Sujet E.2.1 Séries géométriques
Choisir
un exercice, puis le résoudre
:
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice a
Montrer la convergence de la série $\,\dsum_{\sth{.2}n\geq{}1}\frac{(-1)^{n-1}}{3^{2n+2}}\,$ et calculer sa somme $\,S\sp{1.5}.\,$
sommes partielles d'une série numérique
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
convergence d'une série numérique
Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$
Cette série est convergente de somme $S$ ssi les $S_n$ convergent vers $S:$
$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$
convergence des séries géométriques
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
translation des indices dans la somme d'une série
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
indication
Faire apparaître une série géométrique de raison $\,q=-\dfrac{1}{9}\!\cdot\,$
réponse
Cette série est bien convergente, et elle a pour somme :
$\displaystyle{}S=\sum_{n=1}^{+\I}\frac{(-1)^{n-1}}{3^{2n+2}}=\dfrac{1}{90}$
correction
On commence par transformer le terme général de cette
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
pour le simplifier :
$\displaystyle{}\sum_{\sth{.2}n\geq{}1}\frac{(-1)^{n-1}}{3^{2n+2}}=
\sum_{\sth{.2}n\geq{}1}\frac{(-1)}{3^{2}}\cdot\frac{(-1)^{n}}{3^{2n}}=
-\frac{1}{9}\sum_{\sth{.2}n\geq{}1}\Big(\!-\frac{1}{9}\Big)^{\!n}$
On obtient une série
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
géométrique
de raison $\,-\dfrac19\sp{1.5},\,$ et elle est
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$
Cette série est convergente de somme $S$ ssi les $S_n$ convergent vers $S:$
convergente
car : $\,\Big|-\dfrac{1}{9}\Big|<1\sp{1.5}.\,$
On
$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
translate
les indices en posant $\,p=n-1\sp{1.5},\,$ et on en déduit la
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
somme :
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
$\eqalign{S&=-\frac{1}{9}\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(\!-\frac{1}{9}\Big)^{\!n}= -\frac{1}{9}\sp{1.5}\sum_{p=0}^{+\infty}\Big(\!-\frac{1}{9}\Big)^{\sp{-1.5}p+1}\\[-1ex]
&= \Big(\!-\frac{1}{9}\Big)^{\!2}\sp{1.5}\sum_{p=0}^{+\infty}\Big(\!-\frac{1}{9}\Big)^{\sp{-1.5}p}\\[-.5ex]
&= \frac{1}{81}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{1}{9}}= \frac{1}{81}\cdot\frac{9}{10}=\frac{1}{90}}$
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice b
Montrer la convergence de la série $\,\dsum_{\sth{.2}n\geq{}1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{{\textstyle\frac n2}-1}}\,$ et calculer sa somme $\,S\sp{1.5}.\,$
sommes partielles d'une série numérique
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
convergence d'une série numérique
Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$
Cette série est convergente de somme $S$ ssi les $S_n$ convergent vers $S:$
$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$
convergence des séries géométriques
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
translation des indices dans la somme d'une série
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
indication
Faire apparaître une série géométrique de raison $\,q=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\!\cdot\,$
réponse
Cette série est bien convergente, et elle a pour somme :
$\displaystyle{}S=\sum_{n=1}^{+\I}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{{\textstyle\frac n2}-1}}=2\sp{1.5}\big(\sqrt2-1\big)$
correction
On commence par transformer le terme général de cette
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
série
pour le simplifier :
$\displaystyle{}\sum_{\sth{.2}n\geq{}1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{\,{\textstyle\frac n2}-1}}= \sum_{\sth{.2}n\geq{}1}\frac{(-1)}{2^{-1}}\cdot\frac{(-1)^{n}}{2^{{\textstyle\frac n2}}}=-2\sp{1.5}\sum_{\sth{.2}n\geq{}1}\Big(\!-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)^{\!n}$
On obtient une série
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
géométrique
de raison $\,-\dfrac1{\sqrt{2}}\sp{1.5},\,$ et elle est
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
Soit $\,\op{\sum}_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $\,S_n\sp{1.5}.\,$
Cette série est convergente de somme $S$ ssi les $S_n$ convergent vers $S:$
convergente
car : $\,\bigg|\!-\dfrac1{\sqrt{2}}\bigg|<1\sp{1.5}.\,$
On
$\displaystyle{}S=\!\lim n{+\I}S_n=\sum_{n=n_0}^{+\I} u_n$
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
translate
les indices en posant $\,p=n-1\sp{1.5},\,$ et on en déduit la
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
somme :
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
$\eqalign{S&=-\sp{1.5}2\sp{1.5}\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(\!-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)^{\!n}= -\sp{1.5}2\sp{1.5}\sum_{p=0}^{+\infty}\Big(\!-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)^{\sp{-1.5}p+1}\\[-.5ex]&= \sqrt2\,\sum_{p=0}^{+\infty}\Big(\!-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)^{\sp{-1.5}p}=\frac{\sqrt2}{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\\[-1ex]&=\smh0{\frac{2}{\sqrt2+1}}= 2\sp{1.5}\big(\sqrt2-1\big)}$