissance
de $\,x\mapsto x^{n/2},\,$ puis en
- continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
- continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$
L'ordre sur $\bb R$ est compatible avec le produit par un réel positif :
multipliant
par $\,\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}:\,$
- $\,(\sp{1.5}a\leq b\ \txt{et}\ c\geq 0\sp{1.5})\Imp a\sp{1.5}c\leq b\sp{1.5}c \,;\,$
- $\, (\sp{1.5}a < b\ \txt{et}\ c > 0\sp{1.5})\Imp a\sp{1.5}c < b\sp{1.5}c\,.\,$
$\displaystyle{}0\leq\Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{\!n/2}\!\!\leq1^{n/2}=1\Imp0\leq\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leq\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$
On en déduit, par
Soient $\,(u_n)\sp{1.5},\,$ $\,(v_n)\sp{1.5},\,$ $\,(w_n)\,$ des suites réelles et $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Si on a, à partir d'un certain rang $N:$ $\,\sp{1.5}u_n\leq v_n\leq w_n\sp{1.5},\,$ alors :
encadrement :
$\,\lim n{+\I}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=0<1\sp{1.5}.\,$
En vertu de la règle de
$\displaystyle{}\big(\,\lim n{+\I}\!u_n =\!\!\lim n{+\I}\!w_n =\ell\ \big) \Imp \lim n{+\I}\!v_n =\ell$
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
d'Alembert,
la série $\,\dsum_{n\geq1}u_n\,$ est donc
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$
Cette série est convergente de somme $S$ ssi les $S_n$ convergent vers $S:$
convergente.
$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$
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Exercice d
Etudier la convergence de la série : $\,\dsum_{\sth{.2}n\geq1}u_n\,,\,$ de terme général : $\,u_n=\dfrac{(2\sp{1.5}n)!}{n\sp{1.5}!\,n^n}\!\cdot\,$
règle de 'Alembert des séries numériques
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
convergence absolue d'une série numérique
La série numérique $\,\sum u_n\,$ converge absolument ssi $\,\sum |u_n|\,$ converge.
- Toute série absolument convergente est convergente.
- Une série convergente qui ne converge pas absolument est semi-convergente.
limite du terme général d'une série convergente
Si une série $\,\sum u_n\,$ est convergente, alors : $\,\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$
Si $(u_n)$ ne tend pas vers $\,0\sp{1.5},\,$ la série est grossièrement divergente.
indication
1
Utiliser la règle de d'Alembert.
indication
2
On n'a pas : $\,\lim n{+\I}\Big(\dfrac{n}{n+1}\!\Big)^{\!n}=1\sp{1.5},\,$ car il s'agit d'une forme indéterminée $\,1^{\infty}\sp{1.5}.\,$
réponse
Cette série à termes strictement positifs est divergente car :
$\,\lim n{+\I}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{4}{\e{}} > 1\sp{1.5}.\,$
correction
Il s'agit d'une
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
à termes strictement positifs : $\,u_n=\dfrac{(2\sp{1.5}n)!}{n\sp{1.5}!\,n^n} > 0\sp{1.5}.\,$
On va comparer cette série à une série
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
géométrique
à l'aide du quotient de deux termes consécutifs :
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
$\eqalign{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}&= \dfrac{(2\sp{1.5}n+2)!\,n\sp{1.5}!}{(n+1)!\,(2\sp{1.5}n)!}\cdot\dfrac{n^n}{(n+1)^{n+1}}\\&=\dfrac{(2\sp{1.5}n+2)\sp{1.5}(2\sp{1.5}n+1)}{(n+1)}\cdot\frac1{n+1}\Big(\dfrac{n}{n+1}\sp{-1.5}\Big)^{\!n}\\&= \dfrac{2\sp{1.5}(2\sp{1.5}n+1)}{n+1}\Big(\dfrac{n}{n+1}\sp{-1.5}\Big)^{\!n}}$
Avec
Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$
En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :
l'équivalent :
$\,n+1\eq n{+\I}n\sp{1.5},\,$ on a : $\,\lim n{+\I}\dfrac{n}{n+1}=1\sp{1.5},\,$ mais en revanche :
$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
$\displaystyle{}\smh{1}{\lim n{+\I}\dfrac{n}{n+1}=1
\longnon{\Imp}\lim n{+\I}\Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{\!n}\!=1}$
En effet, on obtient là une forme indéterminée, que l'on peut noter $\,1^{\infty}\sp{1.5}.\,$
On le vérifie en écrivant formellement : $\,\ln\big(1^{\I}\big)=\I\times0\sp{1.5},\,$ ce qui est une
Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$ alors :
forme
indéterminée classique.
On va lever cette indétermination en calculant la limite du logarithme de $\,\Big(\dfrac{n}{n+1}\sp{-1.5}\Big)^{\!n}\!\!\cdot\,$
On simplifie d'abord ce
- $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$ si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$ si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$
Le logarithme est un morphisme de $\,(\bb R_+^{\ast}\sp{1.5},\times)\,$ vers $\,(\bb R\sp{1.5},+)\sp{1.5},\,$ soit :
logarithme,
puis on en détermine un
$\displaystyle{}\ptt x,\,y >0\sp{1.5},\ \ln(x\sp{1.5}y)=\ln x+\ln y\txt{et}\ln(x\sp{-1.5}/\sp{-1.5}y)=\ln x-\ln y$
On a de plus : $\,\ln 1=0\,$ et $\,\ptt x >0\sp{1.5},\,\ptt \alpha\app\bb R\sp{1.5},\ \ln(x^\alpha)=\alpha\ln x\,.\,$
La fonction logarithme vérifie :
équivalent :
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x0\sp{1.5}\ln x=-\I\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\ln x=+\I\ \txt{et}\,\ln(1+x)\sp{1.5}\eq x0 \,x$
$\eqalign{\ln\Big(\Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{\!n}\Big)&= n\sp{1.5}\ln\Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)=-n\sp{1.5}\ln\Big(\dfrac{n+1}{n}\Big)\\
&= -n\sp{1.5}\ln\Big(1+\dfrac{1}{n}\Big)\eq n{+\I}-\frac{n}{n}=-\sp{1.5}1}$
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
L'exponentielle
étant continue, on en déduit :
$\,\lim n{+\I}\Big(\dfrac{n}{n+1}\sp{-1.5}\Big)^{\!n}=\e{-1}\sp{1.5}.\,$
Par
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$
En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :
équivalents
polynomiaux puis
$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
Soient des suites numériques avec $\,\smb0{u_n\eq n{+\I}x_n}\,$ et $\,\smb0{v_n\eq n{+\I}y_n}\sp{1.5};\,$ alors :
quotient
d'équivalents, on a aussi : $\,\lim n{+\I}\dfrac{2\sp{1.5}(2\sp{1.5}n+1)}{n+1}=4\sp{1.5}.\,$
On obtient alors, par
- $\,u_n\,v_n\smb{1}{\eq n{+\I}}x_n\,y_n\sp{1.5};\,$
- $\,u_n/v_n\eq n{+\I}x_n/y_n\sp{1.5},\,$ lorsque $\,v_n\neq 0\sp{1.5}\,$ et $\,y_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\,.\,$
Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$ alors :
produit
de limites : $\,\lim n{+\I}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=
4\,\e{-1}=\dfrac{4}{\e{}} > 1\sp{1.5}.\,$
En vertu de la règle de
- $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$ si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$ si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
d'Alembert,
la série $\,\dsum_{n\geq1}u_n\,$ est donc
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
Si une série $\,\sum u_n\,$ est convergente, alors : $\,\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$
Si $(u_n)$ ne tend pas vers $\,0\sp{1.5},\,$ la série est grossièrement divergente.
grossièrement
divergente.